# 제6장 · 비·비율·백분율

:::{admonition} 이 장
:class: seealso

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| **원본 코드** | R1-W06 |
| **선행 내용** | 제5장(음수) |
| **요지** | 퍼센트는 "$100$ 당 몇"이고, 모든 퍼센트 문제의 핵심은 기준량(무엇에 대한 %)을 찾는 것이다. 퍼센트 변화는 더하기가 아니라 곱하기다. |
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## 도입

할인 스티커의 "$30\%$ 할인", 식당 영수증의 "팁 $15\%$", 은행 문자의 "연 이자 $3\%$"는 서로 다른 상황에 쓰이지만 모두 **하나의 동일한 계산 구조**를 따른다. 이 구조는 시험 문제에 한정되지 않고 금액 계산에 그대로 사용된다.

다음 상황을 먼저 검토한다. $100{,}000$ 원짜리 물건이 지난달에 $20\%$ 올랐고, 이번 달에 다시 $20\%$ 내렸다. 현재 가격은 얼마인가?

$$100{,}000 \text{ 원} \ \xrightarrow{\ 20\% \text{ 인상}\ } \ ? \ \xrightarrow{\ 20\% \text{ 인하}\ } \ ?$$

가장 빈번한 오답 중 하나는 "$100{,}000$ 원, 제자리"이다. 오른 만큼 내렸으므로 상쇄된다는 판단이다. 정수의 덧셈과 뺄셈에서는 이 판단이 성립한다. 그러나 실제로 계산하면 $96{,}000$ 원이고, 원래 금액보다 $4{,}000$ 원이 적다.

제자리가 아닌 이유는 이 장 뒷부분에서 계산으로 확인한다. 그에 앞서 퍼센트의 정의를 다시 정리한다. 이 장의 핵심 물음은 하나이다. **무엇에 대한 퍼센트인가.**

## 비, 비율, 백분율은 한 가지를 세 가지로 쓴 것

먼저 **비**를 정리한다. 커피를 내릴 때 원두와 물의 비를 $1:8$ 로 맞춘다고 한다. 원두가 $25$ g일 때 필요한 물의 양은 다음과 같다.

$$25 \times 8 = 200 \text{ (g)}$$

$1:8$ 은 "원두 $1$ 에 물 $8$"이라는 **관계**를 나타낸다. 중요한 것은 $25$ 와 $200$ 이라는 개별 값이 아니라 두 양 사이의 관계가 $1:8$ 이라는 사실이다. 이 관계를 **하나의 수**로 나타낸 것이 **비율**이다.

$$\text{비율} = \frac{1}{8} = 0.125$$

이 $\dfrac{1}{8}$ 이 **무엇을 무엇으로 나눈 값인지** 확인한다. 원두를 **물로** 나눈 값이다. 기준을 물이 아니라 전체로 잡으면 값이 달라진다. 커피 한 잔은 원두 $1$ 과 물 $8$, 합쳐서 $9$ 이기 때문이다.

$$\text{물에 대한 원두의 비율} \ = \ \frac{1}{8} \qquad (\text{기준량이 물 } 8)$$

$$\text{전체에 대한 원두의 비율} \ = \ \frac{1}{9} \qquad (\text{기준량이 전체 } 9)$$

정의를 한 문장으로 정리한다. **비율은 언제나 (비교하는 양) $\div$ (기준량)이고, 기준량을 무엇으로 잡느냐에 따라 값이 달라진다.** 같은 커피 한 잔에서 $\dfrac18$ 과 $\dfrac19$ 가 모두 나오는 것은 둘 중 하나가 틀려서가 아니라 기준이 다르기 때문이다. 이 장의 핵심 물음인 "무엇에 대한 퍼센트인가"가 여기에서 이미 한 번 적용되었다.

앞의 $25 \times 8 = 200$ 은 둘 중 어느 기준을 쓴 것인지 확인한다. 물이 원두의 $8$ 배라는 관계, 곧 **기준량이 원두**인 경우이다. 원두 $25$ g은 전체의 $\dfrac19$ 이고, 물은 원두의 $8$ 배이므로 $25 \times 8 = 200$ g이다. 전체는 $25 + 200 = 225$ g이고, 이는 $25 \times 9$ 와 같다.

그런데 $0.125$ 는 크기가 바로 파악되지 않는다. 그래서 분모를 $100$ 으로 고정하기로 약속한 것이 **백분율**이다. per cent, 곧 "$100$ 당 몇"이라는 뜻이다. 한국어로는 백분율, 곧 $100$ 으로 나눈 비율이다.

$10 \times 10$, 곧 $100$ 칸짜리 정사각형을 생각한다. 위에서 세 줄을 칠하면 칠해진 칸은 $30$ 개이다.

```{image} /_static/figs/ch06_percent_grid.svg
:alt: 100칸 중 30칸이 30퍼센트
:width: 300px
:align: center
:class: chfig
```

전체가 $100$ 칸이므로 칠한 부분은 $\dfrac{30}{100}$ 이고, 이것을 $30\%$ 라고 쓴다. **퍼센트 기호는 $\dfrac{1}{100}$ 을 줄여 쓴 표기이다.** 새로운 개념이 아니라 새로운 표기이다.

그래서 같은 수를 세 가지 표현으로 쓸 수 있다.

$$30\% \ = \ \frac{30}{100} \ = \ 0.3$$

왼쪽에서 오른쪽으로 갈 때는 $100$ 으로 나누고, 오른쪽에서 왼쪽으로 갈 때는 $100$ 을 곱한다. 소수점이 두 칸 이동한다.

## 퍼센트 문제의 유형은 셋뿐이다

퍼센트 문제는 겉으로는 종류가 많아 보이지만, 실제로 등장하는 자리는 셋이다.

$$\text{전체(기준량)} \qquad \text{부분(비교량)} \qquad \text{비율}$$

퍼센트 문제는 이 셋 중 **둘을 주고 나머지 하나를 묻는다.** 따라서 유형은 세 가지이다. 같은 세 수($300$, $45$, $15\%$)를 반복해 사용하면 세 유형이 하나의 관계에서 갈라져 나온다는 점이 분명해진다.

**부분을 묻는다.** "$300$ 의 $15\%$ 는?"

$$\text{부분} = \text{전체} \times \text{비율} \qquad 300 \times 0.15 = 45$$

**비율을 묻는다.** "$45$ 는 $300$ 의 몇 퍼센트?"

$$\text{비율} = \frac{\text{부분}}{\text{전체}} \qquad \frac{45}{300} = 0.15 = 15\%$$

**전체를 묻는다.** "어떤 수의 $15\%$ 가 $45$ 다. 그 수는?"

$$\text{전체} = \frac{\text{부분}}{\text{비율}} \qquad \frac{45}{0.15} = 300$$

세 식은 서로 다른 식처럼 보이지만 실제로는 **하나의 식**이다. $\text{부분} = \text{전체} \times \text{비율}$ 하나이다. 모르는 자리가 어디인지에 따라 곱셈이 되거나 나눗셈이 된다. 특히 세 번째, "부분을 알고 전체를 구하는" 유형에서는 **부분에서 전체로 갈 때 나눗셈을 사용한다**는 점이 핵심이다.

두 가지를 직접 계산한다. 물건값 $45{,}000$ 원의 $12\%$ 는 얼마인가. 전체가 $45{,}000$, 비율이 $0.12$ 인 첫 번째 유형이다.

$$45{,}000 \times 0.12 = 5{,}400 \text{ (원)}$$

검산 방법은 다음과 같다. $10\%$ 는 소수점을 한 칸 옮겨 $4{,}500$ 원이다. $12\%$ 는 그보다 커야 하므로 $5{,}400$ 원은 타당하다. **$10\%$ 를 먼저 구해 어림하면** 계산기 없이도 크게 어긋난 답을 걸러낼 수 있다.

다음은 두 번째 유형이다. 전체 $25$ 명 중 $15$ 명이 참석했다면 참석률은 다음과 같다.

$$\frac{15}{25} = \frac{3}{5} = 0.6 = 60\%$$

부분 $15$ 를 전체 $25$ 로 나눈다. **기준량이 분모다.** 약분하면 $\dfrac{3}{5}$, 소수로 $0.6$, 퍼센트로 $60$ — 세 표현이 모두 같은 수를 가리킨다. $\dfrac{7}{20}$ 처럼 분모가 $100$ 이 아닌 분수는 분자와 분모에 같은 수를 곱해 분모를 $100$ 으로 만들면 바로 퍼센트가 된다. $\dfrac{7}{20} = \dfrac{35}{100} = 35\%$. 퍼센트로 바꾸는 일은 결국 "분모를 $100$ 으로 맞추는 일"이다.

## 할인 계산 — 뺄셈 대신 남은 비율을 곱한다

정가 $40{,}000$ 원인 물건을 $30\%$ 할인할 때의 지불액을 구한다. 계산 방법은 두 가지이다.

$$\text{(가) 빼기: } \ 40{,}000 - 40{,}000 \times 0.3 = 40{,}000 - 12{,}000 = 28{,}000$$

$$\text{(나) 남은 비율 곱하기: } \ 40{,}000 \times 0.7 = 28{,}000$$

답은 같지만 (나)가 더 효율적이다. 이유는 두 가지이다. 첫째, 계산이 한 번으로 끝난다. 둘째, **$30\%$ 할인이 $70\%$ 를 지불한다는 뜻**임을 계산 과정에서 매번 확인하게 된다. 할인율이 아니라 **지불 비율**로 환산해 계산하는 것이 이 장의 두 번째 요점이다.

$$30\% \text{ 할인} \ \Rightarrow \ \times 0.7 \qquad 20\% \text{ 할인} \ \Rightarrow \ \times 0.8 \qquad 15\% \text{ 인상} \ \Rightarrow \ \times 1.15$$

인상도 같은 구조이다. $15\%$ 올린다는 것은 원래 값 $100\%$ 에 $15\%$ 를 더하는 것이므로 $115\%$, 곧 $\times 1.15$ 이다. 팁도 같은 구조여서, 밥값 $48{,}000$ 원에 팁 $15\%$ 를 더하면 $48{,}000 \times 1.15 = 55{,}200$ 원이다.

### 역방향 계산 — 곱한 인자로 나눈다

앞에서는 정가에서 지불액으로 가는 한 방향만 다루었다. 실제 상황에서는 반대 방향이 더 자주 필요하다. 영수증에 찍힌 금액에서 정가를 구해야 하고, 부가세가 포함된 결제액에서 세전 금액을 구해야 한다. 방법은 하나이다. **곱셈으로 얻은 값은 같은 인자로 나누어 되돌린다.**

$$40{,}000 \ \xrightarrow{\ \times 0.7\ } \ 28{,}000 \ \xrightarrow{\ \div 0.7\ } \ 40{,}000$$

$30\%$ 할인가에서 정가로 갈 때 $\times 1.3$ 이 아니라 $\div 0.7$ 인 이유는 **정가에서 지불액으로 갈 때 곱한 인자가 $0.7$ 이기 때문이다.** 되돌릴 때는 갈 때 사용한 그 인자로 나눈다. 부가세도 같은 방식으로 처리된다.

$$30{,}000 \ \xrightarrow{\ \times 1.1\ } \ 33{,}000 \ \xrightarrow{\ \div 1.1\ } \ 30{,}000$$

여기에 $\times 0.9$ 를 적용하면 $33{,}000 \times 0.9 = 29{,}700$ 원이 되어 값이 맞지 않는다. 붙일 때의 $10\%$ 는 $30{,}000$ 원의 $10\%$($3{,}000$ 원)인데, $\times 0.9$ 는 $33{,}000$ 원의 $10\%$($3{,}300$ 원)를 빼는 계산이기 때문이다. 기준량이 다르다.

되찾은 값은 반드시 **검산**한다. 되찾은 값에 원래 인자를 다시 곱해서 주어진 값이 나오는지 확인하면 된다. $60\%$ 할인가 $26{,}000$ 원에서 정가를 되찾으면 $26{,}000 \div 0.4 = 65{,}000$ 원이고, 검산은 $65{,}000 \times 0.4 = 26{,}000$ 으로 일치한다. 이 검산으로 미지수를 세우지 않고도 답을 확인할 수 있다.

## 증가율의 기준은 언제나 "변하기 전"

$40$ 에서 $50$ 으로 늘었을 때의 증가율을 구한다. 빈번한 오답은 $20\%$ 이지만, 맞는 값은 $25\%$ 이다.

$$\text{증가율} = \frac{\text{변화량}}{\text{기준량}} = \frac{50 - 40}{40} = \frac{10}{40} = 0.25 = 25\%$$

분자는 늘어난 양 $10$ 이다. 판단이 갈리는 곳은 **분모**로, $40$ 과 $50$ 중 어느 것을 쓰는가이다. 문장은 "$40$ **에서** $50$ 으로"이므로 출발점은 $40$ 이다. **변하기 전 값이 기준량**이고, 기준량이 분모다.

반대 방향의 변화율은 다음과 같다.

$$50 \ \longrightarrow \ 40 \ : \quad \frac{50 - 40}{50} = \frac{10}{50} = 0.20 = 20\%$$

$40$ 에서 $50$ 은 $25\%$ 증가, $50$ 에서 $40$ 은 $20\%$ 감소이다. **변화량은 같은 $10$ 이지만 퍼센트는 다르다.** 기준이 다르기 때문이다. 이것이 "무엇에 대한 퍼센트인가"라는 물음의 뜻이다.

한국어에는 기준량을 지목하는 문법이 들어 있다. "$A$ **에서** $B$ 로", "$A$ **에 대해**", "$A$ **의** 몇 퍼센트" — 조사 앞에 놓인 $A$ 가 기준량이고, **기준량은 언제나 분모다.** 계산을 시작하기 전에 문장에서 그 조사를 찾아 기준량을 먼저 표시한다.

## 20% 올랐다 20% 내리면 제자리가 아니다

도입에서 제시한 물음으로 돌아온다. $100{,}000$ 원짜리 물건이 $20\%$ 올랐다 다시 $20\%$ 내렸을 때의 가격을 한 단계씩 계산한다.

$$100{,}000 \times 1.2 = 120{,}000$$

$$120{,}000 \times 0.8 = 96{,}000$$

결과는 $96{,}000$ 원이고 $100{,}000$ 원이 아니다. 차이는 $4{,}000$ 원이다. 그 이유는 막대로 나타내면 확인된다.

```{image} /_static/figs/ch06_bars_updown.svg
:alt: 20% 인상 후 20% 인하 막대 비교
:width: 560px
:align: center
:class: chfig
```

**올릴 때의 $20\%$ 와 내릴 때의 $20\%$ 는 서로 다른 금액이다.** 올릴 때는 $10$ 만 원의 $20\%$ 이므로 $2$ 만 원이고, 내릴 때는 $12$ 만 원의 $20\%$ 이므로 $2$ 만 $4$ 천 원이다. 같은 "$20\%$"라는 표기가 붙어 있어도 크기가 다르다. **기준량이 도중에 바뀌었기 때문이다.**

순서를 바꿔도 결과는 같다.

$$100{,}000 \times 0.8 = 80{,}000 \qquad 80{,}000 \times 1.2 = 96{,}000$$

인하가 먼저인지 인상이 먼저인지는 결과에 영향을 주지 않는다. 결과를 결정하는 것은 곱셈 인자이다.

$$1.2 \times 0.8 = 0.96$$

$1.2$ 와 $0.8$ 은 서로 상쇄되지 않는다. 상쇄되려면 두 인자의 곱이 $1$ 이어야 하는데 실제 곱은 $0.96$ 이다. **퍼센트 변화는 더하기가 아니라 곱하기다.** $+20$ 과 $-20$ 이 $0$ 이 되는 것은 정수의 덧셈에서 성립하는 성질이고, 퍼센트 변화에는 적용되지 않는다.

다만 "퍼센트 변화는 항상 손해"라는 뜻은 아니다. 예컨대 어떤 값이 $25\%$ 올랐다 $20\%$ 내리면 $1.25 \times 0.8 = 1.00$ 으로 정확히 원래 값이 된다. 핵심은 변화의 방향이 아니라 **기준량이 도중에 바뀐다**는 사실 하나이다.

## 단리와 복리 — 기준량이 매년 커진다

기준량이 도중에 바뀌는 구조는 이자 계산에서도 나타난다.

원금 $100$ 만 원을 연 $5\%$ 로 $2$ 년 예금한다고 한다. 이자를 붙이는 방식은 두 가지이다.

**단리**는 이자를 **원금에만** 붙인다. 기준량이 $100$ 만 원으로 **고정**된다.

$$1{,}000{,}000 \times 0.05 = 50{,}000 \quad (\text{1년 차 이자})$$

$$1{,}000{,}000 \times 0.05 = 50{,}000 \quad (\text{2년 차 이자 — 기준량은 여전히 } 100 \text{만 원})$$

$$\text{2년 뒤 잔액} \ = \ 1{,}000{,}000 + 50{,}000 \times 2 \ = \ 1{,}100{,}000 \ \text{원}$$

**복리**는 이자를 **그때까지 불어난 금액에** 붙인다. 1년이 지나면 잔액이 $105$ 만 원이므로, 2년 차의 기준량은 $100$ 만 원이 아니라 $105$ 만 원이다.

$$1{,}000{,}000 \times 1.05 = 1{,}050{,}000 \ \text{원} \quad (\text{1년 뒤})$$

$$1{,}050{,}000 \times 1.05 = 1{,}102{,}500 \ \text{원} \quad (\text{2년 뒤})$$

두 잔액의 차이는 $1{,}102{,}500 - 1{,}100{,}000 = 2{,}500$ 원이다. 이 $2{,}500$ 원은 1년 차에 붙은 이자 $50{,}000$ 원에 2년 차에 다시 $5\%$ 가 적용된 값이다.

$$50{,}000 \times 0.05 = 2{,}500$$

**여기에서도 기준량이 도중에 바뀐다.** 앞 절의 인상·인하 예에서는 기준량이 커지면서 최종 금액이 원래보다 줄었고, 복리에서는 기준량이 커지면서 잔액이 늘어난다. 부채에 복리가 적용되면 같은 구조로 갚아야 할 금액이 늘어난다. 결과를 결정하는 것이 변화의 방향이 아니라 기준량이라는 점은 여기에서도 동일하다.

기호로 정리한다. 원금 $P$, 연이율 $r$, 기간 $n$ 년일 때,

$$\text{단리} \ = \ P(1 + rn) \qquad \text{복리} \ = \ P(1+r)^n$$

$P = 1{,}000{,}000$, $r = 0.05$, $n = 2$ 를 대입해 확인한다. 단리는 $1{,}000{,}000 \times (1 + 0.05 \times 2) = 1{,}000{,}000 \times 1.1 = 1{,}100{,}000$ 원이다. 복리는 $1{,}000{,}000 \times 1.05^2 = 1{,}102{,}500$ 원이다. 한 단계씩 계산한 값과 일치한다.

## 단위환산 — 단위를 분수처럼 약분한다

퍼센트가 "$100$ 당 몇"이라면, 환율은 "$1$ 달러당 몇 원", 속도는 "$1$ 시간당 몇 km"이다. 셋은 같은 구조이므로 하나의 방법으로 처리된다. 바꾸려는 단위를 분수의 분자와 분모에서 **약분**하는 방법이다.

$$250 \ \text{달러} \times \frac{1{,}300 \ \text{원}}{1 \ \text{달러}} = 325{,}000 \ \text{원}$$

달러가 분자와 분모에서 약분되고 원만 남는다. 곱셈과 나눗셈 중 어느 것을 쓸지 판단할 때는 **없애려는 단위가 약분되는 쪽**을 선택하면 언제나 맞다. 반대 방향도 마찬가지이다.

$$650{,}000 \ \text{원} \times \frac{1 \ \text{달러}}{1{,}300 \ \text{원}} = 500 \ \text{달러}$$

속도도 같다. 시속 $72$ km를 초속으로 바꾼다. $1$ km $= 1{,}000$ m, $1$ 시간 $= 3{,}600$ 초이므로 분자와 분모를 각각 바꾸면 된다.

$$72 \ \text{km/h} \ = \ \frac{72{,}000 \ \text{m}}{3{,}600 \ \text{초}} \ = \ 20 \ \text{m/s}$$

시속 $72$ km는 초속 $20$ m이다. 마일도 같은 방법으로 환산한다. $1$ 마일은 약 $1.6$ km(정확한 값은 $1.609$ 이고, 어림 계산에는 $1.6$ 을 사용한다)이므로,

$$60 \ \text{mile/h} \times 1.6 = 96 \ \text{km/h}$$

미국 고속도로 표지판의 $60$ 은 시속 $96$ km에 해당한다.

## 빈번한 오류

:::{admonition} "$20\%$ 올랐다가 $20\%$ 내리면 제자리"
:class: warning
$100 \to 120 \to$ "$100$"이라고 쓰거나, "$30\%$ 할인받고 나중에 $30\%$ 오르면 원래 가격"이라고 말한다. 원인은 퍼센트를 **더하고 빼는 수**로 이해한 데 있다. $+20$ 과 $-20$ 이 상쇄된다는 것은 정수 범위에서는 성립하는 성질이다. 그러나 퍼센트 변화의 실체는 **곱하는 인자**($\times 1.2$, $\times 0.8$)이고, 이 둘은 상쇄되지 않는다($1.2 \times 0.8 = 0.96$). 더 근본적인 원인은 **기준량이 도중에 바뀐다**는 점을 확인하지 않은 데 있다. 올릴 때 기준은 $100$, 내릴 때 기준은 $120$ 이다. 같은 "$20\%$"라는 표기가 서로 다른 금액을 가리키고 있다.

*확인 문제*: $50{,}000$ 원이 $10\%$ 올랐다가 $10\%$ 내리면 얼마인가? (답: $49{,}500$ 원. $50{,}000 \times 1.1 \times 0.9$. $500$ 원이 줄어든다.)
:::

:::{admonition} 기준량을 잃어버린다
:class: warning
"$40$ 에서 $50$ 으로의 증가율"을 $\dfrac{10}{50} = 20\%$ 로, "$250$ 만 원에서 $275$ 만 원"을 $\dfrac{25}{275}$ 로 계산한다. 즉 **분자는 맞고 분모가 틀린다.** "퍼센트는 둘 중 하나로 나누는 것"까지는 기억하지만 **어느 쪽으로** 나누는지가 빠져 있다. 두 수가 함께 주어지면 큰 쪽을 분모로 쓰는 경우가 많다($100\%$ 를 넘지 않는 값이 나오기 때문이다). 문장의 "에서 / 에 대해 / 의"가 기준량을 지목한다는 사실을 확인하면 된다. **조사 앞에 놓인 수가 기준량이고, 기준량은 언제나 분모다.**

*확인 문제*: $80$ 에서 $100$ 으로의 증가율과 $100$ 에서 $80$ 으로의 감소율을 각각 구하라. (답: $25\%$ 와 $20\%$. 기준이 각각 $80$ 과 $100$ 으로 다르다.)
:::

:::{admonition} 퍼센트와 퍼센트포인트를 섞는다
:class: warning
금리가 $2\%$ 에서 $3\%$ 로 올랐을 때 "$1\%$ 올랐다"고 쓴다. 퍼센트 자체가 **다시 퍼센트로 변할 수 있다**는 이중 구조를 확인하지 않은 결과이다. 두 문장은 서로 다른 것을 재고 있다.

$$\text{“} 1 \ \text{퍼센트포인트 올랐다”} : \ 3 - 2 = 1 \quad \text{(뺄셈)}$$

$$\text{“} 50\% \ \text{올랐다”} : \ \frac{3-2}{2} = 0.5 \quad \text{(비율)}$$

**퍼센트포인트는 뺄셈, 퍼센트는 나눗셈이다.** 뉴스에서 "금리가 $1\%$ 올랐다"고 하는 경우, 대개 $1$ 퍼센트포인트를 잘못 표현한 것이다.

*확인 문제*: 실업률이 $4\%$ 에서 $5\%$ 로 갔다. (1) 몇 퍼센트포인트 올랐나? (2) 몇 퍼센트 올랐나? (답: (1) $1$ 퍼센트포인트 (2) $25\%$.)
:::

:::{admonition} 할인액과 지불액을 헷갈린다
:class: warning
$40{,}000$ 원의 $30\%$ 할인가를 $12{,}000$ 원이라고 쓴다. 계산 자체는 정확하지만 구한 값이 문제가 요구한 값과 다르다. $12{,}000$ 원은 **할인액**이고, 문제가 물은 것은 **지불액**이다. "퍼센트가 나오면 곱한다"는 절차만 남고 **무엇을 묻는지 읽는 단계**가 빠진 것이므로, 계산 연습만으로는 교정되지 않는다. 할인 문제는 처음부터 다음과 같이 읽는다. **"$30\%$ 할인"은 "$70\%$ 를 낸다"는 뜻이다.** 할인율을 확인하는 즉시 $100$ 에서 빼서 지불 비율로 바꾸면, 곱셈 한 번으로 계산이 끝나고 할인액과 지불액을 혼동하지 않는다.

*확인 문제*: 정가 $60{,}000$ 원인 물건의 $25\%$ 할인가는? (답: $45{,}000$ 원. $60{,}000 \times 0.75$.)
:::

## 연습문제

계산기를 사용하지 않는다. 막히는 문항은 표시해 두고 다음 문항으로 넘어간다. 각 문항에서 **기준량을 먼저 표시한 뒤** 계산을 시작한다. 무엇에 대한 퍼센트인지 확인하지 않고 계산한 답은 값이 맞더라도 절반만 푼 것이다. `A` 기본 · `B` 표준 · `C` 도전.

1. `A` 백분율로 바꿔라. (1) $0.24$  (2) $0.07$  (3) $1.5$  (4) $\dfrac{3}{8}$
2. `A` 소수로 바꿔라. (1) $65\%$  (2) $8\%$  (3) $120\%$  (4) $0.5\%$
3. `A` 계산하라. (1) $600$ 의 $15\%$  (2) $2{,}400$ 의 $25\%$  (3) $50$ 의 $8\%$
4. `A` 정가 $35{,}000$ 원인 신발을 $20\%$ 할인한다. 지불할 금액은?
5. `A` 어떤 모임의 $25$ 명 중 $15$ 명이 여성이다. 여성의 비율은 몇 퍼센트인가?
6. `A` 월급이 $250$ 만 원에서 $275$ 만 원으로 올랐다. 인상률은 몇 퍼센트인가?
7. `B` 식사값이 $48{,}000$ 원이다. 팁 $15\%$ 를 더하면 모두 얼마를 내는가?
8. `B` 부가세 $10\%$ 가 붙어서 $33{,}000$ 원을 결제했다. 부가세를 붙이기 전 값은 얼마인가?
9. `B` $60\%$ 할인해서 $26{,}000$ 원에 팔고 있다. 정가는 얼마인가?
10. `B` 원금 $200$ 만 원을 연 $3\%$ 단리로 $2$ 년 예금하면 이자는 모두 얼마인가?
11. `B` $1$ 달러 $= 1{,}350$ 원이다. (1) $40$ 달러는 몇 원인가?  (2) $108{,}000$ 원은 몇 달러인가?
12. `B` 시속 $108$ km로 달리는 차는 초속 몇 m로 움직이는가?
13. `C` 어떤 주식이 첫날 $25\%$ 오르고 다음 날 $20\%$ 내렸다. 이틀 뒤 가격은 처음보다 오른 것인가 내린 것인가, 몇 퍼센트인가? (계산 결과에 따라 판단한다.)
14. `C` 어떤 가게가 "$30\%$ 할인 후 추가 $10\%$ 할인"이라고 광고한다. 이것은 $40\%$ 할인과 같은가? 정가 $50{,}000$ 원인 물건으로 확인하고, 실제로는 몇 퍼센트 할인인지 구하라.

:::{admonition} 정답과 해설
:class: dropdown
1. (1) $24\%$  (2) $7\%$  (3) $150\%$  (4) $37.5\%$ — $\dfrac{3}{8} = 0.375$, 소수점을 두 칸 옮긴다. (3)에서 보듯 퍼센트는 $100\%$ 를 넘을 수 있다. $150\%$ 는 기준량의 $1.5$ 배이다.
2. (1) $0.65$  (2) $0.08$  (3) $1.2$  (4) $0.005$ — **빈번한 오류**: (4)를 $0.05$ 로 쓴다. $0.5\%$ 는 $\dfrac{0.5}{100}$ 이므로 $0.005$ 이다. 소수점 두 칸이다.
3. (1) $90$  (2) $600$  (3) $4$
4. $28{,}000$ 원 — $35{,}000 \times 0.8$. **빈번한 오류**: $35{,}000 \times 0.2 = 7{,}000$ 원이라고 쓴다. 이 값은 **할인액**이고 지불액이 아니다.
5. $60\%$ — $\dfrac{15}{25} = \dfrac{3}{5} = 0.6$
6. $10\%$ — $\dfrac{275 - 250}{250} = \dfrac{25}{250} = 0.1$. **빈번한 오류**: $\dfrac{25}{275} \approx 9.1\%$. 기준은 오르기 **전** 금액이다.
7. $55{,}200$ 원 — $48{,}000 \times 1.15$. 팁만 따로 구하면 $7{,}200$ 원이다.
8. $30{,}000$ 원 — 붙일 때 곱한 인자가 $1.1$ 이므로 되돌릴 때는 $1.1$ 로 나눈다. $33{,}000 \div 1.1 = 30{,}000$. 검산: $30{,}000 \times 1.1 = 33{,}000$ 으로 일치한다. **빈번한 오류**: $33{,}000 \times 0.9 = 29{,}700$. 붙일 때의 $10\%$ 기준은 $30{,}000$ 이고 뺄 금액은 $3{,}000$ 이다. 도입에서 다룬 오류와 **같은 구조**이다.
9. $65{,}000$ 원 — $60\%$ 할인이면 $40\%$ 를 낸 것이므로 $26{,}000 \div 0.4 = 65{,}000$.
10. $120{,}000$ 원 — 단리는 매년 원금에만 붙는다. $2{,}000{,}000 \times 0.03 \times 2$. 한 해 이자 $60{,}000$ 원이 두 번이다.
11. (1) $54{,}000$ 원 — $40 \times 1{,}350$  (2) $80$ 달러 — $108{,}000 \div 1{,}350$
12. $30$ m/s — $\dfrac{108{,}000 \ \text{m}}{3{,}600 \ \text{초}}$. 시속을 $3.6$ 으로 나누면 초속이다.
13. **정확히 제자리, $0\%$** — $1.25 \times 0.8 = 1.00$. 처음이 $100$ 이었다면 $125$ 를 거쳐 정확히 $100$ 으로 돌아온다. **요점**: "퍼센트 변화는 항상 손해"인 것은 아니다. $20\%$ 내린 것을 되돌리려면 $20\%$ 가 아니라 $25\%$ 를 올려야 한다. 결정 요인은 변화의 방향이 아니라 **기준량이 다르다**는 사실 하나이다.
14. **같지 않다.** $50{,}000 \times 0.7 = 35{,}000$, 다시 $35{,}000 \times 0.9 = 31{,}500$ 원이다. $40\%$ 할인이었다면 $50{,}000 \times 0.6 = 30{,}000$ 원이므로 $1{,}500$ 원 비싸다. 실제 할인율은 $\dfrac{50{,}000 - 31{,}500}{50{,}000} = 0.37$, 곧 $37\%$ 이다. 곱셈 인자로 보면 $0.7 \times 0.9 = 0.63$ 이므로 $63\%$ 를 내는 것, 즉 $37\%$ 할인이다. **빈번한 오류**: $30 + 10 = 40$ 으로 더한다. 퍼센트는 더하는 대상이 아니다.
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### 추가 연습문제

모두 실생활 상황(할인·이자·세금·환산)이다. 여기에서도 각 문항의 기준량을 먼저 표시한 뒤 계산을 시작한다.

**백분율 기본**

1. 백분율로 바꿔라. (1) $0.4$  (2) $0.08$  (3) $\dfrac{1}{4}$  (4) $\dfrac{7}{10}$
2. 소수로 바꿔라. (1) $30\%$  (2) $5\%$  (3) $250\%$
3. $800$ 의 $20\%$ 는?
4. $1{,}500$ 의 $40\%$ 는?
5. $60$ 은 $200$ 의 몇 퍼센트인가?
6. 어떤 수의 $30\%$ 가 $210$ 이다. 그 수는?
7. $12$ 는 $48$ 의 몇 퍼센트인가?

**할인**

8. 정가 $20{,}000$ 원인 물건을 $25\%$ 할인하면 얼마를 내는가?
9. 정가 $45{,}000$ 원인 물건을 $40\%$ 할인하면 얼마를 내는가?
10. 정가 $120{,}000$ 원인 코트를 $15\%$ 할인하면 얼마를 내는가?
11. 정가 $80{,}000$ 원인 물건을 $68{,}000$ 원에 샀다. 할인율은 몇 퍼센트인가?
12. $30\%$ 할인해서 $21{,}000$ 원에 팔았다. 정가는 얼마인가?
13. 정가 $50{,}000$ 원인 물건에 대해 두 가게가 다르게 판다. A가게 "$20\%$ 할인 후 쿠폰 $6{,}000$ 원 추가 할인", B가게 "$30\%$ 할인". 어느 쪽이 얼마나 싼가?
14. 정가 $60{,}000$ 원인 물건에 "$30\%$ 할인 후 추가 $10\%$ 할인"이 붙었다. 최종 가격은? 그리고 이것은 전체로 보면 몇 퍼센트 할인인가?

**증가율·감소율·이자**

15. $20$ 에서 $25$ 로 늘었다. 증가율은?
16. $25$ 에서 $20$ 으로 줄었다. 감소율은?
17. 월세가 $50$ 만 원에서 $56$ 만 원으로 올랐다. 인상률은?
18. 원금 $100$ 만 원을 연 $5\%$ **단리**로 $2$ 년 예금했다. 이자 총액과 $2$ 년 후 잔액은?
19. 원금 $100$ 만 원을 연 $5\%$ **복리**로 $2$ 년 예금했다. $2$ 년 후 잔액은?
20. 18번과 19번의 잔액 차이는 얼마이고, 그 차이가 어디서 생겼는지 한 문장으로 쓰라.

**세금·환산·함정**

21. 물건값 $45{,}000$ 원에 부가세 $10\%$ 가 붙는다. 총 결제액은?
22. 총 결제액이 $22{,}000$ 원이고 여기에 부가세 $10\%$ 가 **포함**되어 있다. 부가세는 얼마인가?
23. $1$ 달러 $= 1{,}300$ 원일 때, (1) $250$ 달러는 몇 원인가?  (2) $39{,}000$ 원은 몇 달러인가?
24. 시속 $72$ km는 초속 몇 m인가?
25. 어떤 상품이 재작년 가격에서 작년에 $10\%$ 오르고, 올해 $10\%$ 내렸다. 재작년 가격이 $200{,}000$ 원이었다면 지금 가격은 얼마인가? 재작년과 비교하면 몇 퍼센트 달라졌는가?

:::{admonition} 정답과 해설
:class: dropdown
1. (1) $40\%$  (2) $8\%$  (3) $25\%$  (4) $70\%$
2. (1) $0.3$  (2) $0.05$  (3) $2.5$
3. $160$  4. $600$  5. $30\%$  6. $700$  7. $25\%$

8. $15{,}000$ 원 — $20{,}000 \times 0.75$
9. $27{,}000$ 원 — $45{,}000 \times 0.6$
10. $102{,}000$ 원 — $120{,}000 \times 0.85$
11. $15\%$ — 깎인 금액 $12{,}000$ 원, 기준량은 정가 $80{,}000$ 원이다. $\dfrac{12{,}000}{80{,}000} = 0.15$. **빈번한 오류**: $\dfrac{12{,}000}{68{,}000}$. 할인율의 기준은 언제나 정가다.
12. $30{,}000$ 원 — $21{,}000 \div 0.7$. **빈번한 오류**: $21{,}000 \times 1.3 = 27{,}300$. 붙일 때와 뗄 때의 기준량이 다르다($20\%$ 사례와 같은 구조이다).
13. **A가게가 $1{,}000$ 원 싸다.** A: $50{,}000 \times 0.8 = 40{,}000$, 쿠폰을 빼면 $34{,}000$ 원이다. B: $50{,}000 \times 0.7 = 35{,}000$ 원이다. **요점**: 정액 할인(쿠폰)과 정률 할인(퍼센트)은 성질이 다르다. 정가가 더 높은 물건에서는 B가 더 싸다. 정가를 바꾸어 확인할 수 있다.
14. $37{,}800$ 원, 전체로는 $37\%$ 할인 — $60{,}000 \times 0.7 \times 0.9 = 37{,}800$. 곱셈 인자 $0.7 \times 0.9 = 0.63$ 이므로 $63\%$ 를 낸 것, 곧 $37\%$ 할인이다. **빈번한 오류**: $30 + 10 = 40\%$.
15. $25\%$ — $\dfrac{5}{20}$
16. $20\%$ — $\dfrac{5}{25}$. 15번과 답이 다른 이유는 기준량이 $20$ 인지 $25$ 인지의 차이이다.
17. $12\%$ — $\dfrac{6}{50}$
18. 이자 $100{,}000$ 원, 잔액 $1{,}100{,}000$ 원 — 단리는 매년 원금 $100$ 만 원에만 $5\%$ 가 붙는다. $50{,}000 \times 2$.
19. $1{,}102{,}500$ 원 — $1{,}000{,}000 \times 1.05 \times 1.05$
20. 차이 $2{,}500$ 원. 예시 답안: "1년 차에 붙은 이자 $50{,}000$ 원에 대해 2년 차에 다시 $5\%$ 가 붙었기 때문이다($50{,}000 \times 0.05 = 2{,}500$)." **요점**: 복리는 **기준량이 매년 커지는** 계산이다. 이 장에서 다룬 "기준량이 바뀐다"가 여기에서도 그대로 적용된다.
21. $49{,}500$ 원 — $45{,}000 \times 1.1$
22. $2{,}000$ 원 — 세전 금액은 $22{,}000 \div 1.1 = 20{,}000$ 원, 세액은 $22{,}000 - 20{,}000 = 2{,}000$ 원이다. **빈번한 오류**: $22{,}000 \times 0.1 = 2{,}200$ 원. 부가세의 기준량은 결제액이 아니라 **세전 금액**이다.
23. (1) $325{,}000$ 원  (2) $30$ 달러
24. $20$ m/s — $\dfrac{72{,}000}{3{,}600}$
25. $198{,}000$ 원, $1\%$ 하락 — $200{,}000 \times 1.1 \times 0.9 = 198{,}000$. 곱셈 인자는 $1.1 \times 0.9 = 0.99$ 이다. **요점**: 앞에서 다룬 $20\%$ 의 경우 $4\%$ 가 줄었고, $10\%$ 의 경우 $1\%$ 가 줄어든다. 변화율이 클수록 감소폭도 커진다. 처음 값이 무엇이든 **원래 값으로 돌아오지 않는다**(단, 오르는 폭과 내리는 폭이 같을 때).
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## 요약과 다음 장

이 장의 핵심은 한 문장이다. **무엇에 대한 퍼센트인가.** 퍼센트는 "$100$ 당 몇"을 나타내는 표기이고, 모든 퍼센트 문제는 기준량을 확정하는 순간 풀린다. 유형은 셋뿐이며($\text{부분} = \text{전체} \times \text{비율}$ 하나에서 갈라져 나온다), 할인은 "남은 비율"을 곱하는 계산이고, 증가율의 기준은 언제나 변하기 전 값이다.

가장 중요한 결론은 다음과 같다. **퍼센트 변화는 더하기가 아니라 곱하기다.** $20\%$ 올렸다 $20\%$ 내리면 $96$ 이지 $100$ 이 아니다. $1.2 \times 0.8 = 0.96$ 이기 때문이다.

이 장에서 다룬 오류의 형태 — "따로따로 계산해서 더하면 된다"는 판단 — 는 [제7장](ch07.md)에서 다른 형태로 다시 나타난다. $\sqrt{9+16}$ 이 $\sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7$ 인지 확인하면, 실제 값은 $\sqrt{25} = 5$ 이다. 다음 장에서는 지수와 제곱근, 그리고 연산의 순서를 다룬다.