# 제33장 · 미적분의 기본정리 (FTC) :::{admonition} 이 장 :class: seealso | | | |---|---| | **원본 코드** | R3-W13 | | **선행 내용** | 제32장(적분의 도입) | | **요지** | 미분과 적분은 서로의 역연산이다 — 넓이 문제와 접선 문제는 하나의 문제다. | ::: ## 도입 곡선 아래의 넓이를 왼쪽 끝에서부터 오른쪽으로 조금씩 넓혀 간다고 하자. 곡선이 **높은 자리**를 지날 때와 **낮은 자리**를 지날 때, 넓이가 늘어나는 속도가 같은지 다른지가 이 장의 출발점이 되는 물음이다. 이 물음의 답은 이 장의 중간에서 한 문장으로 주어진다. 지금까지 미적분에서 다룬 내용은 두 갈래였다. 한쪽은 **기울기**에 관한 것이다. 구불구불한 곡선에 접하는 직선 하나를 어떻게 찾는가 — 이것이 접선과 변화율, 곧 미분이다. 다른 한쪽은 **넓이**에 관한 것이다. 곡선과 $x$ 축 사이 영역의 넓이가 얼마인가 — 이것이 정적분이다. 두 주제는 겉으로는 서로 관련이 없어 보인다. 한쪽은 한 점에서의 국소적인 양을 다루고, 다른 한쪽은 구간 전체에 걸쳐 누적된 양을 다룬다. ```{image} /_static/figs/ch33_twocol.svg :alt: 접선 문제와 넓이 문제를 잇는 기본정리 :width: 560px :align: center :class: chfig ``` 역사적으로도 두 문제는 따로 발전했다. 넓이 문제는 아르키메데스가 2200년 전에 시작했고, 접선 문제는 1600년대에 페르마가 다루었다. **약 2000년 동안 두 문제는 서로 다른 문제로 취급되었다.** 1660년대에 뉴턴과 라이프니츠는 각각 독립적으로 같은 사실에 도달했다. 이 두 갈래가 사실은 하나였다는 것이다. 한쪽 문제를 풀 수 있으면 다른 쪽 문제도 함께 풀린다. 이 사실을 진술하는 것이 **미적분의 기본정리(Fundamental Theorem of Calculus, FTC)**다. 이름에 '기본정리'가 붙은 이유는 다음과 같다. 이 정리가 없으면 미분과 적분은 서로 다른 두 개의 기술이고, 이 정리에 의해 두 기술이 하나의 체계로 묶인다. 이 장에서 두 갈래가 하나로 연결된다. ## 넓이를 함수로 본다 앞 장까지 정적분은 **숫자 하나**였다. $\displaystyle\int_0^1 x^2\,dx$ 는 넓이라는 숫자 하나였다. 이 장에서는 오른쪽 끝을 고정하지 않고 **변수로 둔다**. 오른쪽 끝을 $x$ 라고 부르면, $x$ 를 오른쪽으로 옮길수록 넓이가 늘어난다. 넓이가 $x$ 에 따라 변한다. $x$ 마다 하나의 값이 대응하므로 이것은 **함수**다. $$A(x) = \int_a^x f(t)\,dt$$ 이것을 **넓이 함수**라고 부른다. $x$ 를 넣으면 $a$ 부터 $x$ 까지의 넓이를 돌려주는 함수다. 여기서 표기를 정리한다. 안에 $t$ 라고 쓴 이유는 다음과 같다. 바깥의 $x$ 는 **오른쪽 끝의 위치**이고, 안의 $t$ 는 $a$ 부터 $x$ 까지 **훑고 지나가는 변수**다. 역할이 다르므로 이름을 다르게 쓴다. 고정된 값과 구간을 훑는 값을 같은 문자로 쓰면 두 역할을 구별할 수 없다. $t$ 자리에는 다른 문자를 써도 된다. $s$ 로 써도 결과는 같다. **결과에 $t$ 는 남지 않는다.** 간단한 예로 확인한다. $f(t) = 3$ (높이 $3$ 인 수평선), $a = 0$ 이면 넓이는 가로 $x$, 세로 $3$ 인 직사각형이다. $$A(x) = \int_0^x 3\,dt = 3x$$ 이 $A(x) = 3x$ 를 **미분하면** 다음을 얻는다. $$A'(x) = 3 = f(x)$$ 원래 높이 $3$ 이 그대로 나왔다. 다른 예를 하나 더 확인한다. $f(t) = 2t$ (원점을 지나는 직선), $a = 0$ 이면 넓이는 밑변 $x$, 높이 $2x$ 인 삼각형이다. $$A(x) = \int_0^x 2t\,dt = \frac{1}{2} \cdot x \cdot 2x = x^2$$ $$A'(x) = 2x = f(x)$$ 여기서도 같은 결과가 나왔다. 넓이 함수를 미분하면 **원래 함수의 높이**가 그대로 나온다. 두 경우 모두 같은 결과가 나온 것은 우연이 아니다. 이 사실이 성립하는 이유를 그림 한 장으로 확인한다. ## 넓이가 늘어나는 속도가 곧 높이다 (FTC 1) 오른쪽 끝 $x$ 를 아주 조금, $h$ 만큼 옮기면 넓이가 얼마나 늘어나는지를 본다. ```{image} /_static/figs/ch33_areafn.svg :alt: 넓이 함수 F(x)와 오른쪽 끝의 얇은 띠 :width: 380px :align: center :class: chfig ``` 점으로 칠한 부분이 원래 넓이 $A(x)$ 이고, 오른쪽 끝에 새로 붙은 **가느다란 세로 막대**가 늘어난 넓이다. $x$ 에서 $x+h$ 까지 늘어난 이 조각은 거의 **직사각형**이다. 위쪽이 약간 기울어 있지만, $h$ 가 아주 작으면 그 기울기가 넓이에 주는 영향은 무시할 수 있을 만큼 작다. 그 직사각형의 넓이를 쓰면 다음과 같다. $$A(x+h) - A(x) \approx f(x) \cdot h$$ 왼쪽은 늘어난 넓이다. $x+h$ 까지의 넓이에서 $x$ 까지의 넓이를 뺀 것이다. 오른쪽은 가느다란 직사각형의 넓이, 곧 **폭 곱하기 높이**다. 폭은 $h$, 높이는 그 자리의 함수값 $f(x)$ 다. 이 식이 이 장의 출발점이며, 이후의 과정은 이 식을 정리하는 것이다. 양변을 $h$ 로 나눈다. $$\frac{A(x+h) - A(x)}{h} \approx f(x)$$ 이 왼쪽 모양은 앞에서 다룬 형태다. **도함수를 정의할 때 쓴 차분몫** $\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$ 와 같은 꼴이다. 넓이 쪽에서 계산했는데 기울기 쪽의 식이 나타났다. **두 갈래가 연결되는 지점이 여기다.** 이제 $h$ 를 $0$ 으로 보낸다. 위쪽의 기울어진 부분이 사라지므로 근사가 등식이 된다. $$\lim_{h \to 0} \frac{A(x+h) - A(x)}{h} = f(x)$$ $$A'(x) = f(x)$$ 이것이 **미적분의 기본정리 1**이다. $$\boxed{\ A(x) = \int_a^x f(t)\,dt \quad \Longrightarrow \quad A'(x) = f(x)\ }$$ 넓이 함수의 도함수는 원래 함수다. 다르게 읽으면 — **넓이가 늘어나는 속도가 곧 그 자리의 높이다.** 이로써 도입에서 제기한 물음의 답이 나온다. 곡선이 높은 자리를 지날 때와 낮은 자리를 지날 때 넓이가 늘어나는 속도는 다르다. **높이가 곧 속도이기 때문이다.** 높은 자리에서는 넓이가 빠르게 늘고, 낮은 자리에서는 천천히 는다. 이 결과를 수치로 확인한다. 앞의 예에서 $f(t) = 2t$, $A(x) = x^2$ 였다. $$A(3) = 9 \qquad A(3.1) = 9.61 \qquad \text{늘어난 넓이} = 9.61 - 9 = 0.61$$ $$\text{가느다란 직사각형} = f(3) \cdot h = 6 \times 0.1 = 0.6$$ 두 값 $0.61$ 과 $0.6$ 은 거의 같다. 차이인 $0.01$ 은 막대 꼭대기의 **작은 삼각형**, 곧 그림에서 위쪽 기울어진 부분에 해당한다. 그 값이 $h^2 = 0.01$ 이다. 대수로 확인하면 다음과 같다. $$A(x+h) - A(x) = (x+h)^2 - x^2 = 2xh + h^2$$ $$\frac{2xh + h^2}{h} = 2x + h \quad \xrightarrow{\ h \to 0\ } \quad 2x$$ $h$ 로 나누면 $2x + h$ 이고, $h$ 를 $0$ 으로 보내면 $2x$, 곧 $f(x)$ 다. 남는 삼각형은 $h$ 로 나눠도 $h$ 가 남으므로 $0$ 으로 보내면 사라진다. 근사가 아니라 정확한 등식이다. $h$ 를 줄이면 오차는 제곱으로 줄어든다 — $h = 0.01$ 이면 $A(3.01) - A(3) = 0.0601$, 직사각형은 $0.06$, 오차는 $0.0001$ 로 작아진다. 이것이 극한이 수행하는 역할이다. ## 거꾸로 묻기 — 부정적분과 적분상수 $C$ 지금까지는 왼쪽에서 오른쪽으로만 진행했다. 함수가 주어지면 미분하여 도함수를 얻었다. 이번에는 반대 방향으로 진행한다. **거꾸로 묻는 것이다.** $$\frac{d}{dx}(\ \ ?\ \ ) = 2x$$ 미분해서 $2x$ 가 되는 함수는 $x^2$ 이다. 그런데 그것 하나뿐이 아니다. $$\frac{d}{dx}(x^2) = 2x \qquad \frac{d}{dx}(x^2+1) = 2x \qquad \frac{d}{dx}(x^2-7) = 2x$$ **상수를 미분하면 $0$** 이므로, 뒤에 어떤 상수를 붙여도 도함수는 변하지 않는다. 따라서 미분해서 $2x$ 가 되는 함수는 하나가 아니라 **무수히 많다.** ```{image} /_static/figs/ch33_family.svg :alt: y=x²+C 곡선 다발 :width: 300px :align: center :class: chfig ``` 같은 모양의 곡선을 위아래로 평행이동해도 **각 점의 기울기는 변하지 않는다.** 그래프 전체를 $y$ 방향으로 $10$ 만큼 옮겨도 모든 점의 접선 기울기는 그대로다. 따라서 도함수만으로는 원래 함수가 어느 높이에 있었는지 결정할 수 없다. **높이 정보는 미분에서 사라진다.** 이것을 다음과 같이 쓴다. $$\int 2x\,dx = x^2 + C$$ 여기서 $C$ 는 **적분상수**이며, 어떤 상수든 될 수 있다는 뜻이다. 이렇게 쓴 것을 **부정적분**이라고 부른다. 정해지지 않았다는 뜻의 '부정'이다. 답이 하나가 아니라 **한 다발**이기 때문이다. $C$ 를 빠뜨리면 무수히 많은 답 중 하나만 쓴 것이므로 불완전하다. $C$ 는 나머지 답을 모두 포함한다는 표시다. 용어를 하나 더 정의한다. 미분해서 $f$ 가 되는 함수를 **하나씩** 가리킬 때, 그것을 $f$ 의 **역도함수**라고 부른다. $x^2$ 도, $x^2+1$ 도, $x^2-7$ 도 전부 $2x$ 의 역도함수다. 따라서 역도함수는 무수히 많고, **그 전부를 한 다발로 묶어 쓴 것이 부정적분** $x^2 + C$ 다. $$\textbf{역도함수} \ = \ \text{미분하면 } f \text{ 가 되는 함수 } \textbf{하나}$$ $$\textbf{부정적분} \ = \ \text{그런 함수 } \textbf{전부} \text{ 를 묶은 한 다발} \ (\text{그래서 } C \text{ 가 붙는다})$$ '역도함수'는 이후 계속 사용하는 용어다. 다음 절의 기본정리 2가 "역도함수를 **하나만** 찾으면 된다"는 정리이기 때문이다. 한 다발 전체가 아니라 그중 하나만 있으면 된다는 것이 그 정리의 핵심이다. 거듭제곱의 부정적분은 미분 규칙을 거꾸로 적용하여 얻는다. $x^5$ 를 미분하면 $5x^4$ 이다. 따라서 미분해서 $x^4$ 이 되게 하려면 미리 $5$ 로 나누어 두면 된다. $$\frac{d}{dx}\left(\frac{x^5}{5}\right) = \frac{5x^4}{5} = x^4 \qquad \Longrightarrow \qquad \int x^4\,dx = \frac{x^5}{5} + C$$ 일반형으로 정리하면 다음과 같다. $$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$$ **지수를 $1$ 올리고, 올린 지수로 나눈다.** 미분이 '지수를 앞으로 내리고 $1$ 내린다'였으므로 정확히 반대 절차다. 적분에는 검산 절차가 함께 따라온다. **부정적분의 결과를 미분하면 원래 피적분함수로 돌아온다.** 따라서 답의 정오를 스스로 확인할 수 있다. $$x^2 + C \ \xrightarrow{\ \text{미분}\ } \ 2x \quad \text{✔ 원래 식으로 돌아왔다}$$ 부정적분을 구한 뒤에는 항상 미분하여 원래 식으로 돌아오는지 확인한다. ## 역도함수 하나로 정적분을 끝낸다 (FTC 2) 남은 것은 다음 단계다. 넓이 함수 $A(x)$ 를 미분하면 $f(x)$ 다. 그런데 미분해서 $f(x)$ 가 되는 함수를 앞 절에서 **역도함수**라고 정의했다. 즉 $A(x)$ 는 $f$ 의 역도함수 중 하나다. $F$ 를 $f$ 의 임의의 역도함수라고 하자. $A$ 와 $F$ 는 둘 다 미분하면 $f$ 다. 앞의 곡선 다발 그림에서 확인했듯이, **둘은 상수만큼만 차이 난다.** 여기서 한 가지를 따로 확인해야 한다. 곡선 다발 그림이 보여 준 것은 "$x^2 + C$ 들은 도함수가 전부 같다"였다. 지금 필요한 것은 그 **반대 방향**이다 — "도함수가 같으면 상수 차이일 수밖에 없다." 방향이 다르므로 따로 확인한다. 확인은 다음과 같다. 차 함수를 하나 세운다. $$H(x) = A(x) - F(x) \quad \Longrightarrow \quad H'(x) = A'(x) - F'(x) = f(x) - f(x) = 0$$ $H$ 의 도함수가 어디서나 $0$ 이다. [제30장](ch30.md)에서 그래프를 도함수의 부호로 읽은 방법을 그대로 적용한다. $H' > 0$ 이면 증가하고 $H' < 0$ 이면 감소한다. 그런데 $H'$ 은 어디서나 $0$ 이므로 증가하지도 감소하지도 않는다. 증가하지도 감소하지도 않는 그래프는 **수평선**뿐이고, 수평선은 상수함수다. $$H(x) = C \quad \Longrightarrow \quad A(x) - F(x) = C$$ 앞 절의 평행이동을 반대 방향으로 읽어도 같은 결론이 나온다. 그래프를 $y$ 방향으로 옮겨도 각 점의 기울기는 변하지 않았다. 반대로, 모든 점에서 기울기가 완전히 같은 두 그래프는 하나를 $y$ 방향으로 평행이동한 것이다. 그 이동량이 $C$ 다. $$A(x) = F(x) + C$$ 여기에 $x = a$ 를 대입한다. $A(a)$ 는 $a$ 부터 $a$ 까지의 넓이이므로 $0$ 이다. $$0 = F(a) + C \quad \Longrightarrow \quad C = -F(a) \quad \Longrightarrow \quad A(x) = F(x) - F(a)$$ 이제 $x = b$ 를 대입하면 다음을 얻는다. $$\boxed{\ \int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)\ }$$ 이것이 **미적분의 기본정리 2**다. 넓이를 구하기 위해 직사각형을 무한히 쌓을 필요가 없다. **역도함수를 하나 찾아 양 끝값을 대입하고 빼면 값이 결정된다.** 이 대입을 다음 표기로 쓴다. $$\int_a^b f(x)\,dx = \Big[F(x)\Big]_a^b = F(b) - F(a)$$ 대괄호에 아래위로 숫자를 붙인 이 표기는 대입을 수행한다는 표시다. **위엣것에서 아랫것을 뺀다.** 순서를 반대로 하면 부호가 통째로 뒤집힌다. 이제 앞 장에서 남겨 둔 계산을 마무리한다. 앞 장에서는 $y = x^2$ 아래 $[0,1]$ 의 넓이를 구하려고 직사각형을 $4$ 개, $10$ 개, $100$ 개까지 쌓았다. 그 값들을 계산하여 표로 정리했다. | 직사각형 개수 | 오른쪽 끝 높이로 더한 값 | |---|---| | 4개 | $\dfrac{15}{32} = 0.46875$ | | 10개 | $\dfrac{77}{200} = 0.385$ | | 100개 | $\dfrac{6767}{20000} = 0.33835$ | | 1000개 | $0.3338335$ | 값이 $0.333\ldots$ 부근으로 다가갔고, 그 극한이 $\dfrac{1}{3}$ 이라고 추측할 수 있었다. 앞 장에서는 그 추측까지가 한계였다. 이 장에서는 다음과 같이 계산한다. $$\int_0^1 x^2\,dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^1 = \frac{1^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{1}{3}$$ 세 줄로 계산이 끝난다. 그리고 결과는 추측이 아니라 **정확히 $\dfrac{1}{3}$** 이다. 근사가 아니다. 무한히 많은 직사각형을 다 쌓은 결과를 뺄셈 한 번으로 얻었다. 이것이 뉴턴과 라이프니츠가 도달한 결과이며, 구조물의 설계, 궤도 계산, 약물의 혈중 농도 계산 등이 모두 이 계산 위에서 이루어진다. 이제 다음 문장을 진술할 수 있다. **적분은 미분의 반대다.** 앞 장에서는 이 문장을 쓰지 않았다. 넓이를 독립된 문제로 먼저 다룬 뒤에야 두 문제의 연결이 의미를 갖기 때문이다. 순서가 중요했다. 이 문장은 표어가 아니라 **정리**이며, 앞의 논증으로 증명되었다. ## 정적분의 성질과 부호 있는 넓이 문제 풀이에 사용하는 성질을 세 가지로 정리한다. 각각은 그림으로 직접 설명된다. $$\int_a^b \{f(x) + g(x)\}\,dx = \int_a^b f(x)\,dx + \int_a^b g(x)\,dx$$ $$\int_a^c f(x)\,dx + \int_c^b f(x)\,dx = \int_a^b f(x)\,dx$$ $$\int_b^a f(x)\,dx = -\int_a^b f(x)\,dx$$ 둘째는 구간을 두 조각으로 나누어 각각의 넓이를 구한 뒤 더하는 것이고, 셋째는 **오른쪽에서 왼쪽으로 재면 부호가 뒤집힌다**는 것이다. 폭을 반대 방향으로 세기 때문이다. 부호는 넓이에도 붙는다. $x$ 축 **아래**에 있는 부분은 넓이가 **음수**로 계산된다. 높이가 음수이므로 폭 곱하기 높이도 음수다. 따라서 정적분 값이 $0$ 이거나 음수인 경우도 정의상 성립한다. 정적분이 측정하는 것은 '부호가 붙은 넓이'이다. ## 축의 이름을 바꾼다 — 속도를 적분하면 거리다 여기까지 정적분이 재는 대상은 **넓이**였다. 그런데 정적분이 재는 것은 넓이만이 아니다. 두 축이 나타내는 양을 바꾸면 똑같은 계산이 전혀 다른 양을 잰다. 속도가 일정하면 거리는 곱셈 한 번으로 구한다. 초속 $6$ 미터로 $4$ 초를 가면 $24$ 미터다. **속도 곱하기 시간**이다. 그런데 속도가 계속 변하면 어느 속도를 곱해야 할지 결정할 수 없다. 처음 속도를 곱해도, 마지막 속도를 곱해도 올바른 값이 나오지 않는다. 여기서 앞 장의 직사각형 분할을 그대로 사용한다. 시간을 아주 짧게 $dt$ 만큼 자르면 그 동안 속도는 거의 변하지 않는다. 그 짧은 동안 이동한 거리는 곱셈 한 번으로 구해진다. $$\text{짧은 동안 간 거리} = v(t)\,dt \qquad (\text{높이 } v(t), \text{ 폭 } dt \text{ 인 직사각형 하나})$$ 이 직사각형을 전부 더한 것이 전체 거리다. 전부 더한다는 것은 적분한다는 뜻이다. $$\text{거리} = \int_a^b v(t)\,dt \qquad \Longleftarrow \ \textbf{속도-시간 그래프 아래 넓이가 거리다}$$ 세로축이 높이가 아니라 속도이고 가로축이 위치가 아니라 시간일 뿐, 직사각형을 더한다는 절차는 동일하다. 따라서 두 축이 나타내는 양을 바꾸면 다른 양도 잰다. 물이 매분 $r(t)$ 리터씩 들어온다면 짧은 동안 들어온 물은 $r(t)\,dt$ 이고, 그것을 전부 더한 $\displaystyle\int_a^b r(t)\,dt$ 가 그 사이에 들어온 물의 **총량**이다. $$\textbf{변화율을 적분하면 쌓인 총량이 나온다.}$$ 검산은 **이미 답을 아는 경우에 적용해 보는 것**이다. 속도가 변하지 않는 $v = 6$ 으로 놓고 $0$ 부터 $4$ 까지 적분한다. $$\int_0^4 6\,dt = \Big[6t\Big]_0^4 = 24 - 0 = 24$$ 곱셈으로 구한 $6 \times 4 = 24$ 와 같다. 새 도구가 이미 아는 답을 그대로 재현하면 그 도구는 신뢰할 수 있다. 이제 속도가 변하는 경우를 계산한다. $v(t) = 6t$ (m/s)로 $0$ 초부터 $4$ 초까지 이동한 거리는 다음과 같다. $$\int_0^4 6t\,dt = \Big[3t^2\Big]_0^4 = 48 - 0 = 48 \ (\text{m})$$ 이 경우에도 검산이 된다. 이 속도는 $0$ 에서 시작해 $24$ 까지 일정하게 증가하므로 속도 그래프가 삼각형이다. 밑변 $4$, 높이 $24$ 인 삼각형의 넓이는 $\dfrac{1}{2}\times 4 \times 24 = 48$ ✔. 도형으로 계산해도 같은 답이다. 마지막 속도 $24$ 에 $4$ 초를 곱한 $96$ 은 답이 아니다 — 그 값은 처음부터 끝까지 최고 속도로 이동했을 때의 거리다. ## 빈번한 오류 :::{admonition} 부정적분에서 적분상수 $C$ 를 빠뜨린다 :class: warning 미분해서 $f$ 가 되는 함수는 하나가 아니다. 상수를 미분하면 $0$ 이므로, $x^2$ 이든 $x^2+1$ 이든 $x^2-100$ 이든 미분하면 모두 $2x$ 다. 따라서 $\displaystyle\int 2x\,dx$ 의 답은 $x^2$ 하나가 아니라 $x^2 + C$ 라는 **한 다발**이다. $C$ 를 빠뜨리면 무수히 많은 답 중 하나만 제시하고 나머지를 버린 것이 된다. *확인 문제*: $\displaystyle\int (4x^3 - 1)\,dx$. (답: $x^4 - x + C$. $C$ 가 없으면 미완성이다.) ::: :::{admonition} 정적분에 $C$ 를 붙인다 :class: warning 부정적분과 정적분은 같은 적분 기호를 쓰지만 **결과의 종류**가 다르다. $\displaystyle\int x^2\,dx = \dfrac{x^3}{3} + C$ 는 함수이고, 그것도 한 다발이다. 반면 $\displaystyle\int_0^1 x^2\,dx = \dfrac{1}{3}$ 은 숫자 하나다. 앞의 것은 '무엇이냐'를, 뒤의 것은 '얼마냐'를 묻는다. 넓이는 하나의 수이므로 $\dfrac{1}{3} + C$ 와 같은 형태가 될 수 없다. 또한 정적분에서 $C$ 를 써도 위에서 더한 $C$ 가 아래에서 그대로 빠져 반드시 사라진다. 따라서 정적분에는 $C$ 를 쓰지 않는다. *확인 문제*: $\displaystyle\int 6x\,dx$ 와 $\displaystyle\int_1^2 6x\,dx$ 의 답 형태는 어떻게 다른가? (답: $3x^2 + C$(함수)와 $9$(숫자).) ::: :::{admonition} $F(b) - F(a)$ 에서 부호가 꼬인다 :class: warning $\displaystyle\int_{-1}^{2}(x^2-x)\,dx$ 에서 $F(2)=\dfrac{2}{3}$, $F(-1)=-\dfrac{5}{6}$ 까지 정확히 구해 놓고 $\dfrac{2}{3}-\dfrac{5}{6}=-\dfrac{1}{6}$ 이라고 쓰는 오류가 잦다. 역도함수 계산은 옳으나 뺄셈 단계에서 값이 어긋난 것이다. 원인은 두 가지다. 하나는 음수를 빼는 계산([제5장](../part1/ch05.md))이 아직 자동화되지 않은 것이고, 하나는 $F(a)$ 를 대입할 때 괄호를 치지 않는 것이다. $F(a)$ 가 음수일 때는 **반드시 괄호**를 친다: $\dfrac{2}{3}-\left(-\dfrac{5}{6}\right)=\dfrac{2}{3}+\dfrac{5}{6}=\dfrac{3}{2}$. 대입과 뺄셈을 한 줄에 몰아 쓰지 말고 ① 역도함수 ② 양 끝값 ③ 빼기의 세 줄로 나누면 부호 오류를 방지할 수 있다. 답의 부호를 미리 예상해 두는 것도 검산이 된다. *확인 문제*: $\displaystyle\int_{-1}^{1}(3x^2+1)\,dx$. (답: $4$. $F(x)=x^3+x$, $2-(-2)=4$. 여기서 $2-2=0$ 이라 쓰면 부호를 놓친 것이다.) ::: :::{admonition} 정적분 값이 음수로 나오면 오류라고 판단한다 :class: warning $\displaystyle\int_0^2 (x-1)\,dx = 0$ 이나 음수 값을 계산해 놓고 그 결과를 오류로 판단해 지우는 경우가 있다. '적분은 넓이'라는 이해만으로는 이 결과를 설명할 수 없다. 도형의 넓이는 음수가 될 수 없지만, 정적분이 재는 것은 도형의 넓이가 아니라 **부호가 붙은 넓이**다. $x$ 축 아래에서는 높이가 음수이므로 폭 곱하기 높이도 음수로 계산된다. 따라서 값이 $0$ 이거나 음수인 결과는 정의와 일치하며, 오류가 아니다. '어디에 있나(위치 변화)'를 묻는 문제에서는 정적분 값을 그대로 쓰고, '얼마나 움직였나(실제 거리)'를 묻는 문제에서는 구간을 조각내어 절댓값을 더한다. 문제가 무엇을 묻는지 먼저 확인한다. *확인 문제*: $\displaystyle\int_0^3 (x^2-2x)\,dx$ 를 계산하고 그 값이 나오는 이유를 그래프로 설명하라. (답: $0$. $[0,2]$ 의 음수 넓이 $-\dfrac{4}{3}$ 와 $[2,3]$ 의 양수 넓이 $+\dfrac{4}{3}$ 가 상쇄된다.) ::: ## 연습문제 계산기를 쓰지 않는다. 풀리지 않는 문항은 표시해 두고 다음 문항으로 넘어간다. 이 장부터 절차가 하나 늘었다 — **부정적분 문제는 답을 쓴 뒤 미분하여 되돌려 본다.** 원래 식으로 돌아오면 정답이다. 부정적분은 스스로 채점할 수 있는 첫 단원이다. `A` 기본 · `B` 표준 · `C` 도전. 1. `A` 부정적분을 구하라. (1) $\displaystyle\int x^5\,dx$ (2) $\displaystyle\int 4x^3\,dx$ (3) $\displaystyle\int 7\,dx$ 2. `A` 부정적분을 구하라. (1) $\displaystyle\int (2x+3)\,dx$ (2) $\displaystyle\int (x^2-6x+5)\,dx$ 3. `A` 정적분을 계산하라. (1) $\displaystyle\int_0^1 x^2\,dx$ (2) $\displaystyle\int_0^2 x^3\,dx$ (3) $\displaystyle\int_1^2 6x\,dx$ 4. `A` 계산하라. $\displaystyle\int_0^3 (2x+1)\,dx$ 5. `A` 다음 등식이 맞는지 **미분으로 확인**하고, 맞으면 ○ 틀리면 고쳐라. $\displaystyle\int (3x^2+2x)\,dx = x^3 + x^2 + C$ 6. `B` 계산하라. $\displaystyle\int_{-1}^{2} (x^2 - x)\,dx$ 7. `B` 계산하라. $\displaystyle\int_1^3 (x^2 - 2x + 1)\,dx$ 8. `B` 계산하라. $\displaystyle\int_0^2 (x-1)\,dx$ — 답이 나온 뒤, **그림을 그려서** 왜 그런 값이 나오는지 한 줄로 설명하라. 9. `B` 계산하라. $\displaystyle\int_{-2}^{2} x^3\,dx$ — 계산하기 전에 그래프 모양을 떠올리고 답을 예상해 보라. 10. `B` 어떤 물체가 $t$ 초에 속도 $v(t) = 6t$ (m/s)로 움직인다. $t=0$ 부터 $t=4$ 까지 이동한 거리는? 11. `B` 물탱크에 물이 $r(t) = 2t+3$ (L/분)의 속도로 들어온다. $0$ 분부터 $5$ 분까지 들어온 물의 총량은? 12. `B` $\displaystyle\int_0^a 3x^2\,dx = 8$ 을 만족하는 양수 $a$ 를 구하라. 13. `C` $A(x) = \displaystyle\int_0^x (t^2+1)\,dt$ 일 때 $A'(2)$ 를 구하라. **두 가지 방법으로** 하라 — (1) FTC 1을 그대로 쓰기 (2) $A(x)$ 를 실제로 계산한 뒤 미분하기. 두 답이 같은지 확인하라. 14. `C` $\displaystyle\int_0^1 x^2\,dx$ 를 계산할 때 역도함수를 $\dfrac{x^3}{3} + C$ 로 잡고 **$C$ 를 끝까지 끌고 가며** 계산해 보라. $C$ 가 어떻게 되는가? 이것으로 "정적분에는 $C$ 를 쓰지 않는다"를 설명하라. :::{admonition} 정답과 해설 :class: dropdown 1. (1) $\dfrac{x^6}{6} + C$ (2) $x^4 + C$ — 미분하면 $4x^3$ ✔ (3) $7x + C$ 2. (1) $x^2 + 3x + C$ (2) $\dfrac{x^3}{3} - 3x^2 + 5x + C$ — 미분하면 $x^2 - 6x + 5$ ✔ **빈번한 오류**: 항마다 $C$ 를 붙여 $C_1, C_2, C_3$ 를 쓴다. 틀린 것은 아니지만 하나로 묶는다. 3. (1) $\dfrac{1}{3}$ (2) $4$ — $\left[\dfrac{x^4}{4}\right]_0^2 = \dfrac{16}{4}$ (3) $9$ — $\Big[3x^2\Big]_1^2 = 12 - 3$ 4. $12$ — $\Big[x^2+x\Big]_0^3 = (9+3) - 0$ 5. **○ (맞다)** — $\dfrac{d}{dx}(x^3+x^2+C) = 3x^2 + 2x$. 원래 피적분함수로 정확히 돌아왔다. 이 문항의 목적은 답을 맞히는 것이 아니라 **검산 절차를 익히는 것**이다. 6. $\dfrac{3}{2}$ — $F(x) = \dfrac{x^3}{3} - \dfrac{x^2}{2}$. $F(2) = \dfrac{8}{3} - 2 = \dfrac{2}{3}$, $F(-1) = -\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{2} = -\dfrac{5}{6}$. $\dfrac{2}{3} - \left(-\dfrac{5}{6}\right) = \dfrac{4}{6} + \dfrac{5}{6} = \dfrac{9}{6} = \dfrac{3}{2}$. **빈번한 오류**: $\dfrac{2}{3} - \dfrac{5}{6} = -\dfrac{1}{6}$. $F(a)$ 가 음수인데 괄호를 치지 않고 뺀 것이다. 원인은 적분이 아니라 **음수 빼기([제5장](../part1/ch05.md))** 에 있다. 7. $\dfrac{8}{3}$ — $F(x) = \dfrac{x^3}{3} - x^2 + x$. $F(3) = 9-9+3 = 3$, $F(1) = \dfrac{1}{3}-1+1 = \dfrac{1}{3}$. $3 - \dfrac{1}{3} = \dfrac{8}{3}$ 8. $0$ — $\left[\dfrac{x^2}{2} - x\right]_0^2 = (2-2) - 0 = 0$. 설명: $[0,1]$ 에서 그래프가 $x$ 축 **아래**(넓이 $-\dfrac{1}{2}$), $[1,2]$ 에서 **위**(넓이 $+\dfrac{1}{2}$). 크기가 같아 상쇄된다. **정적분은 '부호 있는 넓이'다.** 실제 도형 넓이를 구하려면 두 조각을 따로 계산해 절댓값을 더해야 하고, 그 값은 $1$ 이다. 9. $0$ — $\left[\dfrac{x^4}{4}\right]_{-2}^{2} = 4 - 4 = 0$. $y=x^3$ 은 원점 대칭이므로 왼쪽의 음수 넓이와 오른쪽의 양수 넓이가 정확히 상쇄된다. 계산 전에 답을 예측하면 계산 실수를 발견하기 쉽다. 10. **$48$ m** — $\displaystyle\int_0^4 6t\,dt = \Big[3t^2\Big]_0^4 = 48$. **적분을 쓰는 이유**: 속도가 계속 변하므로 "속도 곱하기 시간"을 쓸 수 없다. 아주 짧은 시간 $dt$ 동안은 속도가 거의 일정하므로 그동안 간 거리가 $v(t)\,dt$ 이고, 그것을 전부 더한 것이 적분이다. 속도-시간 그래프 **아래 넓이가 거리**다. 11. **$40$ L** — $\displaystyle\int_0^5 (2t+3)\,dt = \Big[t^2+3t\Big]_0^5 = 25+15 = 40$. **빈번한 오류**: $r(5) = 13$ 에 $5$ 분을 곱해 $65$ L. 유입 속도가 변하는데 마지막 속도로 전 구간을 계산한 것이다. 12. $a = 2$ — $\Big[x^3\Big]_0^a = a^3 = 8$ 이므로 $a = 2$. (음수 해는 실수 범위에서 없다.) 13. $A'(2) = 5$. (1) FTC 1: $A'(x) = x^2+1$ 이므로 $A'(2) = 4+1 = 5$. **적분을 직접 계산할 필요가 없다.** (2) 직접: $A(x) = \left[\dfrac{t^3}{3}+t\right]_0^x = \dfrac{x^3}{3}+x$. 미분하면 $x^2+1$, $x=2$ 에서 $5$. 일치 ✔ 이 문항의 요점: **FTC 1은 적분을 계산하지 않고도 넓이 함수의 변화율을 알려준다.** 이 점이 이 정리의 의의다. 14. $C$ 는 **사라진다**. $\left[\dfrac{x^3}{3}+C\right]_0^1 = \left(\dfrac{1}{3}+C\right) - \left(0+C\right) = \dfrac{1}{3} + C - C = \dfrac{1}{3}$. 위에서 한 번 더하고 아래에서 한 번 빼므로 상쇄된다. **어떤 $C$ 를 골라도 정적분 값은 같다.** 그래서 정적분에는 $C$ 를 쓰지 않는다. 이는 규약이 아니라 계산 결과에서 따라 나오는 사실이다. ::: ### 추가 연습문제 자습용이다. 부정적분과 정적분이 의도적으로 섞여 있다. **부정적분 문항은 답을 쓴 뒤 반드시 미분하여 되돌려 보고 확인한다.** 이 검산 절차는 다음 장의 적분 기법에서도 그대로 사용된다. **부정적분 기본** 1. $\displaystyle\int 8\,dx$ 2. $\displaystyle\int x^4\,dx$ 3. $\displaystyle\int 6x^2\,dx$ 4. $\displaystyle\int (x+5)\,dx$ 5. $\displaystyle\int (2x-7)\,dx$ 6. $\displaystyle\int (4x^3-3x^2)\,dx$ 7. $\displaystyle\int (x^2+x+1)\,dx$ **정적분 기본** 8. $\displaystyle\int_0^1 x^2\,dx$ 9. $\displaystyle\int_0^2 4x\,dx$ 10. $\displaystyle\int_1^3 x^2\,dx$ 11. $\displaystyle\int_0^2 (3x^2+1)\,dx$ 12. $\displaystyle\int_{-1}^{1} x^2\,dx$ 13. $\displaystyle\int_1^2 (4x-1)\,dx$ 14. $\displaystyle\int_0^3 (x^2-2x)\,dx$ **부호·성질·역방향** 15. $\displaystyle\int_{-2}^{1} x^3\,dx$ 16. $\displaystyle\int_{-1}^{2} (3x^2-2x)\,dx$ 17. $\displaystyle\int_0^1 (x^3-x)\,dx$ 18. $\displaystyle\int_0^a 2x\,dx = 9$ 를 만족하는 양수 $a$ 를 구하라. 19. $\displaystyle\int_0^2 f(x)\,dx = 5$ 이고 $\displaystyle\int_2^5 f(x)\,dx = 3$ 일 때, $\displaystyle\int_0^5 f(x)\,dx$ 는? 20. $\displaystyle\int_2^0 x^2\,dx$ (상한과 하한의 위치를 잘 보라) **문장제·설명** 21. 어떤 물체의 속도가 $v(t) = 3t^2$ (m/s)이다. $t=0$ 부터 $t=2$ 까지 이동한 거리는? 22. 물탱크에 물이 $r(t) = 4t+2$ (L/분)로 들어온다. $0$ 분부터 $3$ 분까지 들어온 물의 총량은? 23. 어떤 물체의 속도가 $v(t) = t-2$ (m/s)이다. $t=0$ 부터 $t=4$ 까지의 **변위**(위치의 변화)와 **이동 거리**를 각각 구하라. 두 값이 다른 이유를 한 줄로 쓰라. 24. 미적분의 기본정리를 **자기 말로** 세 문장 이내로 쓰라. "넓이", "속도" 또는 "기울기", "높이" 세 단어를 반드시 넣을 것. 25. 지난 장에서 직사각형 $100$ 개로 구한 $y=x^2$ 의 $[0,1]$ 넓이는 $0.33835$ 였다. 이 장에서 FTC로 구한 값과 비교하고, 두 값이 다른 이유를 한 문장으로 쓰라. :::{admonition} 정답과 해설 :class: dropdown 1. $8x + C$ 2. $\dfrac{x^5}{5} + C$ 3. $2x^3 + C$ 4. $\dfrac{x^2}{2} + 5x + C$ 5. $x^2 - 7x + C$ 6. $x^4 - x^3 + C$ 7. $\dfrac{x^3}{3} + \dfrac{x^2}{2} + x + C$ （1–7 전부 미분하여 원래 식으로 돌아오는지 확인한다. 3번은 $6x^2$, 6번은 $4x^3-3x^2$ 로 돌아와야 한다.） 8. $\dfrac{1}{3}$ 9. $8$ 10. $\dfrac{26}{3}$ — $\left[\dfrac{x^3}{3}\right]_1^3 = 9 - \dfrac{1}{3}$ 11. $10$ — $\Big[x^3+x\Big]_0^2 = 8+2$ 12. $\dfrac{2}{3}$ — $\dfrac{1}{3}-\left(-\dfrac{1}{3}\right)$, 여기서 부호에 주의한다 13. $5$ — $\Big[2x^2-x\Big]_1^2 = 6-1$ 14. $0$ 12번 **빈번한 오류**: $F(-1) = -\dfrac{1}{3}$ 인데 괄호를 치지 않아 $\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{3}=0$ 으로 계산한다. 짝함수의 대칭성으로 보면 답이 $0$ 일 수 없다. $[-1,0]$ 과 $[0,1]$ 의 넓이가 각각 $\dfrac{1}{3}$ 이므로 합은 $\dfrac{2}{3}$ 이다. 14번: 답이 $0$ 인 것은 정의와 일치한다. $[0,2]$ 에서 그래프가 $x$ 축 아래이므로 넓이가 $-\dfrac{4}{3}$, $[2,3]$ 에서는 위이므로 $+\dfrac{4}{3}$ 이다. 두 값이 상쇄된다. 15. $-\dfrac{15}{4}$ — $\left[\dfrac{x^4}{4}\right]_{-2}^{1} = \dfrac{1}{4} - 4$. 답이 음수인 것은 정의와 일치한다. 왼쪽의 음수 넓이가 훨씬 크다. 16. $6$ — $\Big[x^3-x^2\Big]_{-1}^{2} = (8-4) - (-1-1) = 4 + 2$. **빈번한 오류**: $4 - 2 = 2$. $F(-1) = -2$ 를 뺄 때 괄호를 치지 않은 것이다. 이 장에서 특히 주의해야 할 부호 오류다. 17. $-\dfrac{1}{4}$ — $\left[\dfrac{x^4}{4}-\dfrac{x^2}{2}\right]_0^1 = \dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{2}$. $[0,1]$ 에서 $x^3 < x$ 이므로 피적분함수가 음수이고, 답도 음수다. 18. $a = 3$ — $\Big[x^2\Big]_0^a = a^2 = 9$. $a = \pm 3$ 중 양수 조건으로 $3$ 이다. 19. $8$ — 구간 덧셈 성질이다. 구간을 두 조각으로 나누어 재고 합친 것이다. 20. $-\dfrac{8}{3}$ — 상한이 $0$, 하한이 $2$ 다. $\displaystyle\int_2^0 = -\displaystyle\int_0^2 = -\dfrac{8}{3}$. $\dfrac{8}{3}$ 이라고 답했다면 상한과 하한의 위치를 확인하지 않은 것이다. **빈번한 오류**: 습관적으로 작은 수를 아래에 놓고 계산한다. 21. **$8$ m** — $\Big[t^3\Big]_0^2 = 8$ 22. **$24$ L** — $\Big[2t^2+2t\Big]_0^3 = 18+6$. **빈번한 오류**: $r(3)=14$ 에 $3$ 분을 곱해 $42$ L. 속도가 변하는데 마지막 값으로 곱한 것이다. 23. **변위 $0$ m, 이동 거리 $4$ m.** 변위 $=\displaystyle\int_0^4 (t-2)\,dt = \Big[\dfrac{t^2}{2}-2t\Big]_0^4 = 8-8 = 0$. 이동 거리는 구간을 조각내어 절댓값을 더한다. $\displaystyle\int_0^2 (t-2)\,dt = -2$, $\displaystyle\int_2^4 (t-2)\,dt = 2$, 합이 $|-2|+|2| = 4$ m. 이유: 처음 $2$ 초는 **뒤로**(속도가 음수) $2$ m, 다음 $2$ 초는 **앞으로** $2$ m 이동했다. 출발점으로 돌아왔으므로 위치 변화는 $0$ 이지만, 실제 이동 거리는 $4$ m다. 24. 예시 답안: "넓이 함수를 미분하면 원래 함수의 **높이**가 나온다. 즉 **넓이**가 늘어나는 **속도**가 그 자리의 높이다. 그래서 넓이를 구하려면 미분해서 그 함수가 되는 함수(역도함수)를 찾아 양 끝값을 빼면 된다." — 세 단어가 들어 있고 "넓이와 미분이 연결된다"는 취지가 있으면 정답으로 본다. 25. 이 장의 값은 **정확히 $\dfrac{1}{3} = 0.3333\ldots$** 이다. 지난 장의 값 $0.33835$ 는 직사각형 $100$ 개로 만든 **근삿값**이라 조금 크다(오른쪽 끝 높이를 쓰면 증가함수에서는 항상 실제보다 크게 나온다). 직사각형을 무한히 늘리면 $\dfrac{1}{3}$ 으로 수렴한다. FTC는 그 극한을 **극한 계산 없이 한 번에** 준다. ::: ## 요약과 다음 장 이 장의 핵심은 두 정리다. **FTC 1**: 넓이 함수를 미분하면 원래 함수가 나온다 — 넓이가 늘어나는 속도가 곧 그 자리의 높이다. **FTC 2**: 역도함수를 하나 찾아 양 끝값을 빼면 정적분이 결정된다. 여기에 미분해서 $f$ 가 되는 함수는 한 다발이라는 것(적분상수 $C$)과, 정적분에서는 그 $C$ 가 상쇄되어 숫자 하나만 남는다는 것을 더했다. $\displaystyle\int_0^1 x^2\,dx = \dfrac{1}{3}$ 은 이 장 전체의 축소판이다. 지난 장에서 직사각형을 무한히 쌓아 근삿값까지 갔던 것을, 이 장에서는 역도함수 $\dfrac{x^3}{3}$ 의 양 끝값을 빼서 **정확히** 얻었다. 넓이 문제와 접선 문제가 하나였다는 것 — 이것이 미적분의 핵심 구조다. 다만 남는 문제가 하나 있다. **역도함수를 항상 쉽게 찾을 수 있는 것은 아니다.** $\displaystyle\int 8x(x^2+1)^3\,dx$ 에는 지수를 $1$ 올리고 나누는 규칙을 그대로 적용할 수 없다. [제34장](ch34.md)에서 역도함수를 **찾아내는 기술**(적분 기법)을 다룬다. 그 기술의 내용은 미분에서 다룬 연쇄법칙을 거꾸로 읽는 것이다. 미분에서 익힌 규칙은 적분에서 그대로 사용된다.