# 제3장 · 분수 ② — 곱셈·나눗셈 :::{admonition} 이 장 :class: seealso | | | |---|---| | **원본 코드** | R1-W03 | | **선행 내용** | 제2장 — 분수의 의미와 덧셈·뺄셈 | | **요지** | 분수의 곱셈은 넓이(조각의 조각)이고, 나눗셈은 "안에 몇 번 들어가나"이다 — 그래서 역수를 곱한다. | ::: ## 도입 분수 나눗셈은 흔히 **"뒤집어 곱한다"**는 한 문장으로 제시된다. 이 규칙 자체는 옳다. 그러나 뒤집는 이유가 함께 제시되는 경우는 많지 않다. 근거 없이 절차만 기억한 내용은 유지되지 않으며, $20$ 년 정도가 지나면 분수 나눗셈이 가장 먼저 남지 않는 항목이 된다. 제2장 끝에서 "왜 뒤집어 곱하는가"는 이 장으로 미루어 두었다. 이 장에서 그 근거를 제시한다. 근거를 이해하면 절차를 언제든 다시 세울 수 있다. 계산에 앞서 어림값을 먼저 판단한다. $$\frac{3}{4} \div \frac{2}{3} = \ ?$$ 이 값이 $\dfrac{3}{4}$ 보다 큰지 작은지를 묻는 문제이다. "작다"고 답하는 경우가 많다. 나눗셈이 언제나 값을 작게 만든다고 인식하기 때문이다. 제1장에서 확인했듯 이 인식은 틀린 것이 아니라 적용 범위가 **좁은** 것이다. 이 물음은 이 장의 끝에서 다시 다룬다. 이 장의 내용은 두 문장으로 요약된다. **분수의 곱셈은 넓이, 곧 조각의 조각이다. 분수의 나눗셈은 "안에 몇 번 들어가나"이다.** 이 두 문장에서 "분자끼리·분모끼리 곱한다"와 "역수를 곱한다"는 규칙이 그대로 유도된다. ## 곱셈은 조각의 조각이다 격자 그림을 다루기 전에 두 가지 사실을 먼저 확인한다. 이 두 사실이 없으면 그림과 계산 규칙이 연결되지 않는다. **첫째, 묶음의 개수는 넓이와 같다.** 제1장에서 곱셈은 "같은 것이 몇 묶음"으로 정의했다. $3 \times 4$ 는 $3$ 개짜리가 $4$ 묶음이다. 이 $4$ 묶음을 흩어 놓지 않고 한 줄씩 아래로 쌓아 배열하면 다음과 같다. | 줄 | 점 | |---|---| | 첫째 줄 | ● ● ● | | 둘째 줄 | ● ● ● | | 셋째 줄 | ● ● ● | | 넷째 줄 | ● ● ● | 한 줄에 $3$ 개씩 $4$ 줄이므로 모두 $12$ 개이다. 이 배열은 동시에 **가로 $3$ · 세로 $4$ 인 직사각형의 칸 수**이기도 하다. 묶음을 세는 조작과 넓이를 재는 조작은 같은 조작이다. 따라서 곱셈은 직사각형으로 나타낼 수 있다. **둘째, "$\sim$ 의"는 곱셈이다.** 이것도 정수로 먼저 확인한다. 사탕 $12$ 개의 $\dfrac{1}{2}$ 은 $6$ 개이고, $12 \times \dfrac{1}{2} = 6$ 이다. $12$ 개의 $\dfrac{1}{4}$ 은 $3$ 개이고, $12 \times \dfrac{1}{4} = 3$ 이다. 이 대응은 언제나 성립한다. $$\text{“}A \text{ 의 } B \text{”} \ = \ A \times B$$ **전체의 얼마를 구하는 연산이 곧 곱셈이다.** 이 두 사실을 바탕으로 격자를 읽는다. 한 변의 길이가 $1$ 인 정사각형을 그린다. 이 정사각형의 넓이는 $1$ 이다. 여기에 $\dfrac{2}{3} \times \dfrac{3}{4}$ 를 그림으로 나타낸다. 가로를 $3$ 등분해 왼쪽 $2$ 칸을 잡으면 $\dfrac{2}{3}$ 이고, 세로를 $4$ 등분해 위 $3$ 칸을 잡으면 $\dfrac{3}{4}$ 이다. ```{image} /_static/figs/ch03_area_frac.svg :alt: 넓이격자로 본 2/3 곱하기 3/4 = 1/2 :width: 300px :align: center :class: chfig ``` 두 방향이 겹친 부분(X)이 $\dfrac{2}{3}$ 의 $\dfrac{3}{4}$, 곧 조각의 조각이다. 겹친 칸은 $6$ 개이고 전체 칸은 $12$ 개이다. $$\frac{2}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$$ 전체 칸이 $12$ 개인 이유는 가로 $3$ 등분과 세로 $4$ 등분을 곱했기 때문이다 — **분모끼리 곱한 것**이다. 겹친 칸이 $6$ 개인 이유는 $2 \times 3$ 이다 — **분자끼리 곱한 것**이다. 곱셈 규칙은 이렇게 격자 그림에서 유도된다. ## 분자끼리, 분모끼리 — 약분은 먼저 $$\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d}$$ 분자는 겹친 칸 수이고 분모는 전체 칸 수이다. 곱하기 전에 분자와 분모에 같은 수가 있으면 먼저 약분한다. 곱한 뒤 큰 수를 약분하는 것보다 다루는 수가 작다. $$\frac{2}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{2 \times 3}{3 \times 4} = \frac{2 \times \cancel{3}}{\cancel{3} \times 4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$ 다른 예를 확인한다. $\dfrac{4}{9} \times \dfrac{3}{8}$ 에서는 $4$ 와 $8$ 에 공통으로 $4$ 가 있고, $3$ 과 $9$ 에 공통으로 $3$ 이 있다. 곱하기 전에 먼저 약분한다. $$\frac{4}{9} \times \frac{3}{8} = \frac{4 \times 3}{9 \times 8} = \frac{1 \times 1}{3 \times 2} = \frac{1}{6}$$ 위 식은 중간 과정을 생략했으므로 한 단계씩 나누어 쓴다. 먼저 분자의 $4$ 와 분모의 $8$ 을 $4$ 로 나눈다. $4 \div 4 = 1$, $8 \div 4 = 2$ 이므로 약분한 자리에 각각 $1$ 과 $2$ 가 남는다. $$\frac{4 \times 3}{9 \times 8} = \frac{\overset{1}{\cancel{4}} \times 3}{9 \times \underset{2}{\cancel{8}}} = \frac{1 \times 3}{9 \times 2}$$ 다음으로 분자의 $3$ 과 분모의 $9$ 를 $3$ 으로 나눈다. $3 \div 3 = 1$, $9 \div 3 = 3$. $$\frac{1 \times 3}{9 \times 2} = \frac{1 \times \overset{1}{\cancel{3}}}{\underset{3}{\cancel{9}} \times 2} = \frac{1 \times 1}{3 \times 2} = \frac{1}{6}$$ 앞의 $\dfrac{2}{3} \times \dfrac{3}{4}$ 에서는 분자와 분모에 **같은 수**($3$ 과 $3$)가 있어 그대로 약분했다. 여기서는 $4$ 와 $8$ 처럼 서로 다른 수이고 자리도 대각선으로 어긋나 있는데 약분이 성립한다. 그 근거는 곱셈의 순서를 바꿀 수 있어 분자와 분모의 짝을 다시 지을 수 있다는 데 있다. $$\frac{4 \times 3}{9 \times 8} = \frac{4}{8} \times \frac{3}{9}$$ 이렇게 분리하면 $\dfrac{4}{8} = \dfrac{1}{2}$, $\dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{3}$ 로 각각 약분하는 통상적인 계산이 된다. $\dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{6}$. **분자에 하나, 분모에 하나씩 짝만 맞으면 어느 자리에 있든 같은 수로 나눌 수 있다.** 곱한 뒤에 약분해도 값은 같다. $\dfrac{4 \times 3}{9 \times 8} = \dfrac{12}{72}$ 이고, $\dfrac{12}{72} = \dfrac{12 \div 12}{72 \div 12} = \dfrac{1}{6}$. 같은 $\dfrac{1}{6}$ 이다. 두 방법 모두 옳으며, 먼저 약분하는 쪽이 다루는 수가 작다는 차이만 있다. ## 정수도 분수다 정수는 분모가 $1$ 인 분수이다. $6 = \dfrac{6}{1}$ 로 쓰면 곱셈 규칙이 그대로 적용된다. $$6 \times \frac{2}{9} = \frac{6}{1} \times \frac{2}{9} = \frac{12}{9} = \frac{4}{3}$$ 정수로 **나누는** 계산도 여기서 함께 정리한다. 뒤에서 "왜 뒤집어 곱하는가"를 설명할 때 이 결과를 사용한다. $\dfrac{3}{4}$ 을 $2$ 로 나누는 것은 $\dfrac{3}{4}$ 짜리 막대를 똑같이 둘로 가르는 조작이다. 조각을 하나씩 다시 반으로 자르면 된다. $\dfrac{1}{4}$ 짜리를 반으로 자르면 한 판이 $8$ 등분이 되므로 잘린 조각은 $\dfrac{1}{8}$ 짜리이다. $\dfrac{1}{4}$ 짜리 $3$ 개는 $\dfrac{1}{8}$ 짜리 $6$ 개가 되고, 이것을 두 몫으로 가르면 한 몫은 $\dfrac{1}{8}$ 짜리 $3$ 개이다. $$\frac{3}{4} \div 2 = \frac{3}{4 \times 2} = \frac{3}{8}$$ **조각 수(분자)는 그대로이고 조각 크기만 반으로 줄었다.** 따라서 분모만 커진다. 일반식으로 쓰면 다음과 같다. $$\frac{a}{b} \div n = \frac{a}{b \times n}$$ 묶음으로 읽어도 같은 값이 나온다. 물건 $9$ 개를 $2$ 개씩 묶으면 $\dfrac{9}{2}$ 묶음, 곧 네 묶음 반이다. 개수가 $\dfrac{9}{4}$ 인 경우에도 수행하는 조작은 똑같이 $2$ 로 나누는 것이다. $$\frac{9}{4} \div 2 = \frac{9}{4 \times 2} = \frac{9}{8}$$ 한 묶음의 크기가 두 배가 되었으므로 묶음 수는 절반이다. 이 식은 뒤에서 다시 사용한다. ## 1보다 작은 수를 곱하면 줄어든다 $\dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2}$ 을 계산하면 $\dfrac{1}{4}$ 이다. 원래의 $\dfrac{1}{2}$ 보다 **작다.** "곱하면 커진다"는 인식은 정수 경험에서 형성된 것이고, $1$ 보다 작은 수를 곱하면 결과는 작아진다. $1$ 보다 작은 수를 곱하는 것은 곧 **크기를 줄이는 연산**이다. 이 사실은 이 장 후반의 나눗셈과 대응한다. ## 나눗셈은 "안에 몇 번 들어가나"이다 나눗셈은 다음 한 문장으로 읽는다. $$A \div B \ = \ \text{“}A \text{ 안에 } B \text{가 몇 번 들어가나”}$$ 정수로 먼저 확인한다. $12 \div 3 = 4$ 는 "$12$ 안에 $3$ 이 $4$ 번 들어간다"이다. 이 해석 하나로 분수 나눗셈을 모두 처리할 수 있다. 피자 한 판을 크기 $\dfrac{1}{2}$ 인 조각으로 분할하는 경우를 생각한다. 조각의 개수는 다음과 같다. $$1 \div \frac{1}{2} = 2$$ 조각은 $2$ 개이다. 나눗셈의 결과가 나누어지는 수 $1$ 보다 크다. 도입에서 언급한 "나누면 작아진다"는 인식이 성립하지 않는 사례이다. 조각의 크기가 작을수록 조각의 **개수**는 많아진다. 나눗셈은 개수를 세는 연산이다. ## 나누는 수가 1보다 작으면 답은 커진다 같은 해석을 그대로 확장한다. $$1 \div \frac{1}{4} = 4, \qquad 3 \div \frac{1}{4} = 12$$ 피자 세 판을 크기 $\dfrac{1}{4}$ 인 조각으로 분할하면 한 판에서 $4$ 조각이 나오므로 세 판에서는 $12$ 조각이 나온다. 이 계산은 $3 \times 4$ 와 같다. 즉 $\dfrac{1}{4}$ 로 나누는 것이 $4$ 를 곱하는 것과 같은 결과가 된다. 규칙으로 정리하면 다음과 같다. $$\text{나누는 수} < 1 \ \Rightarrow \ \text{답은 커진다}, \qquad \text{나누는 수} > 1 \ \Rightarrow \ \text{답은 작아진다}$$ ## 단위분수로 나누기 = 뒤집어 곱하기 앞의 관찰을 식으로 쓰면 다음과 같다. $$a \div \frac{1}{n} = a \times n$$ $1$ 안에 $\dfrac{1}{n}$ 이 $n$ 개 들어가고, $a$ 안에는 $a \times n$ 개 들어간다. 앞에서 그림으로 확인한 내용이다. 단위분수(분자가 $1$ 인 분수)로 나누는 것은 분모를 곱하는 것과 같다. ## 왜 뒤집어 곱하는가 — 두 걸음의 분해 도입에서 제시한 $\dfrac{3}{4} \div \dfrac{2}{3}$ 로 돌아간다. $\dfrac{2}{3}$ 으로 한 번에 나누는 계산은 직접 수행하기 어렵다. 따라서 다루기 쉬운 형태로 바꾸어 두 단계로 나눈다. $\dfrac{2}{3}$ 은 $\dfrac{1}{3}$ 짜리가 $2$ 개 모인 수이다. $$\text{① } \frac{3}{4} \text{ 안에 } \frac{1}{3} \text{ 이 몇 개?} \quad \frac{3}{4} \times 3 = \frac{9}{4} \text{ 개}$$ $$\text{② } \frac{1}{3} \text{ 짜리를 } 2 \text{개씩 묶으면 몇 묶음?} \quad \frac{9}{4} \div 2 = \frac{9}{8} \text{ 묶음}$$ ②의 $\dfrac{9}{4} \div 2 = \dfrac{9}{8}$ 은 앞의 "정수도 분수다"에서 세운 $\dfrac{a}{b} \div n = \dfrac{a}{b \times n}$ 그대로이다. $9$ 개를 $2$ 개씩 묶으면 $\dfrac{9}{2}$ 묶음이 되듯, 개수가 $\dfrac{9}{4}$ 인 경우에도 $2$ 로 나눈다. **조각 수는 그대로이고 한 묶음의 크기가 두 배가 되었으므로 묶음 수는 절반이다.** 두 단계를 한 줄로 이으면 다음과 같다. $$\frac{3}{4} \div \frac{2}{3} = \frac{3}{4} \times 3 \div 2 = \frac{3}{4} \times \frac{3}{2} = \frac{9}{8}$$ $\times 3$ 과 $\div 2$ 를 합한 결과가 $\times \dfrac{3}{2}$ 이다. $\dfrac{2}{3}$ 이 근거 없이 뒤집힌 것이 아니라, 세는 단계와 묶는 단계를 합한 결과가 뒤집힌 형태로 나타난 것이다. 이것이 "뒤집어 곱한다"는 규칙의 근거이다. ## 역수라는 이름 $$\frac{2}{3} \times \frac{3}{2} = \frac{6}{6} = 1$$ 곱해서 $1$ 이 되는 두 수를 서로 **역수**라고 한다. 나눗셈은 역수를 곱하는 연산이다. 명칭보다 앞에서 확인한 두 단계가 규칙의 근거이다. 이제 도입에서 제시한 물음에 답할 수 있다. $\dfrac{3}{4} \div \dfrac{2}{3}$ 의 값은 $\dfrac{9}{8}$, 곧 $1.125$ 이다. 원래의 $\dfrac{3}{4} = 0.75$ 보다 **크다.** 의미로 보아도 결과가 일치한다. $\dfrac{2}{3}$ 은 $\dfrac{3}{4}$ 보다 작으므로, $\dfrac{3}{4}$ 안에 $\dfrac{2}{3}$ 이 한 번 들어가고 일부가 남는다. 따라서 값은 $1$ 보다 조금 큰 수이다. 계산 전에 이 크기 판단을 먼저 하면 계산 결과의 오류를 스스로 검출할 수 있다. 의미에 따른 해석과 계산 규칙이 언제나 같은 값을 준다는 것을 한 번 더 확인한다. $\dfrac{5}{6} \div \dfrac{5}{6}$ 은 "$\dfrac{5}{6}$ 안에 $\dfrac{5}{6}$ 이 몇 번 들어가나"이므로 값은 $1$ 이다. 계산으로도 $\dfrac{5}{6} \times \dfrac{6}{5} = 1$ 이다. 의미와 계산은 항상 같은 값을 준다. ## 빈번한 오류 :::{admonition} 분수 나눗셈에서 계산을 시작하지 못한다 :class: warning $\dfrac{3}{4} \div \dfrac{2}{3}$ 앞에서 계산을 시작하지 못한다. 절차만 익히고 의미를 함께 익히지 않은 경우에 나타난다. 절차는 $20$ 년 정도가 지나면 남지 않으며, 의미를 모르면 절차를 복구할 근거도 없다. 대응 방법은 식을 문장으로 읽는 것이다: "$\dfrac{3}{4}$ 안에 $\dfrac{2}{3}$ 이 몇 번 들어가나." 그다음 쉬운 것부터 단계를 밟는다 — $1 \div \dfrac{1}{2}$ → $1 \div \dfrac{1}{3}$ → $\dfrac{3}{4} \div \dfrac{1}{3}$ → $\dfrac{3}{4} \div \dfrac{2}{3}$. 절차는 의미가 확립된 뒤에 따라온다. *확인 문제*: $\dfrac{2}{3} \div \dfrac{1}{6}$ 을 계산하고 "안에 몇 번" 문장으로 읽어라. (답: $4$ — "$\dfrac{2}{3}$ 안에 $\dfrac{1}{6}$ 이 $4$ 번 들어간다.") ::: :::{admonition} 곱셈인데 뒤집어 곱한다 :class: warning $\dfrac{3}{5} \times \dfrac{2}{7}$ 를 $\dfrac{3}{5} \times \dfrac{7}{2}$ 로 계산한다. 나눗셈을 배운 직후에 빈번하게 나타나는 오류이다. 새 절차가 앞의 절차를 덮어써서 곱셈과 나눗셈이 "분수 두 개 사이의 연산"으로 뭉뚱그려지기 때문이다. 곱셈과 나눗셈을 나란히 놓으면 차이가 분명하다. $$\frac{3}{5} \times \frac{2}{7} = \frac{6}{35} \qquad \frac{3}{5} \div \frac{2}{7} = \frac{3}{5} \times \frac{7}{2} = \frac{21}{10}$$ 같은 두 수이지만 값은 서로 다르다. 뒤집는 조작은 나눗셈에만 적용된다. 연산 기호를 먼저 소리 내어 읽고("삼오 **곱하기** 이칠") 계산을 시작한다. *확인 문제*: $\dfrac{4}{5} \times \dfrac{5}{6}$ 과 $\dfrac{4}{5} \div \dfrac{5}{6}$ 을 연달아. (답: $\dfrac{2}{3}$ 과 $\dfrac{24}{25}$.) ::: :::{admonition} "곱하면 커지고 나누면 작아진다" :class: warning $1 \div \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2}$ 이라고 쓰거나, 옳게 계산한 뒤 값이 커졌다는 이유로 답을 지운다. 정수만 다루는 범위에서는 이 인식이 항상 성립했으므로 강하게 형성된다. **틀린 규칙이 아니라 적용 범위가 좁은 규칙**이다. 나누는 수가 $1$ 보다 작으면 값은 오히려 커진다. 피자 한 판을 크기 $\dfrac{1}{2}$ 인 조각으로 분할하면 조각은 $2$ 개이므로 $1 \div \dfrac{1}{2} = 2$ 이다. *확인 문제*: 계산하지 말고 예측만. $8 \div \dfrac{1}{2}$ 은 $8$ 보다 큰가, 작은가? (답: 크다. $16$.) ::: :::{admonition} 대분수를 통째로 곱한다 :class: warning $2\dfrac{1}{2} \times 3 = 6\dfrac{1}{2}$ 이라고 쓴다. 정수부만 곱하고 분수부를 그대로 붙인 것이다. $2\dfrac{1}{2}$ 를 "$2$ 와 $\dfrac{1}{2}$ 이라는 두 덩어리"로 읽었기 때문이다. $2 + \dfrac{1}{2}$ 이라는 **하나의 수**로 읽어야 한다. $2\dfrac{1}{2}$ 를 세 번 더하면 $2$ 가 세 개이므로 $6$, 반쪽이 세 개이므로 $1.5$, 합은 $7.5$ 이다 — $6\dfrac{1}{2}$ 가 아니다. 대분수가 있으면 곱셈·나눗셈 전에 가분수로 바꾼다. 이 변환은 예외 없이 적용한다. $2\dfrac{1}{2} = \dfrac{5}{2}$, $\dfrac{5}{2} \times 3 = \dfrac{15}{2} = 7.5$. *확인 문제*: $1\dfrac{1}{3} \times \dfrac{3}{4}$. (답: $1$ — $\dfrac{4}{3} \times \dfrac{3}{4} = 1$.) ::: ## 연습문제 계산기를 사용하지 않는다. 각 문항에서 연산 기호를 먼저 소리 내어 읽고 계산을 시작한다. 풀리지 않는 문항은 표시하고 다음 문항으로 넘어간다 — 표시한 자리가 이후 다시 다룰 지점이다. `A` 기본 · `B` 표준 · `C` 도전. 1. `A` 계산하라. (1) $\dfrac{3}{5} \times \dfrac{2}{7}$ (2) $\dfrac{4}{9} \times \dfrac{3}{8}$ (3) $\dfrac{5}{6} \times \dfrac{3}{10}$ 2. `A` 계산하라. (1) $\dfrac{7}{8} \times 4$ (2) $6 \times \dfrac{2}{9}$ 3. `A` 계산하라. $1 \div \dfrac{2}{5}$ 4. `A` 계산하라. $\dfrac{3}{4} \div \dfrac{2}{3}$ 5. `B` 계산하라. (1) $\dfrac{5}{6} \div \dfrac{10}{9}$ (2) $\dfrac{7}{12} \div \dfrac{7}{8}$ 6. `B` 계산하라. $2\dfrac{1}{2} \div \dfrac{3}{4}$ 7. `B` **계산하기 전에** 답이 $\dfrac{5}{8}$ 보다 클지 작을지 먼저 쓰고, 그다음 계산하라. $\dfrac{5}{8} \div \dfrac{3}{4}$ 8. `B` 길이 $\dfrac{3}{4}$ m인 리본을 한 사람당 $\dfrac{1}{8}$ m씩 나눠주면 몇 명에게 줄 수 있나? 9. `B` 쿠키 한 판에 밀가루 $\dfrac{2}{3}$ 컵이 든다. 밀가루가 $5$ 컵 있으면 몇 판까지 만들 수 있나? 10. `B` 페인트 $\dfrac{3}{4}$ 통으로 벽의 $\dfrac{2}{5}$ 를 칠했다. 벽 전체를 칠하려면 페인트가 모두 몇 통 필요한가? 11. `C` $4$ 번의 답이 $1$ 보다 크다. **계산을 쓰지 말고** 왜 그런지 한두 문장으로 설명하라. 12. `C` $\left(\dfrac{1}{2} \div \dfrac{1}{3}\right) \div \dfrac{1}{4}$ 와 $\dfrac{1}{2} \div \left(\dfrac{1}{3} \div \dfrac{1}{4}\right)$ 를 각각 계산하고, 결과를 비교해 알게 된 것을 한 줄로 쓰라. :::{admonition} 정답과 해설 :class: dropdown 1. (1) $\dfrac{6}{35}$ (2) $\dfrac{1}{6}$ — $\dfrac{12}{72}$ 를 약분 (3) $\dfrac{1}{4}$ — $\dfrac{15}{60}$ 을 약분 2. (1) $\dfrac{7}{2}$ — $\dfrac{28}{8}$ 을 약분 (2) $\dfrac{4}{3}$ — $\dfrac{12}{9}$ 를 약분 3. $\dfrac{5}{2}$ — "1 안에 $\dfrac{2}{5}$ 가 두 번 반". $1 \times \dfrac{5}{2}$ 4. $\dfrac{9}{8}$ — $\dfrac{3}{4} \times \dfrac{3}{2} = \dfrac{9}{8}$. **이렇게 틀린다**: $\dfrac{3}{4} \times \dfrac{2}{3} = \dfrac{1}{2}$ (뒤집는 조작을 누락) 또는 $\dfrac{4}{3} \times \dfrac{2}{3}$ (앞의 수를 뒤집음). 뒤집는 대상은 **뒤에 오는 수**이다. 5. (1) $\dfrac{3}{4}$ — $\dfrac{5}{6} \times \dfrac{9}{10} = \dfrac{45}{60}$ (2) $\dfrac{2}{3}$ — $\dfrac{7}{12} \times \dfrac{8}{7} = \dfrac{8}{12}$ 6. $\dfrac{10}{3}$ (또는 $3\dfrac{1}{3}$) — 먼저 $2\dfrac{1}{2} = \dfrac{5}{2}$. 그다음 $\dfrac{5}{2} \times \dfrac{4}{3} = \dfrac{20}{6}$. **이렇게 틀린다**: 대분수를 그대로 두고 $2 \div \dfrac{3}{4}$ 만 계산. 7. **클 것이다** ($\dfrac{3}{4} < 1$ 로 나누므로). 계산: $\dfrac{5}{8} \times \dfrac{4}{3} = \dfrac{20}{24} = \dfrac{5}{6}$. 확인: $\dfrac{5}{6} > \dfrac{5}{8}$ ✔ 8. **6명** — $\dfrac{3}{4} \div \dfrac{1}{8} = \dfrac{3}{4} \times 8 = 6$ 9. **7판** — $5 \div \dfrac{2}{3} = \dfrac{15}{2} = 7.5$. 반 판은 만들 수 없으므로 7판, 밀가루 $\dfrac{1}{3}$ 컵이 남는다. 10. $\dfrac{15}{8}$ 통 (약 1.875통, 실제로는 2통 필요) — $\dfrac{3}{4} \div \dfrac{2}{5} = \dfrac{3}{4} \times \dfrac{5}{2} = \dfrac{15}{8}$. **이렇게 틀린다**: $\dfrac{3}{4} \times \dfrac{2}{5}$ 로 곱함. "벽의 일부를 칠하는 데 든 양"에서 "전체"를 구하는 연산은 나눗셈이다. 11. 예시 답안: "$\dfrac{2}{3}$ 이 $\dfrac{3}{4}$ 보다 작으니까, $\dfrac{3}{4}$ 안에 $\dfrac{2}{3}$ 이 한 번은 들어가고 조금 남는다. 그래서 답은 1보다 조금 크다." — 핵심은 **두 수의 크기 비교**를 언급하는 것이다. "1보다 작은 수로 나눠서"라고만 써도 부분 정답으로 인정한다. 12. 앞의 것 $= \dfrac{3}{2} \div \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{2} \times 4 = 6$. 뒤의 것 $= \dfrac{1}{2} \div \dfrac{4}{3} = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{3}{4} = \dfrac{3}{8}$. 알게 된 것: **나눗셈은 묶는 순서를 바꾸면 답이 달라진다**(결합법칙이 성립하지 않는다). 그래서 괄호가 중요하다. ::: ### 추가 연습문제 곱셈과 나눗셈을 의도적으로 섞어 배열했다. 각 문항에서 연산 기호를 먼저 소리 내어 읽고 계산을 시작한다. **곱셈 기본** 1. $\dfrac{1}{3} \times \dfrac{3}{5}$ 2. $\dfrac{2}{7} \times \dfrac{7}{8}$ 3. $\dfrac{4}{5} \times \dfrac{5}{6}$ 4. $\dfrac{3}{10} \times \dfrac{5}{9}$ 5. $9 \times \dfrac{2}{3}$ 6. $\dfrac{5}{8} \times 4$ 7. $\dfrac{2}{3} \times \dfrac{3}{4} \times \dfrac{1}{2}$ 8. $\dfrac{2}{5} \times \dfrac{2}{5}$ **나눗셈 기본** 9. $1 \div \dfrac{1}{6}$ 10. $4 \div \dfrac{1}{2}$ 11. $\dfrac{3}{5} \div \dfrac{1}{5}$ 12. $\dfrac{7}{8} \div \dfrac{1}{4}$ 13. $\dfrac{2}{3} \div 4$ 14. $\dfrac{5}{9} \div \dfrac{5}{6}$ 15. $\dfrac{3}{4} \div \dfrac{9}{8}$ 16. $\dfrac{6}{7} \div \dfrac{3}{14}$ **혼합·대분수** 17. $1\dfrac{1}{2} \times \dfrac{2}{3}$ 18. $2\dfrac{1}{4} \div \dfrac{3}{8}$ 19. $3\dfrac{1}{3} \times 1\dfrac{1}{5}$ 20. $\dfrac{5}{6} \div 2\dfrac{1}{2}$ 21. $\left(\dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{6}\right) \times \dfrac{4}{5}$ 22. $\left(\dfrac{3}{4} - \dfrac{1}{2}\right) \div \dfrac{1}{8}$ 23. $\dfrac{2}{5} \times \left(\dfrac{3}{4} \div \dfrac{3}{8}\right)$ 24. $\dfrac{7}{10} \div \dfrac{7}{10}$ **문장제·의미** 25. 주스 $\dfrac{3}{4}$ L를 $\dfrac{1}{6}$ L짜리 컵에 나눠 담으면 몇 컵이 나오는가? (가득 찬 컵의 개수와 남는 양을 함께 답하라) 26. 어떤 일의 $\dfrac{2}{5}$ 를 끝내는 데 $3$ 시간이 걸렸다. 같은 속도로 계속하면 전체를 끝내는 데 모두 몇 시간이 걸리는가? 27. 설탕 $\dfrac{8}{9}$ kg을 $\dfrac{2}{9}$ kg씩 봉지에 담으면 몇 봉지인가? 28. 레시피에 우유 $\dfrac{3}{4}$ 컵이 필요하다. 이 레시피의 $\dfrac{2}{3}$ 배만 만들려면 우유가 얼마나 필요한가? 29. $A \div B$ 에서 $B$ 가 $1$ 보다 작으면 답은 $A$ 보다 큰가 작은가? 왜 그런지 한 문장으로 쓰라. 30. "$\dfrac{3}{4} \div \dfrac{2}{3} = \dfrac{3}{4} \times \dfrac{3}{2}$ 인 이유"를 두 문장으로 쓰라. (본문의 두 단계 설명을 사용할 것) :::{admonition} 정답과 해설 :class: dropdown 1. $\dfrac{1}{5}$ 2. $\dfrac{1}{4}$ 3. $\dfrac{2}{3}$ 4. $\dfrac{1}{6}$ 5. $6$ 6. $\dfrac{5}{2}$ 7. $\dfrac{1}{4}$ 8. $\dfrac{4}{25}$ 9. $6$ 10. $8$ 11. $3$ 12. $\dfrac{7}{2}$ 13. $\dfrac{1}{6}$ 14. $\dfrac{2}{3}$ 15. $\dfrac{2}{3}$ 16. $4$ 17. $1$ 18. $6$ 19. $4$ 20. $\dfrac{1}{3}$ 21. $\dfrac{2}{3}$ 22. $2$ 23. $\dfrac{4}{5}$ 24. $1$ 25. **4컵 가득, $\dfrac{1}{12}$ L 남음** — $\dfrac{3}{4} \div \dfrac{1}{6} = \dfrac{3}{4} \times 6 = \dfrac{9}{2} = 4.5$, 즉 "네 컵 반"이다. 남는 양은 $\dfrac{3}{4} - 4 \times \dfrac{1}{6} = \dfrac{3}{4} - \dfrac{2}{3} = \dfrac{1}{12}$ L. **여기서 확인할 것**: 나눗셈의 값 $4.5$ 의 "$.5$"는 리터가 아니라 **컵의 반**이다. 단위를 놓치면 $\dfrac{1}{2}$ L가 남는다고 답하게 된다. 26. **7.5시간** ($\dfrac{15}{2}$ 시간) — $3 \div \dfrac{2}{5} = 3 \times \dfrac{5}{2}$. **이렇게 틀린다**: $3 \times \dfrac{2}{5}$ 로 곱해 1.2시간. 부분에서 전체로 가는 연산은 나눗셈이다. 27. **4봉지** — $\dfrac{8}{9} \div \dfrac{2}{9} = 4$. 분모가 같으면 분자끼리 나누어도 된다는 것도 함께 확인해 둔다. 28. $\dfrac{1}{2}$ 컵 — $\dfrac{3}{4} \times \dfrac{2}{3}$. "$\sim$ 배"는 곱셈이다. 29. **크다.** 예시 답안: "1보다 작은 조각으로 나누면 조각의 개수가 원래 수보다 많아지기 때문." 30. 예시 답안: "$\dfrac{2}{3}$ 은 $\dfrac{1}{3}$ 이 2개 모인 것이다. 그래서 먼저 $\dfrac{3}{4}$ 안에 $\dfrac{1}{3}$ 이 몇 개인지 세면 $\times 3$ 이고, 그것을 2개씩 묶으면 $\div 2$ 다. 두 걸음을 합치면 $\times \dfrac{3}{2}$ 가 된다." ::: ## 요약과 다음 장 이 장의 핵심은 두 문장이다. **분수의 곱셈은 넓이, 곧 조각의 조각이다. 분수의 나눗셈은 "안에 몇 번 들어가나"이다.** 곱셈에서는 분자끼리·분모끼리 곱하는 규칙이 넓이 격자에서 그대로 유도되었고, 나눗셈에서는 세는 단계와 묶는 단계를 합한 결과가 "역수를 곱한다"는 형태로 나타났다. "뒤집어 곱한다"는 규칙은 암기 대상이 아니라 이 두 단계의 결과이다. 여기에 크기 판단 기준을 하나 추가했다. **나누는 수가 $1$ 보다 작으면 답은 커진다.** 계산 전에 이 판단을 먼저 하면 계산 결과의 오류를 스스로 검출할 수 있다. 다음 장에서는 이 장에서 다룬 $\dfrac{3}{4}$ 을 $0.75$ 로 표기하는 체계를 다룬다. 두 표기는 같은 수를 나타내며, 두 가지 표기가 존재하는 이유와 각각이 유리한 상황을 [제4장](ch04.md)에서 밝힌다.