# 제13장 · 다항식의 곱셈 (전개) :::{admonition} 이 장 :class: seealso | | | |---|---| | **원본 코드** | R2-W05 | | **선행 내용** | 제12장(지수법칙) | | **요지** | 괄호를 푸는 것은 넓이를 나눠 세는 일이다. $(a+b)^2$ 은 $a^2+b^2$ 이 아니라 $a^2+2ab+b^2$ 이다. | ::: ## 도입 다음 상황을 계산 없이 확인한다. 한 변이 $3$ m인 정사각형 방 바닥에 $1 \text{ m} \times 1 \text{ m}$ 타일을 깔면 $9$ 장이 들어간다. $$3 \times 3 = 9$$ 이 방을 넓힌다. 가로도 $4$ m, 세로도 $4$ m 늘려 한 변 $7$ m짜리 방으로 만든다. **추가로 필요한 타일의 수를 구한다.** 이때 $16$ 장이라고 답하는 경우가 많다. 늘린 부분을 $4 \times 4$ 짜리 정사각형 하나로만 센 결과이다. 그 조각은 실제로 필요하지만, 그것만으로는 방이 채워지지 않는다. 실제로 필요한 타일은 다음과 같다. $$7 \times 7 = 49, \qquad 49 - 9 = 40$$ $16$ 이 아니라 $40$ 이다. **$24$ 장이 추가로 필요하다.** 식으로 쓰면 차이가 더 분명해진다. $$(3+4)^2 = 49, \qquad 3^2 + 4^2 = 25, \qquad \text{차이} = 24$$ $(3+4)^2$ 을 $3^2 + 4^2$ 으로 계산하면 $16$ 장이라는 답이 나온다. 이 $24$ 가 어떤 모양의 조각인지, 그리고 $(a+b)^2$ 이 $a^2+b^2$ 이 아닌 이유는 이 장의 넓이격자로 확인한다. ## 곱셈은 직사각형의 넓이다 곱셈은 직사각형의 넓이다. 괄호가 있는 곱셈은 그 직사각형을 여러 조각으로 나눠 센 것이다. **빠뜨린 조각이 없으면 전개가 완료된다.** 이 문장이 이 장의 기준이 된다. 먼저 가로가 $b+c$, 세로가 $a$ 인 직사각형을 본다. 가로를 두 도막으로 나누고 각 칸의 넓이를 적는다. ```{image} /_static/figs/ch13_ab_bc.svg :alt: 넓이격자: a(b+c) = ab + ac :width: 360px :align: center :class: chfig ``` 전체 넓이는 두 가지 방법으로 셀 수 있다. 하나는 통째로 가로 $b+c$ 에 세로 $a$ 를 곱한 $a(b+c)$ 이고, 다른 하나는 조각별로 센 $ab$ 와 $ac$ 이다. 같은 넓이이므로 두 값은 같다. $$a(b+c) = ab + ac$$ 이것이 분배법칙이다. 규칙으로 외운 것을 그림으로 다시 보면, 분배법칙은 **넓이를 자르고 세는 절차**이다. 이제 가로와 세로를 모두 나눈다. 가로를 $a$ 와 $b$ 로, 세로를 $c$ 와 $d$ 로 나누면 칸이 **반드시 네 개** 생긴다. ```{image} /_static/figs/ch13_2x2.svg :alt: 넓이격자: 가로세로 나누면 네 칸 :width: 340px :align: center :class: chfig ``` $$(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd$$ 항이 네 개인 이유는 칸이 네 개이기 때문이다. 외운 순서가 아니라 격자의 결과이다. 앞 괄호의 항 $2$ 개와 뒤 괄호의 항 $2$ 개가 곱해져 $2 \times 2 = 4$ 개가 된다. 여기서 이 장에서 가장 빈번한 오류를 미리 확인한다. $(x+2)(x+5)$ 를 $x^2 + 10$ 으로 쓰는 경우가 있다. 앞은 앞끼리, 뒤는 뒤끼리 곱한 것이다. 격자에서 보면 **대각선 두 칸만 세고 나머지 두 칸을 누락한 것**이다. 네 칸 중 두 칸의 넓이가 빠진다. **예제 1.** $(x+2)(x+5)$ 를 전개한다. 격자를 그리고 각 칸의 넓이를 채운다. ```{image} /_static/figs/ch13_xp_x5.svg :alt: 넓이격자: (x+2)(x+5) :width: 320px :align: center :class: chfig ``` $$(x+2)(x+5) = x^2 + 5x + 2x + 10$$ $5x$ 와 $2x$ 는 같은 종류이다. 둘 다 "$x$ 짜리"이므로 합칠 수 있다(동류항). $$= x^2 + 7x + 10$$ **예제 2.** $(2x-1)(x+4)$ 를 전개한다. 괄호 안에 뺄셈이 있어도 절차는 같다. **$-1$ 을 하나의 항으로 취급한다.** 부호를 분리해 두었다가 나중에 붙이면 오류가 발생한다. $$(2x-1)(x+4) = 2x \cdot x + 2x \cdot 4 + (-1) \cdot x + (-1) \cdot 4$$ $$= 2x^2 + 8x - x - 4 = 2x^2 + 7x - 4$$ $8x - x$ 는 $7x$ 이다. $8x$ 나 $9x$ 가 아니다. 이 지점은 부호를 누락하기 쉬운 자리이다. **예제 3.** 괄호 안 항이 셋이어도 달라지는 것은 칸의 개수뿐이다. $(x+2)(x^2+3x+1)$ 을 전개한다. 앞 괄호 항이 $2$ 개, 뒤 괄호 항이 $3$ 개이므로 칸은 $2 \times 3 = 6$ 개이다. 세로를 두 도막, 가로를 세 도막으로 나눈 격자를 표로 나타낸다. 왼쪽 열이 앞 괄호의 항이고, 첫 행이 뒤 괄호의 항이다. | $\times$ | $x^2$ | $3x$ | $1$ | |---|---|---|---| | $x$ | $x^3$ | $3x^2$ | $x$ | | $2$ | $2x^2$ | $6x$ | $2$ | 여섯 칸을 하나도 빠뜨리지 않고 채운 뒤에는 같은 차수끼리 모은다. $$(x+2)(x^2+3x+1) = x^3 + 3x^2 + x + 2x^2 + 6x + 2$$ $x^2$ 짜리가 $3x^2$ 과 $2x^2$ 둘, $x$ 짜리가 $x$ 와 $6x$ 둘이다. $$= x^3 + 5x^2 + 7x + 2$$ **항이 몇 개이든 칸의 개수는 곱셈표의 크기와 같다.** $2 \times 2$ 이면 네 칸, $2 \times 3$ 이면 여섯 칸, $3 \times 3$ 이면 아홉 칸이다. 괄호가 **세 개** 곱해져 있을 때도 새로운 규칙은 필요하지 않다. **둘씩 나눠 곱한다.** 예를 들어 $(x+1)(x+2)(x+3)$ 은 앞의 둘을 먼저 곱해 $(x+1)(x+2) = x^2+3x+2$ 로 괄호를 하나로 줄인 다음, 그 결과에 $(x+3)$ 을 곱하면 앞에서 다룬 여섯 칸짜리 격자가 된다. ## $(a+b)^2$ 은 네 조각이다 이 장의 핵심 그림이다. 한 변이 $a+b$ 인 정사각형을 그리고, 가로선과 세로선을 넣어 네 조각으로 나눈다. ```{image} /_static/figs/ch13_ab2.svg :alt: 넓이격자: (a+b)² = a²+2ab+b² :width: 320px :align: center :class: chfig ``` 큰 정사각형의 넓이는 $(a+b)^2$ 이다. 조각은 네 개이다. 큰 정사각형 $a^2$, 작은 정사각형 $b^2$, 그리고 **가로로 누운 직사각형 하나와 세로로 선 직사각형 하나**이다. 뒤의 두 조각의 넓이는 각각 $ab$ 이다. 네 조각을 모두 더하면 다음과 같다. $$(a+b)^2 = a^2 + ab + ab + b^2 = a^2 + 2ab + b^2$$ 다음은 빈번하게 나타나는 잘못된 식이다. $$(a+b)^2 = a^2 + b^2 \quad (?)$$ 이 식은 가운데 두 조각($ab$ 두 개)을 제외한 결과이다. **두 조각도 큰 정사각형의 일부이므로 제외할 수 없다.** $(a+b)^2 = a^2+b^2$ 이라고 쓰는 것은 네 조각 중 두 조각의 넓이를 빠뜨린 채 전체 넓이를 구한 것이다. 도입의 상황을 그림에 대입한다. $a = 3$, $b = 4$ 이다. $$a^2 = 9, \quad ab = 12, \quad ab = 12, \quad b^2 = 16$$ $$9 + 12 + 12 + 16 = 49$$ 도입에서 확인한 $24$ 가 여기에 있다. $12 + 12$, 곧 $ab$ 조각 두 개이다. 새로 필요한 타일 $40$ 장은 $12 + 12 + 16$ 이다. $16$ 장이라는 답은 $ab$ 조각 두 개를 누락한 결과이다. 이 차이는 계산 실수가 아니라 곱셈의 구조에서 비롯된다. **제곱은 괄호 안의 덧셈에 항별로 분배되지 않는다.** 그러므로 $(a+b)^2$ 은 $a^2+b^2$ 과 다르며, 그 차이가 정확히 가운데 $2ab$ 이다. 넓이격자를 기준으로 삼으면 이 차이를 매번 확인할 수 있다. ## 곱셈 공식 네 줄, 격자 하나 $(a+b)^2$ 을 이해하면 나머지 공식은 같은 격자에서 유도된다. **$(a-b)^2$** — 격자로 전개하면 가운데 두 항의 부호만 바뀐다. $$(a-b)^2 = (a-b)(a-b) = a^2 - ab - ab + b^2 = a^2 - 2ab + b^2$$ 끝의 $b^2$ 는 음수가 아니다. $(-b) \times (-b) = +b^2$ 이기 때문이다. **$(a+b)(a-b)$** — 가운데 두 항이 서로 상쇄된다. $$(a+b)(a-b) = a^2 - ab + ab - b^2 = a^2 - b^2$$ $-ab$ 와 $+ab$ 가 사라지고 $a^2 - b^2$ 만 남는다. 이 결과는 그림으로도 확인된다. 한 변이 $a$ 인 정사각형에서 한 변이 $b$ 인 정사각형을 오려내면 넓이 $a^2 - b^2$ 짜리 ㄱ자 조각이 남는다. 그 조각을 한 번 잘라 옮겨 붙이면 가로 $a+b$, 세로 $a-b$ 인 직사각형이 된다. 넓이는 변하지 않는다. '한 번 잘라 옮겨 붙인다'에서 자르는 위치는 다음과 같다. **ㄱ자의 안쪽 모서리에서 가로로 한 번 자른다.** 조각이 둘로 나뉘며, **세로가 둘 다 $a-b$ 로 같은 두 조각**이 되도록 자른다. 세로가 같아야 옆으로 붙일 수 있다. | 조각 | 가로 | 세로 | 넓이 | |---|---|---|---| | 큰 조각 | $a$ | $a-b$ | $a(a-b)$ | | 작은 조각 | $a-b$ | $b$ | $b(a-b)$ | | 작은 조각을 $90^\circ$ 돌린 것 | $b$ | $a-b$ | $b(a-b)$ | 작은 조각을 돌리면 가로와 세로가 맞바뀌어 세로가 $a-b$ 가 된다. 이 조각은 큰 조각의 옆면과 정확히 맞물린다. 붙이고 나면 세로는 $a-b$ 로 유지되고, 가로는 $a$ 에 $b$ 가 이어져 $a+b$ 가 된다. $$a^2 - b^2 = a(a-b) + b(a-b) = (a+b)(a-b)$$ ```{image} /_static/figs/ch13_diffsq.svg :alt: a²-b² = (a+b)(a-b) 넓이 재배치 :width: 560px :align: center :class: chfig ``` $$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$$ 네 공식을 정리하면 다음과 같다. 이후 장에서 반복해 사용한다. $$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$ $$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$$ $$(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$$ $$(x+a)(x+b) = x^2 + (a+b)x + ab$$ 네 번째 줄도 격자에서 그대로 나온다. 가로를 $x$ 와 $a$ 로, 세로를 $x$ 와 $b$ 로 나누면 네 칸은 $x^2$, $ax$, $bx$, $ab$ 이다. 이때 **가운데 두 칸이 모두 "$x$ 짜리"**이므로 합쳐진다 — $ax + bx = (a+b)x$. 앞의 예제 1에서 $5x + 2x = 7x$ 로 합친 것이 이 부분에 해당한다. 그러므로 **가운데 계수는 두 수의 합, 상수는 두 수의 곱**이 된다. $$(x+2)(x+5) = x^2 + \underbrace{(2+5)}_{\text{합}}x + \underbrace{2 \cdot 5}_{\text{곱}} = x^2+7x+10$$ [제15장](ch15.md)에서는 이 줄을 거꾸로 읽는다. 합과 곱이 주어졌을 때 두 수를 찾는 문제가 된다. **네 공식은 모두 하나의 격자에서 유도된다.** 공식이 기억나지 않으면 격자를 그린다. $30$ 초가 더 걸리지만 항을 빠뜨리지 않는다. **예제 1.** $(3x-2)^2$ 을 전개한다. $a = 3x$, $b = 2$ 로 두면 된다. $a$ 가 문자 하나여야 하는 것은 아니다. $$(3x)^2 - 2 \cdot (3x) \cdot 2 + 2^2 = 9x^2 - 12x + 4$$ 첫 항은 $3x^2$ 이 아니라 $9x^2$ 이다. $(3x)^2$ 에서는 계수 $3$ 도 함께 제곱된다. **예제 2.** $(x+3)^2 - (x-3)^2$ 을 전개해서 간단히 한다. 뒤 괄호 앞에 음의 부호가 있다. **이 부호는 괄호 안 세 항 전부에 적용된다.** 하나라도 빠뜨리면 결과가 달라진다. $$(x^2 + 6x + 9) - (x^2 - 6x + 9) = x^2 + 6x + 9 - x^2 + 6x - 9 = 12x$$ $x^2$ 항도 상수항 $9$ 도 상쇄되고 $12x$ 만 남는다. 두 정사각형 넓이의 차가 일차식으로 정리된다. ### 전개식의 검산 전개 결과는 다음 방법으로 검산한다. **원식과 전개식에 같은 수를 대입해 값이 같은지 확인한다.** 두 식이 같은 식이면 $x$ 자리에 어떤 값을 대입해도 값이 일치하기 때문이다. 예제 2에서 얻은 $(2x-1)(x+4) = 2x^2+7x-4$ 를 $x=2$ 로 확인한다. $$\text{원식}: \ (2 \cdot 2 - 1)(2+4) = 3 \times 6 = 18$$ $$\text{전개식}: \ 2 \cdot 2^2 + 7 \cdot 2 - 4 = 8 + 14 - 4 = 18$$ 두 값이 $18$ 로 일치한다. 전개가 올바르게 이루어진 것이다. $x=1$ 을 대입하면 계산이 더 간단하다. $x$ 자리에 $1$ 을 넣으면 $x^2$ 도 $x$ 도 모두 $1$ 이 되어, **계수의 합**만 비교하면 되기 때문이다. 같은 식에 대입하면 원식은 $(2-1)(1+4) = 1 \times 5 = 5$, 전개식은 $2+7-4 = 5$ 로 일치한다. 검산의 성질에 한 가지 유의한다. 값이 다르면 **전개가 틀린 것이 확실하다.** 반대로 값이 같다고 해서 항상 옳은 것은 아니며, 특정한 한 값에서만 우연히 일치할 수 있다. 확실하지 않으면 $x=2$ 를 한 번 더 대입한다. 이 절차는 격자를 처음부터 다시 그리는 것보다 빠르다. ## 빈번한 오류 :::{admonition} $(a+b)^2$ 을 $a^2+b^2$ 이라고 쓴다 :class: warning 이 장에서 가장 빈번한 오류이다. 원인은 지수가 괄호 안의 각 항에 개별적으로 적용된다는 인식이다. 이 인식은 **부분적으로만 옳다** — $(ab)^2 = a^2 b^2$ 은 실제로 성립한다. 다만 이는 곱셈에서만 성립하는 성질이며, 덧셈에는 적용되지 않는다. 식만으로 교정하면 같은 오류가 반복되기 쉬우므로 넓이격자에서 확인한다. 가운데 $ab$ 조각 두 개는 큰 정사각형의 일부이므로 제외할 수 없다. 수치로 확인하면 $(3+4)^2 = 49$, $3^2+4^2 = 25$, 차이 $24 = 2 \times 3 \times 4$ 이다. *확인 문제*: $(x+5)^2$ 을 전개하고, 가운데 $10x$ 가 그림의 어느 조각인지 말하라. (답: $x^2+10x+25$. $5x$ 짜리 직사각형 두 개.) ::: :::{admonition} 대각선 두 칸만 세고 나머지를 버린다 :class: warning $(x+2)(x+5) = x^2+10$ 처럼 쓴다. 앞은 앞끼리, 뒤는 뒤끼리 짝지어 곱한 것이다. 곱셈을 "두 수를 짝지어 곱하는 것"으로만 기억하면 곱해야 할 짝이 몇 개인지 셀 기준이 없다. 앞 괄호 항 $2$ 개 곱하기 뒤 괄호 항 $2$ 개 $= 4$ 칸이다. **네 칸을 모두 채우기 전에는 전개가 끝나지 않는다.** 동류항을 합치는 것은 그다음 단계이다. *확인 문제*: $(x+4)(x+3)$ 은 합치기 전 항이 몇 개인가? (답: 네 개. 정리하면 $x^2+7x+12$.) ::: :::{admonition} 괄호 앞 마이너스가 첫 항에만 걸린다 :class: warning $-3(2x-5) = -6x-15$ 처럼 쓴다. 음의 부호를 항의 부호가 아니라 앞에 덧붙은 기호로 읽은 데서 비롯된다. $-3$ 을 하나의 수로 보고 괄호 안 **모든** 항에 곱해야 한다. 두 번째로 곱할 항은 $-5$ 이고, $(-3) \times (-5) = +15$ 이다. 음수끼리의 곱은 양수이다. 뺄셈 뒤의 괄호는 $-1$ 을 곱하는 형태로 다시 쓰면 부호를 놓치지 않는다. $A - (B+C) = A - B - C$ 이며, 세 항이면 세 항 모두 부호가 바뀐다. *확인 문제*: $5 - (x - 3)$ 을 간단히 하라. (답: $8 - x$. $2 - x$ 는 틀림.) ::: :::{admonition} $(a-b)^2$ 과 $(a+b)(a-b)$ 를 뒤섞는다 :class: warning $(x-6)^2 = x^2-36$ 이라고 쓰거나, $(x+5)(x-5) = x^2-10x-25$ 라고 쓴다. 네 공식을 모양만 비슷한 암기 항목으로 저장하면 두 형태를 혼동하기 쉽다. 격자로 나란히 전개하면 두 경우가 구분된다. $(x-5)(x-5)$ 는 가운데 두 칸이 둘 다 음수이므로 **더해져** $-10x$ 가 되고, $(x+5)(x-5)$ 는 하나는 양수 하나는 음수이므로 **상쇄되어** 사라진다. 끝 항의 부호도 확인한다. $(-5)(-5) = +25$, $(+5)(-5) = -25$ 이다. *확인 문제*: $(x-4)^2$ 과 $(x+4)(x-4)$ 를 연달아 전개하라. (답: $x^2-8x+16$ 과 $x^2-16$.) ::: ## 연습문제 계산기를 쓰지 않는다. **막히는 경우 격자를 그린다.** 칸 네 개를 그리는 데 $10$ 초가 걸리며, 격자를 채우면 항의 누락을 방지할 수 있다. 그리고 **답을 쓴 뒤에는 $x=1$ 이나 $x=2$ 를 원식과 전개식에 대입해 값이 같은지 확인한다**(「전개식의 검산」). `A` 기본 · `B` 표준 · `C` 도전. 1. `A` 전개하라. (1) $4(x+3)$ (2) $-3(2x-5)$ (3) $x(x-7)$ 2. `A` 전개하라. (1) $(x+1)(x+6)$ (2) $(x+3)(x-2)$ (3) $(x-4)(x-5)$ 3. `A` 전개하라. (1) $(x+3)^2$ (2) $(x-6)^2$ 4. `A` 전개하라. (1) $(x+7)(x-7)$ (2) $(2x+3)(2x-3)$ 5. `B` 전개하라. (1) $(x+2)(x-5)$ (2) $(2x-1)(x+4)$ 6. `B` 전개하라. (1) $(3x+2)(x-1)$ (2) $(2x+5)^2$ 7. `B` 전개하라. $(x+2)(x^2+3x+1)$ 8. `B` 전개해서 간단히 하라. $(x+3)^2 - (x-3)^2$ 9. `B` 한 변이 $x$ m인 정사각형 화단의 가로와 세로를 각각 $3$ m씩 늘렸다. (1) 새 화단의 넓이를 전개된 식으로 쓰라. (2) **늘어난 넓이**를 식으로 쓰라. 10. `B` 가로 $x+4$, 세로 $x+1$ 인 직사각형 방이 있다. 그 안에 한 변이 $2$ 인 정사각형 기둥이 서 있다. 실제 바닥 넓이를 전개된 식으로 쓰라. 11. `C` $(a+b)^2 = a^2+b^2$ 이 **성립하는 경우**가 있는가? 있다면 언제인가? 넓이 그림으로 설명하라. 12. `C` 전개하라. $(x+1)(x+2)(x+3)$ 13. `C` $101 \times 99$ 를 곱셈 공식을 써서 암산하라. 어떤 공식을 어떻게 썼는지 식으로 보이라. :::{admonition} 정답과 해설 :class: dropdown 1. (1) $4x+12$ (2) $-6x+15$ — 빈번한 오류: $-6x-15$. 괄호 앞 마이너스는 안쪽 모든 항에 적용된다. (3) $x^2-7x$ 2. (1) $x^2+7x+6$ (2) $x^2+x-6$ — 가운데는 $-2x+3x = +x$ (3) $x^2-9x+20$ — 음수끼리 곱해 상수항이 $+20$ 3. (1) $x^2+6x+9$ (2) $x^2-12x+36$ — 빈번한 오류: $x^2-36$(가운데 항 누락) 또는 $x^2-12x-36$(끝 부호). $(-6)^2 = +36$. 4. (1) $x^2-49$ (2) $4x^2-9$ — $(2x)^2 = 4x^2$. 빈번한 오류: $2x^2-9$. 5. (1) $x^2-3x-10$ — 가운데는 $-5x+2x = -3x$ (2) $2x^2+7x-4$ — 가운데는 $8x-x = 7x$ 6. (1) $3x^2-x-2$ — 가운데는 $-3x+2x = -x$ (2) $4x^2+20x+25$ — $2ab = 2 \cdot 2x \cdot 5 = 20x$ 7. $x^3+5x^2+7x+2$ — 앞 괄호 항 $2$ 개 곱하기 뒤 괄호 항 $3$ 개이므로 칸이 여섯 개이다. $x(x^2+3x+1) = x^3+3x^2+x$, $2(x^2+3x+1) = 2x^2+6x+2$, 더해서 정리한다. 8. $12x$ — $(x^2+6x+9)-(x^2-6x+9)$. 빈번한 오류: $12x+18$ 또는 $0$. 뒤 괄호의 $-6x$ 가 $+6x$ 로, $+9$ 가 $-9$ 로 바뀐다. 마이너스는 세 항 전부에 적용된다. 9. (1) $(x+3)^2 = x^2+6x+9$ (2) $6x+9$ — 늘어난 넓이는 새 넓이에서 원래 넓이 $x^2$ 을 뺀 것이다. $6x$ 가 $ab$ 조각 두 개($3x$ 짜리 둘), $9$ 가 모서리 정사각형이다. 도입의 타일 문제와 같은 구조이다. 10. $x^2+5x$ — $(x+4)(x+1) - 2^2 = x^2+5x+4-4$. 상수항이 상쇄되어 사라진다. 11. $2ab = 0$ 일 때, 즉 $a=0$ 이거나 $b=0$ 일 때만 성립한다. 넓이 그림으로 보면 한 변의 길이가 $0$ 이면 $ab$ 직사각형 두 개의 넓이가 $0$ 이 되어 조각이 사라진다. 그 경우가 아니면 언제나 $2ab$ 만큼 차이가 난다. "절대 성립하지 않는다"고만 쓰면 부분 정답이다. 조건을 정확히 서술하는 것이 요구된다. 12. $x^3+6x^2+11x+6$ — 앞의 둘을 먼저 곱한다. $(x+1)(x+2) = x^2+3x+2$. 그다음 $(x^2+3x+2)(x+3)$. 칸이 여섯 개이다. 13. $9999$ — $(100+1)(100-1) = 100^2 - 1^2 = 10000-1$. 합차 공식 $(a+b)(a-b) = a^2-b^2$ 을 암산에 적용한 것이다. ::: ### 추가 연습문제 판단이 어려운 문항은 격자를 그려 각 칸을 채운 뒤 정리한다. **분배법칙 기본** 1. $5(x+2)$ 2. $-4(x-3)$ 3. $2x(x+6)$ 4. $-3x(2x-1)$ 5. $3(x+2) + 2(x-1)$ 6. $x(x+1) - x$ 7. $4(2x-3) - 2(x-5)$ 8. $a(a+b)$ **$(x+a)(x+b)$ 꼴** 9. $(x+1)(x+2)$ 10. $(x+4)(x+5)$ 11. $(x+3)(x-1)$ 12. $(x-2)(x-6)$ 13. $(x+2)(x-5)$ 14. $(x-7)(x+3)$ 15. $(x+8)(x-8)$ 16. $(x-1)(x-1)$ **곱셈 공식** 17. $(x+3)^2$ 18. $(x-4)^2$ 19. $(x+6)(x-6)$ 20. $(2x+1)^2$ 21. $(3x-2)^2$ 22. $(2x-1)(x+4)$ 23. $(3x+1)(2x-3)$ 24. $(5x+2)(5x-2)$ **혼합 · 판단 · 암산** 25. $(x+2)^2 - (x^2+4)$ 를 간단히 하라. 남은 것이 무엇인지 넓이 그림의 말로 한 줄 설명하라. 26. $(x+1)(x+2) + (x+3)(x-1)$ 27. $(x+2)(x^2-2x+4)$ 28. 한 변이 $x+5$ 인 정사각형의 넓이를 전개된 식으로 쓰고, $x=3$ 일 때의 값을 구하라. 그 값이 $8^2$ 과 같은지 확인하라. 29. $(a+b)^2$ 과 $a^2+b^2$ 의 차이를 식으로 쓰고, 그 차이가 넓이 그림에서 **어느 조각**인지 한 문장으로 쓰라. 30. $52 \times 48$ 을 $(50+2)(50-2)$ 로 보고 암산하라. 쓴 공식을 함께 적으라. :::{admonition} 정답과 해설 :class: dropdown 1. $5x+10$ 2. $-4x+12$ 3. $2x^2+12x$ 4. $-6x^2+3x$ 5. $5x+4$ 6. $x^2$ 7. $6x-2$ 8. $a^2+ab$ 9. $x^2+3x+2$ 10. $x^2+9x+20$ 11. $x^2+2x-3$ 12. $x^2-8x+12$ 13. $x^2-3x-10$ 14. $x^2-4x-21$ 15. $x^2-64$ 16. $x^2-2x+1$ 17. $x^2+6x+9$ 18. $x^2-8x+16$ 19. $x^2-36$ 20. $4x^2+4x+1$ 21. $9x^2-12x+4$ 22. $2x^2+7x-4$ 23. $6x^2-7x-3$ 24. $25x^2-4$ - 2번 빈번한 오류: $-4x-12$. 괄호 앞 마이너스는 안쪽 모든 항에 적용된다. - 4번: $(-3x)(2x) = -6x^2$, $(-3x)(-1) = +3x$. - 7번: 뒤 괄호에 $-2$ 를 곱한다. $-2 \times (-5) = +10$. 그래서 $8x-12-2x+10 = 6x-2$. - 12번: 음수 둘이 곱해져 상수항이 $+12$, 가운데는 $-2x-6x = -8x$. - 16번: $(x-1)^2$ 과 같다. 빈번한 오류: $x^2-1$(합차 공식과 혼동). 「빈번한 오류」의 넷째 항목을 다시 확인한다. - 21번: $(3x)^2 = 9x^2$. 빈번한 오류: $3x^2-12x+4$. - 23번: $6x^2-9x+2x-3$. 가운데는 $-7x$. 25. $4x$ — $(x^2+4x+4)-(x^2+4) = 4x$. 설명 예시: "남은 $4x$ 는 넓이 그림의 $ab$ 조각 두 개($2x$ 짜리 둘)다." 이 문항은 「빈번한 오류」 첫째 항목에 대응하는 연습이다. 26. $2x^2+5x-1$ — $(x^2+3x+2)+(x^2+2x-3)$. 27. $x^3+8$ — 칸이 여섯 개이다. $x^3-2x^2+4x+2x^2-4x+8$. $x^2$ 항도 $x$ 항도 서로 상쇄되어 사라진다. 이 형태는 이후 세제곱 공식으로 다룬다. 28. $x^2+10x+25$. $x=3$ 이면 $9+30+25 = 64 = 8^2$. 한 변이 $3+5 = 8$ 이므로 두 값이 일치한다. 식과 넓이 그림이 같은 결과를 준다. 29. 차이는 $2ab$. 설명 예시: "가로 $a$, 세로 $b$ 인 직사각형 **두 개**가 빠진 것." $2ab$ 만 쓰고 조각에 대한 설명이 없으면 부분 정답이다. 30. $2496$ — $(50+2)(50-2) = 50^2 - 2^2 = 2500 - 4$. 쓴 공식은 $(a+b)(a-b) = a^2-b^2$. ::: ## 요약과 다음 장 이 장의 핵심은 한 문장으로 정리된다. **괄호를 푸는 것은 넓이를 나눠 세는 일이다.** 앞 괄호의 항 개수와 뒤 괄호의 항 개수를 곱한 만큼 칸이 생기고, 그 칸을 하나도 빠뜨리지 않고 세면 전개가 끝난다. 특히 $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ 이다. 누락되기 쉬운 것은 가운데 $2ab$, 곧 $ab$ 조각 두 개이다. $(a+b)^2 = a^2+b^2$ 이라고 쓰는 것은 네 조각 중 두 조각의 넓이를 빠뜨린 채 전체 넓이를 구한 것이다. 도입에서 누락되었던 $24$ 가 바로 이 두 조각이다. 곱셈 공식 네 줄은 암기 대상이 아니라 격자 하나에서 유도되는 결과이다. 기억나지 않으면 칸 네 개를 그리면 된다. 다음 장에서는 반대 방향으로 진행한다. 이 장에서 $(x+3)^2$ 을 $x^2+6x+9$ 로 **전개했다면**, [제14장](ch14.md)에서는 $x^2+6x+9$ 만 주고 어떤 두 식의 곱인지 묻는다. 곱을 푸는 방향은 대체로 가능하지만, 거꾸로 되짚는 인수분해는 더 까다롭다. 이 장에서 그린 격자가 그때의 재료가 된다.