# 제26장 · 도함수의 정의 :::{admonition} 이 장 :class: seealso | | | |---|---| | **원본 코드** | R3-W06 | | **선행 내용** | 제25장 — 극한의 계산 | | **요지** | 도함수는 **접선의 기울기**이자, **차분몫의 극한**이다. | ::: ## 도입 앞에서 따로 다룬 두 계열의 내용이 이 장에서 결합된다. 한쪽에서는 $f(x)=x^2$ 의 $x=1$ 근처 평균변화율을 표로 계산했다. 값이 $3,\ 2.5,\ 2.1,\ 2.01,\ 2.001$ 로 $2$ 에 접근했다. 곡선 위 두 점을 잇는 직선(할선)의 기울기가, 두 점이 가까워질수록 한 점에서 접하는 직선(접선)의 기울기 $2$ 에 접근함을 확인한 것이다. 다른 쪽인 제25장에서는 표 없이 계산만으로 극한을 구하는 방법을 다루었다. 인수분해와 약분을 거쳐 $\lim_{h\to0}\dfrac{(3+h)^2-9}{h}=6$ 과 같은 값을 직접 구했다. 앞의 표는 $h$ 가 양수인 쪽만 다루었다. 제25장에서 극한이 존재하려면 **양쪽에서 접근한 값이 같아야 한다**는 조건을 제시했으므로, 음수 쪽을 채워 다시 제시한다. 차분몫 $\dfrac{(1+h)^2-1}{h}$ 을 $h$ 가 음수일 때와 양수일 때 나란히 계산한 것이다. | $h$ | $-0.1$ | $-0.01$ | $-0.001$ | $\to 0 \leftarrow$ | $0.001$ | $0.01$ | $0.1$ | |---|---|---|---|---|---|---|---| | 차분몫 | $1.9$ | $1.99$ | $1.999$ | $\mathbf{2}$ | $2.001$ | $2.01$ | $2.1$ | 왼쪽에서 접근해도 $2$, 오른쪽에서 접근해도 $2$ 이다. 양쪽 극한이 일치하므로 극한이 존재한다. 제25장의 판정 조건을 여기서 그대로 적용한 것이다. ```{image} /_static/figs/ch26_tangent.svg :alt: 곡선 위 점 P에서의 접선 :width: 320px :align: center :class: chfig ``` 이제 접선의 기울기를 구하는 이 계산에 **정식 명칭과 기호**를 부여한다. $$f'(x) = \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h) - f(x)}{h}$$ 이 식은 미적분의 기본 정의이며, 이후 내용의 대부분이 이 식에서 유도된다. 식 자체에 새로운 요소는 없다. 분자는 $y$ 의 변화량, 분모는 $x$ 의 변화량이므로 이는 **기울기 공식**이다. 추가된 것은 $\lim$ 하나이고, 이 극한이 할선을 접선으로 바꾼다. 이 장의 내용은 이 한 가지로 요약된다. $x^2$ 의 도함수가 $2x$ 이며 지수를 앞으로 내려 곱하면 된다는 규칙을 이미 알고 있는 경우가 있다. 그 규칙은 실제로 존재하며 다음 장에서 정식으로 다룬다. 다만 정의 없이 규칙만 기억하면 그 규칙은 근거를 알 수 없는 공식이 되고, 근거 없이 외운 공식은 오래 유지되지 않는다. 정의로 몇 개를 직접 구해 보면 규칙이 **계산의 결과**임이 드러나고, 결과로 이해한 규칙은 잊더라도 다시 유도할 수 있다. 또한 이 과정 뒤에 나오는 $\sin x$, $e^x$, $\ln x$ 에는 "지수 내리기"가 적용되지 않는다. 그때 사용하는 것이 이 장의 정의다. **규칙이 적용되지 않는 함수에서는 정의가 유일한 출발점이다.** 그러므로 규칙보다 정의를 먼저 다룬다. ## 할선에서 접선으로 도함수의 정의는 새로운 식이 아니라, 할선의 그림을 식으로 옮겨 적은 것이다. 곡선 위에 두 점을 놓는다. ```{image} /_static/figs/ch26_defn.svg :alt: 도함수의 정의: 두 점을 잇는 할선의 분자와 분모 :width: 380px :align: center :class: chfig ``` $P$ 는 관심 대상인 점으로, 가로 위치가 $x$, 높이가 $f(x)$ 이다. $Q$ 는 $P$ 에서 오른쪽으로 $h$ 만큼 이동한 점으로, 가로 위치가 $x+h$, 높이가 $f(x+h)$ 이다. 가로 방향 이동량은 $(x+h)-x=h$ 이며, 이것이 분모가 $h$ 인 이유다. 세로 방향 변화량은 $f(x+h)-f(x)$ 이며, 이것이 분자의 형태가 그러한 이유다. $$\text{할선 } PQ \text{ 의 기울기} = \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$$ 이것을 **차분몫**이라 한다. 차분몫은 기울기 공식, 즉 세로 변화량을 가로 변화량으로 나눈 값이다. 이제 $h$ 를 줄인다. $$h \to 0 \quad \Longleftrightarrow \quad Q \text{ 를 } P \text{ 쪽으로 민다} \quad \Longleftrightarrow \quad \text{할선} \to \text{접선}$$ $h$ 를 $0$ 으로 보내면 $Q$ 가 $P$ 에 접근하고, 할선이 접선에 접근한다. 극한 기호가 수행하는 조작이 이 **두 점을 일치시키는 과정**이다. 한 가지를 명확히 해 둔다. **$h$ 는 양수여도 음수여도 된다.** $h<0$ 이면 $Q$ 가 $P$ 의 왼쪽에 위치하며, 이때는 가로 방향 이동량 $h$ 도 음수이고 세로 방향 변화량 $f(x+h)-f(x)$ 도 부호가 함께 바뀐다. 분자와 분모가 **둘 다** 부호를 바꾸므로 그 몫인 기울기는 같은 방식으로 얻어진다. 그림에서는 $Q$ 를 오른쪽에 그렸지만, 왼쪽에서 접근해도 할선이 접선에 접근하는 것은 동일하다. 도입의 표가 이를 보여준다. $h$ 를 음수 쪽에서 $0$ 으로 보내도, 양수 쪽에서 보내도 차분몫이 같은 값 $2$ 로 접근했다. 양쪽 극한이 일치해야 극한이 존재한다는 제25장의 조건이 여기서 그대로 요구된다. ## 정의의 세 구성 요소 정의를 세 조각으로 나누고 각 조각에 이름을 붙인다. $$f'(x) = \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h) - f(x)}{h}$$ | 조각 | 그림에서 | 하는 일 | |---|---|---| | $f(x+h) - f(x)$ | 세로 변화 | 높이의 변화량 | | $h$ | 가로 변화 | 가로 방향 이동량 | | $\lim_{h\to0}$ | $Q$ 를 $P$ 에 일치시킴 | 할선을 접선으로 | | $f'(x)$ | 접선의 기울기 | 결과이며 $x$ 의 함수이다 | 마지막 줄이 핵심이다. **$f'(x)$ 는 수가 아니라 함수다.** $x$ 를 입력하면 그 점에서의 접선 기울기를 출력한다. 명칭이 '도함수'인 것은 함수에서 유도된 함수라는 뜻이다. 여기서 두 가지를 구별한다. $$f'(3) \ \text{— 수 하나. } x=3 \text{ 에서의 접선 기울기. 미분계수}$$ $$f'(x) \ \text{— 함수. 모든 점의 답을 한꺼번에. 도함수}$$ 앞의 수치 실험에서는 $x=1$ 에서 표 하나, $x=3$ 에서 표 하나, $x=2$ 에서 또 하나를 점마다 새로 작성해야 했다. 여기서는 기준점을 $x$ 라는 문자로 둔다. 그러면 **한 번의 계산으로 모든 점의 값을 얻는다.** 문자를 사용하는 이유는 항상 이것이다. ## 정의로 $x^2$ 미분하기 정의를 처음으로 직접 적용한다. 계산은 항상 네 단계로 진행된다. $$\text{①}\ f(x+h)\text{ 쓰기} \ \to\ \text{②}\ f(x+h)-f(x)\text{ 정리} \ \to\ \text{③}\ h\text{ 로 약분} \ \to\ \text{④}\ h\to0$$ **① $f(x+h)$ 를 쓴다.** $x$ 자리에 $x+h$ 를 대입한다. $$f(x+h) = (x+h)^2$$ **② 분자를 만들고 전개한다.** $$f(x+h) - f(x) = (x+h)^2 - x^2 = x^2 + 2xh + h^2 - x^2 = 2xh + h^2$$ $x^2$ 이 소거되었다. 이 소거는 항상 일어나며, 이것이 이 계산이 성립하는 이유다. **③ $h$ 로 나누고 약분한다.** $$\frac{2xh + h^2}{h} = \frac{h(2x + h)}{h} = 2x + h$$ 분자를 항이 아니라 **인수**로 묶은 다음 약분한다. 약분이 가능한 이유는 **$h \ne 0$** 이기 때문이다. $h$ 는 $0$ 으로 접근하는 값이지 $0$ 이 아니다. **④ $h \to 0$ 을 적용한다.** $2x+h$ 는 다항식이므로 직접 대입한다. $$f'(x) = \lim_{h\to0}(2x+h) = 2x$$ $$f(x) = x^2 \ \Longrightarrow \ f'(x) = 2x$$ 값을 확인한다. $x=1$ 을 대입하면 $2$ 로, 앞의 표가 가리킨 값과 일치한다. $x=3$ 이면 $6$, $x=2$ 면 $4$ 이다. 세 번 따로 계산했던 값을 한 줄로 모두 얻는다. **기울기에서 접선의 방정식까지.** 도함수의 첫 번째 활용이 이것이다. $x=3$ 에서 $f'(3)=6$ 이므로, 그 점에서의 접선은 **기울기가 $6$** 이고 **점 $(3,9)$ 를 지나는 직선**이다($f(3)=9$). 직선을 세우는 방법은 제21장에서 다루었다. 기울기를 넣고, 점을 대입해 절편을 결정한다. $$y = 6x + b \ \xrightarrow{\ (3,9) \text{ 대입}\ } \ 9 = 6\cdot3 + b = 18 + b \ \Longrightarrow \ b = -9$$ $$\text{접선: } y = 6x - 9$$ 검산은 대입으로 한다. $x=3$ 을 다시 넣으면 $y = 18-9 = 9$ 로 접점의 높이와 일치한다. 한 줄로 줄여 쓰는 표기도 있다. 기울기 $m$ 인 직선이 점 $(x_1,y_1)$ 을 지날 때 $$y - y_1 = m(x - x_1)$$ 라고 쓰는 것을 **점-기울기형**이라 한다. 새로운 공식이 아니라 앞의 두 줄(기울기를 넣고 점을 대입해 절편을 결정하는 과정)을 한 줄로 줄인 것이다. 위 접선을 이 꼴로 쓰면 $y - 9 = 6(x-3)$ 이고, 괄호를 풀면 $y = 6x - 9$ 로 같은 결과가 된다. ## 정의로 직접 미분하기: 직선·삼차·유리식 같은 네 단계를 세 함수에 적용한다. 계산의 부담은 미분 자체가 아니라 그 안에 포함된 대수 조작에 있다. 그리고 ③에서 $h$ 는 반드시 약분된다. 약분되지 않으면 ②에 오류가 있다는 뜻이며, 이것이 자체 검산이 된다. **직선 $f(x) = 3x + 1$ — 가장 간단한 경우.** $$f(x+h) - f(x) = \big(3(x+h)+1\big) - (3x+1) = 3h, \qquad \frac{3h}{h} = 3 \ \longrightarrow \ f'(x) = 3$$ 직선의 도함수는 그 직선의 기울기다. 정의는 이미 알려진 사실과 일치한다. $y=5x-2$ 를 넣으면 도함수가 상수 $5$, 즉 원래 직선의 기울기로 나오고, 수평선 $y=7$ 을 넣으면 $0$ 이 나온다. 직선은 모든 점에서 기울기가 같고 수평선은 기울기가 $0$ 이므로 결과가 일치한다. 정의가 기존 결과와 모순되지 않음을 보이는 첫 사례다. **삼차 $f(x) = x^3$ — 전개가 필요한 경우.** $$(x+h)^3 = x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3$$ $$f(x+h)-f(x) = x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3 - x^3 = 3x^2h + 3xh^2 + h^3$$ $x^3$ 이 소거되고, 남은 항에는 모두 $h$ 가 하나 이상 포함된다. 그러므로 다음 단계가 가능하다. $$\frac{3x^2h + 3xh^2 + h^3}{h} = \frac{h(3x^2 + 3xh + h^2)}{h} = 3x^2 + 3xh + h^2$$ $$f'(x) = \lim_{h\to0}(3x^2 + 3xh + h^2) = 3x^2$$ $$f(x) = x^3 \ \Longrightarrow \ f'(x) = 3x^2$$ **유리식 $f(x) = \dfrac{1}{x}$ — 통분이 필요한 경우.** $$f(x+h) - f(x) = \frac{1}{x+h} - \frac{1}{x} = \frac{x - (x+h)}{x(x+h)} = \frac{-h}{x(x+h)}$$ 분모를 곱해 통분한다. 분자에서 괄호를 풀 때 부호에 주의한다. $x-(x+h)=x-x-h=-h$ 로, 음의 부호가 괄호 안 전체에 적용된다. 이제 $h$ 로 나누는데, 분수를 분수로 나누는 것이므로 역수를 곱한다. $$\frac{1}{h} \cdot \frac{-h}{x(x+h)} = \frac{-1}{x(x+h)}$$ $$f'(x) = \lim_{h\to0}\frac{-1}{x(x+h)} = \frac{-1}{x \cdot x} = -\frac{1}{x^2}$$ $$f(x) = \frac{1}{x} \ \Longrightarrow \ f'(x) = -\frac{1}{x^2}$$ 결과는 음수다. $y=\dfrac1x$ 는 감소하는 곡선이므로 접선 기울기가 항상 음수이고, 부호가 이와 일치한다. 부호가 그래프와 맞는지 확인하는 것이 가장 간단한 검산이다. ## 결과의 비교 — 규칙의 관찰 이 장에서 정의로 구한 네 결과를 나란히 놓는다. $$3x+1 \ \Longrightarrow \ 3$$ $$x^2 \ \Longrightarrow \ 2x$$ $$x^3 \ \Longrightarrow \ 3x^2$$ $$\frac{1}{x} \ \Longrightarrow \ -\frac{1}{x^2}$$ 가운데 두 줄을 본다. $x^2$ 에서 $2x$, $x^3$ 에서 $3x^2$ 이다. 여기서 규칙이 관찰된다. **지수가 앞으로 나오고 하나 줄어든다.** 주어진 규칙이 아니라 직접 계산해서 확인한 규칙이다. 다음 장에서 이 규칙에 이름을 붙이고 항상 성립하는 이유를 밝힌다. 다음 장의 규칙은 이 네 줄의 일반화다. 네 번째 줄도 확인한다. $\dfrac1x$ 은 "지수 내리기"가 곧바로 보이지 않는다. 그러나 $\dfrac1x = x^{-1}$ 로 고쳐 쓰면, $-1$ 을 앞으로 내리고 지수를 하나 줄여 $-1 \cdot x^{-2} = -\dfrac{1}{x^2}$ 을 얻는다. 결과가 일치한다. 규칙이 음의 지수까지 적용됨을 정의로 확인한 것이다. ## 표기법 — 동일한 대상의 네 가지 표기 같은 대상을 가리키는 표기가 네 개이며, 네 표기 모두 실제로 사용된다. | 표기 | 읽는 법 | 만든 사람 | 강조하는 것 | |---|---|---|---| | $f'(x)$ | 에프 프라임 엑스 | 라그랑주 | 함수에서 함수가 나온다 | | $\dfrac{dy}{dx}$ | 디 와이 디 엑스 | 라이프니츠 | **비율**이라는 점 (세로 변화량 나누기 가로 변화량) | | $\dfrac{d}{dx}f(x)$ | 디 디엑스 에프 엑스 | 라이프니츠 | **미분 연산 자체** | | $\dot{y}$ | 와이 닷 | 뉴턴 | **시간**에 대한 변화율 (물리에서) | 표기가 여러 개인 이유는 다음과 같다. 뉴턴과 라이프니츠가 거의 같은 시기에 각각 미적분을 구성했고, 두 사람의 관심 대상이 달랐기 때문이다. 뉴턴은 시간에 따라 움직이는 물체를 다루었고(그래서 점 하나로 시간 미분을 표시했다), 라이프니츠는 무한히 작은 변화량의 비를 다루었다(그래서 분수 형태의 기호를 만들었다). $$\frac{dy}{dx} \ \leftarrow \ \frac{\Delta y}{\Delta x} \text{ 에서 } \Delta \text{ 를 무한히 작게 한 것}$$ $\dfrac{dy}{dx}$ 는 분수가 아니지만, 분수의 형태를 가진 것은 우연이 아니다. 원래 $\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ 였던 것을 무한히 작게 만든 표기이기 때문이다. 라이프니츠의 표기가 널리 채택되어 오늘날 대부분 이 표기를 쓴다. 이 책에서는 $f'(x)$ 를 주로 사용한다. 나머지 표기는 식별할 수 있으면 된다. ## 빈번한 오류 :::{admonition} 지수를 내리는 규칙만 알면 정의는 필요 없다고 본다 :class: warning 그 규칙은 실제로 존재하며 다음 장에서 정식으로 다룬다. 문제는 정의 없이 규칙만 기억하면 그것이 근거를 알 수 없는 공식이 되어 쉽게 잊힌다는 점이다. 또한 규칙은 **규칙이 적용되는 형태로 고쳐 쓴 뒤에만** 사용할 수 있다. $\sqrt x$ 나 $\dfrac1x$ 은 지수가 드러나 있지 않아 곧바로 내릴 수 없고, $\sin x$, $e^x$ 에는 지수 내리기가 성립하지 않는다. 이때 사용하는 것이 정의다. 규칙이 적용되지 않는 함수에서는 정의가 유일한 출발점이다. *확인 문제*: 정의를 써서 $f(x)=x^2+3x$ 의 도함수를 구하라. (답: $2x+3$. 네 단계가 모두 있어야 한다.) ::: :::{admonition} 약분하기 전에 $h=0$ 을 대입한다 :class: warning 차분몫에 곧바로 $h=0$ 을 대입하면 $\dfrac00$ 이 되어 계산이 진행되지 않는다. 이것은 순서의 문제다. 약분이 먼저이고 극한이 나중인데 순서를 바꾼 것이다. $$\text{틀린 순서: } \frac{2xh+h^2}{h} \ \xrightarrow{\ h=0\ } \ \frac{0}{0} \quad (\text{막힘})$$ $$\text{맞는 순서: } \frac{2xh+h^2}{h} = \frac{h(2x+h)}{h} = 2x+h \ \xrightarrow{\ h \to 0\ } \ 2x$$ 약분은 $h \ne 0$ 일 때만 가능한 조작이다. 그러므로 ④단계 전까지 $h \ne 0$ 을 유지한다. $h=0$ 을 대입하면 약분이 성립하지 않는다. *확인 문제*: $\dfrac{3xh+h^2}{h}$ 를 정리하고 $h\to0$ 을 적용하라. (답: $3x+h \to 3x$.) ::: :::{admonition} $(x+h)^2 = x^2 + h^2$ 으로 전개한다 :class: warning "덩어리를 각각 따로 처리해도 된다"는 판단에서 나온다. 수치 대입으로 반례를 확인할 수 있다. $x=1,\ h=1$ 이면 $(1+1)^2 = 4$ 인데 $1^2 + 1^2 = 2$ 다. 넓이 그림으로 보면 한 변이 $x+h$ 인 정사각형이 네 조각으로 나뉜다. ```{image} /_static/figs/ch26_grid.svg :alt: (x+h)² 넓이격자 :width: 300px :align: center :class: chfig ``` $x^2$, $xh$, $xh$, $h^2$ 네 조각이고, **$xh$ 조각이 두 개이므로 $2xh$ 다.** 이 두 조각은 누락할 수 없으며, 넓이의 합에 그대로 포함된다. 그리고 도함수 $2x$ 는 정확히 이 두 조각에서 나온다. *확인 문제*: $(x+h)^2 - x^2$ 을 전개하고 $h$ 로 묶어라. (답: $2xh+h^2 = h(2x+h)$.) ::: :::{admonition} $f'(x)$ 와 $f'(3)$ 을 구별하지 못한다 :class: warning 수치 실험에서는 점 하나마다 수 하나를 구했다. 그 경험 때문에 "변화율은 수"라는 인식이 남기 쉽다. 그러나 $f'(x)=2x$ 는 수를 입력하면 그 점의 접선 기울기를 출력하는 **함수**이고, $f'(3)=6$ 은 그 함수가 내놓은 **값 하나(수)**다. $$3 \ \longrightarrow \ \boxed{f'(x) = 2x} \ \longrightarrow \ 6, \qquad 5 \ \longrightarrow \ \boxed{f'(x) = 2x} \ \longrightarrow \ 10$$ 함수와 함숫값은 서로 다른 대상이다. 점의 개수와 무관하게 도함수 하나로 모든 점의 기울기를 얻는다. *확인 문제*: $f(x)=x^2$ 일 때 $f'(x)$ 와 $f'(5)$ 를 각각 답하라. (답: $2x$(함수)와 $10$(수). 두 답은 종류가 다르다.) ::: ## 연습문제 계산기는 거의 사용하지 않는다. 답보다 과정이 대상이며, 답만 맞고 네 단계가 없으면 절반만 푼 것이다. 막힌 경우 어느 단계에서 막혔는지 — 전개·통분·약분·극한 중 하나이다 — 한 단어로 옆에 기록한다. `A` 기본 · `B` 표준 · `C` 도전. 1. `A` 정의를 써서 $f(x) = x^2$ 의 도함수를 구하라. (네 단계를 다 쓸 것) 2. `A` 정의를 써서 $f(x) = 2x + 7$ 의 도함수를 구하라. 3. `A` 정의를 써서 $f(x) = -3$ 의 도함수를 구하라. 4. `A` 정의를 써서 $f(x) = 3x^2$ 의 도함수를 구하라. 5. `B` 정의를 써서 $f(x) = x^2 - 4x$ 의 도함수를 구하라. 6. `B` 정의를 써서 $f(x) = x^3$ 의 도함수를 구하라. (전개를 직접 할 것) 7. `B` 정의를 써서 $f(x) = \dfrac{1}{x}$ 의 도함수를 구하라. 8. `B` $f(x) = x^2$ 의 그래프 위 점 $(3, 9)$ 에서의 **접선의 기울기**와 **접선의 방정식**을 구하라. 9. `B` 공을 자유낙하시킨다. $t$ 초 후 낙하거리가 $s(t) = 5t^2$ 미터다. 정의를 써서 $s'(t)$ 를 구하고, $t=3$ 에서의 순간속도를 답하라. 10. `B` 반지름 $r$ 인 원의 넓이는 $A(r) = \pi r^2$ 이다. 정의를 써서 $A'(r)$ 을 구하라. 그 결과가 원의 무엇과 같은지 쓰고, 그 이유를 한 줄로 추측하라. 11. `C` 정의를 써서 $f(x) = \sqrt{x}$ 의 도함수를 구하라. (힌트: 유리화) 12. `C` 정의를 써서 $f(x) = x^4$ 의 도함수를 구하라. 그다음 $x^2$, $x^3$, $x^4$ 의 결과를 나란히 놓고 $x^n$ 의 도함수를 예상하라. :::{admonition} 정답과 해설 :class: dropdown 1. $\mathbf{f'(x) = 2x}$ — $\dfrac{(x+h)^2-x^2}{h} = \dfrac{2xh+h^2}{h} = 2x+h \to 2x$ 2. $\mathbf{2}$ — $\dfrac{2(x+h)+7-(2x+7)}{h} = \dfrac{2h}{h} = 2$ 3. $\mathbf{0}$ — $\dfrac{-3-(-3)}{h} = \dfrac{0}{h} = 0$. **빈번한 오류**: $\dfrac00$ 이라고 쓰고 멈춘다. 분자는 $0$ 이지만 **분모 $h$ 는 $0$ 이 아니다.** $\dfrac{0}{h} = 0$ 이며, 이는 부정형이 아니다. 4. $\mathbf{6x}$ — $\dfrac{3(x+h)^2-3x^2}{h} = \dfrac{6xh+3h^2}{h} = 6x+3h \to 6x$ 5. $\mathbf{2x-4}$ — $\dfrac{(x+h)^2-4(x+h)-(x^2-4x)}{h} = \dfrac{2xh+h^2-4h}{h} = 2x+h-4 \to 2x-4$ 6. $\mathbf{3x^2}$ — $(x+h)^3 = x^3+3x^2h+3xh^2+h^3$ 이므로 $\dfrac{3x^2h+3xh^2+h^3}{h} = 3x^2+3xh+h^2 \to 3x^2$. **빈번한 오류**: $(x+h)^3 = x^3+h^3$. 가운데 두 항이 이 문제의 핵심이다. $x=1$, $h=1$ 로 확인하면 왼쪽 $8$, 오른쪽 $2$. 7. $\mathbf{-\dfrac{1}{x^2}}$ — $\dfrac{1}{x+h}-\dfrac1x = \dfrac{-h}{x(x+h)}$, 이것을 $h$ 로 나누면 $\dfrac{-1}{x(x+h)} \to -\dfrac{1}{x^2}$. 부호 확인: $y=\dfrac1x$ 는 감소하는 곡선이므로 음수가 맞다. 8. 기울기 $\mathbf{6}$, 접선 $\mathbf{y = 6x - 9}$ — $f'(x)=2x$ 이므로 $f'(3)=6$. 점 $(3,9)$ 를 지나고 기울기 $6$ 인 직선: $y - 9 = 6(x-3)$, 즉 $y = 6x - 9$. 검산: $x=3$ 을 넣으면 $y=9$ ✔ 9. $\mathbf{s'(t) = 10t}$, $t=3$ 에서 $\mathbf{30}$ m/s — $\dfrac{5(t+h)^2-5t^2}{h} = \dfrac{10th+5h^2}{h} = 10t+5h \to 10t$. $t=3$ 이면 $10 \times 3 = 30$ m/s. **점마다 표를 작성하던 계산을 한 줄로 대체한다.** 10. $\mathbf{A'(r) = 2\pi r}$ — $\dfrac{\pi(r+h)^2 - \pi r^2}{h} = \dfrac{\pi(2rh+h^2)}{h} = \pi(2r+h) \to 2\pi r$. **이것은 원의 둘레다.** 추측: 반지름을 아주 조금 늘리면 넓이는 **바깥 테두리를 따라 얇은 띠만큼** 증가한다. 그 띠의 넓이는 (둘레) 곱하기 (두께)이므로, 두께로 나눈 변화율이 둘레가 된다. (이 관계는 이후 적분에서 다시 다룬다.) 11. $\mathbf{\dfrac{1}{2\sqrt{x}}}$ — 켤레 $\sqrt{x+h}+\sqrt{x}$ 를 곱한다. $\dfrac{\sqrt{x+h}-\sqrt x}{h} \cdot \dfrac{\sqrt{x+h}+\sqrt x}{\sqrt{x+h}+\sqrt x} = \dfrac{(x+h)-x}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt x)} = \dfrac{h}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt x)} = \dfrac{1}{\sqrt{x+h}+\sqrt x} \to \dfrac{1}{2\sqrt x}$. 제25장에서 극한을 구할 때 사용한 유리화가 그대로 적용된다. 12. $\mathbf{4x^3}$ — $(x+h)^4 = x^4+4x^3h+6x^2h^2+4xh^3+h^4$ 이므로 차분몫은 $4x^3+6x^2h+4xh^2+h^3 \to 4x^3$. 나란히 놓으면 $x^2 \to 2x^1$, $x^3 \to 3x^2$, $x^4 \to 4x^3$. **예상: $x^n \to n\,x^{n-1}$.** 다음 장에서 이 예상이 성립함을 증명한다. 7번의 $\dfrac1x = x^{-1} \to -x^{-2}$, 11번의 $\sqrt x = x^{1/2} \to \dfrac12 x^{-1/2}$ 도 같은 형태임을 함께 확인하면 규칙의 적용 범위가 분명해진다. ::: ### 추가 연습문제 모든 문항을 정의로 푼다. 규칙을 알고 있어도 사용하지 않는다. 네 단계(① $f(x+h)$ ② 빼기 ③ $h$ 로 약분 ④ $h\to0$)를 매번 모두 기록한다. 1. $f(x) = x^2$ 2. $f(x) = 4x - 1$ 3. $f(x) = 10$ 4. $f(x) = 2x^2$ 5. $f(x) = x^2 + 1$ 6. $f(x) = x^2 + 2x$ 7. $f(x) = 3x^2 - x$ 8. $f(x) = x^2 - 6x + 5$ 9. $f(x) = -x^2$ 10. $f(x) = x^3$ 11. $f(x) = x^3 + x$ 12. $f(x) = \dfrac{1}{x}$ 13. $f(x) = \dfrac{3}{x}$ 14. $f(x) = \sqrt{x}$ (켤레를 곱한다 — 유리화) 15. 1번, 10번, 12번, 14번의 결과를 아래 표에 **거듭제곱 꼴로** 다시 써넣고, 마지막 줄의 규칙을 예상하라. ($\dfrac1x = x^{-1}$, $\sqrt x = x^{1/2}$ 로 고쳐 쓰는 방법은 지수법칙에서 다루었다. 필요하면 해당 부분을 참조한다.) | $f(x)$ | 거듭제곱 꼴 | $f'(x)$ | 거듭제곱 꼴 | |---|---|---|---| | $x^2$ | $x^2$ | | | | $x^3$ | $x^3$ | | | | $\dfrac1x$ | $x^{-1}$ | | | | $\sqrt x$ | $x^{1/2}$ | | | | $x^n$ | $x^n$ | **?** | **?** | :::{admonition} 정답과 해설 :class: dropdown 1. $\mathbf{2x}$ — $\dfrac{2xh+h^2}{h} = 2x+h \to 2x$ 2. $\mathbf{4}$ — $\dfrac{4h}{h} = 4$ 3. $\mathbf{0}$ — $\dfrac{10-10}{h} = \dfrac{0}{h} = 0$. **빈번한 오류**: $\dfrac00$ 이라 쓰고 멈춘다. 분모 $h$ 는 $0$ 이 아니다. 4. $\mathbf{4x}$ — $\dfrac{2(x+h)^2-2x^2}{h} = \dfrac{4xh+2h^2}{h} = 4x+2h \to 4x$ 5. $\mathbf{2x}$ — 상수 $+1$ 은 빼는 과정에서 소거된다. **그래프를 위로 $1$ 만큼 평행이동해도 기울기는 변하지 않는다.** 정의가 이 사실을 그대로 반영한다. 6. $\mathbf{2x+2}$ 7. $\mathbf{6x-1}$ — $\dfrac{3(x+h)^2-(x+h) - (3x^2-x)}{h} = \dfrac{6xh+3h^2-h}{h} = 6x+3h-1 \to 6x-1$ 8. $\mathbf{2x-6}$ — 상수 $+5$ 는 소거된다 9. $\mathbf{-2x}$ — 부호에 주의한다. $-(x+h)^2 + x^2 = -2xh-h^2$ 10. $\mathbf{3x^2}$ — $(x+h)^3 = x^3+3x^2h+3xh^2+h^3$. **빈번한 오류**: $(x+h)^3 = x^3+h^3$. 가운데 두 항이 답의 핵심이다. 11. $\mathbf{3x^2+1}$ 12. $\mathbf{-\dfrac{1}{x^2}}$ 13. $\mathbf{-\dfrac{3}{x^2}}$ — 12번과 같은 과정에 $3$ 이 곱해져 나온다 14. $\mathbf{\dfrac{1}{2\sqrt x}}$ — 켤레 $\sqrt{x+h}+\sqrt x$ 를 곱하면 분자가 $h$ 가 되어 $\dfrac{1}{\sqrt{x+h}+\sqrt x} \to \dfrac{1}{2\sqrt x}$ 15. | $f(x)$ | 거듭제곱 꼴 | $f'(x)$ | 거듭제곱 꼴 | |---|---|---|---| | $x^2$ | $x^2$ | $2x$ | $2x^1$ | | $x^3$ | $x^3$ | $3x^2$ | $3x^2$ | | $\dfrac1x$ | $x^{-1}$ | $-\dfrac{1}{x^2}$ | $-1 \cdot x^{-2}$ | | $\sqrt x$ | $x^{1/2}$ | $\dfrac{1}{2\sqrt x}$ | $\dfrac12 x^{-1/2}$ | | $x^n$ | $x^n$ | **$n\,x^{n-1}$** | **$n\,x^{n-1}$** | **예상 규칙: $(x^n)' = n\,x^{n-1}$.** 네 줄 모두에서 "앞의 수가 원래 지수와 같고, 새 지수는 하나 줄었다"가 성립한다. 정수뿐 아니라 음수와 분수 지수에서도 성립함을 직접 확인한 것이 이 문항의 핵심이다. 다음 장에서 이 예상이 항상 성립하는 이유를 밝힌다. ::: ## 요약과 다음 장 이 장의 핵심은 다음 한 줄이다. $$f'(x) = \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h) - f(x)}{h}$$ 도함수는 접선의 기울기이자 차분몫의 극한이다. 모든 미분은 네 단계 — $f(x+h)$ 쓰기, 빼기, $h$ 로 약분, $h\to0$ — 로 진행되며, ③에서 $h$ 가 약분되는 것이 자체 검산이 된다. 그리고 $f'(x)$ 는 수가 아니라 함수라는 것, 즉 한 번의 계산으로 모든 점의 값을 얻는다는 것이 이 장의 개념적 전환이다. 정의로 구한 네 결과 — $3x+1 \to 3$, $x^2 \to 2x$, $x^3 \to 3x^2$, $\dfrac1x \to -\dfrac{1}{x^2}$ — 를 나란히 놓으면 규칙 하나가 관찰된다. 지수가 앞으로 나오고 하나 줄어든다는 것이다. 다만 정의에 의한 계산은 함수마다 대수 조작이 필요해 효율이 낮다. [제27장](ch27.md)에서 그 규칙 $(x^n)' = n\,x^{n-1}$ 에 이름을 붙이고, 항상 성립하는 이유를 밝힌다. 제27장의 규칙은 새로 주어지는 것이 아니라 이 장에서 얻은 계산 결과를 일반화한 것이다. 그리고 정의는 이후에도 계속 사용된다. $\sin x$, $e^x$ 처럼 지수 내리기가 적용되지 않는 함수를 만나면 다시 이 정의로 돌아온다.