# 제30장 · 도함수의 응용 ① — 그래프 분석 :::{admonition} 이 장 :class: seealso | | | |---|---| | **원본 코드** | R3-W10 | | **선행 내용** | [제29장](ch29.md) — 연쇄법칙 | | **요지** | 도함수의 부호가 곡선의 오르내림을 정한다. $f'=0$ 이 늘 극값인 것은 아니다. | ::: ## 도입 $f(x) = x^3 - 3x$ 의 그래프를 그리는 절차를 생각한다. $20$ 년 전 학교에서 사용한 방법은 다음과 같다. $x$ 에 $-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3$ 을 차례로 대입해 $y$ 를 계산하고, 얻은 점을 찍어 잇는다. $f(-2) = -2$, $f(-1) = 2$, $f(0) = 0$ 과 같이 표를 채워 나간다. 이 방법에는 한계가 있다. **점과 점 사이에서 무슨 일이 일어나는지 알 수 없다.** 점을 스무 개 찍어도 스물한 번째 구간의 형태는 확인되지 않는다. 봉우리가 정확히 어디인지, 봉우리가 존재하기는 하는지, 찍은 점만으로는 확인할 방법이 없다. 앞에서는 점과 점 사이를 **추측으로 연결했다.** 이 장에서는 그 추측을 제거한다. 도함수는 **모든 점에서의 기울기**를 준다. 어디가 증가 구간이고 어디가 감소 구간인지, 봉우리의 위치가 어디인지가 계산으로 결정된다. 점을 찍어 잇는 대신 **곡선의 뼈대를 계산한다.** 기준이 되는 사실을 먼저 정리한다. 언덕의 정상에 해당하는 점에서 접선의 기울기는 $0$ 이다. 정상은 증가 구간이 끝나고 감소 구간이 시작되는 한 점이므로 그 지점에서 곡선은 평평하다. **기울기가 $0$ 인 지점을 찾으면 봉우리의 후보를 찾은 것이다.** '후보'라는 용어는 이 장 중간에서 다시 다룬다. 정상에서 기울기가 $0$ 인 것은 성립하지만, 기울기가 $0$ 인 점이 모두 정상인 것은 아니기 때문이다. ## 부호가 방향을 정한다 이 장에서 필요한 것은 $f'$ 의 크기가 아니라 **부호**이다. 부호가 방향을 결정한다. 언덕 위 세 지점에 접선을 그어 기울기를 확인하면 다음과 같다. ```{image} /_static/figs/ch30_hill.svg :alt: 언덕 위 세 점의 접선 기울기 부호 :width: 400px :align: center :class: chfig ``` $$f'(x) > 0 \ \Rightarrow \ f \text{ 는 증가} \qquad f'(x) < 0 \ \Rightarrow \ f \text{ 는 감소} \qquad f'(x) = 0 \ \Rightarrow \ \text{그 순간 평평}$$ 이 세 줄이 이 장에서 새로 도입하는 개념의 전부이다. 나머지는 이 세 줄을 표로 옮기는 절차의 훈련이다. 개념의 난도가 아니라 절차의 숙달이 관건이 되는 부분이다. ## 증감표를 그리는 다섯 단계 곡선의 오르내림은 다음 다섯 단계로 표에 담는다. 1. $f'(x)$ 를 구한다. 2. $f'(x) = 0$ 이 되는 점을 찾는다. 이 점들을 **임계점**이라 부른다(기울기가 $0$ 이 되어 방향이 바뀔 **수 있는** 후보 지점이라는 뜻이다. 실제로 바뀌는지는 ⑤에서 판정한다). 3. 임계점으로 수직선을 구간으로 나눈다. 4. 각 구간에서 대표값 하나를 골라 $f'$ 에 대입해 부호를 정한다. 5. 표를 채우고, 부호가 바뀌는 곳에서 극값을 읽는다. ④단계를 강조한다. 부등식을 풀어 부호를 정할 수도 있으나, **대표값 하나를 대입하는 방법이 가장 안전하다.** 부등식은 부호를 뒤집는 실수가 빈번한 반면, 숫자 대입은 계산이 단순해 확인이 쉽다. 구간 내부의 값이면 어느 숫자를 골라도 된다. $-1$ 이든 $0$ 이든 $100$ 이든, 같은 구간 안이면 결과는 동일하다. **한 점만 확인해도 되는 이유.** 이것이 다섯 단계 전체의 근거이므로 한 번 정리한다. $f'$ 은 다항식이므로 값이 중간에서 끊기지 않는다. 끊기지 않는 값이 양수에서 음수로 넘어가려면 도중에 반드시 $0$ 을 한 번 지난다 — 제25장에서 다룬 성질이다. 그리고 ②단계에서 $f'=0$ 이 되는 점을 **전부** 찾아 경계로 세웠다. 따라서 경계와 경계 사이에서는 부호가 바뀔 수 없다. 한 점만 확인하면 그 구간 전체가 결정되는 이유가 이것이다. 역으로 서술하면 다음과 같다. **$f'=0$ 의 해를 하나라도 놓치면 경계가 빠져 표 전체가 틀린다.** 놓친 점에서 부호가 바뀌었는데 경계가 없으므로, 대표값 하나로 두 구간을 한 구간으로 뭉뚱그려 읽게 되기 때문이다. 인수분해에서 $x$ 로 묶는 과정을 생략하지 않아야 하는 이유가 이것이다. 예를 들어 $f'=4x^3-4x$ 를 $4(x^2-1)$ 로 잘못 묶으면 임계점 $x=0$ 이 통째로 사라진다. 다섯 단계를 도입에서 다룬 함수 $f(x) = x^3 - 3x$ 에 그대로 적용한다. **①** $f'(x) = 3x^2 - 3$ **②** $3x^2 - 3 = 0 \Rightarrow 3(x-1)(x+1) = 0 \Rightarrow x = -1, \ 1$ **③** 수직선을 세 구간으로 나눈다. $x < -1$, $\ -1 < x < 1$, $\ x > 1$ **④** 각 구간에서 대표값을 하나씩 대입한다. $$f'(-2) = 3(4) - 3 = 9 > 0 \qquad f'(0) = -3 < 0 \qquad f'(2) = 3(4) - 3 = 9 > 0$$ **⑤** 표를 채운다. | $x$ | $\cdots$ | $-1$ | $\cdots$ | $1$ | $\cdots$ | |---|---|---|---|---|---| | $f'(x)$ | $+$ | $0$ | $-$ | $0$ | $+$ | | $f(x)$ | $\nearrow$ | 극대 $2$ | $\searrow$ | 극소 $-2$ | $\nearrow$ | 극값의 $y$ 좌표는 $f'$ 이 아니라 **원래 함수 $f$** 에 대입해서 구한다. $$f(-1) = -1 + 3 = 2 \qquad f(1) = 1 - 3 = -2$$ $f'$ 에 대입하면 $0$ 이 나오며, 이 값은 기울기이다. 구하려는 것은 높이이므로 $f$ 에 대입한다. 이 지점에서 $0$ 을 극값으로 적는 오류가 빈번하다. 임계점이 존재하지 않는 경우도 있다. $f(x) = x^3 + 3x$ 는 $f'(x) = 3x^2 + 3$ 이고, $3x^2 + 3 = 0$ 은 실수 해를 갖지 않는다. $f'$ 이 항상 양수이므로 이 함수는 정의역 전체에서 증가하며 극값이 없다. 이는 문제의 오류가 아니라 **극값이 존재하지 않는 함수**이다. ## $f'=0$ 은 극값의 후보 조건이다 극값을 갖는 점에서 기울기는 $0$ 이다. 그러나 그 역은 성립하지 않는다. 기울기가 $0$ 인 점이 모두 극값인 것은 아니며, $y = x^3$ 이 반례이다. ```{image} /_static/figs/ch30_x3.svg :alt: y=x³: f'(0)=0이지만 극값이 아니다 :width: 300px :align: center :class: chfig ``` $$f(x) = x^3 \ \Rightarrow \ f'(x) = 3x^2 \ \Rightarrow \ f'(0) = 0$$ 부호표를 만들면 다음과 같다. | $x$ | $\cdots$ | $0$ | $\cdots$ | |---|---|---|---| | $f'(x)$ | $+$ | $0$ | $+$ | | $f(x)$ | $\nearrow$ | — | $\nearrow$ | $$f'(-1) = 3 > 0 \qquad f'(1) = 3 > 0$$ 양쪽 모두 양수이다. **부호가 바뀌지 않았다.** 증가하는 도중에 한 점에서 순간적으로 평평해진 것이다. 자동차의 운동으로 나타내면 오르막을 진행하다가 한순간 수평이 되었을 뿐 정지하지도 하강하지도 않은 상태에 해당한다. 극값이 아니다. $$\text{극값이면 } f'=0 \text{ 이다. 그러나 } f'=0 \text{ 이라고 극값은 아니다.}$$ 수학에서는 이러한 관계를 **필요조건**과 **충분조건**이라고 한다. $f'=0$ 은 극값이 되기 위해 반드시 필요하지만, 그것만으로 충분하지는 않다. 도입에서 '후보'라는 용어를 사용한 이유가 여기에 있다. $f'=0$ 인 점은 **임계점**, 곧 후보이며, 극값 여부는 **부호가 바뀌는지**로 결정된다. 이 구분은 이후 반복해서 사용되므로 용어를 정확히 구분한다. 여기에 한 가지를 덧붙인다. **극대는 그 근처에서만 가장 높다는 뜻이다.** '극'이라는 글자 때문에 전체 최고로 읽히기 쉬우나, 극댓값은 봉우리 하나의 높이이며 구간 전체의 최댓값이 아니다. **구간 끝이 더 높을 수도 있다.** 이 장의 $f(x)=x^3-3x$ 를 $-2 \le x \le 3$ 에서 보면 확인된다. | $x$ | $-2$ (왼쪽 끝) | $-1$ (극대) | $1$ (극소) | $3$ (오른쪽 끝) | |---|---|---|---|---| | $f(x)$ | $-2$ | $2$ | $-2$ | $\mathbf{18}$ | 봉우리는 $x=-1$ 에 있고 그 높이는 $2$ 이다. 그러나 구간 전체에서 가장 높은 곳은 봉우리가 아니라 오른쪽 끝 $x=3$ 의 $18$ 이다. 오른쪽 끝은 증가 도중에 구간이 잘린 지점이라 기울기가 $0$ 이 아니고, 그래서 부호표에 나타나지 않는다. **부호표만으로는 확인되지 않는 값이다.** 그러므로 "구간 전체의 최대·최소"를 묻는 문제에서는 임계점의 값에 **끝점의 값을 반드시 함께 놓고 비교해야 한다.** 이 비교를 절차로 정리하는 것이 [제31장](ch31.md)의 내용이다. ## $f''$ 는 휘는 방향을 정한다 $f'$ 이 함수의 진행 방향을 나타낸다면, $f''$ 는 그 방향이 어떻게 변하는지를 나타낸다. 미분을 도입할 때 사용한 속도계 모형을 한 단계 확장한다. $$f = \text{위치} \qquad f' = \text{속도} \qquad f'' = \text{가속도}$$ 속도가 양수이고 가속도가 음수인 상황을 생각한다. 차가 전진하는 중에 감속하는 경우이다. **진행 방향은 여전히 전진이며**, 속도만 점차 줄어든다. 따라서 "$f'$ 이 줄어든다"와 "$f$ 가 줄어든다"는 **서로 다른 서술이다.** 시속 $100$ 에서 $60$ 으로 떨어져도 차는 전진하고 있다. 속도가 줄어드는 것과 후진하는 것은 다르다. 그래프에서는 다음과 같이 나타난다. 두 곡선 모두 **증가 구간**이라는 점이 핵심이다. ```{image} /_static/figs/ch30_concavity.svg :alt: 아래로 볼록과 위로 볼록 :width: 520px :align: center :class: chfig ``` $$f'' > 0 \ \Rightarrow \ \text{아래로 볼록(그릇 모양)} \qquad f'' < 0 \ \Rightarrow \ \text{위로 볼록(언덕 모양)}$$ 부호와 모양의 대응은 다음과 같이 기억한다. $f'' > 0$ 이면 **그릇** 모양이어서 물을 담을 수 있고, $f'' < 0$ 이면 **엎어놓은 그릇** 모양이어서 물이 흘러내린다. 부호와 모양이 혼동될 때는 그릇 모양을 직접 그려 확인한다. $$\text{변곡점: } f''=0 \text{ 이고 그 앞뒤에서 } f'' \text{ 의 부호가 바뀌는 점}$$ 변곡점은 그릇이 엎어지는 지점이다. 도로에 대응시키면 "내리막으로 꺾이는 지점"이 아니라 **"휘는 방향이 바뀌는 지점"**이다. 변곡점에서도 여전히 증가 구간일 수 있다. $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x$ 로 확인한다. $f''(x) = 6x - 12$ 이므로 $x < 2$ 에서 위로 볼록, $x > 2$ 에서 아래로 볼록이다. $f(2) = 8 - 24 + 18 = 2$ 이므로 **변곡점은 $(2, 2)$** 이다. 여기에도 동일한 함정이 있다. **$f''=0$ 이라고 모두 변곡점인 것은 아니다.** $f'=0$ 이 모두 극값이 아니었던 것과 같은 구조이다. $y = x^4$ 은 $f'' = 12x^2$ 이라 $f''(0) = 0$ 이지만, 양쪽 모두 $f'' > 0$ 이라 그릇 모양이 그대로 유지된다. 변곡점이 아니다. 여기서도 판정하는 것은 **부호 변화**이다. ## 삼차함수 개형을 끝까지 그린다 개형 그리기는 **절편 → 부호표 → 극값 → 오목성 → 잇기**의 다섯 단계 조립 절차이다. $f(x) = x^3 - 3x^2 + 4$ 를 처음부터 끝까지 그린다. **1단계. 절편** $$y \text{ 절편: } f(0) = 4$$ $$x \text{ 절편: } x^3 - 3x^2 + 4 = (x+1)(x-2)^2 = 0 \ \Rightarrow \ x = -1, \ x = 2$$ 인수분해가 바로 보이지 않으면 $x = -1$ 을 대입한다. $-1 - 3 + 4 = 0$ 이므로 $(x+1)$ 이 인수이다. 나머지는 조립제법이나 다항식 나눗셈으로 얻는다. $x = 2$ 가 **두 번** 나온다는 점을 확인한다. 제곱 인수가 있으면 그래프는 그 점에서 $x$ 축을 통과하지 않고 **접한 뒤 돌아온다.** 극소가 정확히 그 점에서 나온다. **2단계. $f'$ 과 부호표** $$f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x-2) \ \Rightarrow \ x = 0, \ 2$$ $$f'(-1) = 3(1)(-3) = 9 > 0 \qquad f'(1) = 3(1)(-1) = -3 < 0 \qquad f'(3) = 3(3)(1) = 9 > 0$$ | $x$ | $\cdots$ | $0$ | $\cdots$ | $2$ | $\cdots$ | |---|---|---|---|---|---| | $f'(x)$ | $+$ | $0$ | $-$ | $0$ | $+$ | | $f(x)$ | $\nearrow$ | 극대 $4$ | $\searrow$ | 극소 $0$ | $\nearrow$ | **3단계. 극값의 좌표** $$f(0) = 4 \quad \text{극대점 } (0, 4) \qquad f(2) = 8 - 12 + 4 = 0 \quad \text{극소점 } (2, 0)$$ 극소점이 $(2, 0)$, 정확히 $x$ 축 위이다. 1단계의 제곱 인수가 예고한 결과와 일치한다. 서로 다른 두 경로가 같은 결과를 주므로 계산이 일관된다. **4단계. $f''$ 과 오목성** $$f''(x) = 6x - 6 = 6(x-1)$$ $$x < 1 \text{ 에서 } f'' < 0 \ \text{(위로 볼록)} \qquad x > 1 \text{ 에서 } f'' > 0 \ \text{(아래로 볼록)}$$ $$f(1) = 1 - 3 + 4 = 2 \quad \text{변곡점 } (1, 2)$$ **5단계. 잇는다** 점 세 개(극대·변곡·극소)와 절편 두 개를 먼저 찍고, 부호표가 정하는 방향대로 잇는다. ```{image} /_static/figs/ch30_cubic.svg :alt: 삼차함수의 극대·변곡·극소 :width: 340px :align: center :class: chfig ``` 다섯 점을 찍고 표가 정한 대로 이었으며, 추측이 개입하지 않았다. 추가로 확인되는 성질이 하나 있다. 변곡점 $(1, 2)$ 는 극대점 $(0, 4)$ 와 극소점 $(2, 0)$ 의 **정확히 한가운데**이다. 삼차함수는 언제나 변곡점을 중심으로 점대칭이다. 그림을 그린 뒤 이 대칭이 성립하지 않으면 계산에 오류가 있으므로, 검산에 사용할 수 있다. ## 빈번한 오류 :::{admonition} "$f'=0$ 이면 무조건 극값이다" :class: warning 고등학교에서 다루는 문제의 대부분이 삼차함수였고, 그 경우 $f'=0$ 인 두 점이 항상 극대·극소였다. **틀린 규칙이 아니라 적용 범위가 좁은 규칙이다.** 반례를 접하지 않은 상태에서 규칙이 그대로 굳어진 경우이다. $y = x^3$ 의 $x=0$ 은 $f'(0)=0$ 이지만 양옆에서 $f'(-1)=3$, $f'(1)=3$ 으로 부호가 바뀌지 않아 극값이 아니다. $f'=0$ 은 후보 조건이며, 판정은 부호 변화가 결정한다. *확인 문제*: $f(x) = x^3 + 2$ 에서 $x=0$ 은 극값인가? (답: 아니다. $f'=3x^2$ 이라 양쪽 모두 양수, 부호 변화가 없다.) ::: :::{admonition} "$f'$ 이 줄어드니까 $f$ 도 줄어든다" :class: warning "줄어든다"는 표현이 서로 다른 두 대상에 쓰이는데, 그 둘이 구분되지 않은 상태이다. **$f'$ 의 값이 줄어드는 것**과 **$f$ 의 값이 줄어드는 것**은 서로 다른 사건이다. 시속 $100$ 킬로로 달리다 $60$ 으로 줄어도 차는 전진한다. 더 느리게 전진할 뿐이다. $f'$ 이 줄어드는 것은 감속, $f$ 가 줄어드는 것은 후진에 해당한다. 증가·감소는 오직 $f'$ 의 **부호**로 판정하며, 크기는 판정에 사용하지 않는다. *확인 문제*: $f'(1)=10$, $f'(2)=3$, $f'(3)=0.5$ 다. $f$ 는 증가하는가 감소하는가? (답: 증가. 셋 다 양수다. 덧붙여 $f''<0$, 즉 위로 볼록이다.) ::: :::{admonition} 아래로 볼록과 위로 볼록을 뒤집는다 :class: warning 용어의 표현과 그래프의 모양이 직관적으로 대응하지 않는다. "아래로 볼록"이 위로 열린 그릇 모양이라는 대응은 용어만으로는 파악되지 않는다. 용어를 암기하는 대신 매번 그릇 모양을 직접 그려 확인하는 편이 정확하다. $f'' > 0$ 이면 위로 열린 그릇, $f'' < 0$ 이면 엎어놓은 그릇이다. 기준점을 하나 정해 두면 판정이 빠르다. $y = x^2$ 은 $f''=2>0$ 이고 그릇 모양이며, $y=-x^2$ 은 그 반대이다. 혼동될 때는 $y=x^2$ 을 기준으로 판정한다. *확인 문제*: $f(x) = x^3$ 은 $x>0$ 에서 어느 쪽으로 볼록한가? (답: $f''=6x>0$ 이므로 아래로 볼록, 그릇 모양.) ::: :::{admonition} 극댓값과 극대가 되는 $x$ 를 혼동한다 :class: warning 부호표를 작성하는 동안 $x$ 값에 주의가 집중되어 $x$ 값을 답으로 쓰는 오류가 발생한다. 그러나 산의 정상이 지도상 어디인가와, 그 정상의 높이가 얼마인가는 서로 다른 질문이다. "값"이라는 글자가 붙으면 **높이**를 묻는 것이고, 높이는 $f$ 에서 나온다. $f'$ 은 기울기를 주므로 대입하면 $0$ 만 나온다. 답을 항상 좌표 $(x, f(x))$ 로 쓰면 둘 다 기록되므로 혼동이 발생하지 않는다. *확인 문제*: $f(x) = x^3 - 3x$ 의 극댓값은? (답: $2$. 극대가 되는 $x$ 는 $-1$, 극대점은 $(-1, 2)$.) ::: ## 연습문제 모든 문항에서 **부호표를 반드시 그린다.** 암산으로 극대·극소를 구한 경우는 이 장에서 정답으로 인정하지 않는다. 이 장에서 익히는 것은 답이 아니라 절차이다. `A` 기본 · `B` 표준 · `C` 도전. 1. `A` $f(x)=x^2-6x+5$ 의 증가·감소 구간과 극값을 구하라. 2. `A` $f(x)=-x^2+4x+1$ 의 증가·감소 구간과 극값을 구하라. 3. `A` $f(x)=x^3-12x$ 의 극대·극소를 구하라. (부호표 필수) 4. `A` $f(x)=x^3-3x^2+2$ 의 극대·극소를 구하라. 5. `A` 4번의 함수에서 $f''$ 를 구하고, 오목성 구간과 변곡점을 구하라. 6. `B` $f(x)=x^3+3x^2-9x+1$ 의 극대·극소와 변곡점을 모두 구하라. 7. `B` $f(x)=x^4-2x^2$ 의 극대·극소를 모두 구하라. (임계점이 세 개다) 8. `B` $f(x)=x^3-3x^2$ 의 개형을 그려라. 절편, 극값, 변곡점을 모두 표시할 것. 9. `B` 어떤 함수의 도함수가 $f'(x)=(x-1)(x-4)$ 라고만 알려져 있다. $f$ 의 증가·감소 구간과 극대·극소의 위치를 말하라. 극값의 $y$ 좌표도 구할 수 있는가? 10. `B` 하루 생산량이 $x$ (백 개 단위)일 때 이익이 $P(x) = -x^3+9x^2-15x+7$ (만원)이다. $0 \le x \le 7$ 에서 이익이 최대가 되는 생산량과 그때의 이익을 구하라. **구간 전체의 최대를 묻고 있으므로, 부호표로 찾은 극대점의 값과 끝점 $x=0$, $x=7$ 의 값을 함께 놓고 비교하라.** 11. `B` 물체의 위치가 $s(t)=t^3-6t^2+9t$ 미터다($t$ 는 초, $0 \le t \le 4$). (1) 물체가 운동 방향을 바꾸는 시각은? (2) 가속도가 $0$ 이 되는 시각은? (3) 그 순간 물체는 정지해 있는가? 12. `B` 어떤 구간에서 $f'>0$ 이고 동시에 $f''<0$ 이다. 이 구간에서 그래프는 어떤 모양인가? **말로** 두 문장으로 쓰라. 13. `C` $f(x)=x^4-4x^3$ 을 분석하라. 임계점을 모두 찾고, 각각이 극값인지 아닌지 부호표로 판정하라. 변곡점도 구하라. 14. `C` $f'(a)=0$ 인데 $x=a$ 가 극값이 아닌 함수를 하나 직접 만들고, 왜 극값이 아닌지 부호표로 설명하라. :::{admonition} 정답과 해설 :class: dropdown 1. $f'=2x-6$, 임계점 $x=3$. 감소 $x<3$, 증가 $x>3$. **극소 $f(3)=-4$.** 극대는 없다. 2. $f'=-2x+4$, 임계점 $x=2$. 증가 $x<2$, 감소 $x>2$. **극대 $f(2)=5$.** 위로 볼록한 포물선이므로 극대만 존재한다. 3. $f'=3x^2-12=3(x-2)(x+2)$. $f'(-3)=15>0$, $f'(0)=-12<0$, $f'(3)=15>0$. **극대 $f(-2)=16$, 극소 $f(2)=-16$.** 4. $f'=3x^2-6x=3x(x-2)$. **극대 $f(0)=2$, 극소 $f(2)=-2$.** 5. $f''=6x-6$. $x<1$ 위로 볼록, $x>1$ 아래로 볼록, **변곡점 $(1,0)$** ($f(1)=1-3+2=0$). 6. $f'=3x^2+6x-9=3(x+3)(x-1)$. $f'(-4)=15>0$, $f'(0)=-9<0$, $f'(2)=15>0$. **극대 $f(-3)=28$, 극소 $f(1)=-4$.** $f''=6x+6$, **변곡점 $(-1,12)$.** 검산: $-1$ 은 $-3$ 과 $1$ 의 한가운데이고, $12$ 는 $28$ 과 $-4$ 의 한가운데다. 삼차함수의 점대칭이 성립한다. 7. $f'=4x^3-4x=4x(x-1)(x+1)$, 임계점 $x=-1,0,1$. $f'(-2)=-24<0$, $f'(-0.5)=1.5>0$, $f'(0.5)=-1.5<0$, $f'(2)=24>0$. 부호가 $-,+,-,+$ 로 세 번 바뀐다. **극소 $f(-1)=-1$, 극대 $f(0)=0$, 극소 $f(1)=-1$.** W자 모양이다. **빈번한 오류**: $x=0$ 을 빠뜨리고 $4x^3-4x$ 를 $4(x^2-1)$ 로 잘못 묶는다. 8. 절편: $x^2(x-3)$ 이므로 $x=0$(중근), $x=3$. $y$ 절편 $0$. $f'=3x(x-2)$ → **극대 $(0,0)$, 극소 $(2,-4)$.** $f''=6x-6$ → **변곡점 $(1,-2)$.** 개형: 왼쪽 아래에서 올라와 $(0,0)$ 에서 꼭짓점을 찍고 내려가 $(2,-4)$ 에서 바닥을 친 뒤 다시 올라가 $(3,0)$ 을 지난다. 9. $f'=(x-1)(x-4)$. $f'(0)=4>0$, $f'(2)=-2<0$, $f'(5)=4>0$. 증가 $x<1$, 감소 $14$. **$x=1$ 에서 극대, $x=4$ 에서 극소.** $y$ 좌표는 **구할 수 없다.** $f$ 자체를 모르기 때문이다(상수 차이만큼 위아래로 통째로 움직일 수 있다). 도함수는 **모양**을 정하지 **높이**를 정하지 않는다. 이 사실은 적분에서 다시 다룬다. 10. $P'=-3x^2+18x-15=-3(x-1)(x-5)$. $P'(0)=-15<0$, $P'(3)=12>0$, $P'(6)=-15<0$. **$x=5$ 에서 극대.** 최대 이익 $P(5)=-125+225-75+7=32$, 즉 **생산량 $500$ 개, 이익 $32$ 만원.** 참고로 $x=1$ 은 극소($P(1)=0$)다. 여기서 계산을 끝내지 않는다. **극대는 그 근처에서만 가장 높다는 뜻이므로, 구간 전체의 최대를 말하려면 끝점을 함께 봐야 한다.** 끝점은 $P(0)=7$, $P(7)=-343+441-105+7=0$ 이다. 넷을 한 줄에 놓고 비교하면 $32 > 7 > 0$ 이므로 $x=5$ 가 구간 전체의 최대이기도 하다. **빈번한 오류**: 끝점을 확인하지 않고 "극대니까 최대"라고 곧장 단정한다. 이번에는 답이 일치하지만, 봉우리보다 끝점이 높은 문제에서는 그대로 틀린다. 11. $v(t)=s'=3t^2-12t+9=3(t-1)(t-3)$. (1) 속도의 **부호가 바뀌는** $t=1$ 초와 $t=3$ 초. ($v(0)=9>0$, $v(2)=-3<0$, $v(4)=9>0$) (2) $a(t)=s''=6t-12$ 이므로 **$t=2$ 초.** (3) **아니다.** $t=2$ 에서 $v(2)=-3$ 이므로 초당 $3$ 미터로 **뒤로 가는 중**이다. 가속도가 $0$ 인 것은 "속도가 그 순간 변하지 않는다"는 뜻이지 "멈췄다"가 아니다. **빈번한 오류**: 가속도 $0$ 을 정지로 읽는다. 12. 예시 답안: "그래프는 계속 올라간다($f'>0$). 다만 올라가는 기울기가 점점 작아져서 위로 볼록한 모양, 즉 완만해지는 오르막이다." — 핵심은 **여전히 증가한다**는 것을 명시하는 것. 13. $f'=4x^3-12x^2=4x^2(x-3)$, 임계점 $x=0, 3$. $f'(-1)=-16<0$, $f'(1)=-8<0$, $f'(4)=64>0$. **$x=0$: 부호가 바뀌지 않는다(음수 → 음수). 극값이 아니다.** **$x=3$: 음수 → 양수, 극소 $f(3)=-27$.** $f''=12x^2-24x=12x(x-2)$ → $f''$ 의 부호가 $x=0$ 과 $x=2$ 에서 각각 바뀌므로 **변곡점 $(0,0)$ 과 $(2,-16)$.** $x=0$ 은 임계점이면서 변곡점인 자리다. $y=x^3$ 과 같은 구조다. 14. 예시 답안: $f(x)=x^3$, $a=0$. $f'=3x^2$ 이므로 $f'(0)=0$. 그런데 $f'(-1)=3>0$, $f'(1)=3>0$ 으로 **양쪽 다 양수**라 부호가 바뀌지 않는다. 계속 증가하는 중에 한 점에서만 평평해졌으므로 극값이 아니다. ($x^5$, $-x^3$, $x^3+x$ 등 다른 예도 정답. 단 $f'(a)=0$ 을 실제로 확인하고 **부호표**를 그려야 정답.) ::: ### 추가 연습문제 매일 $20$ 분씩 나누어 푸는 편이 한 번에 몰아 푸는 것보다 절차 정착에 유리하다. 한 문항에서 $5$ 분 이상 진전이 없으면 표시해 두고 다음 문항으로 넘어간다. 아래 문항도 **모두 부호표를 그린다.** 표 없이 답만 쓴 것은 푼 것으로 인정하지 않는다. **$f'$ 의 부호와 증감 구간** 1. $f(x)=x^2-8x+1$ 의 증가·감소 구간을 구하라. 2. $f(x)=3-2x-x^2$ 의 증가·감소 구간을 구하라. 3. $f(x)=x^3-6x^2+9x$ 의 $f'$ 을 구하고 인수분해하라. 4. 3번 함수의 증가·감소 구간을 부호표로 구하라. 5. $f(x)=x^3+x$ 가 모든 실수에서 증가함을 보여라. **극대·극소 찾기** 6. $f(x)=x^2-6x+10$ 의 극대·극소를 구하라. 7. $f(x)=x^3-3x^2-9x+11$ 의 극대·극소를 구하라. 8. $f(x)=2x^3-3x^2-12x$ 의 극대·극소를 구하라. 9. $f(x)=x^4-8x^2$ 의 극대·극소를 구하라. (임계점이 세 개다) 10. $f(x)=x^3-3x^2+3x$ 의 극대·극소를 구하라. 11. $f(x)=-x^3+3x$ 의 극대·극소를 구하라. **$f''$ · 오목성 · 변곡점** 12. $f(x)=x^3-6x^2+5$ 의 오목성 구간과 변곡점을 구하라. 13. $f(x)=x^3+3x^2$ 의 오목성 구간과 변곡점을 구하라. 14. $f(x)=x^4$ — $f''(0)=0$ 이다. 변곡점인가? 이유를 함께 쓰라. 15. $f(x)=x^4-6x^2$ 의 오목성 구간과 변곡점을 구하라. 16. $f(x)=-x^3+6x^2$ 의 오목성 구간과 변곡점을 구하라. **개형 그리기 · 문장제 · 설명** 17. $f(x)=x^3-3x$ 의 개형을 그려라. 절편, 극값, 변곡점을 모두 표시할 것. 18. $f(x)=-x^3+3x^2$ 의 개형을 그려라. 절편, 극값, 변곡점을 모두 표시할 것. 19. 하루 $x$ 시간 광고를 할 때 순이익이 $P(x)=-x^3+9x^2-15x+7$ (만원)이다($0 \le x \le 7$). 순이익이 최대가 되는 시간과 그때의 순이익을 구하라. **끝점 $x=0$ 과 $x=7$ 의 값도 함께 비교할 것.** 극소가 되는 시간도 함께 구하고, 그 지점이 왜 구간 전체의 최소라고 단정할 수 없는지 한 줄로 설명하라. 20. $f'(a)=0$ 인데 $x=a$ 가 극값이 **아닌** 예를 하나 들고, 왜 극값이 아닌지 부호표로 설명하라. :::{admonition} 정답과 해설 :class: dropdown 1. $f'=2x-8$. **감소 $x<4$, 증가 $x>4$.** (극소 $f(4)=-15$) 2. $f'=-2-2x=-2(x+1)$. **증가 $x<-1$, 감소 $x>-1$.** (극대 $f(-1)=4$) 3. $f'=3x^2-12x+9=3(x-1)(x-3)$ 4. $f'(0)=9>0$, $f'(2)=-3<0$, $f'(4)=9>0$. **증가 $x<1$, 감소 $13$.** 5. $f'=3x^2+1$. $3x^2 \ge 0$ 이므로 $f' \ge 1 > 0$, 즉 **항상 양수**다. 따라서 모든 구간에서 증가하고 극값이 없다. 6. $f'=2x-6$. **극소 $f(3)=1$.** 극대 없음. 7. $f'=3x^2-6x-9=3(x+1)(x-3)$. **극대 $f(-1)=16$, 극소 $f(3)=-16$.** 8. $f'=6x^2-6x-12=6(x+1)(x-2)$. **극대 $f(-1)=7$, 극소 $f(2)=-20$.** 9. $f'=4x^3-16x=4x(x-2)(x+2)$. $f'(-3)=-60<0$, $f'(-1)=12>0$, $f'(1)=-12<0$, $f'(3)=60>0$. **극소 $f(-2)=-16$, 극대 $f(0)=0$, 극소 $f(2)=-16$.** **빈번한 오류**: $x$ 로 묶지 않아 임계점 $x=0$ 을 놓친다. 10. $f'=3x^2-6x+3=3(x-1)^2$. 임계점은 $x=1$ 뿐인데 $f'(0)=3>0$, $f'(2)=3>0$ 으로 **부호가 바뀌지 않는다. 극값 없음.** 항상 증가하며 $x=1$ 에서만 순간적으로 평평하다. 이 장에서 강조한 함정이 그대로 재현된 예다. 11. $f'=-3x^2+3=-3(x-1)(x+1)$. $f'(-2)=-9<0$, $f'(0)=3>0$, $f'(2)=-9<0$. **극소 $f(-1)=-2$, 극대 $f(1)=2$.** 최고차항이 음수라 증감 순서가 뒤집힌다. 12. $f''=6x-12$. $x<2$ 위로 볼록, $x>2$ 아래로 볼록. **변곡점 $(2,-11)$.** 13. $f''=6x+6$. $x<-1$ 위로 볼록, $x>-1$ 아래로 볼록. **변곡점 $(-1,2)$.** 14. $f''=12x^2$ 이므로 $f''(0)=0$ 이다. 그러나 $f''(-1)=12>0$, $f''(1)=12>0$ 으로 **부호가 바뀌지 않는다. 변곡점이 아니다.** 모든 구간에서 아래로 볼록(그릇 모양)이다. $f'=0$ 이 항상 극값이 아니듯, $f''=0$ 도 항상 변곡점이 아니다. **같은 구조의 함정**이다. 15. $f''=12x^2-12=12(x-1)(x+1)$. $f''(-2)=36>0$, $f''(0)=-12<0$, $f''(2)=36>0$. $x<-1$ 아래로 볼록, $-11$ 아래로 볼록. **변곡점 $(-1,-5)$ 와 $(1,-5)$.** 16. $f''=-6x+12$. $x<2$ 아래로 볼록, $x>2$ 위로 볼록. **변곡점 $(2,16)$.** 17. 절편: $x(x^2-3)=0$ 이므로 $x=0, \pm\sqrt{3}$(약 $\pm1.73$), $y$ 절편 $0$. $f'=3(x-1)(x+1)$ → **극대 $(-1,2)$, 극소 $(1,-2)$.** $f''=6x$ → **변곡점 $(0,0)$.** 개형: 왼쪽 아래에서 올라와 $(-1,2)$ 에서 봉우리, 원점을 지나 내려가 $(1,-2)$ 에서 바닥, 다시 올라간다. 18. 절편: $x^2(3-x)=0$ 이므로 $x=0$(중근), $x=3$. $f'=-3x(x-2)$ → $f'(-1)=-9<0$, $f'(1)=3>0$, $f'(3)=-9<0$ → **극소 $(0,0)$, 극대 $(2,4)$.** $f''=-6x+6$ → **변곡점 $(1,2)$.** 최고차항이 음수라 왼쪽 위에서 내려와 $(0,0)$ 에서 바닥을 치고 $(2,4)$ 에서 봉우리를 찍은 뒤 다시 내려간다. 검산: 변곡점 $(1,2)$ 가 $(0,0)$ 과 $(2,4)$ 의 한가운데다. 19. $P'=-3x^2+18x-15=-3(x-1)(x-5)$. $P'(0)=-15<0$, $P'(3)=12>0$, $P'(6)=-15<0$. **$x=5$ 시간에서 최대, 순이익 $P(5)=32$ 만원.** 극소는 $x=1$ 시간, $P(1)=0$ 만원. 그 지점이 구간 전체의 최소라고 곧장 단정할 수 없는 이유: **극값은 그 근처에서만 최고·최저를 뜻하는 국소적인 개념**이고, 구간 전체의 최대·최소는 끝점($x=0$ 에서 $7$, $x=7$ 에서 $0$)까지 함께 비교해야 하기 때문이다. 여기서는 $x=1$ 과 $x=7$ 이 둘 다 $0$ 으로 공동 최소다. (구간 전체의 최댓값·최솟값은 다음 장에서 다룬다.) 20. 예시 답안: $f(x)=x^3$, $a=0$. $f'=3x^2$, $f'(0)=0$. 부호표에서 $f'(-1)=3>0$, $f'(1)=3>0$ 으로 양쪽 모두 양수 — **부호 변화가 없으므로 극값이 아니다.** ($x^5$, $x^3-1$, $-x^3$ 등도 정답. 부호표를 실제로 그렸으면 인정.) ::: ## 요약과 다음 장 이 장의 핵심은 한 줄이다. **도함수의 부호가 곡선의 오르내림을 정한다.** $f' > 0$ 이면 증가, $f' < 0$ 이면 감소다. 여기에 증감표 다섯 단계, $f''$ 가 휘는 방향(오목성)을 정한다는 사실, 그리고 삼차함수 하나를 절편부터 개형까지 조립하는 절차를 더했다. 특히 두 번 반복된 문장을 확인한다. **$f'=0$ 이라고 모두 극값인 것은 아니고, $f''=0$ 이라고 모두 변곡점인 것은 아니다.** 둘 다 후보이며, 판정하는 것은 언제나 **부호 변화**이다. $y=x^3$ 이 그 반례였다. 이 장에서 구한 봉우리와 골짜기는 그 근처에서만 최고·최저인 **국소적인** 값이다. 철사 $20$ 미터로 울타리를 칠 때 어떤 모양이라야 땅이 가장 넓은가와 같은 문제는, 구간 전체에서 최댓값·최솟값을 찾는 문제이다. [제31장](ch31.md)에서 이 장의 도구를 그 용도로 사용한다. 미분이 최적화 문제에 적용되는 첫 사례이다.