# 제27장 · 미분 규칙 ① — 거듭제곱·상수·합 :::{admonition} 이 장 :class: seealso | | | |---|---| | **원본 코드** | R3-W07 | | **선행 내용** | [제26장](ch26.md) — 도함수의 정의 | | **요지** | 거듭제곱은 지수를 **앞으로 내리고 하나 줄인다.** $(x^n)' = nx^{n-1}$. | ::: ## 도입 앞 장에서 $x^2$ 의 도함수를 정의로 구했다. $(x+h)^2$ 을 전개하고, $h$ 로 나누고, $h \to 0$ 의 극한을 취하는 여러 단계를 거쳐야 했다. $$f(x) = x^2 \ \Rightarrow \ f'(x) = \lim_{h \to 0}\frac{(x+h)^2 - x^2}{h} = \lim_{h \to 0}\frac{2xh + h^2}{h} = \lim_{h \to 0}(2x+h) = 2x$$ 정의에 의한 미분은 이처럼 계산량이 많다. 여기에 한 경우를 더 추가한다. $$f(x) = x^{10} \ \Rightarrow \ f'(x) = \ ?$$ 이를 정의로 계산하려면 $(x+h)^{10}$ 을 전개해야 한다. 항은 열한 개이고, 계수는 $1, 10, 45, 120, 210, 252, \ldots$ 로 이어진다. 손으로 전개하기에는 계산량이 과도하다. 따라서 직접 전개하는 대신 이미 얻은 결과에서 규칙을 추정한다. 앞 장에서 정의로 구한 결과는 세 개다. $x$ 의 도함수는 $1$, $x^2$ 의 도함수는 $2x$, $x^3$ 의 도함수는 $3x^2$ 이다. 이 세 결과만으로 $x^{10}$ 의 도함수를 추정하는 것이 이 장의 출발점이다. 이 장은 규칙을 먼저 제시하지 않는다. 표를 하나 만들고 그 표를 채우는 과정에서 규칙을 도출한 뒤, 그 규칙이 언제나 성립하는 이유를 확인한다. ## 표에서 규칙을 도출한다 앞 장에서 정의로 구한 세 줄을 나란히 놓고, 그 아래를 비워 둔다. | $f(x)$ | $f'(x)$ | 어디서 나왔나 | |---|---|---| | $x^1$ | $1$ | 정의로 (지난 장) | | $x^2$ | $2x$ | 정의로 (지난 장) | | $x^3$ | $3x^2$ | 정의로 (지난 장) | | $x^4$ | ? | | | $x^5$ | ? | | | $x^{10}$ | ? | | | $x^n$ | ? | | 위 세 줄은 다른 곳에서 인용한 것이 아니라 정의로 직접 구한 결과다. 네 번째 줄인 $x^4$ 의 도함수는, 세 결과의 형태로부터 $4x^3$ 으로 추정된다. 추정의 근거를 문장으로 옮기면 다음과 같다. **"지수가 앞으로 내려오고, 지수는 하나 줄어든다."** 이 문장이 이 장에서 다루는 규칙이다. 다만 형태가 그럴듯하다는 것만으로 규칙이 성립하지는 않으므로 확인이 필요하다. ### 추정을 확인한다 $x^4$ 을 정의로 미분한다. $$f'(x) = \lim_{h \to 0}\frac{(x+h)^4 - x^4}{h}$$ $(x+h)^4$ 을 전개한다. $$(x+h)^4 = x^4 + 4x^3h + 6x^2h^2 + 4xh^3 + h^4$$ $x^4$ 항이 서로 소거되고, 남은 식을 $h$ 로 나눈다. $$\frac{(x+h)^4 - x^4}{h} = \frac{4x^3h + 6x^2h^2 + 4xh^3 + h^4}{h} = 4x^3 + 6x^2h + 4xh^2 + h^3$$ $h \to 0$ 의 극한을 취한다. $h$ 가 곱해진 항은 모두 $0$ 이 되고, 한 항만 남는다. $$f'(x) = 4x^3$$ 추정한 값과 일치한다. 표의 네 번째 줄이 채워졌다. ### 규칙이 항상 성립하는 이유 — 두 번째 항만 남는다 지수를 $n$ 으로 일반화하기 전에, 전개식의 각 항이 어디에서 나오는지를 센다. 앞 장에서는 $(x+h)^3$ 의 전개식을 결과로만 제시했으나, 이를 직접 유도할 수 있다. $$(x+h)^3 = (x+h)(x+h)(x+h)$$ 괄호가 셋이다. 곱을 전개한다는 것은 **각 괄호에서 $x$ 또는 $h$ 를 하나씩 골라 곱한 것을 전부 더한다**는 뜻이다. 괄호마다 두 가지씩이므로 경우의 수는 $2\times2\times2 = 8$ 이다. 여덟 가지를 모두 나열하면 다음과 같다. | 첫째 괄호 | 둘째 괄호 | 셋째 괄호 | 곱한 결과 | |---|---|---|---| | $x$ | $x$ | $x$ | $x^3$ | | $h$ | $x$ | $x$ | $x^2h$ | | $x$ | $h$ | $x$ | $x^2h$ | | $x$ | $x$ | $h$ | $x^2h$ | | $h$ | $h$ | $x$ | $xh^2$ | | $h$ | $x$ | $h$ | $xh^2$ | | $x$ | $h$ | $h$ | $xh^2$ | | $h$ | $h$ | $h$ | $h^3$ | 세 가지 경우로 분류된다. 셋 모두 $x$ 를 고르면 $x^3$ 이고, 이는 **한 가지**다. $h$ 를 **정확히 하나** 고르면 $x^2h$ 이며, 어느 괄호에서 고르는지에 따라 **세 가지**이므로 합하면 $3x^2h$ 가 된다. $h$ 를 둘 이상 고른 나머지 경우는 전부 $h^2$ 이상의 인수를 포함한다. 정리하면 다음과 같다. $$(x+h)^3 = x^3 + 3x^2h + \underbrace{3xh^2 + h^3}_{h^2 \text{ 이상}}$$ 앞 장에서 결과로만 제시했던 전개식이며, 여기서는 경우의 수를 세어 유도한 것이다. 이제 지수를 $n$ 으로 일반화한다. 괄호가 $n$ 개로 늘어날 뿐 절차는 동일하다. 일반화하면 이 현상이 언제나 일어나는 이유가 드러난다. $(x+h)^n$ 을 전개하면 다음과 같다. $$(x+h)^n = x^n + n\,x^{n-1}h + (h^2 \text{ 이상이 붙은 항들})$$ 첫 항은 항상 $x^n$ 이며, $h$ 를 하나도 고르지 않은 경우다. 두 번째 항은 $h$ 를 정확히 하나 고른 경우인데, $h$ 를 고르는 괄호가 $n$ 가지이므로 $n$ 개가 모여 $n\,x^{n-1}h$ 가 된다. $x^n$ 은 뺄셈에서 소거되고, $h$ 로 나누면 두 번째 항에서만 $h$ 가 약분되어 **$h$ 를 포함하지 않는 항이 된다.** 나머지 항은 $h$ 를 적어도 하나씩 포함하므로 $h \to 0$ 에서 전부 $0$ 이 된다. 극한에서 남는 것은 언제나 두 번째 항 하나다. $$\frac{d}{dx}x^n = n\,x^{n-1}$$ 도입에서 제기한 $x^{10}$ 의 도함수도 이 규칙으로 구한다. $$\frac{d}{dx}x^{10} = 10x^9$$ 추정과 결과가 일치한다. 다만 이 결론은 추정이 아니라 위의 세는 논증에 근거한 결과이며, 그 차이가 이 장의 핵심이다. **예제 1.** $y = x^7$ $$\frac{dy}{dx} = 7x^6$$ 지수를 앞으로 내리고, 지수에서 $1$ 을 뺀다. 절차는 이 두 단계다. ## 음의 지수·분수 지수도 같은 규칙 $n$ 이 자연수인 경우에 대해 규칙을 확인했다. $n$ 이 음수이거나 분수인 경우에도 같은 규칙이 성립한다. 다만 근거의 범위를 명시한다. 앞에서 사용한 논증 — 괄호 $n$ 개에서 $x$ 또는 $h$ 를 하나씩 고른다 — 은 $n$ 이 자연수일 때만 의미를 갖는다. 괄호를 $-2$ 개나 $\dfrac12$ 개 나열할 수는 없기 때문이다. 그러나 자연수가 아닌 지수에 대한 근거가 전혀 없는 것은 아니다. [제26장](ch26.md)에서 **정의로 직접** 구한 두 결과가 이미 확인된 사례에 해당한다. $$\frac1x = x^{-1} \ \longrightarrow \ -\frac{1}{x^2} = -x^{-2} \qquad \sqrt x = x^{1/2} \ \longrightarrow \ \frac{1}{2\sqrt x} = \frac12 x^{-1/2}$$ 둘 다 "지수를 앞으로 내리고 하나 줄인다"는 규칙과 정확히 일치한다(제26장 마지막 표가 이 내용이다). 자연수가 아닌 지수 **전체**에 대한 증명에는 도구가 더 필요하므로 뒤에서 다루고, 이 장에서는 정의로 확인된 이 두 경우를 근거로 삼아 규칙을 확장해 사용한다. :::{admonition} 정의에 의한 확인 :class: tip 정의에 따라 $\dfrac{1}{x^2}$ 을 미분하여 $-2x^{-3}$ 이 되는지 확인하라. 통분 연습을 겸한다. (해답 흐름: $\dfrac{1}{(x+h)^2}-\dfrac{1}{x^2} = \dfrac{x^2-(x+h)^2}{x^2(x+h)^2} = \dfrac{-2xh-h^2}{x^2(x+h)^2}$ 이고, $h$ 로 나누면 $\dfrac{-2x-h}{x^2(x+h)^2}$, $h\to0$ 에서 $\dfrac{-2x}{x^4} = -\dfrac{2}{x^3} = -2x^{-3}$.) ::: 규칙을 적용하기 전에 선행 절차가 하나 있다. $\dfrac{1}{x^2}$ 이나 $\sqrt{x}$ 는 아직 거듭제곱 꼴이 아니므로, **지수 하나를 갖는 꼴로 고쳐 써야** 규칙을 적용할 수 있다. 이 고쳐 쓰기가 이 장에서 오류가 가장 자주 발생하는 지점이다. 이 단계에서 막힌다면 원인은 미분이 아니라 지수법칙([제12장](../part2/ch12.md))이다. $\dfrac{1}{x^2} = x^{-2}$, $\sqrt{x} = x^{1/2}$ 로 바꾸는 변환이 수행되지 않는 것이며, 미분 규칙 자체의 문제가 아니다. 두 문제는 서로 다른 문제이고, 지수 표기의 변환은 미분보다 먼저 해결할 수 있다. | 원래 모양 | 지수 꼴로 고쳐 쓰면 | 규칙 적용 | 다시 원래 모양으로 | |---|---|---|---| | $\dfrac{1}{x}$ | $x^{-1}$ | $-1 \cdot x^{-2}$ | $-\dfrac{1}{x^2}$ | | $\dfrac{1}{x^2}$ | $x^{-2}$ | $-2x^{-3}$ | $-\dfrac{2}{x^3}$ | | $\sqrt{x}$ | $x^{1/2}$ | $\dfrac{1}{2}x^{-1/2}$ | $\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ | 이 표에서 핵심 단계는 두 번째 칸이다. 미분은 세 번째 칸이며, 규칙 하나로 처리된다. 오류가 발생하는 지점은 언제나 두 번째 칸, 곧 지수법칙이다. 규칙의 결과는 그래프로 검산할 수 있다. $y = \dfrac{1}{x}$ 는 오른쪽으로 갈수록 내려가는 그래프이므로 기울기는 항상 음수여야 한다. 답 $-\dfrac{1}{x^2}$ 은 $x^2$ 이 항상 양수이므로 앞의 마이너스에 의해 항상 음수이며, 그래프와 일치한다. $y = \sqrt{x}$ 는 증가하되 증가가 점점 완만해지므로 기울기는 양수이면서 점점 작아져야 한다. 답 $\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ 는 $x$ 가 커지면 분모가 커져 값이 작아지며, 이 역시 그래프와 일치한다. 규칙과 그림이 어긋나지 않는다. **예제 2.** $y = \dfrac{1}{x^4}$ 먼저 지수 꼴로 고쳐 쓰고, 미분은 그다음이다. $$y = x^{-4}$$ $$\frac{dy}{dx} = -4x^{-5} = -\frac{4}{x^5}$$ 지수 계산에서 $-4 - 1 = -5$ 이다. 이 지점에서 부호 오류가 자주 발생한다. $-4$ 에서 $1$ 을 빼면 $-3$ 이 아니라 $-5$ 이다. 수직선에서 $-4$ 의 왼쪽으로 한 칸 이동한 위치가 $-5$ 이다. **예제 3.** $y = \sqrt[3]{x}$ $$y = x^{1/3}$$ $$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{3}x^{-2/3}$$ 여기서는 $\dfrac{1}{3} - 1 = -\dfrac{2}{3}$ 이라는 분수 뺄셈이 필요하다. $1 = \dfrac{3}{3}$ 으로 고쳐 쓴 다음 빼면 계산 오류를 피할 수 있다. 한 가지를 덧붙이면, 변수 문자가 바뀌어도 규칙은 동일하다. $t^4$ 의 도함수는 $4t^3$ 이다. **문자는 변수의 이름이며, 규칙은 이름에 의존하지 않는다.** 이후 시간을 다룰 때는 $t$ 를 사용하지만, 이름이 바뀌어도 규칙은 바뀌지 않는다. ## 상수·상수배·합의 미분 거듭제곱 규칙 하나로는 $3x^4 - 2x^2 + 5x - 7$ 같은 다항식을 다룰 수 없다. 상수가 있고, 계수가 붙어 있고, 여러 항이 더해져 있기 때문이다. 세 가지 규칙을 그래프와 함께 확인한다. ### 상수의 미분은 0 $y = 5$ 의 그래프는 높이 $5$ 인 수평선이다. ```{image} /_static/figs/ch27_const.svg :alt: 상수함수 y=5의 수평선 :width: 340px :align: center :class: chfig ``` 이 직선의 기울기는 $0$ 이다. $x$ 가 아무리 변해도 $y$ 는 증가하지도 감소하지도 않는다. 도함수는 기울기이므로, 상수함수의 도함수는 $0$ 이다. 별도의 계산 없이 그래프에서 결과가 나온다. $$\frac{d}{dx}(c) = 0$$ 앞 장에서 $5x + 1$ 을 정의로 미분했을 때 $+1$ 이 결과에 남지 않은 것도 같은 이유다. 상수는 그래프의 **높이**만 바꾸고 **기울기**는 바꾸지 않는다. 그래프를 위아래로 평행이동해도 경사는 변하지 않는다. ### 상수배는 밖으로 나온다 $y = 3x^2$ 은 $y = x^2$ 을 세로로 $3$ 배 늘린 그래프다. 세로로 $3$ 배 늘리면 같은 거리를 가는 동안 $3$ 배 높이 올라가므로 기울기도 $3$ 배가 된다. 따라서 상수배는 미분 기호 밖으로 나온다. $$\frac{d}{dx}\big(c \cdot f(x)\big) = c \cdot f'(x)$$ ### 합의 미분은 각 항의 도함수의 합 욕조에 수도꼭지가 두 개 있고, 하나는 분당 $3$ 리터, 다른 하나는 분당 $2$ 리터로 물을 공급한다. 이때 물이 차는 속도는 분당 $5$ 리터이며, 두 속도의 합과 같다. **두 꼭지의 공급량이 서로 영향을 주지 않기 때문이다.** 함수의 합에서도 같은 관계가 성립한다. $f$ 의 변화율과 $g$ 의 변화율은 서로 간섭하지 않으므로, 합의 변화율은 두 변화율의 합이다. $$\frac{d}{dx}\big(f(x)+g(x)\big) = f'(x) + g'(x) \qquad \frac{d}{dx}\big(f(x)-g(x)\big) = f'(x) - g'(x)$$ ### 네 규칙으로 다항식을 미분한다 이제 규칙 넷을 한자리에 모은다. $$\frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1} \qquad \frac{d}{dx}(c) = 0 \qquad \frac{d}{dx}(cf) = cf' \qquad \frac{d}{dx}(f \pm g) = f' \pm g'$$ 이 네 규칙으로 모든 다항식을 미분할 수 있다. **각 항을 따로 미분한 뒤 다시 더한다.** **예제 1.** $y = 5x^3$ $$\frac{dy}{dx} = 5 \cdot 3x^2 = 15x^2$$ $5$ 는 밖으로 나오고, $x^3$ 만 미분한다. **예제 2.** $y = 4x^3 - 7x^2 + 2x - 9$ 한 항도 건너뛰지 않고 순서대로 미분한다. $4x^3$ 은 $12x^2$, $-7x^2$ 은 $-14x$ 이다. 부호는 항에 포함시켜 함께 처리한다. $2x$ 는 $x$ 의 도함수가 $1$ 이므로 $2 \times 1 = 2$ 이다. 마지막 $-9$ 는 상수이므로 도함수는 $0$ 이다. $$\frac{dy}{dx} = 12x^2 - 14x + 2$$ **예제 3.** $y = \dfrac{2}{x^2}$ 먼저 지수 꼴로 고쳐 쓴다. $\dfrac{2}{x^2} = 2 \cdot \dfrac{1}{x^2} = 2x^{-2}$. $$y = 2x^{-2}$$ $$\frac{dy}{dx} = 2 \cdot (-2)x^{-3} = -4x^{-3} = -\frac{4}{x^3}$$ **예제 4.** $y = 3\sqrt{x}$ $$y = 3x^{1/2}$$ $$\frac{dy}{dx} = 3 \cdot \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{3}{2\sqrt{x}}$$ ## 합과 달리 곱은 항별로 분리되지 않는다 앞에서 $(f+g)' = f' + g'$ 가 성립함을 확인했다. 합에서는 각 항을 따로 미분한 뒤 더하면 된다. 그러나 곱에 대해서는 $(f \cdot g)' = f' \cdot g'$ 가 성립하지 않는다. 반례는 다음과 같다. $x \cdot x^3$ 을 두 방법으로 미분한다. 지수법칙으로 합치면 $x \cdot x^3 = x^4$ 이므로 도함수는 $4x^3$ 이다. 반면 $x$ 와 $x^3$ 을 각각 미분해 곱하면 $1 \cdot 3x^2 = 3x^2$ 이다. $x = 1$ 을 대입하면 앞의 값은 $4$, 뒤의 값은 $3$ 으로 **두 값이 다르다.** 곱에서는 각 인수를 따로 미분해 곱하는 방법이 성립하지 않는다. 곱의 미분 규칙은 [제28장](ch28.md)에서 다룬다. 이 장에서 확인한 사실은, 곱에서는 각 인수를 따로 미분해 곱하는 방법이 성립하지 않는다는 것이다. ## 빈번한 오류 :::{admonition} $\dfrac{1}{x^2}$, $\sqrt{x}$ 를 지수 꼴로 고쳐 쓰지 못한다 :class: warning $x^8$ 은 즉시 미분하면서 $\dfrac{1}{x^2}$ 에서는 계산을 진행하지 못하는 경우, 원인은 미분이 아니라 **지수 표기**다. $\dfrac{1}{x^2}$ 과 $x^{-2}$ 가 같은 식이라는 인식이 확립되지 않은 상태다. $x^{-2} = \dfrac{1}{x^2}$ 을 학습했더라도 "음의 지수를 보면 분수로 바꾼다"는 한 방향으로만 익혔다면, 여기서 필요한 반대 방향의 변환이 수행되지 않는다. 이 경우 미분 규칙이 아니라 지수법칙([제12장](../part2/ch12.md))을 복습해야 한다. *확인 문제*: $\dfrac{3}{x^2}$ 을 미분하라. (답: $-\dfrac{6}{x^3}$. 중간에 $3x^{-2}$ 로 고쳐 쓴 줄이 있어야 한다. 그 줄이 없으면 답이 맞아도 절차가 완성된 것이 아니다.) ::: :::{admonition} 상수와 상수배를 혼동한다 :class: warning $5x$ 를 미분해서 $0$ 이라 쓰거나, $5$ 를 미분해서 $5$ 라 쓰는 오류다. "상수는 사라진다"는 문장만 기억하고 **무엇이 상수인지**를 구분하지 못한 것이다. $5x$ 의 $5$ 와 $y = 5$ 의 $5$ 는 표기상 같은 $5$ 이지만, 미분에서의 역할이 다르다. ```{image} /_static/figs/ch27_const_line.svg :alt: y=5와 y=5x의 기울기 비교 :width: 520px :align: center :class: chfig ``` 왼쪽은 수평선이므로 기울기가 $0$ 이고, 오른쪽은 기울기가 $5$ 인 직선이다. 두 경우 모두 $5$ 가 나타나지만, 하나는 **높이**이고 다른 하나는 **기울기**다. 미분은 기울기를 구하는 연산이므로 높이는 결과에 영향을 주지 않는다. 판별 기준은 하나다. **$x$ 가 곱해져 있는지 확인한다.** 곱해져 있으면 상수배이고, 곱해져 있지 않으면 상수다. *확인 문제*: $y = 8x - 8$ 을 미분하라. (답: $8$. 두 개의 $8$ 중 $x$ 가 곱해지지 않은 $-8$ 만 사라진다.) ::: :::{admonition} 지수에서 1을 뺄 때 음수 계산이 어긋난다 :class: warning $x^{-2}$ 을 미분해서 $-2x^{-1}$ 이라 쓰는 오류다. $-2 - 1$ 을 $-1$ 로 계산한 것이며, 정답은 $-3$ 이다. 규칙 자체는 적용했으나 **산술 한 단계에서 어긋난** 것이므로, 원인은 미분이 아니라 음수의 뺄셈이다. 수직선에서 $-2$ 의 왼쪽으로 한 칸 이동한 위치가 $-3$ 이다. 분수 지수도 동일하다. $\dfrac{1}{2} - 1$ 은 $1 = \dfrac{2}{2}$ 로 통분하여 $-\dfrac{1}{2}$ 이다. 통분 한 줄을 반드시 쓴다. *확인 문제*: $x^{-3}$ 과 $x^{1/3}$ 을 각각 미분하라. (답: $-3x^{-4}$, $\dfrac{1}{3}x^{-2/3}$.) ::: :::{admonition} 덧셈의 규칙을 곱셈에 그대로 적용한다 :class: warning 이 오류는 다른 오류보다 반복해서 나타난다. $(f+g)' = f' + g'$ 가 **실제로 성립하기** 때문이다. 합에서 항별로 계산해도 된다는 것을 확인한 직후에는, 같은 방식이 곱에도 적용된다고 추정하기 쉽다. 그러나 곱에서는 성립하지 않는다. 곱의 미분 규칙은 [제28장](ch28.md)에서 다룬다. *확인 문제*: $(x+2)(x-3)$ 을 두 방법으로 미분하라. 전개하면 $x^2 - x - 6$, 미분하면 $2x - 1$. 각 괄호를 따로 미분해 곱하면 $1 \times 1 = 1$. (답: 두 답이 다르고, 맞는 것은 전개해서 미분한 $2x - 1$.) ::: ## 연습문제 계산기를 사용하지 않는다. 풀리지 않는 문항은 표시해 두고 다음 문항으로 넘어간다. 특히 지수 꼴로 고쳐 쓰지 못해 막힌 문항은 미분이 아니라 지수법칙([제12장](../part2/ch12.md))에 해당하므로, 그 옆에는 표시 대신 "지수"라고 적어 두면 복습할 지점이 분명해진다. `A` 기본 · `B` 표준 · `C` 도전. 1. `A` 미분하라. (1) $x^8$ (2) $x^{20}$ (3) $x$ 2. `A` 미분하라. (1) $y = 9$ (2) $y = -\dfrac{1}{2}$ 3. `A` 미분하라. (1) $6x$ (2) $-2x^5$ (3) $\dfrac{x^3}{3}$ 4. `A` 미분하라. $y = 4x^3 + 7x^2$ 5. `A` 미분하라. $y = 3x^4 - 2x^2 + 5x - 7$ 6. `B` $x^{-4}$ 을 미분하라. 그다음 같은 함수를 $\dfrac{1}{x^4}$ 이라고 쓰고 다시 미분하라. **두 답이 같은지 확인하라.** 7. `B` 미분하라. (1) $\dfrac{2}{x^3}$ (2) $\sqrt{x}$ (3) $5\sqrt{x}$ 8. `B` $y = \dfrac{x^4 - x^2}{x^2}$ 을 미분하라. **(먼저 약분해서 정리한다.)** 9. `B` $f(x) = (x+2)(x-3)$ 을 미분하라. **(먼저 전개한다.)** 10. `B` 물체의 위치가 $s(t) = 5t^2 + 3t$ 로 주어진다($s$ 는 미터, $t$ 는 초). $t = 2$ 초일 때의 속도를 구하라. 단위를 붙여 답하라. 11. `B` 반지름 $r$ 인 원의 넓이는 $A = \pi r^2$ 이다. $\dfrac{dA}{dr}$ 를 구하고, **그 결과가 원의 무엇인지** 한 줄로 설명하라. 12. `C` $f(x) = x^3 - 3x + 1$ 의 그래프에서 **접선의 기울기가 $0$ 이 되는 $x$** 를 모두 구하라. 13. `C` $x \cdot x^3$ 을 두 가지 방법으로 미분하라. ① 지수법칙으로 $x^4$ 으로 합친 뒤 미분한다. ② $x$ 와 $x^3$ 을 각각 미분해서 곱한다. **두 답이 같은가? 다르다면 어느 쪽이 맞는가?** :::{admonition} 정답과 해설 :class: dropdown 1. (1) $8x^7$ (2) $20x^{19}$ (3) $1$ — (3)은 $x = x^1$ 이므로 $1 \cdot x^0 = 1$. 2. (1) $0$ (2) $0$ — 둘 다 상수다. $-\dfrac{1}{2}$ 은 분수이지만 $x$ 가 곱해져 있지 않으므로 상수이며, 그래프는 수평선이다. 3. (1) $6$ (2) $-10x^4$ (3) $x^2$ — (3)은 $\dfrac{1}{3} \cdot 3x^2 = x^2$. 계수 $\dfrac{1}{3}$ 과 내려온 $3$ 이 곱해져 $1$ 이 된다. 4. $12x^2 + 14x$ 5. $12x^3 - 4x + 5$ — 이 장의 핵심 문항이다. **상수항 $-7$ 이 사라졌는지** 확인하라. 빈번한 오류: 답에 $-7$ 을 그대로 남긴다. 6. 둘 다 $-4x^{-5} = -\dfrac{4}{x^5}$. 같은 함수를 다르게 표기한 것이므로 답도 같다. 다르게 나왔다면 표기 변환에서 틀린 것이지 미분에서 틀린 것이 아니다. 7. (1) $-\dfrac{6}{x^4}$ — $2x^{-3}$ 으로 고쳐 쓴 뒤 $2 \cdot (-3)x^{-4}$. (2) $\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ (3) $\dfrac{5}{2\sqrt{x}}$ 8. $2x$ — 먼저 약분: $\dfrac{x^4-x^2}{x^2} = x^2 - 1$. 그다음 미분하면 $2x$. 빈번한 오류: 분자와 분모를 각각 미분해서 $\dfrac{4x^3-2x}{2x}$ 라고 쓴다. 분자와 분모를 각각 미분하는 규칙은 **없다**(분수의 미분 규칙은 다음 장에서 다룬다). 지금은 약분해서 다항식으로 만든 다음에만 미분한다. 9. $2x - 1$ — 전개하면 $x^2 - x - 6$, 미분하면 $2x - 1$. 빈번한 오류: 각 괄호를 미분해서 $1 \times 1 = 1$. 이 오류는 **다음 장의 주제**다. 10. $23$ m/s — $s'(t) = 10t + 3$, $s'(2) = 23$. 단위를 포함해야 완전한 답이다. 위치가 미터, 시간이 초이므로 그 변화율의 단위는 초당 미터다. 11. $\dfrac{dA}{dr} = 2\pi r$. **이것은 원의 둘레다.** 설명 예시: 반지름을 아주 조금 늘리면 원 둘레를 따라 얇은 띠가 하나 생긴다. 그 띠의 넓이는 둘레 곱하기 두께이므로, 넓이의 변화율이 곧 둘레가 된다. 이 관찰은 뒤의 적분에서 다시 사용된다. 12. $x = 1$ 과 $x = -1$ — $f'(x) = 3x^2 - 3 = 0$ 에서 $x^2 = 1$. **$x = 1$ 만 답하고 끝내는 것이 빈번한 오류다.** 제곱해서 $1$ 이 되는 수는 둘이다. 13. ① $x \cdot x^3 = x^4$ 이므로 도함수는 $4x^3$. ② 각각 미분하면 $1$ 과 $3x^2$, 곱하면 $3x^2$. **두 답이 다르다.** $x = 1$ 을 넣으면 ①은 $4$, ②는 $3$. 맞는 것은 **①** 이다. ②의 방법, 곧 "각각 미분해서 곱하기"는 성립하지 않는 방법이다. 그 이유와 곱의 미분 규칙은 다음 장에서 다룬다. 이 장에서 확인할 사실은, 곱에서는 각 인수를 따로 미분해 곱하는 방법이 성립하지 않는다는 것이다. ::: ### 추가 연습문제 **음의 지수·분수 지수 문항($17$~$24$)은 먼저 지수 꼴로 고쳐 쓴 줄을 남긴 뒤** 미분한다. 고쳐 쓴 줄이 노트에 남는 것이 최종 답을 내는 것보다 중요하다. **거듭제곱 규칙** 1. $x^7$ 2. $x^{15}$ 3. $x$ 4. $x^{40}$ 5. $t^6$ 6. $s^{11}$ 7. $x^{101}$ 8. $x^2$ (앞 장에서 정의로 구했던 함수다. 규칙을 적용한 계산과 정의에 의한 계산의 소요 시간을 비교한다) **상수·상수배·합차** 9. $y = 7$ 10. $y = -3$ 11. $y = 5x$ 12. $y = -4x^3$ 13. $y = \dfrac{x^4}{2}$ 14. $y = x^2 + x$ 15. $y = 3x^2 - 5x + 2$ 16. $y = 6x^3 + 4x^2 - x + 9$ **음의 지수·분수 지수** 17. $x^{-3}$ 18. $x^{-1}$ 19. $\dfrac{1}{x^2}$ 20. $\dfrac{1}{x^5}$ 21. $\sqrt{x}$ 22. $x^{3/2}$ 23. $\dfrac{3}{x}$ 24. $\sqrt[3]{x}$ **혼합·응용** 25. $y = 2x^3 - \dfrac{1}{x}$ 을 미분하라. 26. $y = \dfrac{x^3 + x}{x}$ 을 미분하라. **(분수를 그대로 미분하지 말고 먼저 정리하라.)** 27. $y = x^2(x+3)$ 을 미분하라. **(먼저 전개하라.)** 28. $f(x) = 4\sqrt{x} + \dfrac{2}{x^2}$ 을 미분하라. 29. $f(x) = x^3 - 3x$ 의 그래프에서 $x = 2$ 인 점의 접선의 기울기를 구하라. 30. 이 장에서 $(f+g)' = f' + g'$ 가 **참**임을 확인했다. 그렇다면 $(f \cdot g)' = f' \cdot g'$ 도 참인가? **① 먼저 예상을 한 줄로 쓰라.** **② 그다음 $f(x) = x$, $g(x) = x$ 로 놓고 양쪽을 실제로 계산해서 비교하라.** (힌트: $f \cdot g = x \cdot x$ 를 먼저 정리한다.) :::{admonition} 정답과 해설 :class: dropdown 1. $7x^6$ 2. $15x^{14}$ 3. $1$ 4. $40x^{39}$ 5. $6t^5$ 6. $11s^{10}$ 7. $101x^{100}$ 8. $2x$ 9. $0$ 10. $0$ 11. $5$ 12. $-12x^2$ 13. $2x^3$ 14. $2x+1$ 15. $6x-5$ 16. $18x^2+8x-1$ 17. $-3x^{-4} = -\dfrac{3}{x^4}$ 18. $-x^{-2} = -\dfrac{1}{x^2}$ 19. $-\dfrac{2}{x^3}$ 20. $-\dfrac{5}{x^6}$ 21. $\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ 22. $\dfrac{3}{2}x^{1/2} = \dfrac{3\sqrt{x}}{2}$ 23. $-\dfrac{3}{x^2}$ 24. $\dfrac{1}{3}x^{-2/3}$ 25. $6x^2 + \dfrac{1}{x^2}$ — $\dfrac{1}{x} = x^{-1}$ 이고 앞에 마이너스가 붙어 있으므로 $-(-1)x^{-2} = +x^{-2}$. 빈번한 오류: 부호를 두 번 뒤집어야 하는 것을 한 번만 뒤집어 $-\dfrac{1}{x^2}$ 이라고 쓴다. 26. $2x$ — 먼저 약분하면 $\dfrac{x^3+x}{x} = x^2 + 1$. 미분하면 $2x$. 분수를 그대로 미분하는 규칙은 아직 없으며, 다음 장에서 다룬다. 27. $3x^2 + 6x$ — 전개하면 $x^3 + 3x^2$. 빈번한 오류: $x^2$ 과 $(x+3)$ 을 각각 미분해서 $2x \cdot 1 = 2x$. 이 오류가 다음 장의 주제다. 28. $\dfrac{2}{\sqrt{x}} - \dfrac{4}{x^3}$ — $4x^{1/2} + 2x^{-2}$ 로 고쳐 쓴 뒤 각각 미분한다. $4 \cdot \dfrac{1}{2}x^{-1/2} = 2x^{-1/2}$, $2 \cdot (-2)x^{-3} = -4x^{-3}$. 29. $9$ — $f'(x) = 3x^2 - 3$, $f'(2) = 12 - 3 = 9$. 빈번한 오류: $f(2) = 2$ 를 답으로 쓴다. 묻는 것은 함숫값이 아니라 **기울기**, 곧 도함수의 값이다. 30. ② 계산: $f \cdot g = x \cdot x = x^2$ 이므로 $(f \cdot g)' = 2x$. 한편 $f' \cdot g' = 1 \cdot 1 = 1$. **$2x$ 와 $1$ 은 같지 않다.** ($x = 1$ 을 넣으면 $2$ 와 $1$.) 따라서 $(f \cdot g)' = f' \cdot g'$ 는 **거짓**이다. 예상을 먼저 기록하고 계산으로 검증하는 것이 이 문제의 목적이다. 곱의 미분 규칙은 다음 장에서 넓이 그림과 함께 다룬다. ::: ## 요약과 다음 장 이 장의 핵심은 규칙 넷이다. 거듭제곱은 **지수를 앞으로 내리고 하나 줄인다**($x^n \to nx^{n-1}$), 상수는 미분하면 $0$, 상수배는 밖으로 나오고, 합은 항마다 따로 미분해서 더한다. 이 넷으로 모든 다항식을 미분할 수 있다. 한 가지를 다시 정리한다. $\dfrac{1}{x^2}$ 이나 $\sqrt{x}$ 에서 계산이 진행되지 않는다면, 원인은 미분이 아니라 지수법칙([제12장](../part2/ch12.md))이다. $x^{-2}$, $x^{1/2}$ 로 고쳐 쓰는 두 번째 칸을 넘기면 미분은 규칙 하나로 끝난다. 마지막으로 남은 문제는 곱의 미분이다. 합은 미분을 그대로 통과했다. 그러나 $x \cdot x^3$ 을 두 방법으로 미분했을 때 두 결과가 갈라졌다. 곱에서는 각 인수를 따로 미분해 곱하는 방법이 성립하지 않는다. 곱의 미분 규칙은 [제28장](ch28.md)에서 넓이 그림과 함께 다룬다.