# 제29장 · 연쇄법칙과 삼각·지수·로그의 미분 :::{admonition} 이 장 :class: seealso | | | |---|---| | **원본 코드** | R3-W09 | | **선행 내용** | 제28장 (미분 규칙 ②) | | **요지** | 연쇄법칙은 겉 미분 곱하기 속 미분이다. 라디안을 쓰는 이유가 여기서 드러난다. | ::: ## 도입 미분에서 가장 빈번하게 나타나는 오류는 다음 한 줄이다. $$(\sin 3x)' = \cos 3x$$ 이 식은 틀렸다. 정답은 $3\cos 3x$ 이고, 앞의 $3$ 이 어디서 오는지가 이 장의 핵심이다. 합성함수를 미분할 때 발생하는 오류의 상당 부분이 이 형태를 취한다. $3$ 이 필요한 이유는 다음과 같다. $\sin 3x$ 에서는 두 연산이 순서대로 일어난다. **먼저 $x$ 에 $3$ 을 곱하고, 그다음 사인을 취한다.** 단계가 두 개다. 이 장에서 다루는 연쇄법칙은 한 문장으로 요약된다 — **단계가 두 개면 미분도 두 개다.** 앞에서 다룬 함수들, 곧 $x^3$ 이나 $\sin x$ 는 모두 한 단계로 끝나는 함수였다. 합성함수는 단계가 두 개인데 겉 함수만 미분하고 멈추면 위와 같은 오류가 발생한다. 이 장에는 [제23장](ch23.md)에서 예고한 내용이 하나 남아 있다. 라디안을 도입할 때, 라디안을 쓰는 이유는 미분에서 밝혀진다고만 하고 넘어갔다. $90^\circ$ 대신 $\dfrac{\pi}{2}$ 라고 적는 표기를 그때는 근거 없이 받아들여야 했다. 이 장 마지막에서 그 근거를 제시한다. **라디안은 임의의 관습이 아니라 미분 공식을 상수 없이 만드는 유일한 각도 단위다.** 이 명제를 확인하는 것이 이 장의 후반부다. ## 연쇄법칙은 변화율의 곱이다 톱니바퀴 세 개가 맞물려 도는 상황을 생각한다. ```{image} /_static/figs/ch29_gears.svg :alt: 맞물린 세 톱니바퀴로 본 연쇄법칙 :width: 520px :align: center :class: chfig ``` $A$ 가 $B$ 보다 $3$ 배 빠르고, $B$ 가 $C$ 보다 $2$ 배 빠르다. 그러면 $A$ 는 $C$ 보다 $6$ 배 빠르다. 두 배율은 더해지는 것이 아니라 **곱해진다**. $3 \times 2 = 6$. 변화율은 이어 붙이면 곱해진다. 이것이 연쇄법칙의 내용이며, 나머지는 표기법이다. 곱이 되는 관계는 환율로도 확인된다. $1$ 달러가 $1300$ 원이고 $1$ 달러가 $130$ 엔일 때, $1$ 원이 몇 엔인지 계산한다. $$\frac{\text{엔}}{\text{원}} = \frac{\text{엔}}{\text{달러}} \times \frac{\text{달러}}{\text{원}} = 130 \times \frac{1}{1300} = 0.1$$ $1$ 원은 $0.1$ 엔이다. 원에서 엔으로 직접 환산하는 비율이 주어지지 않으면 달러를 경유하고, 경유하는 동안 두 환율이 곱해진다. 미분도 같은 구조다. $x$ 에서 $y$ 로 가는 변화율이 직접 주어지지 않으면 중간 변수 $u$ 를 경유한다. **이름 붙이기.** 합성함수 $y = f(g(x))$ 는 속함수에 이름을 붙이면 두 층으로 분리된다. $$y = f(g(x)) \quad \Longrightarrow \quad u = g(x), \quad y = f(u)$$ **라이프니츠 표기.** 변화율의 곱은 이 표기로 다음과 같이 쓰인다. $$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$$ $y$ 가 $u$ 에 대해 변하는 비율에, $u$ 가 $x$ 에 대해 변하는 비율을 곱한다. 톱니바퀴의 배율 관계와 같은 형태다. $du$ 가 분자와 분모에 나타나 **약분되는 것처럼** 보이지만, 이 식은 분수가 아니다. $dy$ 와 $du$ 는 각각 독립적인 수가 아니라 $\dfrac{dy}{dx}$ 라는 하나의 기호를 이루는 부분이다. 따라서 이것은 약분이 아니다. 다만 **기억을 돕는 표기로서는 유효하다.** 라이프니츠가 이 표기를 이렇게 설계한 이유가 여기에 있다. 약분하는 형태로 기억해도 무방하나, 약분한다는 사실이 증명이 되지는 않는다. **곱이 되는 이유.** $d$ 대신 $\Delta$ 로 쓰면 이것은 **실제 분수**가 된다. $\Delta u$ 는 "$u$ 가 실제로 움직인 양"이라는 하나의 수이기 때문이다. $$\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{\Delta y}{\Delta u} \cdot \frac{\Delta u}{\Delta x}$$ 오른쪽을 곱하면 $\Delta u$ 가 분자와 분모에 있는 **실제 수**이므로 약분되어 왼쪽이 된다. 여기까지는 분수 계산이며 아직 미분이 아니다. 이제 $\Delta x$ 를 $0$ 으로 보낸다. $u$ 는 $x$ 를 따라 움직이므로 $\Delta u$ 도 함께 $0$ 으로 간다. 그러면 세 조각이 각각 도함수가 된다. $$\frac{\Delta y}{\Delta x} \to \frac{dy}{dx}, \qquad \frac{\Delta y}{\Delta u} \to \frac{dy}{du}, \qquad \frac{\Delta u}{\Delta x} \to \frac{du}{dx}$$ 등식은 극한을 취해도 유지된다. **따라서 곱의 형태가 남는다.** 약분은 $\Delta$ 단계에서 실제로 일어난 연산이고, $d$ 로 쓴 식은 그 결과를 기록한 것이다. (엄밀하게는 $\Delta x \ne 0$ 인데도 $\Delta u = 0$ 이 되는 경우, 곧 속함수의 값이 순간적으로 변하지 않는 지점에 대한 추가 논의가 필요하다. 그 논의를 거쳐도 결론은 동일하다.) **5단계 절차.** 숙달되면 1번과 5번은 암산으로 처리하지만, 절차가 정착될 때까지는 다섯 단계를 모두 기록한다. 1. 속에 $u$ 라는 이름을 붙인다. 2. 겉을 $u$ 로 미분한다. 3. 속을 $x$ 로 미분한다. 4. 둘을 곱한다. 5. $u$ 를 원래 식으로 되돌린다. 각 문항에서 "겉 미분, 속 미분"이라는 절차를 소리 내어 확인한다. 절차를 명시적으로 반복하면 속 미분을 누락하는 오류가 크게 줄어든다. **예제 1 — 연쇄법칙의 결과 검증.** $y = (2x+1)^2$ 을 두 방법으로 미분해 비교한다. $$u = 2x+1, \quad y = u^2$$ $$\frac{dy}{du} = 2u, \qquad \frac{du}{dx} = 2$$ $$\frac{dy}{dx} = 2u \cdot 2 = 4u = 4(2x+1) = 8x+4$$ 전개한 뒤 미분하면 다음과 같다. $$y = (2x+1)^2 = 4x^2+4x+1 \quad \Longrightarrow \quad y' = 8x+4$$ 두 결과가 일치한다. **세 비를 수치로 확인한다.** 앞의 $\Delta$ 논의를 이 함수에서 수치로 확인할 수 있다. $x=1$ 에서 $\Delta x = 0.01$ 만큼 움직인 경우를 계산한다. | 재는 것 | 계산 | 값 | |---|---|---| | $\Delta u$ | $u(1.01) - u(1) = 3.02 - 3$ | $0.02$ | | $\Delta y$ | $y(1.01) - y(1) = 3.02^2 - 3^2 = 9.1204 - 9$ | $0.1204$ | | $\dfrac{\Delta u}{\Delta x}$ | $0.02 \div 0.01$ | $2$ | | $\dfrac{\Delta y}{\Delta u}$ | $0.1204 \div 0.02$ | $6.02$ | | $\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ | $0.1204 \div 0.01$ | $12.04$ | $6.02 \times 2 = 12.04$ 이고, 이는 마지막 행과 정확히 일치한다. 근사가 아니라 등식이 성립한다. $\Delta$ 단계에서는 실제 분수이므로 약분이 성립하기 때문이다. 또한 $\Delta x$ 를 더 줄이면 $12.04$ 는 연쇄법칙이 준 도함수 $8x+4$ 의 $x=1$ 에서의 값, 곧 $12$ 로 수렴한다. 연쇄법칙은 **전개해서 미분한 결과를 더 짧은 경로로 얻는 방법**이다. 전개가 가능한 식이면 전개해서 결과를 검산할 수 있다. 속 미분을 누락하면 $2(2x+1) = 4x+2$ 가 되는데, 이는 정답의 **절반**이다. 속 미분 $2$ 를 곱하지 않아 값이 정확히 두 배 어긋난다. 이 오류는 이러한 배수 관계로 드러난다. **예제 2.** $y = (x^2+3)^4$ $$u = x^2+3, \quad y = u^4$$ $$\frac{dy}{du} = 4u^3, \qquad \frac{du}{dx} = 2x$$ $$\frac{dy}{dx} = 4u^3 \cdot 2x = 8x(x^2+3)^3$$ $u$ 를 원래 식으로 되돌리지 않으면 답에 $u$ 가 남는다. 5단계 절차의 마지막 항목이 이 과정이다. 답에 $u$ 가 남아 있으면 계산이 완료되지 않은 것이다. **예제 3.** $y = (2x+1)^5$ $$\frac{dy}{dx} = 5(2x+1)^4 \cdot 2 = 10(2x+1)^4$$ $(2x+1)^5$ 을 전개하면 항이 여섯 개이고, 미분하면 다섯 개이며, 이를 다시 묶어야 $10(2x+1)^4$ 이 된다. 연쇄법칙은 이 과정을 한 줄로 대체한다. ## 삼각함수의 도함수는 그래프에서 읽는다 $\sin x$, $\cos x$ 의 도함수는 암기 대상이 아니라 그래프에서 읽어내는 값이다. $y = \sin x$ 를 한 주기 그리고, 가로축은 라디안으로만 표기한다. ```{image} /_static/figs/ch29_sincos.svg :alt: sin과 cos 그래프 :width: 560px :align: center :class: chfig ``` 네 지점에서 접선을 그어 기울기를 읽으면 다음과 같다. | $x$ | $0$ | $\pi/2$ | $\pi$ | $3\pi/2$ | $2\pi$ | |---|---|---|---|---|---| | $\sin x$ 의 접선 기울기 | $1$ | $0$ | $-1$ | $0$ | $1$ | | $\cos x$ | $1$ | $0$ | $-1$ | $0$ | $1$ | 두 행의 값이 일치한다. $\sin$ 의 접선 기울기를 모으면 $\cos$ 이 된다. $$(\sin x)' = \cos x \qquad (\cos x)' = -\sin x$$ $\cos$ 의 도함수에는 음의 부호가 붙는다. $\cos$ 은 $x=0$ 부근에서 **감소**하므로 기울기가 음수이기 때문이며, 그래프에서 확인된다. 부호는 암기하지 않아도 $\cos$ 그래프가 $x=0$ 이후 감소한다는 사실에서 결정된다. ## 지수와 로그의 도함수 — $e$ 가 특별한 이유 지수함수의 도함수를 수치로 먼저 확인한다. 다음은 $x=0$ 에서의 기울기를 차분몫으로 계산한 표다. | $h$ | $\dfrac{2^h-1}{h}$ | $\dfrac{e^h-1}{h}$ | $\dfrac{3^h-1}{h}$ | |---|---|---|---| | $0.1$ | $0.7177346$ | $1.0517092$ | $1.1612317$ | | $0.01$ | $0.6955550$ | $1.0050167$ | $1.1046692$ | | $0.001$ | $0.6933875$ | $1.0005002$ | $1.0992160$ | | 극한 | $0.6931472$ | $\mathbf{1}$ | $1.0986123$ | 이 표는 **$x=0$ 한 점**의 기울기만 계산한 것이다. 이 한 점의 값이 함수 전체의 도함수를 결정하는 이유는 정의를 전개하면 드러난다. $$(a^x)' = \lim_{h\to0}\frac{a^{x+h}-a^x}{h} = \lim_{h\to0}\frac{a^x(a^h-1)}{h} = a^x \cdot \lim_{h\to0}\frac{a^h-1}{h}$$ 가운데 단계에서 사용한 것은 지수법칙 $a^{x+h} = a^x a^h$([제12장](../part2/ch12.md)) 하나뿐이다. 그다음 $a^x$ 은 $h$ 와 무관한 인수이므로 극한 밖으로 나온다. 남은 $\lim_{h\to0}\dfrac{a^h-1}{h}$ 이 위 표가 계산한 값, 곧 **$x=0$ 에서의 기울기**다. 따라서 **원점 한 점의 기울기가 모든 점의 기울기를 결정한다.** 지수함수의 도함수는 항상 자기 자신에 그 상수 하나가 곱해진 형태다. $2^x$ 를 미분하면 자기 자신에 $0.693\ldots$ 이라는 상수가 붙는다. $3^x$ 에는 $1.098\ldots$ 이 붙는다. 밑이 커지면 상수도 커진다. 따라서 **상수가 정확히 $1$ 이 되는 밑**이 $2$ 와 $3$ 사이에 존재한다. 그 수가 $e = 2.71828\ldots$ 이다. $$(e^x)' = e^x$$ $e$ 는 **지수함수의 도함수에 붙는 상수를 $1$ 로 만드는 밑**이다. 수학과 물리에서 $e$ 를 표준으로 채택하는 이유가 여기에 있다. 이 장 후반에서 각도 단위에 대해 같은 구조가 다시 나타난다. $\ln x$ 는 $e^x$ 의 역함수다. 역함수의 그래프는 $y=x$ 에 대한 대칭이고, 대칭시키면 기울기는 역수가 된다. **단, 같은 $x$ 에서가 아니라 서로 대응하는 두 점에서 그렇다.** 이 조건을 빠뜨리면 오류가 발생한다 — $(e^x)'=e^x$ 이므로 "역수"를 같은 $x$ 에서 적용해 $(\ln x)' = \dfrac{1}{e^x}$ 이라고 쓰는 것이 그 예이며, 이는 틀린 식이다. 대응 관계는 다음과 같다. $e^x$ 의 점 $(0,1)$ 을 $y=x$ 에 대해 대칭시키면 $\ln x$ 의 점 $(1,0)$ 이 된다. $e^x$ 는 $(0,1)$ 에서 기울기가 $1$ 이고, $\ln x$ 는 $(1,0)$ 에서 기울기가 $1$ 이다. 역수 관계가 성립하는 것은 이렇게 **대응하는 두 점 사이**에서다. 연쇄법칙을 쓰면 이 관계는 세 줄로 유도된다. $y = \ln x$ 로 놓으면 정의에 의해 $$e^y = x$$ 이다. 양변을 $x$ 로 미분한다. 왼쪽은 겉이 $e^{(\ )}$, 속이 $y$ 인 합성함수이므로 연쇄법칙에 따라 겉 미분에 속 미분을 곱하고, 오른쪽 $x$ 의 미분은 $1$ 이다. $$e^y \cdot \frac{dy}{dx} = 1 \qquad \Longrightarrow \qquad \frac{dy}{dx} = \frac{1}{e^y}$$ 마지막으로 $e^y = x$ 를 대입한다. 첫 줄에서 그렇게 놓았으므로 그대로 치환하면 된다. $$(\ln x)' = \frac{1}{x} \quad (x>0)$$ 유도 결과는 다음 문장으로 요약된다 — **미분해서 $\dfrac{1}{x}$ 이 되는 함수가 $\ln x$ 다.** 적분에서 이 관계를 역방향으로 사용한다. 네 개를 한자리에 모으면 다음과 같다. $$(\sin x)' = \cos x \qquad (\cos x)' = -\sin x \qquad (e^x)' = e^x \qquad (\ln x)' = \frac{1}{x}$$ 새 규칙은 기존 규칙을 대체하지 않고 누적된다. ## 연쇄법칙과 초월함수의 결합 연쇄법칙을 초월함수에 적용한다. 도입에서 제시한 오류로 돌아간다. $\sin 3x$ 는 속이 $3x$, 겉이 사인이다. $$u = 3x, \quad \frac{du}{dx} = 3 \quad \Longrightarrow \quad (\sin 3x)' = \cos(3x) \cdot 3 = 3\cos 3x$$ 누락되었던 $3$ 이 속 미분이다. 속이 $3x^2$ 인 경우는 다음과 같다. $$u = 3x^2, \quad \frac{du}{dx} = 6x \quad \Longrightarrow \quad (\sin(3x^2))' = \cos(3x^2) \cdot 6x = 6x\cos(3x^2)$$ 겉인 사인을 미분해 $\cos(3x^2)$ 을 쓰고, 뒤에 속 미분 $6x$ 를 곱한다. 지수함수도 같은 절차를 따른다. $$u = 2x, \quad \frac{du}{dx} = 2 \quad \Longrightarrow \quad (e^{2x})' = e^{2x} \cdot 2 = 2e^{2x}$$ $e^{2x}$ 의 도함수는 $e^{2x}$ 가 아니다. 앞에 속 미분 $2$ 가 붙어 $2e^{2x}$ 이다. 이 $2$ 의 누락이 이 장에서 가장 빈번한 오류다. 로그도 같은 방식이며, 결과를 로그 성질로 검산할 수 있다. $$(\ln 3x)' = \frac{1}{3x} \cdot 3 = \frac{1}{x}$$ $\ln 3x$ 와 $\ln x$ 의 도함수가 같다. $\ln 3x = \ln 3 + \ln x$ 이고 $\ln 3$ 은 상수이므로 미분하면 $0$ 이기 때문이다. 로그 성질이 답을 검산해 준다. **서로 다른 두 경로가 같은 답을 주면 계산이 일관된 것이다.** 여기서 반드시 구분해야 할 표기가 있다. $\sin^2 x$ 와 $\sin(x^2)$ 은 표기가 비슷하지만 겉과 속이 서로 뒤바뀐 서로 다른 함수다. $$\sin^2 x = (\sin x)^2 \quad \text{“사인 엑스를 제곱”} \qquad \sin(x^2) \quad \text{“엑스 제곱의 사인”}$$ $\sin^2 x = (\sin x)^2$ 은 겉이 제곱, 속이 $\sin x$ 다. $$(\sin^2 x)' = 2\sin x \cdot \cos x = 2\sin x\cos x$$ $\sin(x^2)$ 은 겉이 사인, 속이 $x^2$ 다. $$(\sin(x^2))' = \cos(x^2) \cdot 2x = 2x\cos(x^2)$$ 표기가 유사할 뿐 서로 다른 두 함수다. $\sin^2 x$ 는 $(\sin x)^2$ 의 축약 표기이므로, 미분하기 전에 $(\sin x)^2$ 으로 고쳐 쓰면 혼동이 발생하지 않는다. ## 라디안을 쓰는 이유 [제23장](ch23.md)에서 예고한 내용을 여기서 다룬다. $(\sin x)' = \cos x$ 라는 식이 성립하는 근거를 도함수의 정의에서 확인한다. $$(\sin x)' = \lim_{h \to 0} \frac{\sin(x+h) - \sin x}{h}$$ 여기에 덧셈정리 $\sin(x+h) = \sin x \cos h + \cos x \sin h$ 를 도구로 사용한다. (이 식은 단위원에서 유도되며, 여기서는 증명 없이 도구로만 사용한다.) $$\frac{\sin x \cos h + \cos x \sin h - \sin x}{h} = \sin x \cdot \frac{\cos h - 1}{h} + \cos x \cdot \frac{\sin h}{h}$$ $h$ 를 $0$ 으로 보낸다. 앞의 $\dfrac{\cos h - 1}{h}$ 는 $0$ 으로 수렴한다. 그러면 $\cos x$ 와 $\dfrac{\sin h}{h}$ 의 곱이 남는다. 따라서 $(\sin x)' = \cos x$ 가 성립하려면 다음 조건 하나가 필요하다. $$\lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} = 1$$ 이 극한이 $1$ 이어야 한다. $1$ 이 아니면 그 값이 무엇이든 **모든 삼각함수 미분 공식 앞에 그 상수가 붙는다.** 그런데 이 극한값은 $\sin h$ 의 $h$ 를 **어떤 단위로 읽느냐**에 따라 달라진다. 같은 $\sin(0.001)$ 을 계산기에 입력해도 모드에 따라 결과가 다르다. $$\text{RAD 모드: } \sin(0.001) = 0.00099999983\ldots$$ $$\text{DEG 모드: } \sin(0.001) = 0.0000174533\ldots$$ 이는 계산기의 오작동이 아니라, $0.001$ 이라는 값을 라디안으로 읽었는지 degree로 읽었는지의 차이다. $\dfrac{\sin h}{h}$ 를 두 단위로 각각 계산하면 다음과 같다. | $h$ | $\dfrac{\sin h}{h}$ (라디안으로 읽을 때) | $\dfrac{\sin h}{h}$ (degree로 읽을 때) | |---|---|---| | $1$ | $0.84147098$ | $0.01745241$ | | $0.1$ | $0.99833417$ | $0.01745328$ | | $0.01$ | $0.99998333$ | $0.01745329$ | | $0.001$ | $0.99999983$ | $0.01745329$ | | $h \to 0$ | $\mathbf{1}$ | $\dfrac{\pi}{180} = 0.01745329\ldots$ | 왼쪽 열은 $1$ 로 수렴한다. 오른쪽 열은 $0.01745\ldots$ 로 수렴한다. 그 값은 $\dfrac{\pi}{180}$, 곧 degree를 라디안으로 바꾸는 환산상수다. 이는 단위 환산에서 예상되는 결과다. degree로 측정하면 $h$ 라는 값이 실제로는 $\dfrac{\pi h}{180}$ 라디안이므로, 나눗셈에 그 비율이 그대로 남는다. **각도의 단위를 바꾸면 변화율이 그 배율만큼 전체적으로 스케일된다.** degree를 사용하면 미분 공식은 다음 형태가 된다. $$\text{degree를 쓰면: } (\sin x)' = \frac{\pi}{180}\cos x \approx 0.0174533\cos x$$ $$(\cos x)' = -\frac{\pi}{180}\sin x$$ $$(\sin x)'' = -\left(\frac{\pi}{180}\right)^2 \sin x \approx -0.000304617\sin x$$ 두 번 미분하면 상수가 제곱되고, 세 번 미분하면 세제곱된다. 미분할 때마다 상수가 하나씩 추가된다. 물리 방정식을 세울 때마다 $\dfrac{\pi}{180}$ 을 여러 개 유지해야 한다는 뜻이다. 라디안을 쓰면 그 상수가 모두 $1$ 이 되어 식에서 사라진다. $$\text{라디안은 } \lim_{h \to 0}\frac{\sin h}{h} \text{ 를 } 1 \text{ 로 만드는 단위다}$$ $360$ 이라는 분할은 바빌로니아에서 유래한 규약이며, 일 년이 약 $360$ 일이라는 관측에 근거한다. 인위적으로 정한 값이므로 자연에는 대응하는 근거가 없다. 라디안은 다르다. **반지름 하나를 호 위에 얹어 정의한 각**, 곧 원 자신의 길이로 정의한 각이다. 그래서 미분 계산에서 환산상수가 남지 않는다. 이는 앞의 $e$ 와 정확히 같은 구조다. $e$ 는 지수함수의 도함수에 붙는 상수를 $1$ 로 만드는 밑이고, 라디안은 삼각함수의 도함수에 붙는 상수를 $1$ 로 만드는 각도 단위다. 수학에서 이 수와 이 단위를 표준으로 채택하는 이유는 미학이 아니라 도함수에 불필요한 상수가 남지 않도록 하기 위해서다. ## 빈번한 오류 :::{admonition} 속을 미분하는 것을 잊는다 :class: warning $(\sin 3x)' = \cos 3x$, $(e^{2x})' = e^{2x}$, $((2x+1)^5)' = 5(2x+1)^4$ 처럼 겉만 미분하고 계산을 끝내는 오류다. 연쇄법칙에서 발생하는 오류의 대부분이 이 형태다. 앞에서 배운 규칙이 모두 **한 단계로 끝나는** 형태였기 때문에, 합성함수의 두 번째 단계가 누락된다. 대응 방법은 절차를 명시화하는 것이다 — 매 문항에서 "겉 미분, 속 미분"을 소리 내어 말하며 다섯 단계를 기록한다. *확인 문제*: $(\cos 4x)'$ 와 $(e^{5x})'$. (답: $-4\sin 4x$, $5e^{5x}$. 둘 다 앞에 상수가 나와야 한다.) ::: :::{admonition} degree와 라디안을 섞는다 :class: warning 계산기가 DEG 모드인 상태에서 $\sin\dfrac{\pi}{2}$ 를 계산해 $0.0274$ 와 같은 값을 얻거나, $(\sin x)' = \cos x$ 를 쓰면서 $x$ 에 $30$ 을 대입하는 오류다. 이전 학습 과정에서 degree만 사용했기 때문에 degree를 기본 단위로 가정하는 데서 발생한다. 삼각함수는 **단위를 지정하지 않으면 값이 정해지지 않는다.** 이는 계산 실수가 아니라 정보 누락이다. 미적분에서는 예외 없이 라디안을 사용하고, $30^\circ$ 가 주어지면 즉시 $\dfrac{\pi}{6}$ 으로 바꾸어 적는다. *확인 문제*: $(\sin x)' = \cos x$ 라고 쓸 때 $x$ 의 단위는? 그리고 $x = 60^\circ$ 에서의 기울기는? (답: 라디안. $\cos\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2}$.) ::: :::{admonition} $\sin^2 x$ 와 $\sin(x^2)$ 을 같은 것으로 본다 :class: warning 두 함수의 도함수를 모두 $2x\cos x$ 형태로 쓰거나, $\sin^2 x$ 를 $\sin(x^2)$ 으로 읽는 오류다. $\sin^2 x$ 는 $(\sin x)^2$ 을 줄여 쓴 관습적 표기이며, 이 사실이 명시되지 않은 채 사용되는 경우가 많다. $(\sin x)^2$ 은 겉이 제곱·속이 $\sin x$ 이고, $\sin(x^2)$ 은 겉이 $\sin$·속이 $x^2$ 이다. 겉과 속이 서로 뒤바뀐 두 함수다. $\sin^2 x$ 는 $(\sin x)^2$ 으로 고쳐 쓴 뒤 미분한다. *확인 문제*: $(\cos^2 x)'$ 와 $(\cos(x^2))'$. (답: $-2\sin x\cos x$, $-2x\sin(x^2)$.) ::: :::{admonition} 거듭제곱 규칙을 $e^x$ 에도 쓴다 :class: warning $(e^x)' = xe^{x-1}$ 또는 $(2^x)' = x \cdot 2^{x-1}$ 이라고 쓰는 오류다. $(x^n)' = nx^{n-1}$ 을 오래 사용했고 "밑과 지수"라는 외형이 동일하기 때문에 같은 규칙이 적용된다. 그러나 $x^3$ 은 밑이 변하고 지수가 고정된 **거듭제곱함수**, $3^x$ 은 밑이 고정되고 지수가 변하는 **지수함수**로 서로 다른 종류의 함수다. 미분하기 전에 $x$ 의 위치를 먼저 확인한다. 밑에 있으면 거듭제곱 규칙, 지수에 있으면 지수함수 규칙을 적용한다. *확인 문제*: $(x^5)'$ 과 $(e^{5x})'$. (답: $5x^4$, $5e^{5x}$. 두 답의 형태가 서로 다르다.) ::: ## 연습문제 매 문항에서 "겉 미분, 속 미분"을 소리 내어 확인하며 풀면 속 미분 누락 오류가 줄어든다. `A` 기본 · `B` 표준 · `C` 도전. 1. `A` 미분하라. (1) $(4x+1)^3$ (2) $(x^2+5)^4$ (3) $(1-2x)^6$ 2. `A` 미분하라. (1) $\sin 5x$ (2) $\cos 3x$ (3) $e^{4x}$ 3. `A` 미분하라. (1) $\ln 2x$ (2) $e^{-3x}$ (3) $\sin(x^2)$ 4. `A` $(2x-1)^2$ 을 **두 가지 방법**으로 미분하고 결과가 같은지 확인하라. (가) 연쇄법칙 (나) 전개 후 미분 5. `A` 미분하지 말고, 각각의 **속 $u$ 와 겉함수**만 쓰라. (1) $(2x+5)^7$ (2) $\sin(x^3)$ (3) $e^{1-x}$ 6. `B` 미분하라. (1) $\sqrt{3x+1}$ (2) $\dfrac{1}{(x+2)^3}$ 7. `B` 미분하라. (1) $x^2e^{3x}$ (2) $e^x\sin x$ 8. `B` 두 개를 나란히 미분하고, 무엇이 다른지 한 줄로 쓰라. (1) $\sin^2 x$ (2) $\sin(x^2)$ 9. `B` $\ln(x^2+1)$ 을 미분하라. 10. `B` $e^{\sin x}$ 을 미분하라. 11. `B` 어떤 배양접시의 세균 수가 $N(t) = 100e^{0.5t}$ 마리다($t$ 는 시간). $t=0$ 과 $t=2$ 에서 **증가 속도**(시간당 마리 수)를 각각 구하라. 12. `B` 관람차의 높이가 $h(t) = 20 - 15\cos\left(\dfrac{\pi}{30}t\right)$ 미터다($t$ 는 초, 각도는 라디안). $t=15$ 초일 때 상승 속도(초당 미터)를 구하라. 13. `C` 미분하라. (1) $e^{\cos 2x}$ (2) $\ln(\sin x)$ 14. `C` 어떤 학생이 $(\sin 3x)' = \cos 3x$ 라고 썼다. **무엇을 빠뜨렸는지** 한 문장으로 지적하고 정답을 쓰라. :::{admonition} 정답과 해설 :class: dropdown 1. (1) $12(4x+1)^2$ (2) $8x(x^2+5)^3$ (3) $-12(1-2x)^5$ — (3)의 속 미분 $-2$ 를 $+2$ 로 쓰면 부호가 반대가 된다. 2. (1) $5\cos 5x$ (2) $-3\sin 3x$ (3) $4e^{4x}$ — 세 개 모두 속이 $(\text{상수}) \times x$ 이므로 그 상수가 앞에 나온다. 3. (1) $\dfrac{1}{x}$ — $\dfrac{1}{2x}\cdot 2$. $\ln 2x = \ln 2 + \ln x$ 로도 확인된다. (2) $-3e^{-3x}$ (3) $2x\cos(x^2)$ 4. (가) $2(2x-1)\cdot 2 = 8x-4$. (나) $4x^2-4x+1$ 을 미분하면 $8x-4$. **같다.** 연쇄법칙이 전개 후 미분의 축약임을 직접 확인하는 문항이다. 5. (1) $u = 2x+5$, 겉은 7제곱 (2) $u = x^3$, 겉은 $\sin$ (3) $u = 1-x$, 겉은 $e^{(\ )}$ — 분해가 정확하면 나머지는 기계적으로 따라온다. 6. (1) $\dfrac{3}{2\sqrt{3x+1}}$ — $(3x+1)^{1/2}$ 로 고쳐서 $\dfrac{1}{2}(3x+1)^{-1/2}\cdot 3$. (2) $-\dfrac{3}{(x+2)^4}$ — $(x+2)^{-3}$ 으로 고쳐서 $-3(x+2)^{-4}\cdot 1$. 7. (1) $2xe^{3x} + 3x^2e^{3x} = xe^{3x}(3x+2)$ — 곱의 법칙 안에 연쇄법칙이 포함된다. (2) $e^x\sin x + e^x\cos x = e^x(\sin x + \cos x)$ 8. (1) $2\sin x\cos x$ (2) $2x\cos(x^2)$. 차이: (1)은 겉이 제곱·속이 $\sin x$, (2)는 겉이 $\sin$·속이 $x^2$. **겉과 속이 서로 뒤바뀐 두 함수다.** 표기가 유사할 뿐 서로 다른 함수다. 9. $\dfrac{2x}{x^2+1}$ 10. $e^{\sin x}\cos x$ — 빈번한 오류는 $e^{\cos x}$ 라고 쓰는 것이다. 지수 자리를 미분해 대체하는 것이 아니라, $e^{(\text{속})}$ 는 그대로 두고 **뒤에 속 미분을 곱한다.** 11. $N'(t) = 50e^{0.5t}$. $t=0$: **시간당 $50$ 마리.** $t=2$: $50e \approx 135.9$, 즉 **시간당 약 $136$ 마리.** 두 시간 동안 증가 속도가 $2.7$ 배가 되었다. 지수 증가에서는 "값"뿐 아니라 **"증가 속도"도 같은 비율로** 커진다. 12. $h'(t) = 15 \cdot \sin\left(\dfrac{\pi}{30}t\right) \cdot \dfrac{\pi}{30} = \dfrac{\pi}{2}\sin\left(\dfrac{\pi}{30}t\right)$. $t=15$ 이면 $\dfrac{\pi}{30}\cdot 15 = \dfrac{\pi}{2}$ 이고 $\sin\dfrac{\pi}{2} = 1$ 이므로 $h'(15) = \dfrac{\pi}{2} \approx 1.57$, **초당 약 $1.57$ 미터.** 이 관람차는 한 바퀴에 $60$ 초가 걸리고 $t=15$ 는 측면(높이 $20$ m)을 지나는 순간이며, 상승 속도가 최대인 지점이다. **degree로 계산하면 답이 $\dfrac{\pi}{180}$ 배로 어긋난다.** 13. (1) $-2\sin(2x)\,e^{\cos 2x}$ — 삼중 합성이다. 겉($e$), 중간($\cos$), 속($2x$)을 순서대로 곱한다. (2) $\dfrac{\cos x}{\sin x}$ 14. **속 미분 $3$ 을 빠뜨렸다.** 정답은 $3\cos 3x$. 확인 방법: $x$ 가 조금 변하면 $3x$ 는 세 배로 변하므로 변화율도 세 배가 된다. ::: ### 추가 연습문제 숙달될 때까지는 모든 문항에서 5단계 중 2번과 3번을 따로 적고 곱한다. **다항식 연쇄법칙** 1. $(3x-4)^2$ — 전개해서도 미분하고 두 답을 비교하라 2. $(x^2+1)^5$ 3. $(2x+7)^4$ 4. $(1-x)^3$ 5. $(x^3+2x)^2$ 6. $\sqrt{2x+1}$ 7. $\dfrac{1}{3x+1}$ **삼각·지수·로그 + 연쇄** 8. $\sin 4x$ 9. $\cos(2x+1)$ 10. $e^{5x}$ 11. $e^{-2x}$ 12. $\ln 4x$ 13. $\ln(x^3)$ 14. $\sin(x^2+1)$ **곱·몫의 법칙과 섞기** 15. $x\sin x$ 16. $x^2e^x$ 17. $e^{2x}\cos x$ 18. $\dfrac{\sin x}{x}$ 19. $\cos^2 x$ 20. $\ln(\cos x)$ 21. $e^{x^2}$ **문장제 · 설명 문항** 22. 뜨거운 커피가 식는다. $t$ 분 뒤 온도가 $T(t) = 20 + 60e^{-0.05t}$ 섭씨도다. (1) 처음 온도는? (2) $T'(t)$ 를 구하라. (3) $t=0$ 과 $t=20$ 에서 온도가 분당 몇 도씩 떨어지는가? (4) 시간이 지날수록 식는 속도는 빨라지는가 느려지는가? 23. 진자가 $x(t) = 0.5\cos 2t$ 미터 위치에 있다($t$ 는 초, 각도는 라디안). (1) 속도 $x'(t)$ 를 구하라. (2) $t = \dfrac{\pi}{4}$ 초일 때 속도는? 24. 어떤 학생이 $(\sin 3x)' = \cos 3x$ 라고 썼다. 무엇을 빠뜨렸는지, 그리고 왜 그것이 필요한지 **두 문장**으로 쓰라. 25. 라디안 대신 degree를 쓰면 $(\sin x)'$ 이 무엇이 되는지 쓰고, 왜 그런 상수가 붙는지 **한 문장**으로 설명하라. (선택) 3Blue1Brown의 *Essence of Calculus* 4화는 연쇄법칙과 곱의 법칙의 시각적 직관을 다룬다. 보고 나서, 영상이 연쇄법칙을 "두 개의 작은 변화를 이어 붙인 것"으로 설명하는 방식이 이 장의 톱니바퀴 그림과 어떻게 같은 이야기인지 두 문장으로 써 보라. :::{admonition} 정답과 해설 :class: dropdown 1. $6(3x-4) = 18x-24$ — 전개: $9x^2-24x+16$, 미분: $18x-24$. **같다.** 2. $10x(x^2+1)^4$ 3. $8(2x+7)^3$ 4. $-3(1-x)^2$ — 속 미분이 $-1$ 이다. 부호를 놓치기 쉽다. 5. $2(x^3+2x)(3x^2+2)$ — 전개해서 확인하면 $6x^5+16x^3+8x$. 어느 형태로 써도 정답이다. 6. $\dfrac{1}{\sqrt{2x+1}}$ — $\dfrac{1}{2}(2x+1)^{-1/2}\cdot 2$ 에서 $2$ 가 약분된다. 7. $-\dfrac{3}{(3x+1)^2}$ — $(3x+1)^{-1}$ 로 고치면 연쇄법칙만으로 계산된다. 몫의 법칙을 써도 같은 답이다. 8. $4\cos 4x$ 9. $-2\sin(2x+1)$ 10. $5e^{5x}$ 11. $-2e^{-2x}$ 12. $\dfrac{1}{x}$ — 빈번한 오류는 $\dfrac{1}{4x}$ 라고 쓰고 멈추는 것이다. 속 미분 $4$ 를 곱하면 $\dfrac{4}{4x} = \dfrac{1}{x}$. 13. $\dfrac{3}{x}$ — $\dfrac{1}{x^3}\cdot 3x^2$. 또는 $\ln(x^3) = 3\ln x$ 로 먼저 고쳐도 된다. 두 경로가 같은 답을 준다. 14. $2x\cos(x^2+1)$ 15. $\sin x + x\cos x$ 16. $2xe^x + x^2e^x = xe^x(x+2)$ 17. $2e^{2x}\cos x - e^{2x}\sin x = e^{2x}(2\cos x - \sin x)$ — 곱의 법칙 안에 연쇄법칙이 포함된다. 18. $\dfrac{x\cos x - \sin x}{x^2}$ 19. $-2\sin x\cos x$ — $(\cos x)^2$ 이다. 겉은 제곱, 속은 $\cos x$, 속 미분은 $-\sin x$ 이다. 20. $-\dfrac{\sin x}{\cos x}$ 21. $2xe^{x^2}$ — 빈번한 오류는 $e^{2x}$ 라고 쓰는 것이다. 지수는 그대로 두고 뒤에 속 미분을 곱한다. 22. (1) $T(0) = 80$ 도. (2) $T'(t) = -3e^{-0.05t}$. (3) $t=0$: 분당 $3$ 도씩 하강. $t=20$: $-3e^{-1} \approx -1.10$, 즉 분당 약 $1.10$ 도씩 하강. (4) **느려진다.** $e^{-0.05t}$ 가 계속 작아지므로 식는 속도의 크기도 계속 줄어든다. 실제로 커피는 처음에 빠르게 식고 이후에는 천천히 식는다. 계산 결과가 관측과 일치한다. 23. (1) $x'(t) = -0.5 \cdot \sin 2t \cdot 2 = -\sin 2t$. (2) $t=\dfrac{\pi}{4}$ 이면 $2t = \dfrac{\pi}{2}$, $\sin\dfrac{\pi}{2} = 1$ 이므로 **초당 $-1$ 미터.** 음수는 운동 방향이 반대임을 뜻한다. 24. 예시 답안: "속함수 $3x$ 의 미분인 $3$ 을 곱하지 않았다. 정답은 $3\cos 3x$ 다. $x$ 가 조금 변할 때 $3x$ 는 그 세 배로 변하므로, 변화율도 세 배가 되어야 하기 때문이다." 25. $(\sin x)' = \dfrac{\pi}{180}\cos x$. 예시 답안: "$\lim_{h\to 0}\dfrac{\sin h}{h}$ 가 라디안에서는 $1$ 이지만 degree로 재면 $\dfrac{\pi}{180}$ 이 되고, 그 값이 도함수 앞에 그대로 남기 때문이다." ::: ## 요약과 다음 장 이 장의 핵심은 한 문장이다. **겉 미분 곱하기 속 미분.** 합성함수는 단계가 두 개이므로 미분도 두 개다. $\sin(3x^2)$ 의 도함수가 $6x\cos(3x^2)$ 이고 $e^{2x}$ 의 도함수가 $2e^{2x}$ 인 것도, 앞의 상수가 속 미분이라는 같은 사실의 결과다. 이 상수의 누락이 이 단원에서 가장 빈번한 오류다. 여기에 네 개의 새 도함수를 추가했다 — $(\sin x)' = \cos x$, $(\cos x)' = -\sin x$, $(e^x)' = e^x$, $(\ln x)' = \dfrac{1}{x}$. 이들은 암기한 것이 아니라 그래프와 수치표에서 읽어낸 결과다. 그리고 [제23장](ch23.md)에서 예고한 내용을 확인했다. $\lim_{h\to0}\dfrac{\sin h}{h} = 1$ 은 라디안일 때만 성립하며, 이것이 $(\sin x)' = \cos x$ 를 상수 없는 형태로 만든다. 라디안과 $e$ 는 같은 종류의 선택 — 도함수에 붙는 상수를 $1$ 로 만드는 단위와 수다. 여기까지가 **미분의 계산법**이다. [제30장](ch30.md)에서는 **미분의 활용**을 다룬다. 첫 번째 활용은 그래프다. 이전에는 점을 여러 개 계산해 이어 그리던 곡선을 도함수 하나로 그린다. 증가 구간과 극값의 위치를 도함수가 결정한다.