# 제4장 · 소수와 분수의 연결

:::{admonition} 이 장
:class: seealso

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|---|---|
| **원본 코드** | R1-W04 |
| **선행 내용** | 제3장 — 분수의 곱셈·나눗셈 |
| **요지** | 소수는 분모가 $10$, $100$, $1000$ 인 **분수**이다. 이 관계를 이용하면 $0.1 \times 0.1 = 0.01$ 도, 분수↔소수 변환도, 어림도 하나의 원리로 설명된다. |
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## 도입

다음 두 계산을 비교한다. $0.1 + 0.1$ 의 값은 $0.2$ 이다. 그러면 $0.1$ 과 $0.1$ 의 **곱**은 얼마인가.

$$0.1 + 0.1 = 0.2, \qquad 0.1 \times 0.1 = \ ?$$

이 물음에 $0.2$ 라고 답하는 경우가 많다. 덧셈과 곱셈을 동일한 규칙으로 처리한 결과이다. $0.1$ 이라고 답하는 경우도 있다. "$1$ 을 곱하면 값이 그대로다"라는 규칙이 남은 것인데, $0.1$ 은 $1$ 이 아니다. 정답은 $0.01$ 이다. 그런데 정답을 쓴 경우에도 이유를 물으면 대개 "소수점을 두 칸 옮기니까"라고 답한다. **이는 규칙에 대한 서술이지 이유에 대한 설명이 아니다.**

같은 두 수인데 더하면 자리가 유지되고 곱하면 자리가 한 칸 오른쪽으로 이동한다. 이 차이의 원인을 규명하는 것이 이 장의 주제이다. 그 답은 앞 장에서 다룬 **분수 곱셈** 안에 이미 들어 있다. $0.1$ 을 $\dfrac{1}{10}$ 으로 바꿔 쓰면 계산의 구조가 드러난다.

이 장의 핵심 명제는 하나이다. **소수는 분모가 $10$, $100$, $1000$ 인 분수를 짧게 쓴 표기이다.** 이 관계를 이용하면 소수의 곱셈, 분수와 소수 사이의 변환, 계산 전에 답의 크기를 가늠하는 어림이 모두 같은 원리로 설명된다.

## 소수는 분모가 10, 100, 1000인 분수다

소수점 오른쪽의 각 자리는 $\dfrac{1}{10}$, $\dfrac{1}{100}$, $\dfrac{1}{1000}$ 짜리 자리이다. 자릿값 표를 소수점 왼쪽과 오른쪽이 대칭이 되도록 놓으면 이 구조가 한눈에 드러난다.

```{image} /_static/figs/ch04_placevalue.svg
:alt: 소수의 자릿값 표
:width: 560px
:align: center
:class: chfig
```

왼쪽으로 한 칸 이동할 때마다 자리의 크기가 $10$ 배가 된다. 일, 십, 백의 순서이다. 마찬가지로 **오른쪽으로 한 칸 이동할 때마다 자리의 크기가 $10$ 분의 $1$ 이 된다.** 소수점은 다른 규칙이 시작되는 경계가 아니다. 같은 규칙이 오른쪽으로 이어질 뿐이다.

$$347.528 = 300 + 40 + 7 + \frac{5}{10} + \frac{2}{100} + \frac{8}{1000}$$

$0.5$ 의 $5$ 는 $5$ 가 아니라 **$10$ 분의 $1$ 이 다섯 개**라는 뜻이다. $0.02$ 의 $2$ 는 $100$ 분의 $1$ 이 두 개이다. 자릿값을 이렇게 말로 읽으면 이 장의 나머지 내용이 모두 이 규칙에서 따라 나온다.

금액으로 환산해도 같은 구조이다. $1000$ 원을 $1$ 이라고 하면 $100$ 원짜리는 $0.1$, $10$ 원짜리는 $0.01$ 이다. $100$ 원짜리 열 개가 $1000$ 원이다. 이것이 자릿값이다.

## 분수를 소수로, 소수를 분수로

같은 수를 두 가지 표기로 쓰는 것이므로, 두 표기 사이의 변환은 단순하다.

**방법 1 — 분모를 $10$ 의 거듭제곱으로 키운다.** 분모가 $2$ 와 $5$ 로만 이루어졌을 때 사용할 수 있다.

$$\frac{3}{4} = \frac{3 \times 25}{4 \times 25} = \frac{75}{100} = 0.75$$

$4$ 에 $25$ 를 곱하면 $100$ 이 된다. 분자와 분모에 똑같이 곱한다. 앞에서 다룬 통분과 같은 과정이다.

$$\frac{5}{8} = \frac{5 \times 125}{8 \times 125} = \frac{625}{1000} = 0.625$$

$8 \times 125 = 1000$ 이라는 관계를 기억해 두면 계산이 빠르다. $\dfrac{1}{8} = 0.125$ 를 그대로 기억해 두는 경우도 많다.

**방법 2 — 분자를 분모로 나눈다.** 이 방법은 모든 경우에 적용된다.

$$\frac{a}{b} = a \div b$$

분수 막대는 **나눗셈 기호**이다. 위를 아래로 나눈다. $5 \div 8 = 0.625$ 이다. 방법 1의 변환이 보이지 않으면 이 방법을 사용한다.

**소수를 분수로 바꾸는 변환은 더 단순하다. 읽는 대로 쓰면 된다.**

$$0.375 = \frac{375}{1000} = \frac{375 \div 125}{1000 \div 125} = \frac{3}{8}$$

$0.375$ 는 "$1000$ 분의 $375$"로 읽는다. 읽은 대로 쓴 다음 약분한다. 소수점 아래 자릿수가 곧 분모에 붙는 $0$ 의 개수이다. 세 자리이면 분모가 $1000$ 이다.

$$0.6 = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}, \qquad 0.06 = \frac{6}{100} = \frac{3}{50}$$

자릿수가 한 자리이면 분모가 $10$, 두 자리이면 $100$ 이다. $0.06$ 을 $\dfrac{6}{10}$ 이라고 쓰면 안 된다. "$100$ 분의 $6$"이다.

### 안 끝나는 소수

모든 분수가 유한소수로 표현되지는 않는다.

$$\frac{1}{3} = 1 \div 3 = 0.333\ldots$$

$3$ 이 끝없이 반복된다. 이러한 소수를 **순환소수**라고 하고 $0.\dot{3}$ 처럼 점을 찍어 쓰기도 한다. 어떤 분수는 유한소수가 되고 어떤 분수는 그렇지 않다.

$$\frac{1}{2},\ \frac{1}{4},\ \frac{1}{5},\ \frac{1}{8},\ \frac{1}{20},\ \frac{1}{25} \ \Rightarrow \ \text{끝난다}$$

$$\frac{1}{3},\ \frac{1}{6},\ \frac{1}{7},\ \frac{1}{9},\ \frac{1}{12} \ \Rightarrow \ \text{안 끝난다}$$

두 목록을 가르는 기준이 있다. 목록을 통째로 외우는 대신 이 기준을 파악하면 된다. 먼저 분모를 **곱셈으로 끝까지 분해**한다.

$$10 = 2 \times 5, \qquad 100 = 2 \times 2 \times 5 \times 5, \qquad 1000 = 2 \times 2 \times 2 \times 5 \times 5 \times 5$$

$10$, $100$, $1000$ 은 끝까지 분해해도 $2$ 와 $5$ 만 나온다. 이처럼 **곱해서 그 수를 만드는 재료를 인수라고 한다.** $100$ 의 인수는 $2$ 와 $5$ 뿐이다.

판별 기준은 한 문장으로 정리된다. **분모를 끝까지 분해했을 때 $2$ 와 $5$ 만 나오면 유한소수이고, $3$ 이나 $7$ 이 하나라도 섞여 있으면 유한소수가 아니다.**

$$8 = 2 \times 2 \times 2 \ \Rightarrow \ \text{끝난다}, \qquad 20 = 2 \times 2 \times 5 \ \Rightarrow \ \text{끝난다}$$

$$6 = 2 \times 3 \ \Rightarrow \ \text{안 끝난다}, \qquad 12 = 2 \times 2 \times 3 \ \Rightarrow \ \text{안 끝난다}$$

$\dfrac{1}{12}$ 로 확인한다. 분모를 아무리 키워도 그 안의 $3$ 은 사라지지 않는다. 그런데 $10$ 에도 $100$ 에도 $1000$ 에도 $3$ 은 없다. 따라서 $\dfrac{1}{12}$ 을 분모가 $10$, $100$, $1000$ 인 분수로 바꿀 방법이 존재하지 않는다. 실제로 나누면 $1 \div 12 = 0.08333\ldots$ 으로 끝나지 않는다.

$10$, $100$, $1000$ 을 분해하면 $2$ 와 $5$ 만 나온다. 따라서 **분모에 $2$ 와 $5$ 이외의 인수가 들어 있으면** 아무리 키워도 $10$ 의 거듭제곱이 될 수 없다. 이것이 소수가 끝나지 않는 이유이다. 계산 방법의 문제가 아니라 그 수의 성질이다. (여기서 "$10$ 의 거듭제곱"이란 $10$, $100$, $1000$ 처럼 $10$ 을 거듭 곱해 만든 수를 말한다.)

반대로 $0.333\ldots$ 에서 $\dfrac{1}{3}$ 을 복원할 수도 있다. $x = 0.333\ldots$ 이라 두고 $10x$ 를 만드는 방법인데, 이 절차는 문자와 방정식을 다룬 뒤에 적용할 수 있다. 이 장에서는 "안 끝나는 소수가 있다"는 사실까지만 다룬다.

## 0.1 × 0.1 = 0.01 인 이유

도입에서 제시한 두 식으로 돌아간다. 이번에는 양쪽을 모두 분수로 바꿔 쓴다.

$$0.1 + 0.1 = \frac{1}{10} + \frac{1}{10} = \frac{2}{10} = 0.2$$

**같은 크기의 조각 두 개를 합한 것이다.** 조각의 크기는 변하지 않았다. 따라서 자리도 변하지 않는다. $\dfrac{1}{10}$ 짜리가 두 개이다.

$$0.1 \times 0.1 = \frac{1}{10} \times \frac{1}{10} = \frac{1}{100} = 0.01$$

곱셈은 구조가 다르다. **$\dfrac{1}{10}$ 의 $\dfrac{1}{10}$** 을 구한 것이다. 조각을 다시 분할했으므로 조각이 더 작아지고, 자리가 오른쪽으로 이동한다. 앞 장의 넓이 모형을 그대로 적용하면 이 관계가 그림으로 확인된다. 한 변이 $1$ 인 정사각형을 가로 $10$ 등분, 세로 $10$ 등분 한다.

```{image} /_static/figs/ch04_grid_hundredth.svg
:alt: 100칸 중 1칸이 0.1 곱하기 0.1
:width: 300px
:align: center
:class: chfig
```

가로 $10$ 칸, 세로 $10$ 칸이면 전체가 $100$ 칸이고 겹친 칸은 $1$ 칸이다. **$\dfrac{1}{100}$ 이다.** 분모끼리 곱해져 $100$ 이 나온 것이다. 새로운 규칙이 아니라 앞 장에서 다룬 분수 곱셈 규칙이다. 여기서 한 가지 성질이 함께 확인된다. **$0.1 \times 0.1$ 은 $0.1$ 보다 작다.** "$1$ 보다 작은 수를 곱하면 결과가 작아진다"는 성질이 여기서도 성립한다.

자릿수가 다른 경우도 같은 방식이다.

$$0.3 \times 0.04 = \frac{3}{10} \times \frac{4}{100} = \frac{12}{1000} = 0.012$$

분자끼리 $3 \times 4 = 12$, 분모끼리 $10 \times 100 = 1000$ 이다. 분모가 $1000$ 이므로 소수점 아래 **세 자리**가 된다. 학교에서 배운 "소수점 아래 자릿수를 더한다"는 규칙이 어디에서 나왔는지가 여기에서 드러난다.

$$\text{소수점 아래 } 1 \text{자리} \times \text{소수점 아래 } 2 \text{자리} = \text{소수점 아래 } 3 \text{자리}$$

분모끼리 곱해지면서 $0$ 의 개수가 더해진 것이다. 이 규칙을 폐기하라는 뜻이 아니다. **규칙 아래에 이유를 두는 것**이 이 장이 하는 일이다.

한 가지 주의할 경우가 있다. $0.5 \times 0.4$ 를 계산한다.

$$0.5 \times 0.4 = \frac{5}{10} \times \frac{4}{10} = \frac{20}{100} = 0.20 = 0.2$$

$0.20$ 이 나왔고 끝의 $0$ 은 생략할 수 있다. $\dfrac{20}{100} = \dfrac{2}{10}$ 이기 때문이다. "두 자리여야 하는데 왜 한 자리인가"라는 혼동이 여기에서 자주 발생한다. **자릿수를 더한다는 규칙이 틀린 것이 아니라, 약분이 가능한 경우이다.**

## 소수 나눗셈은 위아래에 똑같이 곱하는 것

$$0.6 \div 0.2 = \ ?$$

나눗셈의 의미를 다시 적용한다. "$0.6$ 안에 $0.2$ 가 몇 번 들어가는가"이다. $0.2$ 가 세 번이면 $0.6$ 이므로 답은 $3$ 이다. 분수로도 확인한다.

$$0.6 \div 0.2 = \frac{6}{10} \div \frac{2}{10} = \frac{6}{10} \times \frac{10}{2} = \frac{6}{2} = 3$$

$\dfrac{10}{10}$ 이 약분되어 결국 $6 \div 2$ 가 되었다. **학교에서 "소수점을 똑같이 옮겨라"라고 가르친 절차의 실체가 이것이다.** 소수점을 옮긴 것이 아니라 분자와 분모에 똑같이 $10$ 을 곱한 것이다. 분수에서 분자와 분모에 같은 수를 곱하면 값은 변하지 않는다. 통분에서 이미 사용한 과정이다.

$$1.2 \div 0.4 = \frac{12}{4} = 3, \qquad 0.36 \div 0.6 = \frac{36}{60} = 0.6$$

앞의 $1.2 \div 0.4$ 는 소수점 아래가 양쪽 다 한 자리이므로 분자와 분모에 $10$ 을 곱하면 끝난다. 그런데 $0.36 \div 0.6$ 은 **자릿수가 서로 다르다.** 소수 나눗셈에서 오류가 가장 자주 발생하는 지점이 여기이므로 단계별로 확인한다.

$$0.36 = \frac{36}{100}, \qquad 0.6 = \frac{6}{10} = \frac{60}{100}$$

**먼저 두 분모를 같게 맞춘다.** $0.6$ 을 $\dfrac{6}{10}$ 이 아니라 $\dfrac{60}{100}$ 으로 고쳐 쓰는 것이 이 계산의 핵심이다.

$$0.36 \div 0.6 = \frac{36}{100} \div \frac{60}{100} = \frac{36}{100} \times \frac{100}{60} = \frac{36}{60}$$

결과가 $\dfrac{36}{6}$ 이 아니라 $\dfrac{36}{60}$ 인 이유가 여기에 있다. $0.6$ 을 "$100$ 분의 몇"으로 다시 읽으면 $6$ 이 아니라 $60$ 이다. 원칙을 한 줄로 정리한다.

$$\text{자릿수가 다르면 } \textbf{긴 쪽에 맞춰 } \text{양쪽에 똑같은 수를 곱한다}$$

남은 $\dfrac{36}{60}$ 을 마저 계산한다. 분자와 분모를 $12$ 로 나누면 $\dfrac{3}{5}$ 이고, $\dfrac{3}{5} = \dfrac{6}{10} = 0.6$ 이다.

$$\frac{36}{60} = \frac{36 \div 12}{60 \div 12} = \frac{3}{5} = \frac{6}{10} = 0.6$$

여기에 의미에 따른 검산을 덧붙일 수 있다. "$0.36$ 안에 $0.6$ 이 몇 번 들어가는가"에서 $0.6$ 은 $0.36$ 보다 크므로 한 번도 들어가지 않는다. **따라서 답은 반드시 $1$ 보다 작다.** 결과가 $0.6$ 이므로 조건에 맞는다.

$0.36 \div 0.6$ 의 답은 $0.6$ 이다. **나누었는데 값이 커졌다.** $0.6$ 은 $1$ 보다 작으므로 "$1$ 보다 작은 수로 나누면 결과가 커진다"는 성질이 그대로 성립한다. 수가 큰 경우도 같은 방식이다.

$$7.5 \div 0.25 = \frac{750}{25} = 30$$

분자와 분모에 똑같이 $100$ 을 곱했다. 검산하면 $0.25$ 가 네 개이면 $1$ 이므로 $30$ 개이면 $7.5$ 이다. 결과가 일치한다.

## 덧셈·뺄셈은 자리를 맞춘다

곱셈과 반대로, 소수의 덧셈·뺄셈은 **자리를 맞춰야 한다.**

$$2.5 + 0.75 = \ ?$$

소수점을 세로로 맞춰 쓰고, 자리가 비면 $0$ 을 채운다.

$$2.50 + 0.75 = 3.25$$

$2.5$ 를 $2.50$ 으로 쓰는 이유는 분수로 보면 분명하다. $\dfrac{50}{100} + \dfrac{75}{100} = \dfrac{125}{100}$ 이다. **$100$ 분의 조각끼리 더한 것이다.** 덧셈은 같은 크기의 조각끼리만 가능하다. 통분에서 확인한 내용과 같다.

$$\text{덧셈·뺄셈} \ \Rightarrow \ \text{소수점을 세로로 맞춘다}$$

$$\text{곱셈} \ \Rightarrow \ \text{맞출 필요 없다. 자릿수를 더한다}$$

덧셈에서는 자리를 맞추고, 곱셈에서는 맞추지 않는다. 두 규칙을 뒤섞는 데서 오류가 발생한다.

## 자릿수가 큰 곱셈도 같은 규칙이다

지금까지 다룬 소수 곱셈은 $0.3 \times 0.04$ 처럼 수가 작은 경우였다. 실제로는 $32.5 \times 1{,}680$ 과 같은 형태를 다루게 된다. 이 경우에도 규칙은 달라지지 않는다. 분수 표기로 바꾸어 처리한다.

$$32.5 = \frac{325}{10}$$

$$32.5 \times 1{,}680 = \frac{325}{10} \times 1{,}680 = \frac{325 \times 1{,}680}{10} = \frac{546{,}000}{10} = 54{,}600$$

가운데의 $325 \times 1{,}680$ 은 소수점이 없는 정수 곱셈이다. 이 계산도 분해하면 간단해진다. $325 \times 1{,}000 = 325{,}000$, $325 \times 680 = 221{,}000$, 합이 $546{,}000$ 이다. 제1장에서 다룬 "분해"가 여기에서도 사용된다.

이 계산을 학교에서 절차로 배운 방식과 나란히 놓고 비교한다.

| 분수로 본 것 | 절차로 배운 것 |
|---|---|
| $32.5 = \dfrac{325}{10}$ 으로 고친다 | 소수점을 떼고 $325$ 로 본다 |
| $325 \times 1{,}680 = 546{,}000$ | $325 \times 1{,}680 = 546{,}000$ |
| 마지막에 $10$ 으로 나눈다 | 소수점 아래가 한 자리였으니 한 칸 되돌린다 |

$10$ 으로 나누는 것과 소수점을 한 칸 왼쪽으로 옮기는 것은 **같은 연산**이다. "소수점을 떼고 곱한 뒤 자릿수만큼 찍는다"는 절차는 분모를 마지막에 처리하는 방식이다. 앞에서 세운 "분모끼리 곱한다"는 근거가 큰 수에서도 그대로 성립한다.

마지막으로 어림값과 대조한다. $30 \times 1{,}700 = 51{,}000$ 이다. 정확한 값 $54{,}600$ 과 자릿수가 같다.

## 어림 — 계산 전에 크기를 판단한다

계산하기 전에 답의 크기를 먼저 말하는 것을 어림이라고 한다. 어림은 실생활에서 자주 사용되는 계산이며, 소수점 위치의 오류를 스스로 검출하는 주된 방법이다.

계산기가 있어도 어림이 필요한 이유가 있다. **계산기는 입력한 대로 계산한다.** 소수점을 하나 잘못 입력하면 열 배 틀린 값을 그대로 출력한다. 이 오류를 검출하는 것은 계산기가 아니라 미리 계산해 둔 어림값이다.

$$6.4 \times 2.5 = \ ?$$

계산기가 $1.6$ 을 출력했다고 하자. $6.4$ 는 대략 $6$, $2.5$ 는 $2$ 와 반이다. $6 \times 2.5 = 15$ 이므로 **답은 $15$ 부근이어야 한다.** $1.6$ 은 이보다 열 배 작다. 정확한 계산을 하지 않고도 입력 오류를 판단할 수 있다. 실제 값은 $6.4 \times 2.5 = 16$ 이다. 앞 절의 방식으로 확인하면 $\dfrac{64}{10} \times \dfrac{25}{10} = \dfrac{1{,}600}{100} = 16$ 이다. 숫자 배열 $16$ 은 계산기가 정확히 산출한다. 오류가 발생하는 것은 **자리**이고, 자리는 어림으로 확인한다.

어림에는 몇 가지 방법이 있다.

**① 곱셈은 두 수를 가까운 쉬운 수로 바꾼다. 한쪽을 올렸으면 다른 쪽은 내린다.**

$$4.8 \times 3.1 \ \approx \ 5 \times 3 = 15 \qquad (\text{실제 } 14.88)$$

$4.8$ 을 $5$ 로 올렸으므로 $3.1$ 은 $3$ 으로 내린다. 두 오차가 서로 상쇄되어 어림값의 정확도가 높아진다.

**② 곱셈에 $0.5$, $0.25$ 가 보이면 분수로 바꾼다.**

$$0.49 \times 82 \ \approx \ \frac{1}{2} \times 80 = 40 \qquad (\text{실제 } 40.18)$$

$0.49$ 는 $\dfrac{1}{2}$ 에 가깝고, $82$ 의 반은 $41$ 이다. 암산으로 처리된다. **$0.5$ 는 반, $0.25$ 는 $4$ 분의 $1$, $0.2$ 는 $5$ 분의 $1$ 이다.** 이 세 가지 대응만으로 일상적인 어림 계산의 상당 부분이 처리된다.

**③ 나눗셈은 나누는 수를 "딱 떨어지는 수"로 바꾼다.**

$$58.8 \div 5.6 \ \approx \ 60 \div 6 = 10 \qquad (\text{실제 } 10.5)$$

**④ 덧셈은 반올림해서 앞자리만 더한다.**

$$3{,}900 + 12{,}400 + 8{,}700 \ \approx \ 4{,}000 + 12{,}000 + 9{,}000 = 25{,}000$$

정확히 더해도 $25{,}000$ 원이다. 합계가 $25{,}000$ 원인데 $30{,}000$ 원을 지불하고 거스름돈이 $1{,}000$ 원이면 계산에 오류가 있음을 그 자리에서 판단할 수 있다. 이것이 어림의 실제 용도이다.

한 예로 정리한다.

$$19.8 \times 0.51 \ \approx \ 20 \times \frac{1}{2} = 10 \qquad (\text{실제 } 10.098)$$

어림값은 $10$, 실제 값은 $10.098$ 이다. **어림의 목적은 정확한 값을 산출하는 것이 아니라 자릿수를 확인하는 것이다.** $10.098$ 이 나와야 할 자리에 $1.0098$ 이나 $100.98$ 이 나오면 즉시 오류를 판단할 수 있다.

## 빈번한 오류

:::{admonition} $0.1 \times 0.1$ 의 답을 맞혀도 이유는 "소수점 두 칸"뿐이다
:class: warning
"소수점 아래 자릿수를 더한다"는 규칙만 받아들이고, 그 규칙이 **분모끼리 곱해지는 데서 나왔다**는 근거는 받지 못한 상태이다. 근거 없는 규칙은 덧셈 규칙과 뒤섞여 저장되고, 그 결과 $0.1 \times 0.1$ 을 $0.2$ 나 $0.1$ 이라고 쓴다. 규칙을 다시 외우는 대신 **분수로 되돌리면** 구조가 분명해진다. $0.1 + 0.1 = \dfrac{1}{10} + \dfrac{1}{10} = \dfrac{2}{10}$ 은 같은 조각을 합한 것이므로 자리가 유지되고, $0.1 \times 0.1 = \dfrac{1}{10} \times \dfrac{1}{10} = \dfrac{1}{100}$ 은 조각을 다시 분할해 작아진 것이므로 자리가 오른쪽으로 이동한다.

*확인 문제*: $0.2 \times 0.4$ 를 계산하고 분수로도 쓰라. (답: $0.08$. $\tfrac{2}{10} \times \tfrac{4}{10} = \tfrac{8}{100}$.)
:::

:::{admonition} 소수점 뒤를 통째로 정수처럼 읽는다
:class: warning
$0.25 > 0.5$ 라고 답하거나("$25$ 가 $5$ 보다 크므로") $2.5 + 0.75 = 2.80$ 이라고 쓴다("$5$ 와 $75$ 를 더하면 $80$"). 자릿값이 소수점에서 끊긴다고 보고, 소수점 뒤를 "별개의 작은 정수"로 읽는 것이다. 금액으로 환산하면 확인된다. 천 원을 $1$ 이라 하면 $0.5$ 는 $500$ 원, $0.25$ 는 $250$ 원이므로 $0.5$ 가 크다. **숫자의 개수가 많다고 값이 큰 것이 아니다.** $0$ 을 채워 자릿수를 맞추면($0.5 = 0.50$) $50 > 25$ 가 드러난다. 덧셈도 마찬가지로 $2.5$ 를 $2.50$ 으로 쓴 뒤에 더한다.

*확인 문제*: $0.5$, $0.25$, $0.125$ 를 큰 것부터 나열하고 $2.5 + 0.75$ 를 계산하라. (답: $0.5 > 0.25 > 0.125$, 그리고 $3.25$.)
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:::{admonition} "소수점을 옮긴다"만 남아 방향을 틀린다
:class: warning
$1.5 \div 0.5$ 에서 소수점을 한쪽만 옮겨 $0.3$ 이나 $30$ 이라고 쓴다. 옮기는 이유를 모르므로 어느 쪽을 몇 칸 옮길지도 결정하지 못하는 것이다. 분수로 다시 쓰면 이 조작이 옮기는 것이 아니라 **분자와 분모에 똑같이 $10$ 을 곱하는 것**임이 드러난다. $1.5 \div 0.5 = \dfrac{1.5}{0.5} = \dfrac{15}{5} = 3$ 이다. 분자와 분모에 같은 수를 곱해야 값이 유지되므로 "한쪽만 옮긴다"는 조작은 성립하지 않는다. 의미로도 검산된다. "$1.5$ 안에 $0.5$ 가 몇 번 들어가는가"의 답은 세 번이다.

*확인 문제*: $2.4 \div 0.8$ 을 분수로 고쳐 계산하라. (답: $3$. $\tfrac{24}{8} = 3$.)
:::

:::{admonition} 분수를 소수로 바꿀 때 위아래를 헷갈린다
:class: warning
$\dfrac{3}{8}$ 을 소수로 바꾸라고 하면 $0.38$ 이라고 쓰거나 $8 \div 3 = 2.666\ldots$ 이라고 순서를 바꿔 나눈다. 분수 막대를 나눗셈 기호로 읽은 적이 없어서 $\dfrac{3}{8}$ 이 "$3$ 과 $8$"이라는 두 숫자로 저장되어 있는 것이다. 다음 관계를 기억한다. $\dfrac{a}{b} = a \div b$, **위를 아래로** 나눈다. 순서가 바뀌면 완전히 다른 수가 된다. 크기 감각으로도 확인할 수 있다. $\dfrac{3}{8}$ 은 $1$ 보다 작은데 $2.666$ 은 $1$ 보다 크므로, 답이 나온 시점에 오류를 판단할 수 있다.

*확인 문제*: $\dfrac{3}{8}$ 과 $\dfrac{8}{3}$ 을 각각 소수로 쓰라. (답: $0.375$ 와 $2.666\ldots$ — 완전히 다른 두 수이다.)
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## 연습문제

`A` 기본 · `B` 표준 · `C` 도전.

1. `A` 기약분수로 고쳐라. (1) $0.4$  (2) $0.25$  (3) $0.06$
2. `A` 소수로 고쳐라. (1) $\dfrac{1}{5}$  (2) $\dfrac{3}{8}$  (3) $\dfrac{9}{20}$
3. `A` 계산하라. $2.7 + 0.45$
4. `A` 계산하라. $3.6 - 1.85$
5. `A` 계산하라. (1) $0.3 \times 0.7$  (2) $0.6 \times 0.05$
6. `B` 계산하라. $1.25 \times 0.8$
7. `B` 계산하라. (1) $2.4 \div 0.6$  (2) $0.45 \div 0.9$
8. `B` **먼저 어림값을 쓰고**, 그다음 정확히 계산하라. $19.8 \times 0.51$
9. `B` 우유 $1.5$ L를 $0.25$ L짜리 컵에 나눠 담으면 몇 컵이 나오는가?
10. `B` 휘발유를 $32.5$ L 넣었다. $1$ 리터에 $1{,}680$ 원이면 얼마를 내야 하는가? (어림값을 먼저 쓰고 계산할 것)
11. `C` $\dfrac{1}{3} + 0.25$ 를 계산하라. 답을 **분수로** 쓰고, **소수로도** 써라.
12. `C` $0.1 + 0.1 = 0.2$ 인데 $0.1 \times 0.1 = 0.01$ 인 이유를, **분수를 써서** 두세 문장으로 설명하라.

:::{admonition} 정답과 해설
:class: dropdown
1. (1) $\dfrac{2}{5}$ — $\dfrac{4}{10}$ 을 약분  (2) $\dfrac{1}{4}$ — $\dfrac{25}{100}$ 을 약분  (3) $\dfrac{3}{50}$ — $\dfrac{6}{100}$ 을 약분. **빈번한 오류**: $\dfrac{6}{10}$ 이라고 쓴다. $0.06$ 은 "$100$ 분의 $6$"이다. 자릿수가 두 자리이면 분모는 $100$ 이다.
2. (1) $0.2$  (2) $0.375$ — $3 \div 8$. **빈번한 오류**: $0.38$ 이라고 쓴다(분자와 분모를 그대로 붙여 읽은 것).  (3) $0.45$ — $\dfrac{9}{20} = \dfrac{45}{100}$
3. $3.15$ — $2.70 + 0.45$. **빈번한 오류**: $2.72$ (오른쪽 끝을 맞춰서 더한 것).
4. $1.75$ — $3.60 - 1.85$. 빈 자리에 $0$ 을 채우고 세로셈으로 계산한다.
5. (1) $0.21$  (2) $0.03$ — $\dfrac{6}{10} \times \dfrac{5}{100} = \dfrac{30}{1000} = 0.030$. 끝의 $0$ 을 생략해 $0.03$ 이다.
6. $1$ — $\dfrac{125}{100} \times \dfrac{8}{10} = \dfrac{1000}{1000} = 1$. 어림으로 검산하면 $1.25$ 는 $1$ 보다 조금 크고 $0.8$ 은 $1$ 보다 조금 작으므로 답은 $1$ 부근이다. 실제로 $1$ 이다.
7. (1) $4$ — $\dfrac{24}{6}$  (2) $0.5$ — 자릿수가 다르므로 긴 쪽에 맞춘다. $0.45 = \dfrac{45}{100}$, $0.9 = \dfrac{90}{100}$ 이므로 $\dfrac{45}{100} \div \dfrac{90}{100} = \dfrac{45}{90} = \dfrac{1}{2} = 0.5$. **$1$ 보다 큰 수로 나누었으므로 결과가 작아진다.**
8. 어림 $20 \times 0.5 = 10$. 실제 $10.098$. 어림값과 실제 값의 자릿수가 일치하면 계산이 타당하다.
9. **$6$ 컵** — $1.5 \div 0.25 = \dfrac{150}{25} = 6$. 의미로는 $0.25$ 가 네 개이면 $1$ 이므로 $1.5$ 에는 여섯 개가 들어간다.
10. **$54{,}600$ 원** — $32.5 \times 1{,}680$. 어림 $30 \times 1{,}700 = 51{,}000$ 원. 실제 값과 자릿수가 같다. **빈번한 오류**: $5{,}460$ 원 또는 $546{,}000$ 원. 어림값을 먼저 계산하면 즉시 검출된다.
11. 분수 $\dfrac{7}{12}$, 소수 $0.58333\ldots$ ($0.58\dot{3}$) — $\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{4}{12} + \dfrac{3}{12} = \dfrac{7}{12}$. **핵심**: $\dfrac{1}{3}$ 은 유한소수가 아니므로 **분수로 계산하는 편이 정확하다.** 소수 표기가 항상 유리한 것은 아니다. 분모가 $3$, $7$, $9$ 와 같은 수이면 분수 표기가 낫다.
12. 예시 답안: "$0.1$ 은 $\dfrac{1}{10}$ 이다. 덧셈은 $\dfrac{1}{10} + \dfrac{1}{10} = \dfrac{2}{10}$ 이라 조각의 크기가 유지되므로 자리도 유지된다. 곱셈은 $\dfrac{1}{10} \times \dfrac{1}{10} = \dfrac{1}{100}$ 이라 조각을 다시 분할하므로 자리가 한 칸 이동한다." — 핵심은 **분모끼리 곱해진다**는 점을 언급하는 것이다. "$\dfrac{1}{10}$ 의 $\dfrac{1}{10}$ 이므로"라고만 써도 정답으로 처리한다.
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### 추가 연습문제

소수 계산 $25$ 문제와 분수·소수 변환 $15$ 문제, 모두 $40$ 문제이다. $18$ 번부터는 **어림값을 먼저 적고** 계산한다.

**소수 덧셈·뺄셈** — 자리를 세로로 맞춰 쓰고 빈 자리에는 $0$ 을 채운다.

1. $0.7 + 0.4$  2. $2.5 + 1.35$  3. $0.8 - 0.35$  4. $4 - 1.6$  5. $3.14 + 0.86$  6. $10 - 0.05$  7. $1.25 + 0.5 + 0.25$  8. $6.2 - 3.75$

**소수 곱셈·나눗셈**

9. $0.4 \times 0.2$  10. $0.3 \times 0.03$  11. $1.5 \times 0.6$  12. $2.5 \times 0.4$  13. $0.25 \times 8$  14. $0.9 \div 0.3$  15. $2.4 \div 0.8$  16. $0.56 \div 0.7$  17. $7.5 \div 0.25$

**어림 + 문장제** — $18$ 번부터 $22$ 번까지는 어림값을 먼저 쓰고 그 아래에 정확한 답을 쓴다.

18. $9.8 \times 5.1$  19. $0.48 \times 200$  20. $48.6 \div 6$
21. 우유 한 팩이 $2{,}450$ 원이다. $4$ 팩이면 얼마인가?
22. 휘발유 $1$ 리터에 $1{,}650$ 원이다. $28.4$ 리터를 넣으면 얼마인가?
23. 주스 $1.8$ L를 $0.3$ L짜리 병에 나눠 담으면 몇 병인가?
24. 삼겹살을 $0.65$ kg 샀다. $100$ g에 $3{,}200$ 원이면 얼마인가?
25. 무게가 $0.25$ kg인 물건 $12$ 개의 총 무게는 몇 kg인가?

**분수와 소수의 변환** — $26$ 번부터 $33$ 번까지는 소수를 **기약분수**로 고친다.

26. $0.5$  27. $0.75$  28. $0.2$  29. $0.35$  30. $0.125$  31. $0.06$  32. $0.375$  33. $1.4$

$34$ 번부터 $40$ 번까지는 분수를 **소수**로 고친다. 유한소수가 아닌 것이 있으면 "안 끝난다"라고 쓰고 소수 넷째 자리까지만 적는다.

34. $\dfrac{1}{4}$  35. $\dfrac{3}{5}$  36. $\dfrac{7}{8}$  37. $\dfrac{9}{25}$  38. $\dfrac{11}{20}$  39. $\dfrac{2}{3}$  40. $\dfrac{5}{6}$

:::{admonition} 정답과 해설
:class: dropdown
1. $1.1$  2. $3.85$  3. $0.45$  4. $2.4$  5. $4$  6. $9.95$  7. $2$  8. $2.45$

9. $0.08$  10. $0.009$  11. $0.9$  12. $1$  13. $2$  14. $3$  15. $3$  16. $0.8$  17. $30$

18. 어림 $10 \times 5 = 50$ / 실제 $49.98$
19. 어림 $0.5 \times 200 = 100$ / 실제 $96$
20. 어림 $48 \div 6 = 8$ / 실제 $8.1$
21. 어림 $2{,}500 \times 4 = 10{,}000$ 원 / 실제 **$9{,}800$ 원**
22. 어림 $1{,}600 \times 30 = 48{,}000$ 원 / 실제 **$46{,}860$ 원**. **빈번한 오류**: $4{,}686$ 원 또는 $468{,}600$ 원. 어림값을 먼저 계산하면 자릿수 오류가 검출된다.
23. **$6$ 병** — $1.8 \div 0.3 = \dfrac{18}{3} = 6$
24. **$20{,}800$ 원** — $0.65$ kg은 $650$ g이다. $100$ g 단위가 $6.5$ 개이므로 $6.5 \times 3{,}200$ 이다. **빈번한 오류**: $0.65 \times 3{,}200 = 2{,}080$ 원. 단위가 kg인지 $100$ g인지 먼저 맞춰야 한다.
25. **$3$ kg** — $0.25 \times 12$. $0.25$ 가 네 개이면 $1$ kg이므로 $12$ 개이면 $3$ kg이다. 암산으로 계산된다.

26. $\dfrac{1}{2}$  27. $\dfrac{3}{4}$  28. $\dfrac{1}{5}$  29. $\dfrac{7}{20}$  30. $\dfrac{1}{8}$  31. $\dfrac{3}{50}$  32. $\dfrac{3}{8}$  33. $\dfrac{7}{5}$ (또는 $1\dfrac{2}{5}$)

34. $0.25$  35. $0.6$  36. $0.875$  37. $0.36$  38. $0.55$
39. $0.6666\ldots$ — **안 끝난다.** 분모 $3$ 에 $2$ 도 $5$ 도 아닌 인수가 있다.
40. $0.8333\ldots$ — **안 끝난다.** $6 = 2 \times 3$ 이고, 그 $3$ 이 원인이다.
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## 요약과 다음 장

이 장의 핵심은 다음 한 문장이다. **소수는 분모가 $10$, $100$, $1000$ 인 분수를 짧게 쓴 표기이다.** 자릿값이 소수점 오른쪽으로도 이어진다는 것, 그래서 $0.1 \times 0.1 = 0.01$ 은 소수점을 옮긴 결과가 아니라 $\dfrac{1}{10} \times \dfrac{1}{10} = \dfrac{1}{100}$ 으로 분모끼리 곱해진 결과라는 것을 확인했다. 분수와 소수 사이의 변환은 "읽는 대로 쓰기"였고, 나눗셈의 "소수점 옮기기"는 분자와 분모에 똑같은 수를 곱하는 통분의 다른 이름이었다. 그리고 어림은 계산기가 검출하지 못하는 **자릿수 오류를 스스로 확인하는 방법**이다.

여기까지 다룬 수는 전부 $0$ 보다 큰 수였다. [제5장](ch05.md)에서는 $0$ 보다 **작은** 수를 다룬다. 겨울 아침 기온, 통장 잔액, 지하 주차장 층수가 그 예이다. 일상에서 이미 사용하는 수이지만 계산 규칙, 특히 $-5 - (-8)$ 과 같은 형태에서 오류가 빈번하다. 제5장에서 그 규칙을 다룬다.