# 제12장 · 지수법칙 :::{admonition} 이 장 :class: seealso | | | |---|---| | **원본 코드** | R2-W04 | | **선행 내용** | [제11장](ch11.md) · 일차부등식 | | **요지** | 지수는 '몇 번 곱했나'의 **개수**다. 곱하면 개수를 더하고($a^m a^n = a^{m+n}$), 거듭하면 곱한다. | ::: ## 도입 종이 한 장을 반으로 접으면 두 겹이 된다. 다시 접으면 네 겹, 한 번 더 접으면 여덟 겹이 된다. 실제로는 예닐곱 번에서 더 접히지 않는다. 일곱 번 접은 경우 겹의 수는 $$2^7 = 128$$ 이다. 실제로는 접을 수 없으나, $42$ 번 접은 경우를 계산한다. 종이 한 장의 두께를 $0.1$ mm로 두면 접은 두께는 $0.1 \times 2^{42}$ mm이고, $$0.1 \times 2^{42}\ \text{mm} \ \approx \ 439{,}800\ \text{km}$$ 이다. 이 값은 계산기 없이 단계적으로 확인할 수 있다. 필요한 값은 $2^{10} = 1024 \approx 1000$ 하나이다. $$2^{40} = 2^{10} \times 2^{10} \times 2^{10} \times 2^{10} \approx 1000 \times 1000 \times 1000 \times 1000 = 10^{12}$$ $2^{42}$ 는 여기에 $2$ 를 두 번 더 곱한 것, 곧 $4$ 배이다. $$2^{42} \approx 10^{12} \times 4 = 4 \times 10^{12}$$ 여기에 종이 두께 $0.1$ 을 곱하면 $4 \times 10^{11}$ mm이다. 다음으로 단위를 옮긴다. $1$ m는 $1000$ mm, $1$ km는 $1000$ m이므로 **mm에서 km로 가려면 $1{,}000{,}000$ 으로 나눈다.** $$\frac{4 \times 10^{11}}{10^{6}} = 4 \times 10^{5} \ \text{km} = 40 \text{ 만 km}$$ 어림값은 약 $40$ 만 km이며, 앞의 $439{,}800$ km와 일치한다. **값이 불확실하면 대입해서 확인하고, 큰 수는 단계를 나누어 어림한다.** 달까지의 거리는 약 $38$ 만 $4$ 천 km이므로, $42$ 번 접은 두께는 이 거리를 넘어선다. 거듭제곱은 이러한 크기의 증가를 만들며, 이를 다루는 규칙이 별도로 필요하다. 이 장에서 그 규칙을 정리한다. 규칙을 정리하기 전에 다음 식의 빈칸을 확인한다. $$2^2 \times 2^3 = 2^{\,?}$$ 여기에 가장 빈번하게 제시되는 답은 $2^6$ 이다. 지수 $2$ 와 $3$ 을 곱해 $6$ 을 얻은 것이다. 이 답에도 나름의 논리가 있다. 곱셈 문제이므로 지수도 곱한다는 논리이다. 이 장에서는 그 논리가 성립하는지 **풀어 써서** 확인한다. 결론을 먼저 밝히면 답은 $2^6$ 이 아니다. ## 지수는 개수다 $a^m$ 은 "$a$ 를 $m$ 개 곱했다"는 기록이다. $$a^m \ = \ \text{“} a \text{ 를 } m \text{ 개 곱한 것”}$$ 지수는 **크기가 아니라 개수**다. 이 정의에서 이 장의 법칙 네 개가 모두 나오므로 법칙을 개별적으로 암기할 필요가 없다. 개수를 세면 얻어진다. 지수의 처리가 불분명한 경우에 할 일은 하나이다 — 풀어 쓴다. ## 곱하면 개수를 더한다 도입의 $2^2 \times 2^3$ 으로 돌아간다. 어떤 규칙도 적용하지 않고 그대로 풀어 쓴다. $$2^2 \cdot 2^3 \ = \ (2 \cdot 2) \cdot (2 \cdot 2 \cdot 2)$$ 이 상태에서 $2$ 의 개수를 센다. $2$ 는 다섯 개이다. $$= \ 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \ = \ 2^5$$ $2^6$ 이 아니라 $2^5$ 이다. $2$ 개짜리 묶음과 $3$ 개짜리 묶음을 이어 붙였으므로 $2 + 3 = 5$ 개이다. 곱한 것이 아니라 **더한** 것이다. 구체적인 수로 확인한다. $$2^2 \cdot 2^3 = 4 \times 8 = 32 \qquad 2^5 = 32 \qquad 2^6 = 64$$ 값은 $32$ 이고 $64$ 가 아니다. 수치가 앞의 결론을 확인한다. 이제 문자로 일반화한다. $$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$$ $m$ 개 곱한 것에 $n$ 개 곱한 것을 이어 붙이면 $m + n$ 개이다. 지수가 개수이므로 개수끼리 더한다. 새 규칙을 도입한 것이 아니라, 앞에서 센 결과를 문자로 표현한 것이다. 단, 조건이 하나 붙는다. **밑이 같을 때만 성립한다.** 위 식에서 왼쪽도 $a$, 오른쪽도 $a$ 인 것은 우연이 아니다. 지수는 개수이고, 개수를 더하려면 **세는 대상이 같아야** 한다. 사과 두 개와 사과 세 개는 사과 다섯 개이지만, 사과 두 개와 배 세 개는 하나의 대상으로 셀 수 없다. $$2^3 \cdot 3^2 = (2 \cdot 2 \cdot 2)(3 \cdot 3) = 8 \times 9 = 72$$ 풀어 쓰면 $2$ 와 $3$ 이 섞여 있어 하나의 거듭제곱으로 묶을 수 없다. 값은 $72$ 이며, $2^5 = 32$ 도 아니고 $6^5 = 7776$ 도 아니다. 셋은 서로 다른 수이다. 밑이 다르면 **더 간단히 할 수 없다.** $2^3 \cdot 3^2$ 이 이미 가장 간단한 꼴이다. 조건을 생략한 규칙은 오류를 낳는다. 이 법칙을 "곱하면 지수를 더한다"로만 기억하면 밑이 다른 경우에도 지수를 더해 합치는 오류가 발생한다. **"밑이 같을 때, 곱하면 지수를 더한다"** 로 조건까지 함께 기억한다. 여기서 한 가지를 구분한다. 이 법칙은 **곱셈**에 대한 법칙이지 덧셈에 대한 법칙이 아니다. $x^3 + x^3$ 은 $x^6$ 이 아니다. $x^3$ 이 둘이므로 $2x^3$ 이다. 사과 세 개가 든 상자 하나에 사과 세 개가 든 상자 하나를 더하면 상자가 둘이 되는 것과 같다. 이것은 동류항 정리이지 지수법칙이 아니다. ## 나누면 개수를 뺀다 같은 방법을 적용한다. 풀어 쓰는 것이 핵심이다. $$\frac{2^5}{2^3} \ = \ \frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2}{2 \cdot 2 \cdot 2}$$ 위아래에 같은 $2$ 가 세 쌍 있어 약분된다. 남는 개수는 다음과 같다. $$= \ 2 \cdot 2 \ = \ 2^2$$ $$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$$ 위에서 $m$ 개, 아래에서 $n$ 개가 짝을 지어 사라진다. 남는 개수는 $m - n$ 이다. **나눗셈은 개수의 빼기이다.** 여기에도 같은 조건이 붙는다. **밑이 같을 때만 성립한다.** 위아래가 같은 수여야 짝을 지어 약분되기 때문이다. $\dfrac{3^5}{2^3}$ 은 밑이 $3$ 과 $2$ 이므로 짝을 지을 수 없고, 지수를 뺄 수 없다. 따라서 문자가 여럿이면 문자별로 따로 센다. $x$ 는 $x$ 끼리, $y$ 는 $y$ 끼리 처리하고 섞지 않는다. 이는 새로운 지시가 아니라 앞의 조건에서 따라 나오는 결과이다. $$\frac{x^7 y^3}{x^3 y^5} = x^{7-3} \cdot y^{3-5} = x^4 y^{-2} = \frac{x^4}{y^2}$$ 여기서 $y^{-2}$ 가 나타났다. 현재 단계에서는 "$y$ 가 분모에 $2$ 개 남았다"로 읽는다. 음의 지수의 정확한 의미는 뒤의 절에서 다룬다. ## 거듭하면 개수를 곱한다 $$(2^3)^2 \ = \ 2^3 \cdot 2^3 \ = \ (2 \cdot 2 \cdot 2)(2 \cdot 2 \cdot 2) \ = \ 2^6$$ $2^3$ 짜리 묶음이 **두 개**이다. 한 묶음에 $2$ 가 세 개이므로 전체는 $3 \times 2 = 6$ 개이다. $$(a^m)^n = a^{mn}$$ 지수에 곱셈이 나타나는 것은 이 법칙에서이다. 묶음을 통째로 반복했으므로 개수가 곱해진다. 혼동이 빈번한 두 법칙을 나란히 제시한다. $$a^m \cdot a^n = a^{m+n} \qquad \text{vs} \qquad (a^m)^n = a^{mn}$$ 옆으로 이어 붙이면 더하기, 통째로 반복하면 곱하기이다. 구분이 불분명하면 다시 풀어 쓴다. 풀어 쓰면 개수가 직접 확인된다. ## 괄호는 전체에 걸린다 $$(2x)^3 = (2x)(2x)(2x) = (2 \cdot 2 \cdot 2)(x \cdot x \cdot x) = 8x^3$$ 괄호 안 전체가 세 번 반복되므로 $2$ 도 세 번, $x$ 도 세 번이다. 그 결과는 $8x^3$ 이다. 이것은 $2x^3$ 과 다르다. $2x^3$ 은 $x$ 만 세제곱한 것이다. $x = 1$ 을 대입하면 앞은 $8$, 뒤는 $2$ 이다. 서로 다른 수이다. $$(ab)^n = a^n b^n \qquad \left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$$ 오른쪽 식도 풀어 쓴다. 분수에서는 분자만 처리하고 분모를 누락하는 오류가 빈번하다. $$\left(\frac{a}{b}\right)^3 = \frac{a}{b}\cdot\frac{a}{b}\cdot\frac{a}{b} = \frac{a \cdot a \cdot a}{b \cdot b \cdot b} = \frac{a^3}{b^3}$$ 분수 세 개를 곱하면 분자는 분자끼리, 분모는 분모끼리 곱해진다. **분자도 세 개, 분모도 세 개이다.** 분모만 제외할 수 없다. 구체적인 수로 확인한다. $$\left(\frac{6}{2}\right)^2 = 3^2 = 9 \qquad \frac{6^2}{2^2} = \frac{36}{4} = 9 \qquad \frac{6^2}{2} = \frac{36}{2} = 18$$ 앞의 둘은 $9$ 로 같고, 분모를 제곱하지 않은 마지막 것만 $18$ 이다. 판단이 불분명하면 이 절의 절차를 그대로 적용한다 — 다시 풀어 쓴다. $(3y^2)^2$ 을 예로 든다. 괄호 안에 $3$ 과 $y^2$ 두 부분이 있고, 둘 다 제곱된다. $$(3y^2)^2 = 3^2 \cdot (y^2)^2 = 9 \cdot y^{2 \times 2} = 9y^4$$ ## 패턴을 아래로 — 영지수와 음의 지수 지수가 $0$ 이거나 음수인 경우의 의미를 정한다. 새 규칙을 도입하지 않고, 이미 성립하는 패턴을 아래로 한 칸씩 연장한다. $$2^3 = 8 \qquad 2^2 = 4 \qquad 2^1 = 2$$ 한 줄 내려갈 때마다 값이 $2$ 로 나눠진다. 곱한 $2$ 를 하나 줄이는 것이므로 이 결과가 나온다. 이 규칙을 유지한 채 계속 내려가면 다음과 같다. | 식 | 값 | 앞 줄에서 무엇이 바뀌었나 | |---|---|---| | $2^3$ | $8$ | — | | $2^2$ | $4$ | 지수 $1$ 감소, 값은 $2$ 로 나눠짐 | | $2^1$ | $2$ | 지수 $1$ 감소, 값은 $2$ 로 나눠짐 | | $2^0$ | $1$ | 지수 $1$ 감소, 값은 $2$ 로 나눠짐 | | $2^{-1}$ | $\dfrac{1}{2}$ | 지수 $1$ 감소, 값은 $2$ 로 나눠짐 | | $2^{-2}$ | $\dfrac{1}{4}$ | 지수 $1$ 감소, 값은 $2$ 로 나눠짐 | | $2^{-3}$ | $\dfrac{1}{8}$ | 지수 $1$ 감소, 값은 $2$ 로 나눠짐 | 오른쪽 열에 예외가 한 줄도 없다. 새 규칙을 만든 것이 아니라, 기존 규칙을 유지한 결과이다. $2^0$ 이 $1$ 인 것은 임의로 정한 값이어서가 아니라, $1$ 이 아니면 패턴이 유지되지 않기 때문이다. 여기서 두 가지 오류가 함께 정정된다. 먼저 $2^0$ 은 $0$ 이 아니다. $4, 2$ 다음이 $0$ 이면 그 아래는 $0 \div 2 = 0$ 이 되어 표 전체가 성립하지 않는다. 다음으로 $2^{-1}$ 은 $-2$ 가 아니다. 지수의 마이너스는 값의 마이너스가 아니라 **반대 방향**, 곧 나누기를 뜻한다. 값은 계속 양수이며, 작아질 뿐 $0$ 아래로 내려가지 않는다. 패턴에서 끝내지 않고, 앞의 나눗셈 법칙과 어긋나지 않음을 확인한다. $$\frac{2^3}{2^3} = 1 \quad (\text{같은 수를 같은 수로 나눴으니까})$$ $$\frac{2^3}{2^3} = 2^{3-3} = 2^0 \quad (\text{나눗셈 법칙을 쓰면})$$ 같은 것을 두 방법으로 계산했는데 하나는 $1$, 하나는 $2^0$ 이다. 따라서 $2^0 = 1$ 이 성립한다. 다른 값은 두 계산을 동시에 만족시키지 못한다. 음의 지수도 같은 방식으로 확인된다. $$\frac{2^2}{2^5} = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2} = \frac{1}{2^3} \quad (\text{풀어 써서 약분})$$ $$\frac{2^2}{2^5} = 2^{2-5} = 2^{-3} \quad (\text{나눗셈 법칙})$$ $$\therefore \ 2^{-3} = \frac{1}{2^3}$$ $$a^{-n} = \frac{1}{a^n} \qquad a^0 = 1 \ (a \ne 0)$$ **음의 지수는 분수의 반대쪽으로 이동하라는 표시이다.** 분자에 있던 것은 분모로, 분모에 있던 것은 분자로 옮긴다. $\dfrac{1}{a^{-2}}$ 를 음의 지수 없이 나타낸다. $a^{-2}$ 는 이미 분모로의 이동을 뜻하고, 그것이 다시 분모에 있다. 분모의 분모는 분자이다. $$\frac{1}{a^{-2}} = \frac{1}{\ \frac{1}{a^2}\ } = a^2$$ $(2x^2)^3 \cdot x^{-4}$ 는 다음 순서로 계산한다. 먼저 괄호를 풀고, 그다음은 곱셈이므로 지수를 더한다. $$(2x^2)^3 = 2^3 \cdot x^{6} = 8x^6$$ $$8x^6 \cdot x^{-4} = 8x^{6+(-4)} = 8x^2$$ 덧셈 규칙은 지수가 음수인 경우에도 그대로 성립한다. $6 + (-4) = 2$ 이며, 앞에서 다룬 음수의 덧셈과 동일하다. ## 칸 사이로 — 분수 지수 지금까지는 지수를 정수로만 다뤘다. 지수가 $\dfrac{1}{2}$ 인 경우의 의미를 정한다. 이번에는 표의 아래쪽이 아니라 **정수와 정수 사이**를 다룬다. (여기서는 $x$ 를 양수로 본다.) 곱셈 법칙 $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ 이 분수 지수에서도 유지된다고 둔다. 그러면 $x^{1/2}$ 을 두 번 곱할 때 지수를 더해 다음이 성립한다. $$x^{1/2} \cdot x^{1/2} = x^{\frac12 + \frac12} = x^1 = x$$ 따라서 **$x^{1/2}$ 은 두 번 곱하면 $x$ 가 되는 수이다.** 이 조건을 만족하는 수는 앞에서 다룬 제곱근이다. $$x^{1/2} = \sqrt{x}$$ 임의로 정한 정의가 아니다. 지수법칙을 유지하려면 이 값 이외의 값은 불가능하다. $2^0 = 1$ 을 얻을 때와 동일한 논리이다. 세제곱근도 같은 방식으로 나온다. $$x^{1/3} \cdot x^{1/3} \cdot x^{1/3} = x^{\frac13 + \frac13 + \frac13} = x^1 = x$$ $$x^{1/3} = \sqrt[3]{x}$$ 분모가 몇 제곱근인지를 나타낸다. $\dfrac12$ 이면 제곱근, $\dfrac13$ 이면 세제곱근이다. 음의 지수와 결합한 경우도 새 규칙이 아니라 앞의 두 규칙을 겹친 것이다. $$x^{-1/2} = \frac{1}{x^{1/2}} = \frac{1}{\sqrt{x}}$$ 마이너스는 분모로의 이동, $\dfrac12$ 은 제곱근을 뜻한다. 두 규칙을 순서대로 적용한 결과이며, 별도로 외울 규칙이 아니다. 계산기 없이 확인되는 값으로 점검한다. $$9^{1/2} = 3 \qquad 8^{1/3} = 2 \qquad 4^{-1/2} = \frac{1}{2}$$ $9^{1/2}$ 을 $4.5$ 로 계산하는 것은 $9 \times \dfrac12$ 을 계산한 것이다. 지수는 곱하는 수가 아니라 개수를 적는 자리이다. $3 \times 3 = 9$ 이므로 $9^{1/2} = 3$ 이다. 이 변환은 이 장에서만 쓰이지 않는다. 이후 미분에서 $\sqrt{x}$ 를 다루려면 $\sqrt{x} = x^{1/2}$ 라는 변환이 필요하다. 이 변환이 정착되지 않으면 미분 계산에서 동일한 지점에서 막힌다. 이 절의 내용을 확실히 해 두면 그 단계에서 추가 부담이 생기지 않는다. ## 빈번한 오류 :::{admonition} "곱셈이니까 지수도 곱한다" :class: warning $2^2 \cdot 2^3 = 2^6$, $x^3 \cdot x^4 = x^{12}$ 처럼 쓰는 것. 이 장에서 **가장 빈번한 오류 중 하나**이다. 원인은 눈에 보이는 곱셈 기호를 지수 자리에 그대로 옮기는 데 있다. 또한 $(a^m)^n = a^{mn}$ 처럼 실제로 지수를 곱하는 법칙이 따로 있어서, 두 법칙이 하나로 저장된다. 교정은 정정만으로 되지 않고 풀어 쓰기가 필요하다. $2^2 \cdot 2^3 = (2 \cdot 2)(2 \cdot 2 \cdot 2)$ 에서 $2$ 를 세면 다섯 개이다. **옆으로 이어 붙이면 더하기, 통째로 반복하면 곱하기이다.** *확인 문제*: $x^5 \cdot x^3$ 과 $(x^5)^3$ 을 각각 구하라. (답: $x^8$, $x^{15}$. 서로 다르다.) ::: :::{admonition} "지수가 0이면 0, 지수가 음수면 음수" :class: warning $4^0 = 0$, $2^{-1} = -2$, $x^{-3} = -x^3$ 처럼 쓰는 것. $0$ 과 마이너스의 일상적 의미가 지수 자리에 적용된 것이다. 지수는 값이 아니라 **곱한 횟수와 방향**을 적는 자리이다. 표를 채워 보면 $2^0$ 이 $0$ 인 경우 그 아래가 모두 $0$ 이 되어 패턴이 성립하지 않는다. 마이너스 지수는 음수가 아니라 분모로의 이동, 곧 나누기를 뜻한다. 값은 계속 양수이다. *확인 문제*: $4^0$ 과 $4^{-1}$ 은 각각 얼마인가? (답: $1$ 과 $\tfrac14$. 둘 다 양수다.) ::: :::{admonition} $(a+b)^2 = a^2 + b^2$ 이라고 쓴다 :class: warning $(ab)^n = a^n b^n$ 을 배운 직후에는 "지수를 괄호 안으로 나눠 넣기"가 특히 강하게 작용한다. 그러나 지수가 안으로 분배되는 것은 **곱셈일 때뿐**이고, 덧셈일 때는 성립하지 않는다. 계산기 없이 확인된다: $(3+4)^2 = 49$, $3^2 + 4^2 = 25$. 차이는 $24$ 이다. 이 $24$ 가 어디서 왔는지는 [제13장](ch13.md)에서 다룬다. 이 장에서는 두 식이 다르다는 사실까지 확인한다. *확인 문제*: $(5+2)^2$ 은 $5^2 + 2^2$ 과 같은가? (답: 다르다. $49$ 와 $29$.) ::: :::{admonition} $3x^2$ 과 $(3x)^2$ 을 같게 본다 :class: warning $(2a)^4 = 2a^4$ 이라고 쓰거나, $-2^2$ 과 $(-2)^2$ 을 둘 다 $4$ 라고 쓰는 것. 괄호를 "묶는 표시"로만 보고 "지수가 걸리는 범위를 정하는 표시"로 읽지 않은 결과이다. $(3x)^2 = (3x)(3x) = 9x^2$ 은 $3x$ 전체를 제곱한 것이고, $3x^2 = 3 \cdot x \cdot x$ 는 $x$ 만 제곱한 뒤 $3$ 을 곱한 것이다. 계산에 들어가기 전에 **지수가 걸리는 범위를 먼저 확인한다.** $-2^2$ 은 지수가 $2$ 에만 걸려 $-(2 \times 2) = -4$ 이고, $(-2)^2$ 은 마이너스까지 묶여 $4$ 이다. *확인 문제*: $(2x)^3$ 과 $2x^3$ 을 $x = 1$ 일 때 각각 구하라. (답: $8$ 과 $2$.) ::: ## 연습문제 계산기를 쓰지 않는다. 판단이 불분명한 문항은 **반드시 풀어 써서** 센다. 지수가 $3$ 이면 세 개를 모두 쓴다. `A` 기본 · `B` 표준 · `C` 도전. 1. `A` 하나의 거듭제곱으로 나타내라. (1) $x^4 \cdot x^6$ (2) $a^2 \cdot a^2 \cdot a^2$ (3) $y^9 \div y^4$ 2. `A` 간단히 하라. (1) $(x^5)^2$ (2) $(m^3)^3$ (3) $(2a)^4$ 3. `A` 간단히 하라. (1) $4^0$ (2) $x^{-3}$ 을 분수로 (3) $\dfrac{1}{y^{-2}}$ 4. `A` $2^{-2}$ 를 분수로 나타내라. 5. `B` 간단히 하라. (1) $\dfrac{x^7 y^3}{x^3 y^5}$ (2) $(3x^2y)^3$ 6. `B` 간단히 하라. $\dfrac{(2a^3)^2}{4a^{-1}}$ 7. `B` 다음 중 **옳은 것을 모두 고르고**, 틀린 것은 바르게 고쳐라. (1) $x^3 \cdot x^4 = x^{12}$ (2) $(x^3)^4 = x^{12}$ (3) $x^3 + x^3 = x^6$ (4) $x^3 + x^3 = 2x^3$ 8. `B` 세균 한 마리가 $20$ 분마다 $2$ 배로 늘어난다. (1) $2$ 시간 뒤에는 몇 마리인가? (2) 그 수를 $2$ 의 거듭제곱으로 쓰라. 9. `B` 두께 $0.1$ mm인 종이를 $10$ 번 접으면 두께는 몇 mm인가? $2$ 의 거듭제곱을 써서 식을 세운 뒤 값을 구하라. 10. `B` $1$ KB는 $2^{10}$ 바이트, $1$ MB는 $2^{10}$ KB다. $1$ MB는 몇 바이트인가? 먼저 $2$ 의 거듭제곱으로 답하고, 그다음 실제 수를 구하라. 11. `C` 음의 지수 없이 나타내라. $\dfrac{x^{-2} y^3}{x^4 y^{-1}}$ 12. `C` $a^0 = 1$ 인 이유를, $\dfrac{a^3}{a^3}$ 을 **두 가지 방법으로** 계산해서 설명하라. ($a \ne 0$) 13. `C` $(x+y)^2$ 과 $x^2 + y^2$ 은 같은 식인가? $x=1$, $y=1$ 을 넣어 확인하고, 결론을 한 줄로 쓰라. :::{admonition} 정답과 해설 :class: dropdown 1. (1) $x^{10}$ (2) $a^6$ — $2+2+2=6$ (3) $y^5$ 2. (1) $x^{10}$ — 묶음의 반복이므로 $5 \times 2$ (2) $m^9$ (3) $16a^4$ — 괄호 안 전체가 $4$ 번. **이렇게 틀린다**: $2a^4$ ($2$ 를 거듭제곱하지 않음) 3. (1) $1$ (2) $\dfrac{1}{x^3}$ (3) $y^2$ — 분모의 분모는 분자 4. $\dfrac{1}{4}$ — **이렇게 틀린다**: $-4$ 또는 $-\dfrac14$. 지수의 마이너스는 값의 부호가 아니다. 5. (1) $\dfrac{x^4}{y^2}$ — $x^{7-3}y^{3-5} = x^4y^{-2}$ (2) $27x^6y^3$ — $3$ 도 세제곱된다 6. $a^7$ — 분자 $= 4a^6$. $\dfrac{4a^6}{4a^{-1}} = a^{6-(-1)} = a^7$. **이렇게 틀린다**: $a^5$ (지수의 마이너스를 빼기로 한 번 더 처리) 7. 옳은 것은 **(2)와 (4)**. (1)은 $x^7$ 로 고친다(옆으로 이어 붙였으므로 더하기). (3)은 $2x^3$ 으로 고친다(덧셈에는 지수법칙이 적용되지 않는다). 8. (1) **64마리** (2) $2^6$ — $2$ 시간은 $120$ 분, $20$ 분마다 배가되므로 $6$ 번. $2^6 = 64$. **이렇게 틀린다**: $2 \times 6 = 12$ 마리. 9. $0.1 \times 2^{10} = 0.1 \times 1024 = 102.4$ mm — 약 $10$ cm다. 도입에서 다룬 $42$ 번 접기의 두께가 어떻게 커지는지를 같은 방식으로 확인할 수 있다. 10. $2^{10} \times 2^{10} = 2^{20}$ 바이트 $= 1{,}048{,}576$ 바이트. **이렇게 틀린다**: $2^{100}$ (지수를 곱함). 옆으로 이어 붙인 것이므로 더하기다. 11. $\dfrac{y^4}{x^6}$ — $x^{-2-4} = x^{-6}$, $y^{3-(-1)} = y^4$. 검산: $x=2, y=3$ 을 넣으면 양쪽 다 $\dfrac{81}{64}$. 12. 방법 1: 같은 수를 같은 수로 나눴으므로 $\dfrac{a^3}{a^3} = 1$. 방법 2: 나눗셈 법칙으로 $a^{3-3} = a^0$. 두 결과가 같아야 하므로 $a^0 = 1$. — 핵심은 **"두 방법의 결과가 일치하려면 $1$ 이어야 한다"**는 서술이 포함되는 것이다. 13. 같지 않다. $(1+1)^2 = 4$, $1^2 + 1^2 = 2$. 결론 예시: "제곱은 괄호 안을 하나로 묶어서 걸리는 것이라, 항마다 따로 나눠서 할 수 없다." — 이 차이는 [제13장](ch13.md)에서 다룬다. ::: ### 추가 연습문제 규칙 적용이 불분명한 문항은 **반드시 풀어 써서** 센다. 풀이 과정을 기록해 두면 오류가 발생한 지점을 확인할 수 있다. 1. $x^3 \cdot x^5$ 2. $a^4 \cdot a$ 3. $2^3 \cdot 2^4$ (거듭제곱 꼴과 실제 값 둘 다) 4. $y^7 \div y^3$ 5. $\dfrac{m^6}{m^6}$ 6. $x^2 \cdot x^3 \cdot x^4$ 7. $3^5 \div 3^2$ (실제 값까지) 8. $b^{10} \div b^7$ 9. $(x^3)^4$ 10. $(a^2)^5$ 11. $(2x)^3$ 12. $(3y^2)^2$ 13. $\left(\dfrac{x}{2}\right)^3$ 14. $(-2a^3)^2$ 15. $(x^2 y^3)^4$ 16. $\left(\dfrac{2a^2}{b}\right)^3$ 17. $5^0$ 18. $(7x)^0$ (단 $x \ne 0$) 19. $2^{-3}$ 을 분수로 20. $x^{-4}$ 를 분수로 21. $\dfrac{1}{a^{-2}}$ 22. $3^{-2}$ 를 분수로 23. $\left(\dfrac{2}{3}\right)^{-1}$ 24. $10^{-2}$ 를 분수와 소수로 25. $\dfrac{x^5 \cdot x^2}{x^3}$ 26. $(2x^2)^3 \cdot x^{-4}$ 27. $\dfrac{(a^3)^2}{a^{-1}}$ 28. $\dfrac{6x^5 y^2}{2x^2 y^5}$ (음의 지수 없이) 29. $2^2 \cdot 2^3$ 을 실제로 계산한 뒤, $2^5$ 과 $2^6$ 중 어느 것과 같은지 밝히고 **왜 그런지 한 문장**으로 쓰라. 30. $(3+4)^2$ 과 $3^2 + 4^2$ 을 각각 계산하고 비교하라. 두 값의 차이는 얼마인가? 31. $\sqrt{x}$ 를 지수 꼴로 고쳐 써라. 32. $x^{1/3}$ 을 루트 기호로 고쳐 써라. 33. $\dfrac{1}{\sqrt{x}}$ 를 **지수 하나로** 고쳐 써라. 34. $36^{1/2}$ 과 $64^{1/3}$ 의 값을 각각 구하라. 35. $x^{1/2} \cdot x^{1/2}$ 과 $\left(x^{1/2}\right)^{2}$ 을 각각 지수법칙으로 계산하고, 두 결과가 같은 이유를 **한 문장**으로 쓰라. :::{admonition} 정답과 해설 :class: dropdown 1. $x^8$ 2. $a^5$ 3. $2^7 = 128$ 4. $y^4$ 5. $1$ 6. $x^9$ 7. $3^3 = 27$ 8. $b^3$ 9. $x^{12}$ 10. $a^{10}$ 11. $8x^3$ 12. $9y^4$ 13. $\dfrac{x^3}{8}$ 14. $4a^6$ 15. $x^8 y^{12}$ 16. $\dfrac{8a^6}{b^3}$ 17. $1$ 18. $1$ 19. $\dfrac{1}{8}$ 20. $\dfrac{1}{x^4}$ 21. $a^2$ 22. $\dfrac{1}{9}$ 23. $\dfrac{3}{2}$ 24. $\dfrac{1}{100} = 0.01$ 25. $x^4$ 26. $8x^2$ 27. $a^7$ 28. $\dfrac{3x^3}{y^3}$ - 5번 **이렇게 틀린다**: $0$. 같은 수를 같은 수로 나누면 $1$ 이다. 법칙으로도 $m^{6-6} = m^0 = 1$. - 13번 **이렇게 틀린다**: $\dfrac{x^3}{2}$. 분모의 $2$ 도 세제곱된다. - 14번 **이렇게 틀린다**: $-4a^6$. 마이너스까지 괄호 안에 있으므로 제곱되면서 양수가 된다. 짝수 제곱은 부호를 지운다. - 18번: $x \ne 0$ 이면 괄호 안이 무엇이든 $0$ 제곱은 $1$ 이다. **이렇게 틀린다**: $7x$ 또는 $7$. - 23번 **이렇게 틀린다**: $-\dfrac23$. 음의 지수는 **뒤집기**다. $\left(\dfrac23\right)^{-1} = \dfrac{1}{\ \frac23\ } = \dfrac32$. 역수가 여기서 다시 나온다. - 27번: 분모의 $a^{-1}$ 을 빼면 $6 - (-1) = 7$. **이렇게 틀린다**: $a^5$. - 28번: 계수 $6 \div 2 = 3$, $x^{5-2} = x^3$, $y^{2-5} = y^{-3}$ 이므로 $y$ 는 분모로 내려간다. 29. **$2^5$ 과 같다.** $2^2 \cdot 2^3 = 4 \times 8 = 32$ 이고 $2^5 = 32$, $2^6 = 64$. 이유 예시: "$2$ 가 $2$ 개인 묶음과 $3$ 개인 묶음을 이어 붙이면 $2$ 가 모두 $5$ 개이기 때문." — 핵심은 **개수를 더한다**는 말이 들어가는 것. 30. $(3+4)^2 = 49$, $3^2+4^2 = 25$, 차이는 $24$. **두 값은 다르다.** 이 $24$ 가 어디서 나왔는지는 [제13장](ch13.md)에서 다룬다. 31. $x^{1/2}$ 32. $\sqrt[3]{x}$ 33. $x^{-1/2}$ 34. $36^{1/2} = 6$, $64^{1/3} = 4$ - 33번 **이렇게 틀린다**: $x^{1/2}$ 로 쓰고 마이너스를 빠뜨린다. 또는 $-x^{1/2}$ 로 쓴다. 분모에 있으므로 **분모로의 이동을 뜻하는 마이너스**가 지수에 붙는다. 값이 음수가 되는 것이 아니다. - 34번 **이렇게 틀린다**: $36 \times \dfrac12 = 18$, $64 \times \dfrac13$. 지수는 곱하는 수가 아니다. 검산은 거꾸로 한다. $6 \times 6 = 36$, $4 \times 4 \times 4 = 64$. 35. 둘 다 **$x$** 다. $x^{1/2} \cdot x^{1/2} = x^{\frac12+\frac12} = x^1 = x$ (곱셈 법칙, 지수를 더한다). $\left(x^{1/2}\right)^2 = x^{\frac12 \times 2} = x^1 = x$ (거듭제곱 법칙, 지수를 곱한다). 이유 예시: "옆으로 두 번 붙이든 묶음을 두 번 반복하든, $x$ 를 반 개씩 두 번 모은 것이라 결국 $x$ 한 개가 되기 때문." — 핵심은 **두 법칙이 서로 어긋나지 않는다**는 말이 들어가는 것. 어긋난다면 $x^{1/2} = \sqrt{x}$ 라는 정의 자체가 성립하지 않는다. ::: ## 요약과 다음 장 이 장의 핵심은 한 문장이다. **지수는 개수다.** 이 문장에서 법칙 네 개가 모두 나온다 — 옆으로 곱하면 개수를 더하고($a^m a^n = a^{m+n}$), 나누면 빼고($a^m / a^n = a^{m-n}$), 통째로 거듭하면 곱하고($(a^m)^n = a^{mn}$), 괄호는 전체에 걸린다($(ab)^n = a^n b^n$). 영지수와 음의 지수, 그리고 분수 지수도 새 규칙이 아니라 이 패턴을 유지한 결과이다. $a^0 = 1$ 이고, 음의 지수는 분모로의 이동, 분수 지수는 근호를 뜻한다. 마지막 연습문제에서 확인한 $(x+y)^2 \ne x^2 + y^2$ 은 다음 장으로 이어진다. $(3+4)^2 = 49$ 이고 $3^2 + 4^2 = 25$ 이므로 차이는 $24$ 이다. 이 $24$ 가 발생하는 이유는 [제13장](ch13.md)에서 다항식의 곱셈을 다루며, 괄호 안이 덧셈일 때 제곱을 어떻게 풀어 써야 하는지와 함께 밝힌다.