# 제5장 · 음수

:::{admonition} 이 장
:class: seealso

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|---|---|
| **원본 코드** | R1-W05 |
| **선행 내용** | [제4장](ch04.md) · 소수와 분수의 연결 |
| **요지** | 음수는 수직선 위의 **위치**, 뺄셈은 그 위의 **이동**이다. $(-)\times(-)=(+)$ 는 별도로 정한 규칙이 아니라 분배법칙의 귀결이다. |
:::

## 도입

기온이 영하 $5$ 도라는 표현, 통장 잔액이 마이너스라는 표현, 지하 $2$ 층이라는 표현은 모두 일상에서 통용된다. 음수는 새로 도입되는 낯선 수가 아니라 이미 일상적으로 사용되고 있는 수이다.

그러나 같은 내용을 기호로 적은 다음 식은 일상적 판단만으로는 곧바로 처리되지 않는다.

$$-5 - (-8) = \ ?$$

이 식에 대해 빈번하게 나타나는 답은 $-13$ 이다. $-5$ 에서 $8$ 을 뺀 것으로 읽은 결과이다. 이 답은 무작위한 오류가 아니라 **다른 식을 정확히 계산한 결과**이다. 이러한 오류가 발생하는 이유와 실제 답이 $3$ 인 근거를 이 장에서 밝힌다.

먼저 규칙을 사용하지 않고 답을 확인한다. 카드값이 $5$ 만 원 남아 있는 상태를 통장 기준으로 적으면 $-5$ 이다. 여기서 카드사가 $8$ 만 원어치 청구를 취소하면 갚아야 할 금액이 그만큼 줄어든다. **빚을 없애는 것은 이득이다.** 즉 $-8$ 을 빼는 것은 $+8$ 을 받는 것과 같다. $-5$ 에서 시작해 $8$ 만 원의 이득이 생기면 $3$ 만 원이 남는다. 답은 $3$ 이다.

규칙을 모르는 상태에서도 이 상황 설명으로는 답이 나온다. 이 장에서 할 일은 이 상황과 종이 위의 기호를 **연결**하는 것이다. 사용하는 도구는 세 가지이다. **온도**는 $0$ 을 기준으로 한 위아래, **빚**은 $0$ 을 기준으로 가진 것과 갚을 것, **수직선**은 그 둘을 하나로 나타낸 그림이다. 계산이 막히면 이 셋 중 하나로 돌아간다.

이 장을 한 문장으로 요약하면 다음과 같다. **음수는 수직선 위의 위치이고, 뺄셈은 그 위의 이동이다.** 그리고 $(-)\times(-)=(+)$ 는 별도로 정한 규칙이 아니라 분배법칙의 귀결이다.

## 음수는 0의 왼쪽에 있는 수

음수는 새로운 종류의 수가 아니다. 수직선에서 **$0$ 의 왼쪽에 있는 수**이다.

```{image} /_static/figs/ch05_numline.svg
:alt: -10부터 5까지 수직선
:width: 560px
:align: center
:class: chfig
```

여기에 규칙 하나가 따라붙는다. **오른쪽에 있을수록 큰 수이다.** 따라서 $-3$ 과 $-7$ 중에서는 $-3$ 이 더 크다. $-3$ 이 오른쪽에 있기 때문이다. 숫자만 보면 $7$ 이 $3$ 보다 크므로 $-7$ 이 더 커 보이지만, 위치로 읽으면 혼동이 생기지 않는다. 영하 $3$ 도는 영하 $7$ 도보다 높은 온도이다. 온도계를 세워 놓으면 $-3$ 이 위쪽, 곧 더 큰 쪽에 있다.

수직선 위에서는 두 가지 동작만 필요하다.

$$+ \ \Rightarrow \ \text{오른쪽으로 간다} \qquad - \ \Rightarrow \ \text{왼쪽으로 간다}$$

## 덧셈은 오른쪽, 뺄셈은 왼쪽

$-5$ 에서 시작한다. 오른쪽으로 $3$ 칸 이동하면 $-4, -3, -2$ 를 거쳐 $-2$ 에 도착한다.

$$-5 + 3 = -2$$

왼쪽으로 $3$ 칸 이동하면 $-6, -7, -8$ 을 거쳐 $-8$ 에 도착한다.

$$-5 - 3 = -8$$

여기서 확인할 점이 있다. $-5 + 3$ 은 $-2$ 이다. **더했으나 결과는 여전히 음수이다.** 그리고 그 값은 $-8$ 이 아니라 $-2$ 이다. 부호가 서로 다른 두 수가 만나면 한쪽은 오른쪽, 다른 한쪽은 왼쪽 이동이므로 서로 상쇄한다. 어느 쪽으로 얼마나 이동했는지만 확인하면 된다.

수직선으로 셀 수 있을 만큼 작은 수라면 직접 짚어 확인할 수 있다. 그러나 수가 커지면 그 방법을 쓸 수 없다. 그래서 이 이동을 **두 줄 규칙**으로 옮겨 적는다. 요점은 **크기와 부호를 분리해서** 다루는 것이다. 크기를 먼저 정하고, 부호를 나중에 붙인다.

- **부호가 같으면**: 두 크기를 **더하고**, 그 부호를 그대로 붙인다.
- **부호가 다르면**: 큰 크기에서 작은 크기를 **빼고**, **크기가 큰 쪽의 부호**를 붙인다.

$-5 + 3$ 으로 확인한다. 부호가 다르다. 크기는 $5$ 와 $3$ 이고, 그 차는 $5 - 3 = 2$ 이다. 크기가 큰 쪽은 $-5$ 이므로 부호는 마이너스이다. 따라서 $-2$ 이다. 수직선에서 짚어 얻은 결과와 같다. $-5 - 3$ 은 $-5$ 와 $-3$ 을 더하는 것이므로 부호가 같은 경우이다. 크기를 더해 $5 + 3 = 8$, 부호는 그대로 마이너스이므로 $-8$ 이다.

이번에는 수직선에서 직접 셀 수 없는 크기를 다룬다. 카드 잔액이 $-45{,}000$ 원인 상태에서 $60{,}000$ 원을 갚는 경우이다.

$$-45{,}000 + 60{,}000$$

부호가 다르다. 크기는 $45{,}000$ 과 $60{,}000$ 이고, 그 차는 $60{,}000 - 45{,}000 = 15{,}000$ 이다. 크기가 큰 쪽은 $+60{,}000$ 이므로 부호는 플러스이다. 답은 $+15{,}000$ 이다. "빚을 다 갚고 $15{,}000$ 원이 남는다"는 설명과 같은 답을 절차로 얻은 것이다. 수직선 모형은 그대로 유지되며, 직접 세던 과정을 두 줄 규칙이 대신한다.

여기서 말한 "크기"에는 이름이 있다. **절댓값**이다. 부호를 떼고 남는 것, 곧 수직선에서 $0$ 까지의 **거리**이다. 기호로는 양옆에 작대기를 세워 쓴다.

$$|-7| = 7 \qquad |7| = 7 \qquad |-45{,}000| = 45{,}000$$

거리에는 방향이 없으므로 절댓값은 음수가 되지 않는다. 두 줄 규칙을 이 이름으로 다시 쓰면 다음과 같다. **부호가 다르면, 절댓값의 차를 구하고 절댓값이 큰 쪽의 부호를 붙인다.** 이 문장은 이후에도 다시 사용된다. [제15장](../part2/ch15.md)에서 인수분해의 부호를 판정할 때 "부호가 다르면 합은 절댓값이 큰 쪽의 부호를 따라간다"는 형태로 그대로 다시 나온다.

몇 개를 더 이동으로 읽는다.

$$-3 + 7 = 4, \qquad -3 - 7 = -10, \qquad 4 - 9 = -5$$

$-3$ 에서 오른쪽으로 $7$ 칸이면 $4$, 왼쪽으로 $7$ 칸이면 $-10$ 이다. $4$ 에서 왼쪽으로 $9$ 칸이면 $-5$ 이다. 암산으로 처리하지 않고 수직선을 그려 위치를 짚어 확인하는 것이 이 장의 연습이다.

## 마이너스가 두 개 나란히 올 때

도입에서 제시한 식으로 돌아간다.

$$-5 - (-8) = \ ?$$

이 절이 이 장의 핵심이다. 먼저 확인할 사항이 있다. **뺄셈 기호가 두 개 있는 것이 아니다.** 앞의 $-$ 는 "빼라"는 연산 기호이고, 괄호 안의 $-$ 는 그 수 자체가 음수라는 표시이다. 모양은 같지만 역할이 다르다.

이 식은 세 가지 방법으로 읽을 수 있고, 셋 다 같은 답을 준다. 셋 중 어느 하나를 사용해도 결과는 동일하다.

**① 이동으로 읽기.** $-5$ 에서 출발해 $-8$ 을 뺀다. 빼기는 왼쪽 방향이다. 이때 왼쪽으로 이동하는 양이 $-8$ 이다. $-8$ 만큼 왼쪽으로 가는 것은 $8$ 만큼 오른쪽으로 가는 것과 같다. 방향을 두 번 뒤집으면 원래 방향으로 돌아오기 때문이다.

```{image} /_static/figs/ch05_numline_move.svg
:alt: 수직선에서 -5-(-8)=3, 오른쪽으로 8칸
:width: 560px
:align: center
:class: chfig
```

$$-5 - (-8) = -5 + 8 = 3$$

**② 차이로 읽기.** [제1장](ch01.md)에서 뺄셈을 "차이"로 해석했다. $a - b$ 는 "$b$ 에서 $a$ 까지 어느 방향으로 얼마나 가야 하는가"이다. $-5 - (-8)$ 은 "$-8$ 에서 $-5$ 까지"이다. 수직선에서 $-8$ 에서 $-5$ 로 가면 오른쪽으로 $3$ 칸이다. 따라서 $+3$ 이다.

**③ 빚으로 읽기.** 도입의 카드값 상황이다. 빚 $5$ 만 원($-5$)에서 빚 $8$ 만 원($-8$)을 없앤다. 없앤 만큼 이득이므로 $+8$ 이고, 결과는 $3$ 이다.

도입에서 제시한 $-13$ 이 나오는 이유는 다음과 같다. 괄호 안의 마이너스를 **읽지 않고** $-5 - 8$ 로 처리한 것이다. $-5 - 8 = -13$ 은 정확한 계산이다. 다만 그 식이 풀어야 할 식이 아니었을 뿐이다.

세 가지 읽기를 한 줄로 정리하면 다음과 같다.

$$a - b = a + (-b)$$

**빼기는 반대 부호를 더하는 것이다.** 이 한 줄에 의해 뺄셈이라는 동작이 사라지고 모두 덧셈이 된다. 부호가 두 개 나란히 오는 네 가지 모양을 표로 모으면 다음과 같다.

| 쓰인 모양 | 같은 뜻 | 예 |
|---|---|---|
| $a + (+b)$ | $a + b$ | $5 + (+3) = 8$ |
| $a + (-b)$ | $a - b$ | $5 + (-3) = 2$ |
| $a - (+b)$ | $a - b$ | $5 - (+3) = 2$ |
| $a - (-b)$ | $a + b$ | $5 - (-3) = 8$ |

표에서 확인되는 규칙은 하나이다. **부호가 같으면 플러스, 다르면 마이너스.** 다만 이 표는 암기 대상이 아니다. 판단이 서지 않으면 수직선으로 돌아가 확인한다. 표는 계산 속도를 높이는 도구이며 이해를 대체하지 않는다.

예를 확인한다.

$$-2 - (-6) = -2 + 6 = 4, \qquad -10 + (-4) = -10 - 4 = -14$$

$-6$ 을 빼는 것은 $+6$ 을 더하는 것이다. $-2$ 에서 오른쪽으로 $6$ 칸이면 $4$ 이다. 두 번째 식은 반대 경우이다. 연산은 더하기이지만 더하는 값이 음수이다. 오른쪽으로 $-4$ 만큼 이동하는 것은 왼쪽으로 $4$ 칸 이동하는 것이므로 결과는 $-14$ 이다. 빚 $10$ 만 원에 빚 $4$ 만 원이 더해진 경우에 해당한다.

마지막으로 하나를 더 확인한다.

$$6 - (-6) = 12$$

뺄셈을 했는데 결과가 커졌다. $-6$ 에서 $6$ 까지 수직선에서 몇 칸인지 세면 $12$ 칸이다. 두 수의 **거리**가 $12$ 라는 뜻이다. [제1장](ch01.md)에서 "나눴는데 커졌다"를 확인했다면, 여기서는 "뺐는데 커졌다"를 확인한다. 수의 범위가 넓어지면서 규칙의 적용 범위도 함께 넓어진다.

## 곱셈의 부호

곱셈은 같은 것을 여러 번 더하는 연산이다. 따라서 양수와 음수의 곱은 반복 덧셈으로 처리된다.

$$3 \times (-4) = (-4) + (-4) + (-4) = -12$$

$-4$ 를 세 번 더하면 $-12$ 이다. 빚 $4$ 만 원짜리 청구서가 세 장이면 빚은 $12$ 만 원이다. 순서를 바꿔도 답은 같다.

$$(-4) \times 3 = -12$$

곱셈에서 순서를 바꿔도 답이 같다는 성질(교환법칙)은 양수에서 성립하며, 음수에서도 그대로 성립한다.

문제가 되는 것은 **음수와 음수의 곱**이다. 규칙을 제시하기 전에 구체적인 상황으로 확인한다.

매달 $4$ 만 원씩 자동이체로 빠져나간다고 하자. 매달의 변화량은 $-4$ 만 원이다. 지금 잔액을 $0$ 이라 하면, $3$ 개월 뒤에는 $3 \times (-4) = -12$, 곧 $12$ 만 원이 줄어 있다. $3$ 개월 **전**의 시점은 $-3$ 개월이며, 그때의 잔액은 지금보다 $12$ 만 원 **많았다.**

$$(-3) \times (-4) = +12$$

빠져나가는 돈($-$)을 시간을 거꾸로($-$) 돌려서 보면 그만큼 더 있었다는 뜻이다. 결과는 플러스이다.

동일한 결론을 다른 상황으로도 확인할 수 있다. 카드값 $4$ 만 원짜리 청구서가 $3$ 장 취소된 경우이다. 취소도 마이너스이고, 빚도 마이너스이다. 결과는 $12$ 만 원의 이득이다. **빚을 없애는 것은 버는 것과 같다.** 도입의 카드값 상황이 곱셈으로 확장된 것이다.

## 음수 곱하기 음수는 왜 양수인가

앞 절의 상황 설명은 결과를 확인하는 예시이다. 이 절에서는 $(-3) \times (-4)$ 가 $+12$ 일 수밖에 없음을 여섯 줄로 유도한다. 사용하는 것은 이미 성립하는 사실들뿐이다.

**1줄.** 무엇에 $0$ 을 곱하든 $0$ 이다. 양수에서 성립하는 사실이며, 음수에서도 유지되어야 한다.

$$(-3) \times 0 = 0$$

**2줄.** $0$ 을 다르게 표현한다. $4$ 와 $-4$ 를 더하면 $0$ 이다. 수직선에서 오른쪽으로 $4$ 칸 갔다가 왼쪽으로 $4$ 칸 오면 제자리이기 때문이다.

$$0 = 4 + (-4)$$

**3줄.** 1줄의 $0$ 자리에 2줄을 대신 넣는다. 같은 값끼리 바꿔 넣은 것이므로 값은 여전히 $0$ 이다.

$$(-3) \times \big(4 + (-4)\big) = 0$$

다음 줄에서 사용하는 것이 **분배법칙**이다. 성립 이유를 넓이 모형으로 확인한다. 가로 $2$, 세로 $8$ 인 직사각형의 넓이는 $2 \times 8 = 16$ 이다. 세로 $8$ 을 $3$ 과 $5$ 로 잘라 두 조각으로 나눈다.

| 조각 | 가로 | 세로 | 넓이 |
|---|---|---|---|
| 위 조각 | $2$ | $3$ | $2 \times 3 = 6$ |
| 아래 조각 | $2$ | $5$ | $2 \times 5 = 10$ |
| **합** | $2$ | $3 + 5 = 8$ | $6 + 10 = 16$ |

자르기 전의 넓이도 $16$ 이고, 잘라서 각각 구한 넓이의 합도 $16$ 이다. **전체를 잘라 각각 구해 합해도 전체와 같다.** 이것이 분배법칙이며, 세로셈에서 이미 사용해 온 동작이다. $2 \times 18$ 을 $2 \times 10$ 과 $2 \times 8$ 로 나눠 더하는 계산이 이에 해당한다.

$$2 \times (3+5) = 2\times3 + 2\times5 = 16$$

이 직사각형 모형은 [제13장](../part2/ch13.md)에서 곱셈 공식을 세울 때 그대로 다시 사용된다. 여기서는 "잘라서 구해도 같다"는 한 문장을 사용한다.

**4줄.** 괄호 안의 두 항에 각각 곱해서 전개한다. 이것이 넓이 모형으로 확인한 **분배법칙**이다. $2 \times (3+5) = 2\times3 + 2\times5$ 와 같은 동작이다. 이 법칙은 양수에서 성립하며, 음수에서도 동일하게 유지되도록 한다. 수의 범위가 넓어질 때 기존 규칙을 그대로 보존하는 것이 원칙이기 때문이다.

$$(-3) \times 4 \ + \ (-3) \times (-4) \ = \ 0$$

**5줄.** 앞의 항 $(-3) \times 4$ 는 반복 덧셈으로 이미 $-12$ 로 정해졌다. 그 값을 그대로 넣는다.

$$(-12) \ + \ (-3) \times (-4) \ = \ 0$$

**6줄.** $-12$ 에 더해서 $0$ 이 되는 수는 $12$ 뿐이다.

$$(-3) \times (-4) = 12$$

따라서 $(-3) \times (-4)$ 는 $12$ **여야만 한다.** 임의로 정한 값이 아니라 다른 값이 불가능한 것이다.

$(-3) \times (-4) = -12$ 라고 두면 5줄이 $-12 + (-12) = -24$ 가 되어 $0$ 이 아니게 된다. 그러면 "무엇에든 $0$ 을 곱하면 $0$"이라는 사실이 깨지거나 분배법칙이 깨진다. 두 성질은 모두 유지되어야 하는 기본 성질이다. 따라서 결과는 $+12$ 이다.

이 유도의 결론은 $(-)\times(-)=(+)$ 가 별도로 정한 규칙이 아니라 기존 성질에서 따라 나온 결과라는 점이다. 계산은 다음 절의 표로 수행하고, 유도는 그 표를 잊었을 때 결과를 복원하는 경로이다.

## 부호 규칙 표와 나눗셈

곱셈과 나눗셈의 부호는 표 하나로 정리된다.

| $\times$ 또는 $\div$ | 뒤가 $(+)$ | 뒤가 $(-)$ |
|---|---|---|
| **앞이 $(+)$** | $(+)$ | $(-)$ |
| **앞이 $(-)$** | $(-)$ | $(+)$ |

한 줄로 줄이면 덧셈의 표와 같은 문장이 된다. **부호가 같으면 플러스, 다르면 마이너스.** 셋 이상을 곱할 때는 부호를 하나씩 따지지 않고 개수를 센다.

$$\text{음수 부호가 짝수 개} \ \Rightarrow \ (+) \qquad \text{홀수 개} \ \Rightarrow \ (-)$$

예를 들어 $(-2) \times (-3) \times (-4)$ 는 마이너스가 세 개, 곧 홀수이므로 답은 음수이다. 크기는 $2 \times 3 \times 4 = 24$ 이므로 결과는 $-24$ 이다. **크기를 먼저 구하고 부호를 나중에 붙이는 절차**를 따른다. 두 가지를 동시에 처리하면 오류가 발생하기 쉽다.

나눗셈은 곱셈의 역연산이다. $-12 \div (-4)$ 는 "$-4$ 에 무엇을 곱해야 $-12$ 가 되는가"로 되돌려 확인한다. $(-4) \times 3 = -12$ 이므로 답은 $3$ 이다.

$$-12 \div (-4) = 3, \qquad -20 \div 5 = -4, \qquad 36 \div (-9) = -4$$

부호 규칙 표는 곱셈과 나눗셈에 **동일하게** 적용된다. 표를 두 개 기억할 필요가 없다.

다음 사항을 구분한다. **덧셈의 부호 규칙과 곱셈의 부호 규칙을 섞으면 안 된다.**

$$(-3) + (-4) = -7 \qquad (-3) \times (-4) = +12$$

같은 두 수인데 결과의 부호가 다르다. 덧셈에서는 "마이너스 두 개면 플러스"가 **성립하지 않는다.** 빚에 빚을 더하면 빚의 크기는 커진다. "마이너스 두 개면 플러스"는 곱셈과 나눗셈에서만 적용되는 문장이다. 기호를 먼저 소리 내어 읽고 계산을 시작하면 이 오류를 피할 수 있다.

두 예제로 확인한다.

$$(-24) \div (-6) \times (-2)$$

왼쪽부터 순서대로 계산한다. 먼저 $(-24) \div (-6) = 4$ 이다(부호가 같으므로 플러스, 크기는 $24 \div 6 = 4$). 그다음 $4 \times (-2) = -8$ 이다.

곱셈이 덧셈보다 먼저인 이유와 같은 우선순위끼리 왼쪽부터 계산하는 이유는 [제7장](ch07.md)에서 정리한다. 여기서는 **"이미 묶여 있는 것(곱셈·나눗셈)을 먼저 풀고, 같은 우선순위끼리는 쓰인 순서대로"**라는 문장만 사용한다.

$$-3 - (-7) + (-5)$$

곱셈이 없으므로 전부 덧셈으로 바꾼다. $-(-7)$ 은 $+7$ 이고, $+(-5)$ 는 $-5$ 이다. 그러면 $-3 + 7 - 5$ 가 된다. $-3$ 에서 오른쪽으로 $7$ 칸 가면 $4$, 거기서 왼쪽으로 $5$ 칸 가면 $-1$ 이다.

## 괄호가 무엇을 묶는가

부호가 걸린 수를 제곱할 때, 괄호의 유무에 따라 결과가 달라진다.

$$(-2)^2 = (-2) \times (-2) = 4 \qquad -2^2 = -(2 \times 2) = -4$$

$(-2)^2$ 은 "$-2$ 를 두 번 곱한 것"이다. 마이너스가 괄호 안에 있으므로 제곱에 함께 걸리고, 음수 두 개를 곱했으므로 결과는 양수이다. 반면 $-2^2$ 은 "$2$ 를 제곱한 다음 마이너스를 붙인 것"이다. 마이너스가 괄호 밖에 있으므로 제곱에 걸리지 않는다. 따라서 $-(2 \times 2) = -4$ 이다.

괄호가 마이너스를 안에 넣었는지 밖에 두었는지가 두 식의 유일한 차이이다. 지수가 어디까지 걸리는지는 [제7장](ch07.md)에서 연산 순서와 함께 정리한다. 여기서는 두 식을 다르게 읽는 것으로 구분한다. 하나는 "마이너스 이를 두 번 곱한 것", 다른 하나는 "이를 제곱한 다음 마이너스를 붙인 것"이다.

## 빈번한 오류

:::{admonition} $-5 - (-8)$ 을 $-13$ 으로 읽는다
:class: warning
마이너스 기호 두 개의 **역할이 다르다**는 것을 학습하지 않은 상태에서 발생한다. 앞의 것은 "빼라"는 동작이고, 뒤의 것은 "이 수는 $0$ 보다 작다"는 표시인데, 두 기호의 모양이 같아 하나로 뭉뚱그려 읽힌다. 여기에 "마이너스 마이너스는 플러스"라는 구호만 함께 저장되어 있으면 적용할 자리를 판단하지 못한다.

"빼기는 반대 부호를 더하는 것"으로 고쳐 쓰면 해결된다. $-5 - (-8) = -5 + 8 = 3$ 이다. 수직선에서는 $-5$ 에서 오른쪽으로 $8$ 칸이다. $-5 - 8$ 로 읽어 $-13$ 을 얻은 것은 틀린 계산이 아니라 **다른 식**을 푼 것이다.

*확인 문제*: $-2 - (-9)$. (답: $7$. $-2$ 에서 오른쪽으로 $9$ 칸.)
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:::{admonition} $(-)\times(-)=(+)$ 를 규칙으로만 외운다
:class: warning
근거 없이 저장된 규칙은 적용 범위를 잃는다. "마이너스 두 개면 플러스"가 곱셈 전용이라는 조건이 함께 저장되지 않으면, 마이너스가 두 개 보이기만 해도 적용되어 $(-3) + (-4) = 7$ 같은 오류로 이어진다.

$(-)\times(-)=(+)$ 는 규칙이 아니라 **분배법칙의 결론**이다. $-12$ 에 무엇을 더해야 $0$ 이 되는지 묻는 여섯 줄을 따라가면 답이 $12$ 뿐이라는 결론에 이른다. 빚 $4$ 만 원짜리 청구서 $3$ 장이 취소되면 $12$ 만 원 이득이라는 상황으로 결론을 먼저 확인할 수도 있다.

*확인 문제*: $(-5) \times (-2)$ 는 얼마이고, 왜 양수인가? (답: $10$. "분배법칙이 유지되려면 그 값밖에 없어서" 또는 "빚을 취소하면 이득이라서".)
:::

:::{admonition} 덧셈 규칙과 곱셈 규칙을 섞는다
:class: warning
새 규칙이 옛 규칙을 덮어쓰면서 발생한다. 곱셈의 부호 규칙을 학습한 직후, 두 절차가 "음수 두 개 사이의 처리"로 뭉쳐 저장되면서 $(-3) + (-4) = 7$ 이나 $(-3) \times (-4) = -12$ 같은 혼동이 늘어난다.

규칙 이름으로 판단하지 않고 돈 모형으로 되돌리면 구분된다. 빚 $3$ 만 원에 빚 $4$ 만 원이 더 생기면 빚은 $7$ 만 원, 곧 $-7$ 이다. 덧셈에서는 마이너스가 두 개여도 결과는 마이너스이다. 두 식을 소리 내어 읽으면 차이가 드러난다. "마이너스 삼 **더하기** 마이너스 사"와 "마이너스 삼 **곱하기** 마이너스 사"는 다른 동작이다.

$$(-3) + (-4) = -7 \qquad (-3) \times (-4) = +12$$

*확인 문제*: $(-3) + (-4)$ 와 $(-3) \times (-4)$ 를 연달아. (답: $-7$ 과 $12$.)
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:::{admonition} $-2^2$ 과 $(-2)^2$ 을 같은 것으로 본다
:class: warning
괄호가 무엇을 묶는지 확인하지 않는 습관에서 발생한다. 지수가 마이너스까지 걸리는지 여부를 판단하지 못하면, 계산기에 그대로 입력했을 때 결과가 달라진다.

$(-2)^2$ 은 "$-2$ 를 두 번 곱한 것"이므로 $(-2)\times(-2) = 4$ 이고, $-2^2$ 은 "$2$ 를 제곱한 다음 마이너스를 붙인 것"이므로 $-(2\times2) = -4$ 이다. 괄호가 마이너스를 안에 넣었는지 밖에 두었는지가 유일한 차이이다. 지수를 언제 먼저 계산하는지는 [제7장](ch07.md)에서 정식으로 다룬다.

*확인 문제*: $(-3)^2$ 과 $-3^2$. (답: $9$ 와 $-9$.)
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## 연습문제

계산기를 사용하지 않는다. 헷갈리는 문항은 수직선을 그려 확인한다. `A` 기본 · `B` 표준 · `C` 도전.

1. `A` 계산하라. (1) $-7 + 3$  (2) $-7 - 3$  (3) $5 - 11$
2. `A` 계산하라. (1) $-4 + (-9)$  (2) $-4 - (-9)$  (3) $12 - (-5)$
3. `A` 계산하라. $-5 - (-8)$
4. `A` 계산하라. (1) $(-3) \times (-4)$  (2) $(-6) \times 5$  (3) $7 \times (-8)$
5. `A` 계산하라. (1) $-12 \div (-4)$  (2) $-20 \div 5$  (3) $36 \div (-9)$
6. `B` 계산하라. (1) $(-2) \times (-3) \times (-4)$  (2) $(-1) \times (-1) \times (-1) \times (-1)$
7. `B` 계산하라. $-3 - (-7) + (-5)$
8. `B` 계산하라. $(-24) \div (-6) \times (-2)$
9. `B` $(-2)^2$ 과 $-2^2$ 을 각각 계산하고, 왜 답이 다른지 한 줄로 쓰라.
10. `B` 어젯밤 기온이 영하 $6$ 도였고, 오늘 낮에 $9$ 도가 되었다. 기온은 몇 도 올랐는가? 식을 세워서 답하라.
11. `B` 통장 잔액이 $-32{,}000$ 원이다. $50{,}000$ 원을 입금하면 잔액은 얼마가 되는가?
12. `C` 잠수함이 해수면 기준 $-120$ m 지점에 있다. 먼저 $45$ m 상승한 뒤, 다시 $80$ m 하강했다. 최종 위치는?
13. `C` $(-3) \times (-4) = 12$ 인 이유를 **분배법칙을 써서** 설명하라. (이 장에서 본 여섯 줄을 떠올릴 것. 세 줄로 줄여 써도 좋다.)

:::{admonition} 정답과 해설
:class: dropdown
1. (1) $-4$  (2) $-10$  (3) $-6$ — 셋 다 수직선 이동으로 확인 가능. (3)은 $5$ 에서 왼쪽 $11$ 칸.
2. (1) $-13$ — 빚에 빚을 더한 경우이다  (2) $5$ — $-4 + 9$. **이렇게 틀린다**: $-13$ 이라고 쓴다. 괄호 안의 마이너스를 읽지 않은 것이다. (1)과 (2)를 **나란히 놓고 비교하는 것**이 이 문항의 목적이다.  (3) $17$ — $12 + 5$
3. $3$ — $-5 + 8$. 이 장의 핵심 문항이다.
4. (1) $12$  (2) $-30$  (3) $-56$
5. (1) $3$ — 부호가 같으므로 양수  (2) $-4$  (3) $-4$
6. (1) $-24$ — 마이너스 세 개, 홀수이므로 음수  (2) $1$ — 마이너스 네 개, 짝수이므로 양수
7. $-1$ — $-3 + 7 - 5$
8. $-8$ — 왼쪽부터: $(-24) \div (-6) = 4$, 그다음 $4 \times (-2) = -8$. **이렇게 틀린다**: 뒤쪽 $\times(-2)$ 를 먼저 계산해 $(-24) \div 12 = -2$ 로 답한다. 곱셈과 나눗셈은 **왼쪽부터 순서대로**이다.
9. $(-2)^2 = 4$, $-2^2 = -4$. 예시 답안: "$(-2)^2$ 은 $-2$ 를 두 번 곱한 것이라 부호가 짝수 개여서 양수가 되고, $-2^2$ 은 $2$ 를 제곱한 $4$ 에 마이너스를 붙인 것이라 음수다." — 괄호가 마이너스까지 묶는지 여부가 유일한 차이이다. 지수를 다루는 [제7장](ch07.md)의 선행 확인 문항이다.
10. **$15$ 도 올랐다** — $9 - (-6) = 9 + 6 = 15$. **이렇게 틀린다**: $9 - 6 = 3$. "몇 도 올랐는가"는 두 수의 **차이**이고, 차이는 수직선에서 두 점 사이의 칸 수이다. $-6$ 에서 $9$ 까지는 $15$ 칸이다.
11. **$18{,}000$ 원** — $-32{,}000 + 50{,}000$. 빚을 다 갚고 $18{,}000$ 원이 남는다. 절차로 확인하면, 부호가 다르므로 절댓값의 차 $50{,}000 - 32{,}000 = 18{,}000$ 을 구하고 절댓값이 큰 쪽인 $+50{,}000$ 의 부호를 붙여 $+18{,}000$ 이다. 이 크기는 수직선을 그려 직접 셀 수 없다. 두 줄 규칙이 필요한 자리가 이런 경우이다.
12. **$-155$ m (수심 $155$ m)** — $-120 + 45 - 80 = -155$. 상승은 $+$, 하강은 $-$ 이다. **이렇게 틀린다**: $-120 + 45 + 80 = 5$ (하강을 양수로 넣은 경우) 또는 $-120 - 45 - 80$ (상승을 음수로 넣은 경우). 문제를 읽으면서 **각 동작 옆에 부호를 먼저 적는** 절차를 따르면 이런 오류를 막을 수 있다.
13. 예시 답안(세 줄 버전): "$(-3) \times 0 = 0$ 이고 $0 = 4 + (-4)$ 이므로 $(-3) \times (4 + (-4)) = 0$ 이다. 분배법칙으로 전개하면 $(-12) + (-3)\times(-4) = 0$ 이다. $-12$ 에 $12$ 를 더해야 $0$ 이 되므로 $(-3)\times(-4) = 12$ 다." — 핵심은 **분배법칙을 유지하려면 그 값밖에 없다**는 결론에 도달하는 것이다. "빚을 취소하면 이득이라서"만 쓴 경우는 부분 정답이다. 유도까지 함께 적으면 완전한 답이 된다.
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### 추가 연습문제

총 $30$ 문제이다. 덧셈·뺄셈과 곱셈·나눗셈이 의도적으로 섞여 있다. 각 문항의 기호를 먼저 소리 내어 읽고 계산을 시작한다. 헷갈리면 수직선을 그려 확인한다.

**덧셈·뺄셈 기본** — 각 문항 옆에 "오른쪽 몇 칸" 또는 "왼쪽 몇 칸"을 함께 적는다.

1. $-6 + 2$  2. $-6 - 2$  3. $3 - 8$  4. $-9 + 9$  5. $-4 + 10$  6. $2 - 15$  7. $-7 - 7$  8. $-1 + (-1)$

**부호가 두 개 나란히 올 때** — 먼저 부호 규칙 표로 식을 고쳐 쓰고(예: $-3 - (-5) = -3 + 5$), 그다음 계산한다.

9. $-3 - (-5)$  10. $6 - (-4)$  11. $-8 - (-8)$  12. $-2 + (-7)$  13. $5 + (-12)$  14. $-10 - (-3)$  15. $0 - (-6)$  16. $-15 - (-20)$

**곱셈·나눗셈** — 크기를 먼저 구하고, 부호를 나중에 붙인다.

17. $(-4) \times 3$  18. $(-5) \times (-6)$  19. $8 \times (-7)$  20. $(-9) \times (-9)$  21. $-18 \div 3$  22. $-24 \div (-8)$  23. $45 \div (-9)$  24. $(-2) \times (-3) \times (-5)$

**혼합·문장제·설명** — 25~27번의 연산 순서는 [제7장](ch07.md)에서 미리 가져와 사용하는 것이다. "이미 묶여 있는 것(괄호·곱셈·나눗셈)을 먼저 풀고, 같은 우선순위끼리는 쓰인 순서대로." 근거는 다음 장에서 확인한다.

25. $-5 + 3 \times (-2)$ (곱셈을 먼저 한다)
26. $(-12) \div (-4) - 7$
27. $(-3) \times (4 - 9)$ (괄호를 먼저 한다)
28. 새벽 기온이 영하 $8$ 도였는데 낮 동안 $14$ 도가 올랐다. 낮 기온은 몇 도인가?
29. 카드 잔액이 $-45{,}000$ 원이다. $60{,}000$ 원을 갚으면 잔액은 얼마인가?
30. $(-3) \times (-4) = 12$ 인 이유를 **두 문장**으로 쓰라. 이 장에서 본 분배법칙 유도를 떠올리거나, 빚 취소 상황을 써도 좋다.

:::{admonition} 정답과 해설
:class: dropdown
1. $-4$  2. $-8$  3. $-5$  4. $0$  5. $6$  6. $-13$  7. $-14$  8. $-2$

9. $2$  10. $10$  11. $0$  12. $-9$  13. $-7$  14. $-7$  15. $6$  16. $5$

- 11번 보충: $-8 - (-8) = -8 + 8 = 0$. 자기 자신을 빼면 $0$ 이다. 수직선에서는 제자리이다.
- 14번 보충: $-10 - (-3) = -10 + 3 = -7$. **이렇게 틀린다**: $-13$. 괄호 안의 마이너스를 흘린 경우이다. 9번과 나란히 놓고 비교할 것.
- 16번 보충: $-15 - (-20) = -15 + 20 = 5$. 빚 $15$ 만 원에서 빚 $20$ 만 원을 취소받으면 $5$ 만 원이 남는다.

17. $-12$  18. $30$  19. $-56$  20. $81$  21. $-6$  22. $3$  23. $-5$  24. $-30$

- 24번 보충: 마이너스가 두 개(짝수)로 보이지만 실제로는 $(-2)$, $(-3)$, $(-5)$ 로 **세 개**이다. 홀수이므로 음수이다. 크기는 $2 \times 3 \times 5 = 30$ 이므로 답은 $-30$ 이다. 부호 개수를 셀 때 마지막 항을 빠뜨리는 오류가 빈번하다.

25. $-11$ — 곱셈 먼저: $3 \times (-2) = -6$. 그다음 $-5 + (-6) = -11$. **이렇게 틀린다**: 왼쪽부터 순서대로 계산해 $(-5+3) \times (-2) = 4$ 로 답한다. 곱셈이 덧셈보다 먼저이다.
26. $-4$ — 나눗셈 먼저: $(-12) \div (-4) = 3$. 그다음 $3 - 7 = -4$.
27. $15$ — 괄호 먼저: $4 - 9 = -5$. 그다음 $(-3) \times (-5) = 15$. 분배법칙으로 전개해도 같다: $(-3)\times4 + (-3)\times(-9) = -12 + 27 = 15$.
28. **영상 $6$ 도** — $-8 + 14 = 6$. 수직선에서 $-8$ 에서 오른쪽으로 $14$ 칸이다.
29. **$15{,}000$ 원** — $-45{,}000 + 60{,}000 = 15{,}000$. 빚을 다 갚고 $15{,}000$ 원이 남는다. 절차로는 절댓값의 차 $60{,}000 - 45{,}000 = 15{,}000$ 에, 절댓값이 큰 쪽인 $+60{,}000$ 의 부호를 붙인다.
30. 예시 답안: "$(-3) \times 0 = 0$ 인데 $0$ 은 $4 + (-4)$ 이므로, 분배법칙으로 전개하면 $(-12) + (-3)\times(-4) = 0$ 이 된다. $-12$ 에 $12$ 를 더해야 $0$ 이 되므로 $(-3)\times(-4)$ 는 $12$ 일 수밖에 없다." 또는 "빚 $4$ 만 원짜리 청구서 $3$ 장이 취소되면 $12$ 만 원 이득이다. 마이너스를 마이너스만큼 없애면 플러스가 된다."
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## 요약과 다음 장

이 장의 핵심은 두 문장이다. **음수는 수직선 위의 위치, 뺄셈은 그 위의 이동.** 그리고 $(-)\times(-)=(+)$ 는 별도로 정한 규칙이 아니라, 분배법칙을 계속 유지하려면 그렇게 될 수밖에 없는 **결론**이다.

뺄셈을 이동으로 해석하면 $-5 - (-8)$ 과 같은 식도 절차대로 처리된다. 크기를 먼저 구하고 부호를 나중에 붙이면 곱셈·나눗셈의 부호가 꼬이지 않는다. 판단이 서지 않을 때에는 온도, 빚, 수직선 중 하나의 모형으로 돌아가 확인한다.

[제6장](ch06.md)에서는 비와 비율, 백분율을 다룬다. $30\%$ 할인, 연 이자 $4\%$, 팁 $15\%$ 와 같이 일상에서 자주 접하는 표현이 그 대상이다. 다음 질문을 미리 제시한다. **$20\%$ 올랐다가 다시 $20\%$ 내리면 원래 가격으로 돌아오는가?** 답은 다음 장에서 확인한다.