# 제15장 · 인수분해 ② ($x^2+bx+c$ 꼴)

:::{admonition} 이 장
:class: seealso

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| **원본 코드** | R2-W07 |
| **선행 내용** | 제14장 — 인수분해 ① |
| **요지** | $x^2+bx+c$ 를 인수분해하는 것은 **곱해서 $c$, 더해서 $b$** 인 두 수를 찾는 일이다. |
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## 도입

다음 한 줄에서 출발한다.

$$\text{곱해서 } 12, \quad \text{더해서 } 7. \quad \text{두 수는?}$$

조건을 만족하는 두 수는 $3$ 과 $4$ 이다. 이 두 수가 이 장에서 다루는 내용의 핵심이다. 찾은 두 수를 $x$ 뒤에 그대로 붙이면 다음 식이 된다.

$$x^2+7x+12 = (x+3)(x+4)$$

$12$ 는 상수항이고 $7$ 은 $x$ 의 계수이다. **곱이 상수항, 합이 $x$ 의 계수**가 되는 두 수를 찾아 $x$ 뒤에 붙이면 인수분해가 완성된다. 이 한 줄이 이 장의 내용 전체를 요약한다.

상수항과 계수의 부호를 바꾸면 사정이 달라진다.

$$\text{곱해서 } {-12}, \quad \text{더해서 } {-1}. \quad \text{두 수는?}$$

이 경우에서 오류가 자주 발생한다. 곱과 합을 세는 절차는 앞의 경우와 동일하지만 **부호**를 결정하는 단계가 추가되며, 이 단계는 판단 기준 없이는 처리되지 않는다. 이 장에서 하는 일이 그 판단 기준을 세우는 것이다. (답은 뒤의 부호 규칙 표에서 확정한다.)

## 두 수는 넓이 그림에서 나온다

이 규칙은 암기 대상이 아니라 그림에서 유도되는 결과이다. 전개를 다룰 때 사용한 넓이 그림을 반대 방향으로 읽는다.

가로가 $x+p$, 세로가 $x+q$ 인 직사각형을 가로는 $x$ 와 $p$ 로, 세로는 $x$ 와 $q$ 로 쪼갠다. 그러면 네 칸이 생기고, 각 칸의 넓이는 다음과 같다.

```{image} /_static/figs/ch15_xpxq.svg
:alt: 넓이격자: (x+p)(x+q)
:width: 320px
:align: center
:class: chfig
```

네 칸의 넓이를 모두 더한 값은 직사각형 전체의 넓이와 같다.

$$x^2 + px + qx + pq = x^2 + (p+q)x + pq$$

여기서 두 자리를 확인한다. $x$ 의 계수는 $p+q$, 곧 **두 수의 합**이다. 상수항은 $pq$, 곧 **두 수의 곱**이다. 따라서 $x^2+bx+c$ 에서 $b$ 는 두 수의 합이고 $c$ 는 두 수의 곱이다. 임의로 정한 규칙이 아니라 그림에서 유도된 사실이다.

$$c = \text{두 수의 곱}, \qquad b = \text{두 수의 합}$$

이 관계식이 이 장 전체의 기준이 된다.

## 곱부터 세는 이유

두 수를 찾을 때는 **항상 곱부터** 센다. 그 이유를 $x^2+11x+24$ 로 확인한다.

합이 $11$ 인 두 수는 무수히 많다. $1+10$, $2+9$, $5+6$, $3.5+7.5\ \dots$ 로 이어져 전부 나열할 수 없다. 반면 곱이 $24$ 인 정수 쌍은 유한하다.

$$24 = 1 \times 24 = 2 \times 12 = 3 \times 8 = 4 \times 6$$

네 쌍뿐이다. 이 중 합이 $11$ 인 쌍은 $3$ 과 $8$ 이다.

$$x^2+11x+24 = (x+3)(x+8)$$

**검산은 전개로 한다.** 인수분해의 결과는 전개하여 원식과 비교하면 즉시 검증된다.

$$(x+3)(x+8) = x^2+8x+3x+24 = x^2+11x+24$$

전개 결과가 원식과 일치하므로 답이 맞다. 이 책에서는 모든 인수분해를 이와 같이 전개로 검산한다. 정답지는 정오만 알려 주지만, 전개는 오류가 발생한 자리까지 알려 준다.

**곱만 확인해서는 안 된다.** 조건은 곱과 합 두 개이며, 곱 하나만 확인하고 중단하면 조건의 절반만 만족한 답이 된다. 예를 들어 $x^2+7x+12$ 를 $(x+2)(x+6)$ 이라 쓰면 곱은 $2 \times 6 = 12$ 로 맞다. 그러나 전개하면 다음과 같다.

$$(x+2)(x+6) = x^2+8x+12$$

가운데 항이 $8x$ 이고, 요구된 항은 $7x$ 이다. **곱이 맞아도 합이 틀리면 오답이다.** 후보를 찾으면 두 조건을 모두 확인한다.

## 음수 부호가 포함된 경우

먼저 넓이 그림의 적용 범위를 확인한다. 앞 절의 넓이 그림은 $p$ 와 $q$ 가 **양수인 경우**를 나타낸 것이다. 변의 길이가 음수인 직사각형은 존재하지 않기 때문이다. 그러나 그림에서 얻어 낸 등식

$$(x+p)(x+q) = x^2+(p+q)x+pq$$

은 **문자끼리 곱하고 더한 결과**이므로, $p$ 나 $q$ 가 음수여도 그대로 성립한다. 그림으로 나타낼 수 없는 범위는 식이 이어받는다. 따라서 아래의 부호 규칙은 새로 암기할 규칙이 아니라, 이 등식에 음수를 대입해 계산한 결과이다.

필요한 것은 한 줄의 해석이다. **뺄셈은 음수의 덧셈으로 읽는다.**

$$(x-3)(x-6) = \big(x+(-3)\big)\big(x+(-6)\big)$$

곧 $p=-3$, $q=-6$ 인 경우이다. 위 등식에 그대로 대입하면 합은 $p+q = (-3)+(-6) = -9$, 곱은 $pq = (-3) \times (-6) = +18$ 이다.

$$x^2 + (-9)x + 18 = x^2-9x+18$$

뒤에 나오는 부호 규칙 표의 네 행은 전부 이렇게 **계산해서 나온 결과**이다. 표는 암기 대상이 아니라 확인 대상이다.

상수항이나 계수에 음수가 포함된 두 예제를 비교한다.

**예제 1.** $x^2-9x+18$

곱이 $18$ 인 쌍은 $1 \times 18$, $2 \times 9$, $3 \times 6$ 이다. 합은 $-9$ 여야 하는데 이 쌍들의 합은 모두 양수이다. 두 수의 부호를 모두 뒤집으면 $(-3) \times (-6) = 18$, $(-3)+(-6) = -9$ 로 두 조건이 성립한다.

$$x^2-9x+18 = (x-3)(x-6)$$

검산: $(x-3)(x-6) = x^2-6x-3x+18 = x^2-9x+18$ ✔

**예제 2.** $x^2+3x-18$

이 식은 곱이 $-18$ 로 음수이다. 곱이 음수가 되려면 두 수의 부호가 서로 달라야 한다. $6$ 과 $-3$ 은 곱이 $-18$, 합이 $3$ 이므로 두 조건이 성립한다.

$$x^2+3x-18 = (x+6)(x-3)$$

검산: $(x+6)(x-3) = x^2-3x+6x-18 = x^2+3x-18$ ✔

두 예제의 차이는 상수항의 부호뿐이다. $+18$ 인지 $-18$ 인지에 따라 두 수의 부호가 완전히 달라진다. 이 차이를 표로 정리하면 부호를 일관된 기준으로 결정할 수 있다.

## 부호 규칙 표

부호는 추측이 아니라 판단으로 결정한다. 확인 항목은 두 개이다.

- **확인 1 — $c$ 의 부호.** 두 수의 부호가 같은지 다른지를 정한다. 곱이 양수이면 두 수의 부호는 **같고**($(+)(+)$ 또는 $(-)(-)$), 곱이 음수이면 부호는 **다르다**. 음수의 곱셈 규칙 그대로이므로 새로 배우는 내용이 아니다.
- **확인 2 — $b$ 의 부호.** 어느 쪽이 절댓값이 큰지를 정한다. 부호가 같으면 합의 부호가 곧 두 수의 부호이다. 부호가 다르면 합은 절댓값이 큰 쪽의 부호를 따른다($-7+3=-4$ 에서 절댓값이 큰 $-7$ 이 음수이므로 합도 음수이다).

이 두 항목을 네 가지 경우로 펼치면 다음 표가 된다.

| $c$ 의 부호 | $b$ 의 부호 | 두 수의 부호 | 예시 식 | 인수분해 |
|---|---|---|---|---|
| $c > 0$ | $b > 0$ | 둘 다 $+$ | $x^2+7x+12$ | $(x+3)(x+4)$ |
| $c > 0$ | $b < 0$ | 둘 다 $-$ | $x^2-5x+6$ | $(x-2)(x-3)$ |
| $c < 0$ | $b > 0$ | 부호 다름, **절댓값 큰 쪽이 $+$** | $x^2+2x-15$ | $(x+5)(x-3)$ |
| $c < 0$ | $b < 0$ | 부호 다름, **절댓값 큰 쪽이 $-$** | $x^2-x-12$ | $(x-4)(x+3)$ |

각 행을 확인한다.

**1행** $c=12>0$, $b=7>0$: 둘 다 $+$ 인 $3$ 과 $4$. 곱 $12$, 합 $7$.

**2행** $c=6>0$, $b=-5<0$: 둘 다 $-$ 인 $-2$ 와 $-3$. 곱 $(-2)(-3)=6$, 합 $-5$. **이 행에서 오류가 가장 빈번하다. 곱이 $+$ 이고 합이 $-$ 이면 두 수는 둘 다 $-$ 이다.** 곱이 양수이므로 부호가 같아야 하고, 합이 음수이므로 둘 다 음수이다.

**3행** $c=-15<0$, $b=2>0$: 부호가 다른 $5$ 와 $-3$. 곱 $-15$, 합 $2$. 절댓값이 큰 $5$ 가 $+$.

**4행** $c=-12<0$, $b=-1<0$: 부호가 다른 $-4$ 와 $3$. 곱 $-12$, 합 $-1$. 절댓값이 큰 $4$ 가 $-$.

$$x^2-x-12 = (x-4)(x+3)$$

도입에서 제시한 식이다. 곱이 $-12$, 합이 $-1$ 인 두 수는 $-4$ 와 $3$ 이며, 이 답은 추측이 아니라 표에 따라 결정된 것이다. '부호가 다르고 절댓값이 큰 쪽이 음수'라고 판단한 다음, 곱이 $12$ 인 쌍 중 차가 $1$ 인 $4$ 와 $3$ 을 고르고, 큰 쪽인 $4$ 에 음의 부호를 붙인다.

부호가 다를 때의 처리 방법은 다음과 같다.

$$c<0 \ \Rightarrow \ \text{곱이 } |c| \text{ 인 쌍 중에서 } \textbf{차}\text{가 } |b| \text{ 인 것을 찾는다}$$

부호가 같을 때는 **합**을 보고, 부호가 다를 때는 **차**를 본다. 예를 들어 곱이 $-12$ 라면 $1$ 과 $12$(차 $11$), $2$ 와 $6$(차 $4$), $3$ 과 $4$(차 $1$) 중 차가 $1$ 인 $3$ 과 $4$ 를 고르고, 그다음 큰 쪽에 부호를 붙인다.

숫자 쌍이 같아도 부호가 바뀌면 답이 전부 달라진다. $x^2-7x+10$, $x^2+3x-10$, $x^2-3x-10$ 은 모두 $2$ 와 $5$ 로 만들지만 답은 각각 $(x-2)(x-5)$, $(x+5)(x-2)$, $(x-5)(x+2)$ 로 다르다. **인수분해에서 부호는 부수적인 요소가 아니라 문제의 절반이다.**

## $x^2$ 의 계수가 $1$ 이 아닌 경우

앞에서는 $x^2$ 의 계수가 $1$ 인 경우만 다루었다. 계수가 $1$ 이 아니면 지금까지의 방법이 그대로 적용되지 않는다. 예를 들어 $2x^2+7x+3$ 에서는 곱이 $3$, 합이 $7$ 인 두 수가 존재하지 않는다. 이러한 식은 다음과 같이 분해된다.

$$2x^2+7x+3 = (2x+1)(x+3)$$

검산: $(2x+1)(x+3) = 2x^2+6x+x+3 = 2x^2+7x+3$ ✔

$2x$ 와 $x$ 를 앞에 놓고 뒤에 $1$ 과 $3$ 을 놓되, 엇갈려 곱한 것의 합($2 \times 3 + 1 \times 1 = 7$)이 가운데 계수가 되도록 맞춘 결과이다.

절차는 세 단계이다. **첫째,** $2x^2$ 을 $2x \cdot x$ 로 가른다. **둘째,** $3$ 을 $1 \cdot 3$ 으로 가른다. **셋째,** 가른 것을 위아래로 놓고 **대각선끼리 곱해 더한 값**이 가운데 계수 $7$ 이 되는 배치를 고른다. 이 식에서 가능한 배치는 두 가지이므로 둘 다 계산한다.

| 배치 | 엇갈려 곱한 두 개 | 합 | 가운데 $7x$ 와의 일치 |
|---|---|---|---|
| $(2x+1)(x+3)$ | $2x \cdot 3 = 6x$, $\ 1 \cdot x = x$ | $7x$ | 일치 |
| $(2x+3)(x+1)$ | $2x \cdot 1 = 2x$, $\ 3 \cdot x = 3x$ | $5x$ | 불일치 |

첫 배치가 조건을 만족하므로 $2x^2+7x+3 = (2x+1)(x+3)$ 이다. 연습문제 $14$ 번 (1)이 이 식이며, 위 세 단계를 그대로 적용한다. 다만 계수가 커지면 가능한 배치의 수가 급격히 늘어나 손으로 전부 확인하기 어렵다. 손으로 찾는 훈련법도 있으나 이 장에서는 여기까지만 다룬다. 그 이유는 다음과 같다. 이후 **근의 공식**을 배우면, $x^2$ 의 계수가 무엇이든, 인수분해가 되든 되지 않든 항상 답을 주는 도구가 마련된다. 그 도구가 이 경우를 통째로 처리한다.

이 장에서 숙달해야 하는 것은 $x^2$ 의 계수가 $1$ 인 경우이다. 이 경우를 처리할 수 있으면 다음 단계로 진행할 수 있다.

## 순서표에 ④를 추가한다

제14장에서 도구가 셋일 때 순서표를 만들었다. 이 장에서 도구가 하나 늘었으므로 표를 갱신한다. 인수분해 문제를 만나면 다음 네 항목을 순서대로 확인한 뒤 시작한다.

| 순서 | 판정 항목 | 사용 도구 |
|---|---|---|
| ① | 공통인수의 유무 | 가장 먼저 빼낸다 |
| ② | 항이 $2$ 개인 경우 | $a^2-b^2 = (a+b)(a-b)$ |
| ③ | 항이 $3$ 개이면서 완전제곱인 경우 | $a^2 \pm 2ab+b^2 = (a \pm b)^2$ |
| ④ | 위 세 경우가 아닌 경우 | 곱해서 $c$, 더해서 $b$ 인 두 수 |

순서를 지키는 이유는 제14장에서와 같다. **①을 건너뛰면 ②③④가 적용되는지 판별되지 않는다.** 그리고 **순서표는 괄호 안에서 다시 적용된다.** ①에서 공통인수를 빼내고 남은 괄호 안을 처음부터 다시 훑는다.

$3x^2+6x-24$ 에 ①부터 ④까지 순서대로 적용한다.

$$\text{①: 세 항에 공통인 } 3 \text{ 을 빼낸다} \ \Rightarrow\ 3(x^2+2x-8)$$

$$\text{②: 괄호 안은 항이 } 3 \text{ 개다. 두 제곱의 차가 아니다.}$$

$$\text{③: } {-8} \text{ 이 제곱수가 아니니 완전제곱도 아니다.}$$

$$\text{④: 곱해서 } {-8}, \text{ 더해서 } 2 \text{ 인 두 수는 } 4 \text{ 와 } {-2}.$$

$$3x^2+6x-24 = 3(x+4)(x-2)$$

검산: $(x+4)(x-2) = x^2+2x-8$, 여기에 $3$ 을 곱하면 $3x^2+6x-24$ ✔ 원식과 일치하므로 답이 맞다.

마지막으로 한 가지를 덧붙인다. **④까지 적용해도 곱과 합이 맞는 정수 쌍이 없으면, 이 단계의 도구로 처리할 수 있는 범위를 넘어선 것이다.** $x^2+3x+7$ 이 그러한 예이다. 곱이 $7$ 인 정수 쌍은 $1 \times 7$ 과 $(-1) \times (-7)$ 뿐이고 합은 각각 $8$ 과 $-8$ 이므로 $3$ 이 나올 수 없다. 해가 없는 것이 아니라 현재 단계의 도구로 처리되지 않는 것이며, [제17장](ch17.md)의 근의 공식이 그러한 식을 통째로 처리한다.

## 빈번한 오류

:::{admonition} 부호 조합을 추측으로 결정한다
:class: warning
$x^2-5x+6$ 을 $(x+2)(x+3)$ 이라고 쓰거나, $c$ 가 음수인 식에서 부호를 정하지 못한 채 중단한다. 원인은 부호를 판단하지 않고 **추측으로 정하는** 데 있다. 판단 근거가 없으면 네 가지 조합을 무작위로 시도하게 된다. 해결 방법은 순서를 바꾸는 것이다. **부호를 먼저 정하고 숫자를 나중에 찾는다.** 확인 항목은 두 개이다 — $c$ 가 양수인가 음수인가(부호가 같은가 다른가), $b$ 가 양수인가 음수인가(어느 쪽이 절댓값이 큰가). 부호를 먼저 정하면 후보가 좁혀지고, 순서를 반대로 하면 매번 추측에 의존하게 된다.

*확인 문제*: $x^2-8x+15$ 를 인수분해하고, 표 몇 행을 적용했는지 말하라. (답: $(x-3)(x-5)$, 2행.)
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:::{admonition} 곱만 확인하고 합을 확인하지 않는다
:class: warning
$x^2+7x+12$ 를 $(x+2)(x+6)$ 이라고 쓴다. 곱은 $12$ 로 맞지만 합이 $8$ 이라 틀렸다. '곱해서 $c$'만 기억에 남고 '더해서 $b$'가 누락된 것이다. 조건이 두 개인데 하나만 검사한 결과이다. 후보를 찾으면 두 조건을 각각 확인한다 — 곱이 $12$ 인지, 합이 $7$ 인지. 이어서 전개로 검산하면 틀린 자리가 드러난다.

*확인 문제*: $x^2+9x+18$. ($(x+2)(x+9)$ 라고 썼다면 합이 $11$ 이라 오답. 답: $(x+3)(x+6)$.)
:::

:::{admonition} 식과 방정식을 혼동한다
:class: warning
$x^2+7x+12$ 를 인수분해하라고 했는데 $x=-3, -4$ 라고 답한다. 인수분해가 이차방정식과 함께 제시되는 경우가 많았던 탓에, 인수분해 자체를 '$x$ 를 구하는 일'로 기억한 것이다. 문제에 $=0$ 이 있는지 확인한다. 없다. **등호가 없으면 방정식이 아니다.** 방정식의 답은 수이지만, 식의 답은 식이다. $x^2+7x+12$ 를 인수분해한 답은 $(x+3)(x+4)$ 라는 **식**이다. $\tfrac{12}{18}$ 을 약분한 답이 $\tfrac{2}{3}$ 라는 분수이지 어떤 수의 값이 아닌 것과 같다. 두 개념이 무관한 것은 아니다. 다음 장에서 $=0$ 을 붙이면 $x$ 값이 나온다. 다만 그것은 다음 장의 내용이고, 이 장에서는 식을 식으로 다룬다.

*확인 문제*: "$x^2-5x+6$ 을 인수분해하라"와 "$x^2-5x+6=0$ 을 풀어라"의 답은 각각 무엇인가? (답: $(x-2)(x-3)$ / $x=2$ 또는 $x=3$.)
:::

## 연습문제

계산기를 쓰지 않는다. 규칙은 하나이다 — **모든 답을 전개로 검산한다.** 검산하지 않은 답은 답이 아니라 추측이다. 풀리지 않는 문항은 표시해 두고 다음 문항으로 넘어간다. `A` 기본 · `B` 표준 · `C` 도전.

1. `A` 인수분해하라. (1) $x^2+6x+8$  (2) $x^2+7x+12$  (3) $x^2+10x+21$
2. `A` 인수분해하라. (1) $x^2-6x+8$  (2) $x^2-5x+6$  (3) $x^2-9x+20$
3. `A` 인수분해하라. (1) $x^2+2x-8$  (2) $x^2-x-12$  (3) $x^2+4x-21$
4. `A` 인수분해하라. (1) $x^2-2x-15$  (2) $x^2+x-20$
5. `A` 인수분해하라. (1) $x^2+8x+7$  (2) $x^2-4x+3$
6. `B` 인수분해하라. (1) $x^2-13x+40$  (2) $x^2+11x+24$
7. `B` 인수분해하라. (1) $x^2+5x-24$  (2) $x^2-7x-18$
8. `B` 인수분해하라. **이 장의 방법을 적용하기 전에, 제14장에서 배운 공식이 적용되는지 먼저 확인한다.** (1) $x^2-9$  (2) $x^2+6x+9$  (3) $x^2-16x+64$
9. `B` 인수분해하라. **끝까지 분해한다.** (1) $2x^2+10x+12$  (2) $3x^2-3x-18$
10. `B` 다음 넷 중 **정수 범위에서 인수분해되지 않는 것**을 고르고, 왜 안 되는지 한 줄로 쓰라.
    $x^2+4x+3$, $x^2+4x+4$, $x^2+4x+5$, $x^2+4x-5$
11. `B` 어떤 직사각형 화단의 넓이가 $x^2+9x+18$ 이고 가로의 길이가 $x+3$ 이다. 세로의 길이는?
12. `B` 11번 화단의 **둘레**를 $x$ 에 대한 식으로 나타내라.
13. `C` $x^2+bx+12$ 가 정수 범위에서 인수분해되도록 하는 정수 $b$ 를 **모두** 구하라.
14. `C` (1) $2x^2+7x+3$ 을 인수분해하라. (2) $x^4-5x^2+4$ 를 인수분해하라. (힌트: $x^2$ 를 하나의 덩어리로 본다)

:::{admonition} 정답과 해설
:class: dropdown
1. (1) $(x+2)(x+4)$  (2) $(x+3)(x+4)$  (3) $(x+3)(x+7)$ — 전부 1행(둘 다 $+$)
2. (1) $(x-2)(x-4)$  (2) $(x-2)(x-3)$  (3) $(x-4)(x-5)$ — 전부 2행(둘 다 $-$). **빈번한 오류**: 곱만 맞춰 $(x+2)(x+4)$ 로 쓴다. 곱이 $+8$ 이면 부호가 같아야 하고, 합이 $-6$ 이니 둘 다 음수이다.
3. (1) $(x+4)(x-2)$  (2) $(x-4)(x+3)$  (3) $(x+7)(x-3)$ — 3행·4행(부호 다름).
4. (1) $(x-5)(x+3)$  (2) $(x+5)(x-4)$
5. (1) $(x+1)(x+7)$  (2) $(x-1)(x-3)$
6. (1) $(x-5)(x-8)$ — 곱 $40$: $1{\cdot}40$, $2{\cdot}20$, $4{\cdot}10$, $5{\cdot}8$ 중 합이 $13$ 인 것은 $5{+}8$, 둘 다 $-$  (2) $(x+3)(x+8)$
7. (1) $(x+8)(x-3)$ — 곱 $24$ 인 쌍 중 **차**가 $5$ 인 쌍은 $3$ 과 $8$, 큰 쪽이 $+$  (2) $(x-9)(x+2)$ — 곱 $18$ 인 쌍 중 차가 $7$ 인 쌍은 $2$ 와 $9$, 큰 쪽이 $-$
8. (1) $(x+3)(x-3)$  (2) $(x+3)^2$  (3) $(x-8)^2$ — 전부 제14장의 공식. 이 장의 방법으로 풀어도 같은 답이 나온다. **빈번한 오류**: (3)에서 $64$ 를 보고 $8$ 을 떠올리지 못해 $1{\cdot}64$, $2{\cdot}32$ 만 세다가 중단한다. $8 \times 8 = 64$, $8+8=16$ 이다.
9. (1) $2(x+2)(x+3)$  (2) $3(x-3)(x+2)$ — **공통인수를 먼저 빼고, 그다음에 이 장의 방법을 적용한다.** 두 단계이다. **빈번한 오류**: $2(x^2+5x+6)$ 에서 멈춘다. 괄호 안이 더 분해되면 아직 끝난 것이 아니다.
10. **$x^2+4x+5$**. 곱이 $5$ 인 정수 쌍은 $1 \times 5$ 와 $(-1) \times (-5)$ 뿐인데 합이 각각 $6$ 과 $-6$ 이라 $4$ 가 나올 수 없다. (나머지는 $(x+1)(x+3)$, $(x+2)^2$, $(x-1)(x+5)$.) 이런 식은 이후 근의 공식으로 처리한다.
11. $x+6$ — $x^2+9x+18 = (x+3)(x+6)$. 가로가 $x+3$ 이므로 세로는 $x+6$.
12. $4x+18$ — 둘레 $= 2\{(x+3)+(x+6)\} = 2(2x+9) = 4x+18$. **빈번한 오류**: 넓이 식을 그대로 $2$ 배 한다. 둘레는 넓이가 아니라 **변의 길이**에서 나온다. 인수분해를 해야 변의 길이를 알 수 있다 — 이것이 인수분해를 사용하는 실제 이유이다.
13. $b = 7, 8, 13, -7, -8, -13$ — 곱이 $12$ 인 정수 쌍: $(1,12) \to 13$, $(2,6) \to 8$, $(3,4) \to 7$. 부호를 둘 다 뒤집은 경우까지 하면 $-13, -8, -7$. 총 $6$ 개. **빈번한 오류**: 음수 쌍을 빠뜨리고 $3$ 개만 쓴다.
14. (1) $(2x+1)(x+3)$ — $x^2$ 의 계수가 $1$ 이 아닌 경우로, 앞에서 다룬 그대로이다.
    (2) $(x-1)(x+1)(x-2)(x+2)$ — $x^2$ 를 한 덩어리로 보면 "곱이 $4$, 합이 $-5$ 인 두 수"는 $-1$ 과 $-4$. 그래서 $(x^2-1)(x^2-4)$. 여기서 멈추면 안 된다. 둘 다 합차 공식(제14장)으로 한 번 더 분해된다. **빈번한 오류**: $(x^2-1)(x^2-4)$ 에서 끝낸다. 분해할 수 있으면 끝까지 분해한다.
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### 추가 연습문제

총 $30$ 문제이다. 부호별로 묶어 배치했다 — 앞쪽은 부호 패턴이 같고 뒤로 갈수록 부호가 섞인다. 여기서도 규칙은 하나이다 — 모든 답을 전개로 검산한 뒤에 정답을 확인한다.

**둘 다 $+$ (표 1행)**

1. $x^2+3x+2$  2. $x^2+5x+4$  3. $x^2+6x+5$  4. $x^2+7x+10$  5. $x^2+8x+12$  6. $x^2+9x+14$  7. $x^2+10x+16$  8. $x^2+11x+30$

**둘 다 $-$ (표 2행)**

9. $x^2-3x+2$  10. $x^2-5x+4$  11. $x^2-7x+10$  12. $x^2-8x+12$  13. $x^2-9x+14$  14. $x^2-11x+30$  15. $x^2-10x+24$  16. $x^2-12x+35$

**부호 다름 (표 3·4행)**

같은 숫자 쌍을 부호만 바꿔 연달아 배치했다. $17$ 번과 $18$ 번을 나란히 놓고 무엇이 달라졌는지 확인한다.

17. $x^2+x-6$  18. $x^2-x-6$  19. $x^2+4x-12$  20. $x^2-4x-12$  21. $x^2+5x-14$  22. $x^2-5x-14$  23. $x^2+2x-35$  24. $x^2-2x-35$

**혼합 · 회수 · 서술**

25. $x^2+7x+12$
26. $x^2-5x+6$
27. $x^2-x-12$
28. $3x^2+6x-24$ (공통인수를 먼저 뺀다. 끝까지 분해한다)
29. $x^2+bx+18$ 이 정수 범위에서 인수분해되도록 하는 **양수** $b$ 를 모두 구하라.
30. 어떤 사람이 $x^2-5x-6$ 을 $(x-2)(x-3)$ 이라고 답했다. 무엇이 틀렸는지, 그리고 어떻게 확인할 수 있는지 **두 문장**으로 쓰라. 그다음 올바른 답을 구하라.

:::{admonition} 정답과 해설
:class: dropdown
1. $(x+1)(x+2)$  2. $(x+1)(x+4)$  3. $(x+1)(x+5)$  4. $(x+2)(x+5)$  5. $(x+2)(x+6)$  6. $(x+2)(x+7)$  7. $(x+2)(x+8)$  8. $(x+5)(x+6)$

9. $(x-1)(x-2)$  10. $(x-1)(x-4)$  11. $(x-2)(x-5)$  12. $(x-2)(x-6)$  13. $(x-2)(x-7)$  14. $(x-5)(x-6)$  15. $(x-4)(x-6)$  16. $(x-5)(x-7)$

17. $(x+3)(x-2)$  18. $(x-3)(x+2)$  19. $(x+6)(x-2)$  20. $(x-6)(x+2)$  21. $(x+7)(x-2)$  22. $(x-7)(x+2)$  23. $(x+7)(x-5)$  24. $(x-7)(x+5)$

25. $(x+3)(x+4)$  26. $(x-2)(x-3)$  27. $(x-4)(x+3)$

28. $3(x+4)(x-2)$ — **두 단계이다.** 먼저 공통인수 $3$ 을 빼서 $3(x^2+2x-8)$, 그다음 괄호 안을 이 장의 방법으로 분해한다. **빈번한 오류**: $3(x^2+2x-8)$ 에서 멈춘다.

29. $b = 9, 11, 19$ — 곱이 $18$ 인 양수 쌍: $(1,18) \to 19$, $(2,9) \to 11$, $(3,6) \to 9$. (문제에서 양수 $b$ 만 물었으므로 $-19, -11, -9$ 는 답이 아니다. 음수까지 포함하면 $6$ 개이다.)

30. 예시 답안: "$(x-2)(x-3)$ 을 전개하면 $x^2-5x+6$ 이 되는데, 원식의 상수는 $+6$ 이 아니라 $-6$ 이다. 상수가 음수이므로 두 수의 부호가 서로 달라야 하는데 둘 다 음수로 잡은 것이 잘못이다." 올바른 답: $(x-6)(x+1)$ — 곱 $-6$, 합 $-5$. 부호가 다르고 절댓값이 큰 쪽($6$)이 음수(표 4행). 검산 $(x-6)(x+1) = x^2+x-6x-6 = x^2-5x-6$ ✔. 전개로 확인하면 즉시 판별된다. 이 문항의 목적은 정답보다 **검산 절차의 습관화**이다.
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## 요약과 다음 장

이 장의 핵심은 한 문장이다. **$x^2+bx+c$ 를 인수분해하는 것은 곱해서 $c$, 더해서 $b$ 인 두 수를 찾는 일이다.** 여기에 두 가지를 더했다 — 부호는 추측이 아니라 표로 판단한다는 것, 그리고 모든 인수분해는 되전개하면 곧바로 검산된다는 것.

부호 규칙 표의 네 행이 정착되면, $x^2-x-12$ 처럼 부호가 섞인 식도 같은 절차로 처리된다.

지금까지는 $x^2-5x+6$ 을 $(x-2)(x-3)$ 이라는 **식**으로 분해했고, $x$ 의 값은 아직 구하지 않았다. [제16장](ch16.md)에서 이 식 뒤에 $=0$ 을 붙인다. 그러면 식은 두 개의 답을 내놓는다. 그 이유와, $1200$ 년 전 바그다드에서 정사각형을 직접 그려 이 문제를 풀어 낸 방법을 다음 장에서 다룬다.