# 제42장 · 쌓임과 잉여 — 총량은 적분이다

:::{admonition} 이 장
:class: seealso

| | |
|---|---|
| **사용 도구** | [제32장](../part3/ch32.md) 적분의 도입 · [제33장](../part3/ch33.md) FTC · [제34장](../part3/ch34.md) 치환적분 · [제35장](../part3/ch35.md) 두 곡선 사이 넓이 · [제39장](ch39.md) 할인 · [제41장](ch41.md) 한계 |
| **선행 내용** | [제41장](ch41.md) — 변화와 한계 |
| **요지** | 흐름을 시간이나 수량에 대해 쌓으면 총량이 되고, 곡선과 곡선 사이에 남는 넓이가 곧 **이득**이다. |
:::

## 도입

고속도로에서 속도계가 시속 $100$ km를 가리키고 있다. 이 값 하나만으로는 서울에서 몇 km를 이동했는지 알 수 없다. 그래서 자동차에는 속도계와 별도로 주행거리계가 달려 있다. 속도계는 **지금 이 순간의 빠르기**를, 주행거리계는 **지금까지 이동한 거리**를 표시한다. 두 계기는 서로 다른 양을 측정하며, 서로 다른 질문에 답한다.

경제 뉴스에서는 이 두 계기에 해당하는 양이 자주 혼용된다.

> "물가 상승률이 $3\%$ 에서 $1.5\%$ 로 낮아졌습니다."

이것은 속도계에 해당하는 서술이다. 물가가 **올라가는 속도**가 절반이 되었다는 뜻이지, 물가가 내렸다는 뜻이 아니다. 지수 $100$ 은 한 해에 $103$ 이 되고 그다음 해에 $103 \times 1.015 = 104.545$ 가 된다. 물가는 두 해 내내 올랐다. 그럼에도 이 문장은 물가 수준이 낮아졌다는 뜻으로 오독되는 경우가 있다. 속도계의 눈금을 주행거리계의 눈금으로 읽은 것이다.

> "재정적자 규모가 작년보다 줄었습니다."

같은 유형의 혼동이다. 적자는 한 해 동안 새로 빌린 돈, 곧 속도에 해당한다. 국가부채는 지금까지 빌린 돈의 총합, 곧 거리에 해당한다. 적자가 양수인 한 부채는 계속 는다. 적자가 줄었다는 것은 부채가 **더 천천히** 는다는 뜻이다.

앞의 [제41장](ch41.md)에서는 미분으로 속도계에 해당하는 양을 구했다. 총비용에서 한계비용을, 총수입에서 한계수입을 얻었다. 이 장은 그 반대 방향이다. **속도계에서 주행거리계를 복원하는 연산**, 즉 적분이다. 또한 적분은 곡선과 곡선 사이에 남는 넓이가 시장에서 실제로 발생한 **이득**의 크기라는 결과를 함께 제공한다. 소비자잉여와 생산자잉여가 그것이다.

이 장을 지나면 다음 세 문장이 같은 구조임을 확인한다.

- 속도를 시간에 대해 쌓으면 거리다.
- 한계비용을 수량에 대해 쌓으면 변동비다.
- 수요곡선 아래에서 가격선 윗부분을 쌓으면 소비자잉여다.

## 흐름을 쌓으면 총량이 된다 — 스톡과 플로우

### 두 종류의 양

경제에서 다루는 수는 크게 두 종류다. 이 구분을 혼동하면 이후의 계산이 전부 어긋난다.

**플로우**(flow, 유량)는 **기간당** 측정되는 양이다. 단위에 반드시 "~당"이 붙는다. 월급 $300$만원/월, 연간 적자 $60$조원/년, 시간당 매출 $12$만원/시간.

**스톡**(stock, 저량)은 **어느 한 시점에서** 측정되는 양이다. 단위에 시간이 붙지 않는다. 통장 잔고 $2{,}400$만원, 국가부채 $1{,}200$조원, 창고 재고 $600$개.

| 플로우 (기간당) | 대응하는 스톡 (시점) |
|---|---|
| 소득 (원/년) | 자산 (원) |
| 재정적자 (원/년) | 국가부채 (원) |
| 투자 (원/년) | 자본 (원) |
| 출생 − 사망 (명/년) | 인구 (명) |
| 유입 − 방류 (톤/시간) | 저수량 (톤) |
| 온실가스 배출 (톤/년) | 대기 중 축적량 (톤) |
| 감가상각 (원/년) | 장부가 (원) |

표의 왼쪽 열을 오른쪽 열로 옮기는 연산이 적분이고, 오른쪽에서 왼쪽으로 가는 연산이 미분이다.

$$S(T) \;=\; S(0) \;+\; \int_0^T f(t)\,dt, \qquad\qquad S'(t) = f(t)$$

이것이 [제33장](../part3/ch33.md)의 미적분 기본정리를 경제학의 용어로 옮긴 문장이다. 위 식이 맞는지 확인하는 가장 빠른 방법은 **단위 검산**이다. $f$ 의 단위가 톤/시간이고 $dt$ 의 단위가 시간이면, 곱한 것의 단위는 톤이다. 시간이 약분되면서 플로우가 스톡으로 바뀐다. 단위가 일치하지 않으면 식을 잘못 세운 것이다.

### 한계비용을 쌓으면 변동비

이제 시간 대신 수량에 대해 쌓는다. [제41장](ch41.md)에서 **한계비용**($MC$, 생산량을 한 단위 더 늘릴 때 추가로 드는 비용)은 총비용 함수의 도함수로 정의했다. 즉 $MC(q) = C'(q)$ 이다. 그러므로 기본정리에 의해 다음이 성립한다.

$$C(q) - C(0) \;=\; \int_0^q MC(x)\,dx$$

여기서 $C(0)$ 은 **생산량이 $0$ 일 때의 비용**이다. 생산하지 않아도 지출되는 임대료, 설비 감가상각, 정규직 인건비, 보험료가 여기 해당한다. 이것을 **고정비**(fixed cost)라 부르고 $F$ 로 쓴다. 그리고 $\int_0^q MC$ 는 생산량에 따라 늘어나는 지출, 곧 **변동비**(variable cost)다. 원재료비, 포장비, 시간제 인건비가 여기 들어간다.

$$\boxed{\;\text{총비용} \;=\; \underbrace{F}_{\text{고정비}} \;+\; \underbrace{\int_0^q MC(x)\,dx}_{\text{변동비}}\;}$$

### 적분상수가 경제학에서 뜻하는 것

부정적분에 붙는 적분상수 $+\,C$ 는 이 장에서 실질적인 의미를 가진다.

한계비용 곡선만 주어진 경우에는 총비용을 **결코** 결정할 수 없다. $MC(q) = 40q + 1200$ 이라는 정보는 $C(q) = 20q^2 + 1200q + F$ 까지만 확정하고, $F$ 가 $0$ 원인지 $8$ 억원인지는 판별하지 못한다. 미분하면 상수가 사라지기 때문이다.

경제적으로 이것은 다음을 뜻한다.

> **한계 정보는 수준(level)을 결정하지 못한다.**

두 회사의 한계비용 곡선이 완전히 같아도, 한 곳은 자기 건물에서 영업하고 다른 곳은 월 $3{,}000$만원 임대료를 낸다면 두 회사의 손익은 전혀 다르다. 한계비용만 보고 "개당 $4{,}000$원에 팔면 남는다"고 판단하는 것은 적분상수를 무시한 것이다. 이러한 오류는 컨설팅 보고서와 창업 계획서에서 빈번하게 나타난다.

역으로 이 사실은 다음 원칙의 근거가 된다. **이미 지출된 고정비는 지금의 의사결정을 바꾸지 못한다.** 상수는 미분하면 사라지므로, "몇 개를 더 만들 것인가"라는 한계적 질문의 답에는 $F$ 가 들어오지 않는다. 이것이 회계에서 말하는 매몰비용 무시 원칙의 수학적 근거다.

:::{admonition} 기호 주의
:class: warning
경제학에서 총비용을 $C(q)$ 로 쓰는 관습과, 부정적분의 적분상수를 $C$ 로 쓰는 관습이 정면으로 충돌한다. 이 책에서는 **고정비를 $F$** 로 쓰고, 총비용 함수는 $C(q)$ 로 쓴다.
:::

고정비가 영구히 고정되는 것은 아니다. 임대차 계약이 끝나면 사무실을 옮길 수 있고, 설비도 매각할 수 있다. 그래서 경제학은 **단기**(고정비를 바꿀 수 없는 기간)와 **장기**(모든 비용이 변동비가 되는 기간)를 구분한다. 위의 $F$ 는 단기에 해당하는 개념이다.

```{image} /_static/figs/ch42_stock_flow.svg
:alt: 플로우 곡선 아래의 넓이가 쌓인 총량(스톡)
:width: 480px
:align: center
:class: chfig
```


## 잉여 — 곡선 아래의 넓이가 "이득"인 이유

### 수요곡선을 거꾸로 읽기

수요곡선 $P = P_D(Q)$ 를 읽는 익숙한 방식은 "가격이 $P$ 일 때 $Q$ 만큼 팔린다"이다. 이 장에서는 축을 바꿔 읽는다.

> **$Q$ 번째 한 단위에서의 곡선 높이 $P_D(Q)$ 는, 그 단위를 사 가는 사람이 최대로 낼 의향이 있는 금액이다.**

이 최대 금액을 **지불용의**(willingness to pay)라 한다. 수요곡선이 우하향하는 이유가 여기 있다. 지불용의가 가장 높은 사람이 첫 번째 단위를 사고, 그다음으로 높은 사람이 두 번째 단위를 산다. 뒤로 갈수록 지불용의는 낮아진다.

이제 시장가격이 $P^*$ 로 정해져 있다. 첫 번째 단위를 사는 사람의 지불용의는 $P_D(0)$ 인데 실제로 낸 금액은 $P^*$ 이다. 차액 $P_D(0) - P^*$ 만큼이 이득이다. 두 번째 사람의 이득은 $P_D(\Delta Q) - P^*$ 이다. 이렇게 $\Delta Q$ 폭짜리 직사각형을 하나씩 세워 나가면 다음을 얻는다.

$$\sum_i \big(P_D(Q_i) - P^*\big)\,\Delta Q$$

이것은 [제32장](../part3/ch32.md)에서 넓이를 만들 때 쌓았던 직사각형과 동일한 대상이다. $\Delta Q \to 0$ 의 극한을 취하면 다음이 된다.

$$\text{소비자잉여} \;=\; CS \;=\; \int_0^{Q^*} \big(P_D(Q) - P^*\big)\,dQ$$

말로 하면 **수요곡선 아래, 가격선 위의 넓이**다. 두 곡선(수요곡선과 수평선 $P = P^*$) 사이의 넓이이므로 [제35장](../part3/ch35.md)의 도구가 그대로 적용된다.

### 생산자 쪽

공급곡선 $P = P_S(Q)$ 의 높이도 같은 방식으로 읽는다. 그 높이는 **$Q$ 번째 단위를 만드는 데 드는 추가 비용**, 곧 한계비용이다. 앞 절에서 정의한 $MC$ 와 같다. 판매자는 $P^*$ 를 받고 $MC$ 만큼 지출했으므로 차액이 이득이다.

$$\text{생산자잉여} \;=\; PS \;=\; \int_0^{Q^*}\big(P^* - P_S(Q)\big)\,dQ \;=\; \underbrace{P^*Q^*}_{\text{수입}} - \underbrace{\int_0^{Q^*} MC\,dQ}_{\text{변동비}}$$

여기서 앞 절과 이 절이 연결된다. 오른쪽 식은 **수입에서 변동비를 뺀 값**, 회계에서 **공헌이익**(contribution margin)이라 부르는 값이다. 그리고 다음이 성립한다.

$$\text{이윤} \;=\; PS \;-\; F$$

**생산자잉여는 이윤이 아니다.** 고정비만큼 차이가 난다. 이 구분을 흐리면 "생산자잉여가 양수이므로 이 사업은 이익을 낸다"는 틀린 결론에 이른다. 정확히는 다음과 같다. 생산자잉여가 양수이면 **조업을 계속하는 것이 중단하는 것보다 유리하다**(고정비는 조업 여부와 무관하게 발생하므로). 이윤이 양수이려면 생산자잉여가 고정비를 넘어야 한다.

### 총잉여와 자중손실

$$\text{총잉여} \;=\; CS + PS \;=\; \int_0^{Q^*}\big(P_D(Q) - P_S(Q)\big)\,dQ$$

수요곡선과 공급곡선 **사이**의 넓이다. 두 곡선이 만나는 점(균형)까지 쌓으면 이 넓이가 최대가 된다. 그 지점을 넘어가면 $P_D < P_S$ 가 되어 적분값이 감소하기 때문이다.

세금이나 규제로 거래량이 균형보다 줄면, 거래되지 못한 구간에서 잉여가 사라진다. 그 사라진 넓이 중 정부 세수로도 가지 않고 아무에게도 귀속되지 않는 부분을 **자중손실**(deadweight loss, 후생손실)이라 하고, 수요·공급이 직선이면 삼각형 모양이 된다.

$$\text{자중손실} \;=\; \tfrac{1}{2}\,t\,\Delta Q \qquad (t = \text{단위당 세금},\ \Delta Q = \text{줄어든 거래량})$$

```{image} /_static/figs/ch42_surplus.svg
:alt: 가격선을 기준으로 위는 소비자잉여, 아래는 생산자잉여
:width: 420px
:align: center
:class: chfig
```

```{image} /_static/figs/ch42_deadweight.svg
:alt: 세금으로 사라진 거래가 만드는 후생손실 삼각형
:width: 420px
:align: center
:class: chfig
```


## 연속 현금흐름의 현재가치

[제39장](ch39.md)에서 미래의 돈을 현재 시점으로 환산할 때 다음 식을 사용했다.

$$PV \;=\; \sum_{t=1}^{n} \frac{C_t}{(1+r)^t}$$

일 년에 한 번 들어오는 돈이라면 이 식으로 충분하다. 그러나 월세는 매달, 카페 매출은 매 시간, 유료 구독 수익은 사실상 끊김 없이 들어온다. 지급 간격을 잘게 나누어 본다. 연이율 $r$ 을 한 해에 $n$ 번 나눠 복리로 붙이면 $\left(1+\frac{r}{n}\right)^{nt}$ 이고, $n \to \infty$ 의 극한에서 이 값은 $e^{rt}$ 가 된다([제22장](../part3/ch22.md)에서 다룬 극한이다). 따라서 할인계수는 $e^{-rt}$ 다.

$$\boxed{\;PV \;=\; \int_0^T f(t)\,e^{-rt}\,dt\;}$$

$f(t)$ 는 시각 $t$ 에서의 **현금흐름의 속도**(원/년)이고, $e^{-rt}$ 는 그 시각의 돈을 현재 값으로 환산하는 배율이다. 여기서 $r$ 을 **연속복리 할인율**이라 한다.

흐름이 일정할 때($f(t) = A$)는 닫힌 형태로 계산된다.

$$\int_0^T A e^{-rt}dt \;=\; A\left[-\frac{1}{r}e^{-rt}\right]_0^T \;=\; \frac{A}{r}\left(1 - e^{-rT}\right)$$

$T \to \infty$ 로 보내면 $e^{-rT} \to 0$ 이므로 다음이 된다.

$$PV \;=\; \frac{A}{r}$$

이것이 **영구흐름**(perpetuity)의 현재가치다. 연 $600$만원이 영구히 발생하고 할인율이 $4\%$ 라면 그 현재가치는 $600/0.04 = 15{,}000$만원, 곧 $1$억 $5{,}000$만원이다. 적분 구간이 무한하더라도 할인계수가 지수적으로 감소하므로 넓이는 유한한 값에 수렴한다.

:::{admonition} 빈번한 오류
:class: warning
$T$ 년에 걸쳐 총 $A \times T$ 원이 들어오는 흐름의 현재가치를 $AT \cdot e^{-rT}$ 로 계산하는 것. 이 값은 그 금액 전부를 **마지막 날 한 번에** 받는 경우의 현재가치다. 흐름은 도중에 계속 들어오므로 할인이 훨씬 덜 된다. 두 값의 차이는 크다.
:::

## 불평등을 넓이로 재기 — 로렌츠 곡선과 지니계수

소득이 얼마나 고르게 분포하는지를 하나의 수로 나타낼 때 평균은 지표가 되지 못한다. 평균 소득이 같아도 분포는 얼마든지 다를 수 있다.

**로렌츠 곡선**(Lorenz curve)은 다음과 같이 정의한다. 인구를 소득이 **낮은 쪽부터** 정렬한다. 가로축 $x$ 는 앞에서부터 센 인구의 누적 비율($0$ 에서 $1$), 세로축 $L(x)$ 는 그 인구가 가진 소득의 누적 비율이다.

정의상 $L(0) = 0$, $L(1) = 1$ 이다. 낮은 쪽부터 정렬했으므로 곡선은 증가하면서 **아래로 볼록**하다(뒤로 갈수록 소득이 큰 사람이 더해지므로 기울기가 점점 커진다). 그리고 모두가 똑같이 벌면 $L(x) = x$ 라는 직선, 곧 **완전평등선**이 된다.

| 곡선 | 뜻 |
|---|---|
| $L(x) = x$ | 완전평등 — 하위 $30\%$ 가 소득의 $30\%$ 를 갖는다 |
| $L(x) = x^2$ | 하위 $30\%$ 가 소득의 $9\%$ 를 갖는다 |
| $L(x) = 0$ (단, $L(1)=1$) | 한 사람이 전부 갖는다 |

완전평등선과 실제 로렌츠 곡선 사이에 낀 넓이를 $A$, 로렌츠 곡선 아래 넓이를 $B$ 라 한다. $A + B$ 는 삼각형 넓이이므로 항상 $\tfrac{1}{2}$ 이다. **지니계수**(Gini coefficient)는 이 두 넓이의 비다.

$$G \;=\; \frac{A}{A+B} \;=\; \frac{A}{1/2} \;=\; 2\int_0^1 \big(x - L(x)\big)\,dx$$

$G = 0$ 이면 완전평등이고, $G$ 가 $1$ 에 가까울수록 불평등하다. 실제 국가들의 처분가능소득 지니계수는 대체로 $0.25$ 에서 $0.5$ 사이에 놓인다.

예를 들어 $L(x) = x^2$ 이면 다음과 같다.

$$G = 2\int_0^1 (x - x^2)\,dx = 2\left[\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}\right]_0^1 = 2\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right) = 2 \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{3}$$

지니계수는 넓이의 **비**이므로 단위가 없고, 소득 수준이 열 배가 되어도 분포 모양이 같으면 값이 변하지 않는다. 국가 간, 시대 간 비교가 가능한 이유다.

다만 하나의 수로 요약하면 분포의 정보 일부가 소실된다. 로렌츠 곡선이 서로 **교차**하는 두 나라는 지니계수가 같아도 불평등의 성격이 전혀 다를 수 있다. 한쪽은 최상위 소득의 비중이 크고, 다른 쪽은 중간층의 비중이 작을 수 있다. 지니계수는 그 차이를 구분하지 못한다.

```{image} /_static/figs/ch42_lorenz.svg
:alt: 로렌츠 곡선과 완전평등선 사이 넓이의 비가 지니계수
:width: 340px
:align: center
:class: chfig
```


## 구간 평균 — $\frac{1}{b-a}\int_a^b f$ 의 근거

수 $n$ 개의 평균은 $\frac{1}{n}\sum x_i$ 다. 그런데 재고처럼 매 순간 값이 달라지는 양은 값이 무한히 많으므로, 개수로 나누는 방식을 그대로 적용할 수 없다.

리만합에서 출발하면 답이 나온다. 구간 $[a,b]$ 를 $n$ 등분하면 $\Delta x = \frac{b-a}{n}$ 이므로 다음이 성립한다.

$$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} f(x_i) \;=\; \frac{1}{b-a}\sum_{i=1}^{n} f(x_i)\,\Delta x \;\xrightarrow[\ n\to\infty\ ]{}\; \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx$$

$$\boxed{\;\bar{f} \;=\; \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx\;}$$

기하학적으로는 더 간단하다. **곡선 아래 넓이와 같은 넓이를 갖는 직사각형의 높이**가 평균이다. 그래서 $\bar f \times (b-a) = \int_a^b f$ 가 항상 성립하고, 이것이 그대로 검산이 된다.

경제에서 이 식이 쓰이는 예는 많다. 한 달 평균 재고, 하루 평균 매출률, 기간 평균 이자율, 연평균 가동률이 여기 해당한다.

:::{admonition} 시간가중 평균과 수량가중 평균은 다르다
:class: warning
어느 가게가 오전 $6$ 시간은 개당 $1{,}000$원, 오후 $6$ 시간은 $2{,}000$원에 팔았다. **시간에 대한 평균 가격**은 $\frac{1}{12}\int_0^{12}p(t)dt = 1{,}500$원이다.

그런데 오전에 $900$개, 오후에 $100$개가 팔렸다면 실제로 지불된 **평균 판매가**는 다음과 같다.

$$\frac{1000 \times 900 + 2000 \times 100}{1000} = \frac{1{,}100{,}000}{1000} = 1{,}100\ \text{원}$$

$400$원 차이가 난다. 무엇으로 가중할지를 정하지 않은 "평균"은 의미가 없다. 일반형은 다음과 같다.

$$\bar p = \frac{\int p(t)\,q(t)\,dt}{\int q(t)\,dt}$$

금융에서 거래량가중평균가격(VWAP)이라 부르는 것이 이 식이다.
:::

## 시나리오 문제

계산기가 필요한 문항은 별도로 표시한다. 나머지 문항은 손 계산으로 완결된다.

### 문제 1 · 비누 공방의 장부  ★☆☆

**상황** — 성수동에서 수제 비누를 만드는 한도윤은 회계사에게 "한계비용 곡선"이라는 자료를 받았다. 한 달에 $q$ 개를 만들 때 $q$ 번째 한 개를 더 만드는 데 드는 비용이 $MC(q) = 40q + 1200$ (원)이라는 내용이다. 작업장 월세와 설비 감가상각으로는 생산량과 무관하게 매달 $800{,}000$ 원이 나간다.

**모형 설정** — 한 달에 $100$ 개를 만들 때의 총비용을 구한다. 한계비용 곡선만으로 총비용을 복원하면 결정되지 않는 값이 하나 남는다. 그 값을 임의의 상수로 둘 것인지, 장부의 특정 항목으로 해석할 것인지가 이 문제의 분기점이다.

:::{admonition} 모형화 다섯 단계
:class: tip
① **미지량** — 한 달 총비용 $C(100)$.
② **주어진 값** — $MC(q) = C'(q) = 40q + 1200$, 생산량과 무관한 지출 $800{,}000$원/월.
③ **관계식** — $\displaystyle C(q) = F + \int_0^q (40x + 1200)\,dx$, 여기서 $F = 800{,}000$.
④ **사용 도구** — [제33장](../part3/ch33.md) FTC, [제41장](ch41.md) 한계비용
⑤ **모형의 한계** — 이 식은 $100$ 개를 만드는 데 드는 비용만 말한다. 그 $100$ 개가 팔리는지, 다음 달 월세가 오를지는 곡선 바깥의 사항이다.
:::

:::{admonition} 풀이와 검산
:class: dropdown
변동비부터 구한다.

$$\int_0^{100}(40x + 1200)\,dx = \Big[20x^2 + 1200x\Big]_0^{100} = 200{,}000 + 120{,}000 = 320{,}000$$

여기에 고정비를 더한다.

$$C(100) = 800{,}000 + 320{,}000 = 1{,}120{,}000$$

개당 평균비용은 $1{,}120{,}000 \div 100 = 11{,}200$ 원이다.

**답** — 총비용 $1{,}120{,}000$ 원(고정비 $800{,}000$ + 변동비 $320{,}000$), 개당 평균 $11{,}200$ 원. 한계비용 곡선만으로 결정되지 않고 남는 상수는 **고정비**다.

**검산** — $C(q) = 20q^2 + 1200q + 800{,}000$ 을 미분하면 $40q + 1200$ 으로 원래 한계비용이 복원된다. 또 $C(0) = 800{,}000$ 이 고정비와 일치한다.

**빈번한 오류** — $MC(100) = 5{,}200$ 원에 $100$ 을 곱해 변동비를 $520{,}000$ 원이라 하는 것. 한계비용은 **마지막 한 개**의 비용이지 평균이 아니다. 한계비용 곡선의 높이는 $0$ 개 지점의 $1{,}200$ 원에서 $100$ 개 지점의 $5{,}200$ 원까지 오르므로 평균 높이는 그 중간인 $3{,}200$ 원이고, 실제 변동비는 $3{,}200 \times 100 = 320{,}000$ 원이다.

**확장** — 고정비를 모르는 컨설턴트가 개당 평균 변동비 $3{,}200$ 원을 근거로 "개당 $4{,}000$ 원에 팔면 남습니다"라고 조언한 경우를 본다. $100$ 개를 팔면 수입 $400{,}000$ 원, 변동비 $320{,}000$ 원, 공헌이익 $80{,}000$ 원이다. 고정비 $800{,}000$ 원을 감안하면 이 사업은 매달 $720{,}000$ 원의 손실을 낸다. **적분상수를 무시한 조언**이 어떤 결과로 이어지는지 보여 주는 예다.
:::

### 문제 2 · 콘서트 예매창  ★☆☆

**상황** — 어느 실내 공연장의 티켓 수요곡선이 $P = 12{,}000 - 20Q$ (원, $Q$ 는 티켓 장수)로 추정되었다. 주최 측은 티켓 가격을 $6{,}000$ 원으로 정했고, 그 가격에서 $300$ 장이 팔렸다.

**모형 설정** — 티켓을 산 $300$ 명이 지불한 금액을 초과해 얻은 몫을 계산한다. 각자의 지불용의는 직접 관측되지 않는다. 수요곡선의 **높이**를 "그 수량에서의 시장가격"으로 읽을 것인지 "그 한 장을 사는 사람의 최대 지불용의"로 읽을 것인지가 분기점이다.

:::{admonition} 모형화 다섯 단계
:class: tip
① **미지량** — 소비자잉여 $CS$.
② **주어진 값** — $P_D(Q) = 12{,}000 - 20Q$, $P^* = 6{,}000$, $Q^* = 300$.
③ **관계식** — $\displaystyle CS = \int_0^{300}\big(12{,}000 - 20Q\big)dQ - 6{,}000 \times 300$.
④ **사용 도구** — [제32장](../part3/ch32.md) 직사각형 쌓기, [제35장](../part3/ch35.md) 두 곡선 사이 넓이
⑤ **모형의 한계** — 이 넓이는 표를 **구매한 사람들**의 이득만 계산한다. $6{,}000$ 원이라는 가격 때문에 구매를 포기한 사람의 손실은 이 넓이에 포함되지 않는다.
:::

:::{admonition} 풀이와 검산
:class: dropdown
먼저 가격과 수량이 곡선 위에서 일치하는지 확인한다. $12{,}000 - 20 \times 300 = 12{,}000 - 6{,}000 = 6{,}000$ 으로 일치한다.

$$\int_0^{300}(12{,}000 - 20Q)\,dQ = \Big[12{,}000Q - 10Q^2\Big]_0^{300} = 3{,}600{,}000 - 900{,}000 = 2{,}700{,}000$$

이것은 $300$ 명 전체의 **지불용의 합**이다. 실제로 지불된 금액은 다음과 같다.

$$6{,}000 \times 300 = 1{,}800{,}000$$

$$CS = 2{,}700{,}000 - 1{,}800{,}000 = 900{,}000$$

**답** — 소비자잉여 $900{,}000$ 원. 한 사람당 평균 $3{,}000$ 원.

**검산** — 수요곡선이 직선이므로 잉여는 삼각형이다. 밑변 $300$, 높이 $12{,}000 - 6{,}000 = 6{,}000$.

$$\tfrac{1}{2} \times 300 \times 6{,}000 = 900{,}000 \quad \checkmark$$

**빈번한 오류** — $2{,}700{,}000$ 원(수요곡선 아래 전체 넓이)을 소비자잉여라고 부르는 것. 그 값은 총지불용의이고, 실제로 지불된 $1{,}800{,}000$ 원을 빼야 이득이 된다.

**확장** — 티켓 가격을 $8{,}000$ 원으로 올리면 $Q = 200$ 이 되고 소비자잉여는 $\tfrac12 \times 200 \times 4{,}000 = 400{,}000$ 원으로 줄어든다. 주최 측 수입도 $1{,}800{,}000$ 원에서 $8{,}000 \times 200 = 1{,}600{,}000$ 원으로 줄어든다. 양쪽 모두 감소한다. 가격을 올려도 수입이 늘지 않는 이 구간이 [제41장](ch41.md)에서 다룬 탄력적 구간이다.
:::

### 문제 3 · 논산 딸기  ★★☆

**상황** — 논산의 딸기 농가 연합이 하루 출하량과 최소 수취 가격의 관계를 조사했다. 하루 $Q$ 상자를 출하하게 하려면 상자당 최소 $P = 4{,}000 + 30Q^2$ (원)을 지급해야 한다는 결과가 나왔다. 오늘 도매시장 가격은 상자당 $16{,}000$ 원이다.

**모형 설정** — 농가가 오늘 얻는 이득을 계산하려면 공급곡선의 높이를 무엇으로 읽어야 하는지 정한다. 그리고 그렇게 구한 값을 그대로 **이윤**이라 부를 수 있는지 확인해야 한다.

:::{admonition} 모형화 다섯 단계
:class: tip
① **미지량** — 오늘의 출하량 $Q^*$ 와 생산자잉여 $PS$.
② **주어진 값** — $P_S(Q) = 4{,}000 + 30Q^2$(= 한계비용 곡선), $P^* = 16{,}000$.
③ **관계식** — $16{,}000 = 4{,}000 + 30Q^2$ 로 $Q^*$ 를 찾고, $\displaystyle PS = P^*Q^* - \int_0^{Q^*}(4{,}000 + 30Q^2)\,dQ$.
④ **사용 도구** — [제17장](../part2/ch17.md) 이차방정식, [제33장](../part3/ch33.md) FTC
⑤ **모형의 한계** — 이 넓이는 오늘 하루에 해당하는 값이다. 딸기 농사에 투입된 지난 반년의 노동과 하우스 시설비는 이 계산에 포함되지 않는다.
:::

:::{admonition} 풀이와 검산
:class: dropdown
출하량부터 구한다.

$$16{,}000 = 4{,}000 + 30Q^2 \;\Rightarrow\; 30Q^2 = 12{,}000 \;\Rightarrow\; Q^2 = 400 \;\Rightarrow\; Q^* = 20$$

공급곡선 아래 넓이(= 총 변동비)는 다음과 같다.

$$\int_0^{20}(4{,}000 + 30Q^2)\,dQ = \Big[4{,}000Q + 10Q^3\Big]_0^{20} = 80{,}000 + 80{,}000 = 160{,}000$$

수입은 $16{,}000 \times 20 = 320{,}000$ 원이므로 다음이 된다.

$$PS = 320{,}000 - 160{,}000 = 160{,}000$$

**답** — 하루 출하량 $20$ 상자, 생산자잉여 $160{,}000$ 원. 이 값은 **수입 − 변동비**, 곧 공헌이익이다.

**검산** — 수입 사각형의 넓이 $320{,}000$ 이 공급곡선에 의해 정확히 반으로 나뉜다. 아래쪽 $160{,}000$ 이 비용, 위쪽 $160{,}000$ 이 잉여다. 합이 수입과 같으므로 일치한다.

**빈번한 오류** — $PS$ 를 이윤이라 부르는 것. 하우스 감가상각·토지 임차료 같은 고정비가 하루로 환산해 $200{,}000$ 원이라면 오늘의 이윤은 $160{,}000 - 200{,}000 = -40{,}000$ 원이다. 그럼에도 **오늘 출하하는 것이 유리하다.** 출하하지 않으면 손실이 $-200{,}000$ 원이 되기 때문이다. 생산자잉여가 양수인 한 조업을 계속하는 편이 낫다는 원칙이 여기서 나온다.

**확장** — 가격이 $7{,}000$ 원으로 하락하면 $30Q^2 = 3{,}000$ 이므로 $Q^* = 10$ 상자다. 잉여는 $70{,}000 - (40{,}000 + 10{,}000) = 20{,}000$ 원이다. 가격은 $44\%$ 수준으로 떨어졌는데 잉여는 $12.5\%$ 로 떨어진다. **잉여는 가격보다 큰 폭으로 변한다.** 농산물 가격이 소폭 하락해도 농가의 수취 잉여가 크게 감소하는 이유가 이 넓이의 형태에 있다.
:::

### 문제 4 · 유류세 $200$원  ★★★

**상황** — 어느 소규모 주유소의 경유 시장을 하루 단위로 보면, 수요곡선이 $P = 2{,}000 - 0.5Q$, 공급곡선이 $P = 800 + 0.5Q$ 다($P$ 는 리터당 원, $Q$ 는 하루 판매량(리터)). 정부가 리터당 $200$ 원의 유류세를 판매자에게 부과하기로 했다.

**모형 설정** — 세금이 부과되면 소비자가 지불하는 가격과 판매자가 수취하는 가격이 분리된다. 미지수를 새 거래량 하나로 둘 것인지, 두 가격 $P_d$ 와 $P_s$ 를 따로 둘 것인지를 정한다. 그리고 세금 때문에 사라진 잉여가 전부 정부 세수로 이전되었는지 확인한다.

:::{admonition} 모형화 다섯 단계
:class: tip
① **미지량** — 세후 거래량, 세수, 그리고 아무에게도 귀속되지 않고 사라진 넓이.
② **주어진 값** — $P_D(Q) = 2{,}000 - 0.5Q$, $P_S(Q) = 800 + 0.5Q$, 단위세 $t = 200$.
③ **관계식** — 세후 균형은 $P_d - P_s = 200$ 이면서 두 곡선 위에 있어야 하므로 $2{,}000 - 0.5Q = (800 + 0.5Q) + 200$. 자중손실은 $\tfrac12 t\,\Delta Q$.
④ **사용 도구** — [제18장](../part2/ch18.md) 연립방정식, [제35장](../part3/ch35.md) 두 곡선 사이 넓이
⑤ **모형의 한계** — 이 삼각형을 손실로 판정하는 것은 경유 연소가 제삼자에게 부과하는 비용(미세먼지, 온실가스, 도로 혼잡)을 $0$ 으로 놓았을 때만 성립한다. 그 비용이 리터당 $200$ 원을 넘는다면 이 세금은 손실을 만드는 것이 아니라 줄이는 것이다.
:::

:::{admonition} 풀이와 검산
:class: dropdown
**세금 전 균형.**

$$2{,}000 - 0.5Q = 800 + 0.5Q \;\Rightarrow\; Q = 1{,}200,\quad P = 1{,}400$$

**세금 후 균형.** 공급곡선이 세금만큼 위로 이동해 $P = 1{,}000 + 0.5Q$ 가 된다.

$$2{,}000 - 0.5Q = 1{,}000 + 0.5Q \;\Rightarrow\; Q = 1{,}000$$

$$P_d = 2{,}000 - 500 = 1{,}500, \qquad P_s = 1{,}500 - 200 = 1{,}300$$

거래량은 $1{,}200 \to 1{,}000$ 으로 $200$ 리터 줄었다.

**세수** $= 200 \times 1{,}000 = 200{,}000$ 원.

**자중손실** $= \tfrac12 \times 200 \times 200 = 20{,}000$ 원.

**답** — 세후 거래량 $1{,}000$ L, 소비자 지불가격 $1{,}500$ 원, 판매자 수취가격 $1{,}300$ 원. 하루 세수 $200{,}000$ 원, 자중손실 $20{,}000$ 원.

**검산** — 잉여를 항목별로 계산해 대조한다.

| | 세금 전 | 세금 후 | 변화 |
|---|---|---|---|
| 소비자잉여 | $\tfrac12(600)(1200) = 360{,}000$ | $\tfrac12(500)(1000) = 250{,}000$ | $-110{,}000$ |
| 생산자잉여 | $\tfrac12(600)(1200) = 360{,}000$ | $\tfrac12(500)(1000) = 250{,}000$ | $-110{,}000$ |
| 세수 | $0$ | $200{,}000$ | $+200{,}000$ |
| 합계 | $720{,}000$ | $700{,}000$ | $-20{,}000$ |

감소한 잉여 $220{,}000$ 원 중 $200{,}000$ 원은 정부로 이전되었고 $20{,}000$ 원은 어디에도 귀속되지 않았다. 삼각형 공식과 일치한다.

**빈번한 오류** — 세금을 판매자에게 부과했으므로 판매자가 전액 부담한다고 보거나, 반대로 $P_d = 1{,}600$ 원이라 놓고 전액이 소비자에게 전가된다고 보는 것. 실제 전가는 **수요와 공급의 기울기 비**로 나뉜다. 여기서는 기울기가 $0.5$ 로 같아 정확히 반반($+100$ / $-100$)이다. 세금을 누구에게 부과하는지는 이 결과를 바꾸지 못한다.

**확장** — 공급곡선이 훨씬 가파르면(재고를 이미 보유해 공급이 잘 줄지 않으면) 거래량이 덜 줄고, 부담은 판매자 쪽으로 기울며, 삼각형도 작아진다. **덜 반응하는 쪽이 더 많이 부담하고, 덜 반응하는 시장일수록 세금의 자중손실이 작다.** 담배와 유류에 세금이 집중되는 이유의 하나가 이 성질이다.
:::

### 문제 5 · 연금과 일시금  ★★☆  (계산기 사용)

**상황** — 통역사 서지현($48$세)은 은퇴 설계 상담에서 두 가지 제안을 받았다. **(가)** 앞으로 $10$ 년 동안 매년 $2{,}400$ 만원씩 끊김 없이 들어오는 연금, **(나)** 지금 당장 받는 일시금 $1$ 억 $8{,}000$ 만원. 상담사는 연 $5\%$ 연속복리로 할인해 비교할 것을 제안했다.

**모형 설정** — "$10$ 년이면 $2$ 억 $4{,}000$ 만원이므로 (가)가 낫다"는 판단이 성립하지 않는 이유를 확인한다. 두 제안을 비교하려면 기준 시점을 먼저 정해야 한다.

:::{admonition} 모형화 다섯 단계
:class: tip
① **미지량** — 연금 흐름의 현재가치.
② **주어진 값** — 흐름 $f(t) = 2{,}400$ 만원/년(일정), $r = 0.05$, $T = 10$.
③ **관계식** — $\displaystyle PV = \int_0^{10} 2{,}400\,e^{-0.05t}\,dt = \frac{2{,}400}{0.05}\big(1 - e^{-0.5}\big)$.
④ **사용 도구** — [제34장](../part3/ch34.md) 치환적분, [제39장](ch39.md) 할인
⑤ **모형의 한계** — 이 비교는 **명목**금액 사이의 비교다. 연 $2{,}400$ 만원이 물가와 무관하게 고정된 금액이라면 $10$ 년째의 $2{,}400$ 만원의 구매력은 현재의 $2{,}400$ 만원보다 작다. 실질 기준으로 비교하려면 실질할인율(명목 할인율에서 예상 물가상승률을 뺀 값)을 사용해야 한다.
:::

:::{admonition} 풀이와 검산
:class: dropdown
$$\int_0^{10} 2{,}400\,e^{-0.05t}\,dt = 2{,}400\left[\frac{-1}{0.05}e^{-0.05t}\right]_0^{10} = \frac{2{,}400}{0.05}\left(1 - e^{-0.5}\right)$$

$e^{-0.5} \approx 0.60653$ 이므로 다음이 된다.

$$= 48{,}000 \times (1 - 0.60653) = 48{,}000 \times 0.39347 \approx 18{,}886.5 \ \text{만원}$$

**답** — (가)의 현재가치는 약 $1$ 억 $8{,}887$ 만원이다. (나)의 $1$ 억 $8{,}000$ 만원보다 약 $887$ 만원 크므로 (가)를 택한다.

**검산** — 단순합 $2$ 억 $4{,}000$ 만원에 대한 비율은 $18{,}886.5 \div 24{,}000 \approx 0.787$ 이다. 흐름 전체가 중간 시점인 $t = 5$ 에 집중되어 있다고 근사하면 할인계수는 $e^{-0.25} \approx 0.779$ 다. 두 값이 가깝다. 근사값이 조금 작게 나오는 것도 타당하다(할인계수 $e^{-0.05t}$ 가 아래로 볼록하므로).

**빈번한 오류** — $24{,}000 \times e^{-0.5} \approx 14{,}557$ 만원이라고 계산하는 것. 이 값은 $2$ 억 $4{,}000$ 만원 **전액을 $10$ 년 뒤 한 시점에** 받는 경우에 해당한다. 실제 흐름은 첫해부터 들어오므로 할인이 훨씬 덜 되고, 그래서 답이 $4{,}300$ 만원가량 크다.

**확장** — 이 연금이 기간 제한 없이 **영구히** 지급된다면 현재가치는 $2{,}400 \div 0.05 = 48{,}000$ 만원, 곧 $4$ 억 $8{,}000$ 만원이다. $10$ 년치가 그중 $39.3\%$ 를 차지한다. 이후 무한한 기간이 전체의 $60\%$ 에 그치는 이유는 할인이 지수적으로 커지기 때문이다. 할인율이 $5\%$ 에서 $10\%$ 로 오르면 영구흐름의 현재가치는 정확히 절반이 된다.
:::

### 문제 6 · 장마철 저수지  ★★☆

**상황** — 저수용량 $1{,}600$ 톤짜리 소규모 농업용 저수지가 있다. 비가 오기 시작한 시각을 $t = 0$(시간)으로 두면 하천에서 들어오는 물이 $r_{\text{in}}(t) = 300 - 20t$ (톤/시간)으로 감소하고, 방류 수문은 일정하게 $100$ 톤/시간을 내보낸다. $t = 0$ 에 저수량은 $500$ 톤이었다.

**모형 설정** — 저수지가 넘치는지 판정하려면 무엇이 스톡이고 무엇이 플로우인지 먼저 구분해야 한다. 그리고 저수량이 최대가 되는 시각이 **유입이 $0$ 이 되는 때**인지 **순유입이 $0$ 이 되는 때**인지를 결정한다. 이 선택에 따라 답이 달라진다.

:::{admonition} 모형화 다섯 단계
:class: tip
① **미지량** — 저수량의 최댓값, 그리고 그 값이 $1{,}600$ 톤을 넘는지 여부.
② **주어진 값** — 유입 $300 - 20t$, 방류 $100$(둘 다 톤/시간), 초기 저수량 $500$ 톤(톤).
③ **관계식** — 순유입 $n(t) = 200 - 20t$, 저수량 $\displaystyle S(T) = 500 + \int_0^T (200 - 20t)\,dt$. 최댓값은 $S'(T) = n(T) = 0$ 에서 나온다.
④ **사용 도구** — [제30장](../part3/ch30.md) 그래프 분석, [제33장](../part3/ch33.md) FTC
⑤ **모형의 한계** — 이 모형은 증발도 지하 침투도 제방 누수도 없다고 놓았다. 그리고 $r_{\text{in}}$ 이 실제로 이 직선을 따를지는 기상의 문제이지 적분의 문제가 아니다.
:::

:::{admonition} 풀이와 검산
:class: dropdown
순유입은 $n(t) = (300 - 20t) - 100 = 200 - 20t$ (톤/시간)이다.

$$S(T) = 500 + \int_0^T (200 - 20t)\,dt = 500 + 200T - 10T^2$$

최댓값은 $S'(T) = 200 - 20T = 0$, 즉 $T = 10$ 시간에서 나타난다.

$$S(10) = 500 + 2{,}000 - 1{,}000 = 1{,}500$$

**답** — 비가 시작된 지 $10$ 시간 뒤 저수량이 $1{,}500$ 톤으로 최대가 된다. 용량 $1{,}600$ 톤을 넘지 않으므로 **넘치지 않는다**(여유 $100$ 톤).

**검산** — $S(T) = 500 + 200T - 10T^2 = 1{,}500 - 10(T - 10)^2$ 로 완전제곱 형태로 정리하면 최댓값이 $T = 10$ 에서 $1{,}500$ 임이 바로 확인된다. 또 $S''(T) = -20 < 0$ 이므로 위로 볼록, 곧 극대다.

**빈번한 오류** — 유입 $r_{\text{in}}(t) = 300 - 20t$ 가 $0$ 이 되는 $t = 15$ 를 최대 시각으로 잡는 것. 그 시각의 저수량은 $S(15) = 500 + 3{,}000 - 2{,}250 = 1{,}250$ 톤으로 **이미 감소하는 중**이다. 유입이 방류보다 많으면 저수량은 계속 늘고, 유입이 방류 아래로 내려간 순간부터 줄기 시작한다. 유입이 $0$ 이 되는 시각과는 무관하다.

**확장** — 같은 구조가 국가재정에도 나타난다. 부채가 $500$ 조원이고 재정적자 흐름이 $60 - 20t$ (조원/년)이라면, 적자가 $0$ 이 되는 $t = 3$ 년까지 부채는 계속 늘어 $500 + \int_0^3(60 - 20t)dt = 500 + 90 = 590$ 조원이 되고, **그 뒤에** 감소하기 시작한다. 유입이 방류를 넘는 동안 저수량이 증가하는 것과 구조가 동일하다.
:::

### 문제 7 · 두 나라의 로렌츠 곡선  ★★☆

**상황** — 통계 자료에 두 가상 국가의 로렌츠 곡선이 실려 있다. 가로축 $x$ 는 소득이 낮은 쪽부터 센 인구의 누적 비율, 세로축은 그들이 가진 소득의 누적 비율이다.

$$\text{A국:}\ L_A(x) = x^2, \qquad \text{B국:}\ L_B(x) = \frac{x + x^2}{2} \qquad (0 \le x \le 1)$$

**모형 설정** — 두 곡선을 관찰해 "A국이 더 불평등하다"고 말하는 것과, 하나의 수로 "A국의 지니계수는 $\square$"라고 말하는 것은 다르다. 어떤 넓이를 어떤 넓이로 나눌 것인지 정한다. 완전평등선과의 사이 넓이를 그대로 답으로 낼 것인지, 정규화할 것인지가 분기점이다.

:::{admonition} 모형화 다섯 단계
:class: tip
① **미지량** — 두 나라의 지니계수 $G_A$, $G_B$.
② **주어진 값** — 완전평등선은 $y = x$. 완전평등선과 로렌츠 곡선 사이 넓이를 $A$, 로렌츠 곡선 아래를 $B$ 라 하면 $A + B = \tfrac12$.
③ **관계식** — $\displaystyle G = \frac{A}{A+B} = 2\int_0^1\big(x - L(x)\big)dx$.
④ **사용 도구** — [제35장](../part3/ch35.md) 두 곡선 사이 넓이, [제33장](../part3/ch33.md) FTC
⑤ **모형의 한계** — 지니계수는 **한 시점의 분포**를 나타낸다. 지니계수가 같더라도 해마다 구성원의 순위가 바뀌는 사회와 $20$ 년째 순위가 고정된 사회는 전혀 다른데, 넓이는 그 차이를 담지 못한다. 세대 간 이동성은 로렌츠 곡선 바깥의 정보다.
:::

:::{admonition} 풀이와 검산
:class: dropdown
**A국.**

$$G_A = 2\int_0^1 (x - x^2)\,dx = 2\left[\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}\right]_0^1 = 2\left(\frac12 - \frac13\right) = 2 \cdot \frac16 = \frac13 \approx 0.333$$

**B국.** 먼저 피적분함수를 정리한다.

$$x - \frac{x + x^2}{2} = \frac{2x - x - x^2}{2} = \frac{x - x^2}{2}$$

$$G_B = 2\int_0^1 \frac{x - x^2}{2}\,dx = \int_0^1 (x - x^2)\,dx = \frac16 \approx 0.167$$

**답** — $G_A = \tfrac13 \approx 0.333$, $G_B = \tfrac16 \approx 0.167$. B국이 더 평등하다. 지니계수가 정확히 절반이다.

**검산** — 구체적인 지점으로 확인한다.

| | 하위 $50\%$ 의 소득 점유율 | 상위 $10\%$ 의 소득 점유율 |
|---|---|---|
| 완전평등 | $50\%$ | $10\%$ |
| A국 | $L_A(0.5) = 0.25 \to 25\%$ | $1 - L_A(0.9) = 1 - 0.81 = 19\%$ |
| B국 | $L_B(0.5) = \tfrac{0.5+0.25}{2} = 0.375 \to 37.5\%$ | $1 - L_B(0.9) = 1 - 0.855 = 14.5\%$ |

두 지표 모두 B국이 완전평등에 가깝다. 지니계수의 대소와 일치한다.

**빈번한 오류** — $A = \int_0^1(x - L(x))dx$ 를 구하고 그 값을 그대로 지니계수라 부르는 것. A국이면 $\tfrac16 \approx 0.167$ 이라는 값이 나온다. $A$ 는 아무리 커도 $\tfrac12$ 을 넘지 못하므로, $0$ 에서 $1$ 사이의 눈금으로 만들려면 반드시 $\tfrac12$ 로 나눠야 한다. 계수 $2$ 는 이 정규화에서 나온다.

**확장** — 로렌츠 곡선이 서로 **교차**하는 경우를 생각한다. 한 나라는 하위층의 점유율이 특히 낮고, 다른 나라는 최상위의 점유율이 특히 높은데도 지니계수가 같게 나올 수 있다. 그래서 실무에서는 지니계수 하나만 보지 않고 상위 $10\%$ 점유율, 상위 $1\%$ 점유율, 소득 $5$ 분위 배율을 함께 본다. 하나의 넓이로 곡선 전체를 요약할 때는 반드시 정보의 손실이 발생한다.
:::

### 문제 8 · 브레이크 패드 창고  ★☆☆

**상황** — 대전의 자전거 부품 도매상은 매달 $1$ 일에 브레이크 패드 $1{,}200$ 개를 들여와, 한 달($30$ 일) 동안 하루 $40$ 개씩 일정하게 팔아 말일에 재고를 $0$ 으로 만든다. 창고 임차료와 보험을 재고 한 개당 하루 $50$ 원으로 환산해 두었다.

**모형 설정** — 한 달 보관비를 계산하려면 재고 항목에 어떤 값을 넣어야 하는지 정한다. 월초의 $1{,}200$ 개인지, 월말의 $0$ 인지, 또는 다른 값인지를 결정한다. 무엇에 대해 평균을 낼지가 관건이다.

:::{admonition} 모형화 다섯 단계
:class: tip
① **미지량** — 한 달 평균 재고와 총 보관비.
② **주어진 값** — $I(t) = 1{,}200 - 40t$ (개, $0 \le t \le 30$), 단가 $50$ 원/(개·일).
③ **관계식** — $\displaystyle \bar I = \frac{1}{30}\int_0^{30} I(t)\,dt$, 보관비 $= 50 \times \int_0^{30} I(t)\,dt$.
④ **사용 도구** — 구간 평균 $\frac{1}{b-a}\int_a^b f$, [제32장](../part3/ch32.md) 적분의 도입
⑤ **모형의 한계** — 이 계산은 재고가 적을수록 보관비가 작다는 것만 말한다. 재고 소진으로 놓친 주문, 소량 발주로 늘어나는 배송비와 발주 인건비는 이 적분에 포함되지 않는다. 최적 발주량은 그 요소들을 함께 고려해야 나온다.
:::

:::{admonition} 풀이와 검산
:class: dropdown
$$\int_0^{30}(1{,}200 - 40t)\,dt = \Big[1{,}200t - 20t^2\Big]_0^{30} = 36{,}000 - 18{,}000 = 18{,}000$$

단위는 개$\times$일이다. 평균 재고는 다음과 같다.

$$\bar I = \frac{18{,}000}{30} = 600 \ \text{개}$$

보관비는 다음과 같다.

$$50 \times 18{,}000 = 900{,}000 \ \text{원}$$

**답** — 평균 재고 $600$ 개, 한 달 보관비 $900{,}000$ 원.

**검산** — 재고 곡선이 직선이므로 곡선 아래는 밑변 $30$, 높이 $1{,}200$ 인 삼각형이다. $\tfrac12 \times 30 \times 1{,}200 = 18{,}000$. 또 직선이면 평균은 양 끝값의 중간이므로 $(1{,}200 + 0)/2 = 600$ 개다. 두 방법의 결과가 일치한다.

**빈번한 오류** — $1{,}200 \times 50 \times 30 = 1{,}800{,}000$ 원. 한 달 내내 재고가 $1{,}200$ 개였다고 계산한 것이며, 정확히 두 배가 나온다. 재고는 스톡이고 매 순간 값이 다르므로, 곱셈이 아니라 적분이 필요하다.

**확장** — 같은 $1{,}200$ 개를 같은 $30$ 일에 모두 팔더라도 **판매 시점의 분포**가 다르면 보관비가 달라진다. 판매가 앞쪽에 집중되어 재고가 $I(t) = 1{,}200\left(1 - \tfrac{t}{30}\right)^2$ 로 감소한 경우를 본다. $u = 1 - \tfrac{t}{30}$ 로 치환하면 $dt = -30\,du$ 이므로 다음이 된다.

$$\int_0^{30} 1{,}200\left(1-\tfrac{t}{30}\right)^2 dt = 1{,}200 \times 30 \int_0^1 u^2\,du = 36{,}000 \times \frac13 = 12{,}000$$

평균 재고 $400$ 개, 보관비 $600{,}000$ 원이다. **총 판매량이 같아도 $300{,}000$ 원이 갈린다.** 재고 관리가 판매량의 문제가 아니라 판매 시점의 문제인 이유가 여기 있다.
:::

### 문제 9 · 굴착기의 장부가  ★★☆  (계산기 사용)

**상황** — 건설장비 임대업을 하는 문재하는 $5{,}000$ 만원짜리 굴착기를 샀다. 세무사는 정률법 상각을 권했다. **정률법**은 남은 장부가에 일정 비율을 곱해 상각하는 방식으로, 연속으로 보면 장부가가 $V(t) = 5{,}000\,e^{-0.2t}$ (만원, $t$ 는 연)로 감소한다.

**모형 설정** — "$5$ 년 동안 상각한 총액"을 구하는 방법이 두 가지다. 매 순간의 **상각 흐름**을 적분하는 방법과, 처음과 나중의 **장부가 차이**를 구하는 방법이다. 두 방법이 반드시 같은 값을 주는 이유가 이 장의 요점이다.

:::{admonition} 모형화 다섯 단계
:class: tip
① **미지량** — $5$ 년간 누적 감가상각액과 $5$ 년 말 장부가.
② **주어진 값** — $V(t) = 5{,}000e^{-0.2t}$, $V(0) = 5{,}000$ 만원.
③ **관계식** — 상각 흐름 $d(t) = -V'(t) = 1{,}000e^{-0.2t}$ (만원/년). 누적 $= \displaystyle\int_0^5 d(t)\,dt$. 또는 곧바로 $V(0) - V(5)$.
④ **사용 도구** — [제29장](../part3/ch29.md) 연쇄법칙, [제33장](../part3/ch33.md) FTC, [제34장](../part3/ch34.md) 치환적분
⑤ **모형의 한계** — 장부가는 **회계 규칙이 정의한 수**이지 중고 시세가 아니다. 이 굴착기가 $5$ 년 뒤 장부가에 해당하는 금액으로 실제로 매각된다는 뜻은 아니다. 세법상 상각률과 시장의 마모 속도는 서로 다른 개념이다.
:::

:::{admonition} 풀이와 검산
:class: dropdown
장부가를 미분해 상각 흐름을 얻는다.

$$V'(t) = 5{,}000 \times (-0.2) e^{-0.2t} = -1{,}000\,e^{-0.2t}$$

따라서 상각 흐름은 $d(t) = 1{,}000e^{-0.2t}$ (만원/년)이고 다음이 성립한다.

$$\int_0^5 1{,}000\,e^{-0.2t}\,dt = \frac{1{,}000}{0.2}\left(1 - e^{-1}\right) = 5{,}000\left(1 - e^{-1}\right)$$

$e^{-1} \approx 0.36788$ 이므로 다음이 된다.

$$\approx 5{,}000 \times 0.63212 \approx 3{,}160.6 \ \text{만원}$$

$5$ 년 말 장부가는 $V(5) = 5{,}000 \times 0.36788 \approx 1{,}839.4$ 만원이다.

**답** — 누적 상각액 약 $3{,}161$ 만원, $5$ 년 말 장부가 약 $1{,}839$ 만원.

**검산** — 두 값을 더하면 $3{,}160.6 + 1{,}839.4 = 5{,}000$ 만원으로 취득가와 정확히 같다. 이것이 기본정리가 보장하는 결과다. 상각 흐름을 쌓은 값과 장부가의 차이는 같은 양의 두 표현이다.

**빈번한 오류** — 상각률이 $0.2$ 이므로 $0.2 \times 5 = 1 = 100\%$, 곧 $5$ 년이면 전액 상각된다고 보는 것. 정률(지수) 상각은 **남은 값**에 비율을 곱하므로 장부가가 $0$ 에 도달하지 않는다. $10$ 년 뒤에도 $5{,}000e^{-2} \approx 677$ 만원이 남는다.

**확장** — 같은 굴착기를 **정액법**(취득가에서 잔존가치를 뺀 값을 내용연수로 균등하게 나눠 매년 같은 금액씩 상각하는 방식)으로 $8$ 년, 잔존가치 $0$ 으로 상각하는 경우를 본다. 매년 $5{,}000 \div 8 = 625$ 만원씩이므로 $3$ 년 누적은 $1{,}875$ 만원이다. 정률법으로 $3$ 년이면 $5{,}000(1 - e^{-0.6}) \approx 5{,}000 \times 0.45119 \approx 2{,}256$ 만원이다. 앞쪽 $3$ 년만 보면 정률법이 $381$ 만원 더 많이 상각한다. 그러나 총액까지 같아지려면 기간을 무한히 늘려야 한다. $8$ 년만 놓고 보면 정률법 누적은 $5{,}000(1 - e^{-1.6}) \approx 5{,}000 \times 0.79810 \approx 3{,}991$ 만원으로 정액법의 $5{,}000$ 만원에 미치지 못한다. 달라지는 것은 **총액과 시점 분포 둘 다**이며, 세금에서 중요한 것은 시점 분포다. 정률법은 앞쪽에 비용을 배분해 초기 세금을 줄이고, 시점이 다르면 [제39장](ch39.md)의 할인 때문에 현재가치가 달라진다. 실무의 정률법이 상각 후반에 정액법으로 전환하는 것도 이 때문이다. 정률법을 유지하면 장부가가 $0$ 에 도달하지 않으므로, 어느 시점부터는 남은 장부가를 남은 내용연수로 나누어 균등하게 상각한다.
:::

### 문제 10 · 신도시 인구  ★★☆  (계산기 사용)

**상황** — 어느 신도시의 인구는 $2020$ 년 초에 $400{,}000$ 명이었다. 그 뒤 인구 증가 **속도**가 $P'(t) = 5{,}000\,e^{0.03t}$ (명/년, $t$ 는 $2020$ 년 초부터의 연수)로 관측되었다. 시청은 $2030$ 년 초까지 필요한 초등학교 수를 추정하려 한다.

**모형 설정** — 주어진 것이 인구인지 인구의 변화 속도인지를 단위로 먼저 확인한다. 그리고 $2030$ 년 인구를 구할 때 초기 인구 $400{,}000$ 명을 식의 어디에 넣을 것인지가 분기점이다.

:::{admonition} 모형화 다섯 단계
:class: tip
① **미지량** — $2030$ 년 초의 인구 $P(10)$.
② **주어진 값** — $P'(t) = 5{,}000e^{0.03t}$ (명/년), $P(0) = 400{,}000$ (명).
③ **관계식** — $\displaystyle P(10) = P(0) + \int_0^{10} 5{,}000\,e^{0.03t}\,dt = 400{,}000 + \frac{5{,}000}{0.03}\left(e^{0.3} - 1\right)$.
④ **사용 도구** — [제33장](../part3/ch33.md) FTC, [제34장](../part3/ch34.md) 치환적분
⑤ **모형의 한계** — 이 계산은 관측된 증가 속도가 $10$ 년 내내 유지된다고 가정한다. 신도시 인구는 입주가 끝나면 대체로 증가세가 꺾인다. 적분은 **주어진 흐름을 쌓을 뿐** 그 흐름이 지속될지는 판정하지 않는다.
:::

:::{admonition} 풀이와 검산
:class: dropdown
$$\int_0^{10} 5{,}000\,e^{0.03t}\,dt = \frac{5{,}000}{0.03}\Big[e^{0.03t}\Big]_0^{10} = \frac{5{,}000}{0.03}\left(e^{0.3} - 1\right)$$

$e^{0.3} \approx 1.34986$ 이므로 다음이 된다.

$$\approx 166{,}666.7 \times 0.34986 \approx 58{,}310 \ \text{명}$$

$$P(10) \approx 400{,}000 + 58{,}310 = 458{,}310 \ \text{명}$$

**답** — $2030$ 년 초 인구는 약 $458{,}310$ 명이다. $10$ 년간 약 $58{,}310$ 명 증가한다.

**검산** — 사다리꼴로 근사한다. 증가 속도는 $t = 0$ 에 $5{,}000$ 명/년, $t = 10$ 에 $5{,}000 \times 1.34986 \approx 6{,}749$ 명/년이다. 평균을 $\tfrac{5{,}000 + 6{,}749}{2} \approx 5{,}875$ 명/년으로 잡으면 $10$ 년간 $58{,}750$ 명이다. 지수함수는 아래로 볼록하므로 사다리꼴 근사가 실제보다 **약간 크게** 나오는 것이 타당하다. $58{,}310 < 58{,}750$ 으로 방향이 일치한다.

**빈번한 오류** — 두 가지가 자주 나타난다.

첫째, $P'(t)$ 를 인구로 착각해 "$2030$ 년 인구는 $6{,}749$ 명"이라 답하는 것. 단위를 확인하면 바로 판별된다. 명/년과 명은 서로 다른 양이다.

둘째, "인구가 지수적으로 는다"는 서술에 이끌려 $P(t) = 400{,}000\,e^{0.03t}$ 라 놓는 것. 이 식을 미분하면 $t = 0$ 에서 증가 속도가 $400{,}000 \times 0.03 = 12{,}000$ 명/년이 되어 주어진 $5{,}000$ 명/년과 어긋난다. **지수적으로 커지는 것은 인구가 아니라 증가 속도**다.

**확장** — 학교 수요를 결정하는 것은 총인구가 아니라 학령인구, 곧 특정 연령대의 **스톡**이다. 총인구가 $58{,}310$ 명 늘어도 그중 $6$ 세부터 $11$ 세가 몇 명인지는 이 적분으로 알 수 없다. 신도시는 초기 입주 시기에 어린이 비중이 높았다가 $10$ 년쯤 뒤 급락하는 경향이 있어, 총량만 보고 학교를 지으면 이후 교실이 남는다.
:::

### 문제 11 · 두 감축 경로  ★☆☆

**상황** — 어느 나라의 $2025$ 년 온실가스 배출량은 연 $600$ 백만톤이고, 정부는 $2050$ 년 배출 $0$ 을 약속했다. $2025$ 년을 $t = 0$ 으로 두고 두 경로가 논의된다.

- **경로 갑** — 곧바로 매년 같은 폭으로 줄여 $2050$ 년에 $0$: $E_1(t) = 600 - 24t$ ($0 \le t \le 25$)
- **경로 을** — $2035$ 년까지 $600$ 을 유지하다가 그 뒤 매년 같은 폭으로 줄여 $2050$ 년에 $0$: $E_2(t) = 600$ ($0 \le t \le 10$), $E_2(t) = 1{,}000 - 40t$ ($10 \le t \le 25$)

**모형 설정** — 두 경로는 출발점도 도착점도 같다. 지구 기온에 영향을 주는 것이 **매년의 배출량**인지 **대기에 쌓인 총량**인지를 먼저 확정한다. 여기서 잘못 고르면 두 경로가 같다는 결론이 나온다.

:::{admonition} 모형화 다섯 단계
:class: tip
① **미지량** — 두 경로의 $25$ 년 누적 배출량과 그 차이.
② **주어진 값** — 두 배출 곡선. 배출량은 플로우(백만톤/년), 대기 축적량은 스톡(백만톤).
③ **관계식** — 누적 $= \displaystyle\int_0^{25} E(t)\,dt$. 차이는 $\displaystyle\int_0^{25}\big(E_2(t) - E_1(t)\big)dt$.
④ **사용 도구** — [제32장](../part3/ch32.md) 적분의 도입, [제35장](../part3/ch35.md) 두 곡선 사이 넓이
⑤ **모형의 한계** — 이 넓이는 **배출의 누적**이지 **대기 중 농도**가 아니다. 실제로는 바다와 숲이 배출량의 일부를 흡수하고, 그 흡수 비율 자체도 시간에 따라 변한다. 흡수를 반영하려면 $S' = E(t) - \delta S$ 형태의 식이 필요한데 그것은 이 책의 도구를 넘는다.
:::

:::{admonition} 풀이와 검산
:class: dropdown
**경로 갑.** 밑변 $25$, 높이 $600$ 인 삼각형이다.

$$\int_0^{25}(600 - 24t)\,dt = \Big[600t - 12t^2\Big]_0^{25} = 15{,}000 - 7{,}500 = 7{,}500$$

**경로 을.** 직사각형 하나와 삼각형 하나로 나뉜다.

$$\underbrace{600 \times 10}_{6{,}000} + \underbrace{\tfrac12 \times 15 \times 600}_{4{,}500} = 10{,}500$$

**답** — 갑은 $7{,}500$ 백만톤, 을은 $10{,}500$ 백만톤이다. 을이 $3{,}000$ 백만톤(=$30$ 억톤) 더 많고, 갑의 $1.4$ 배다.

**검산** — 두 곡선 사이 넓이로 직접 구한다. $0 \le t \le 10$ 구간에서 $E_2 - E_1 = 600 - (600 - 24t) = 24t$ 이므로 다음이 성립한다.

$$\int_0^{10} 24t\,dt = 12 \times 100 = 1{,}200$$

$10 \le t \le 25$ 구간에서 $E_2 - E_1 = (1{,}000 - 40t) - (600 - 24t) = 400 - 16t$ 이므로 다음이 성립한다.

$$\int_{10}^{25}(400 - 16t)\,dt = \Big[400t - 8t^2\Big]_{10}^{25} = (10{,}000 - 5{,}000) - (4{,}000 - 800) = 5{,}000 - 3{,}200 = 1{,}800$$

$1{,}200 + 1{,}800 = 3{,}000$ 으로 앞의 뺄셈과 일치한다.

**빈번한 오류** — "둘 다 $2050$ 년에 배출 $0$ 이므로 결과가 같다"는 판단. 배출량(플로우)이 같아지는 것과 누적 배출(스톡)이 같아지는 것은 서로 다른 사건이다. 기후를 움직이는 것은 대기 중에 남은 양, 곧 스톡이다. "$2050$ 년 넷제로"라는 목표만으로 정책을 평가할 수 없는 이유가 여기 있다.

**확장** — 이 나라에 남은 탄소예산(누적 배출 한도)이 $8{,}000$ 백만톤인 경우를 본다. 갑은 $500$ 백만톤의 여유를 두고 한도 안에 들어오지만, 을은 $2{,}500$ 백만톤 초과다. 목표 연도가 같아도 **경로의 형태**가 결과를 가른다. 기후 협상에서 감축 목표 연도만큼이나 중간 목표가 쟁점이 되는 이유다.
:::

### 문제 12 · 광고를 끊은 뒤  ★★★  (계산기 사용)

**상황** — 온라인 반찬가게를 하는 김세라는 $1{,}500$ 만원을 들여 한 달짜리 광고를 집행했다. 광고가 끝난 뒤에도 매출은 곧바로 원래 수준으로 돌아가지 않았다. 광고 종료 시점을 $t = 0$(개월)으로 두면, 광고가 없었을 경우에 비해 늘어난 **공헌이익**(매출에서 재료비·배송비 같은 변동비를 뺀 몫)의 흐름이 $g(t) = 800\,e^{-0.4t}$ (만원/월)로 감쇠했다.

**모형 설정** — 광고비를 회수했는지 판단하려면 무엇과 무엇을 비교할지 정한다. 늘어난 매출과 광고비를 비교할 것인지, 늘어난 공헌이익의 누적과 광고비를 비교할 것인지가 분기점이다. 그리고 "끝까지 쌓는다"가 어느 시점까지를 뜻하는지도 정해야 한다.

:::{admonition} 모형화 다섯 단계
:class: tip
① **미지량** — 광고 효과의 총 누적액, 그리고 광고비를 회수하는 시점.
② **주어진 값** — $g(t) = 800e^{-0.4t}$ (만원/월), 광고비 $1{,}500$ 만원(일시 지출).
③ **관계식** — 총 효과 $= \displaystyle\int_0^\infty 800e^{-0.4t}dt$. $T$ 개월까지의 누적 $= \dfrac{800}{0.4}\big(1 - e^{-0.4T}\big)$. 회수 시점은 이 값이 $1{,}500$ 이 되는 $T$.
④ **사용 도구** — [제34장](../part3/ch34.md) 치환적분, [제22장](../part3/ch22.md) 로그, 이 장 「연속 현금흐름의 현재가치」의 $T \to \infty$ 극한(영구흐름)
⑤ **모형의 한계** — $g(t)$ 전체를 광고 효과로 규정했지만, 같은 기간에 계절 수요나 경쟁사의 사정이 겹쳤다면 그 몫이 섞여 있다. 적분은 주어진 곡선을 정확히 쌓을 뿐, **그 곡선이 광고에서 비롯되었는지**는 판정하지 못한다. 인과를 판별하려면 광고를 집행하지 않은 비교집단이 필요하다.
:::

:::{admonition} 풀이와 검산
:class: dropdown
**총 효과.**

$$\int_0^\infty 800\,e^{-0.4t}\,dt = \frac{800}{0.4}\lim_{T\to\infty}\left(1 - e^{-0.4T}\right) = \frac{800}{0.4} = 2{,}000 \ \text{만원}$$

광고비 $1{,}500$ 만원을 빼면 순이익은 $+500$ 만원이다. 광고비를 초과 회수했다.

**$6$ 개월까지의 누적.** $e^{-2.4} \approx 0.09072$ 이므로 다음이 된다.

$$2{,}000\left(1 - e^{-2.4}\right) \approx 2{,}000 \times 0.90928 \approx 1{,}818.6 \ \text{만원}$$

전체 효과의 $90.9\%$ 가 $6$ 개월 안에 발생한다.

**회수 시점.**

$$2{,}000\left(1 - e^{-0.4T}\right) = 1{,}500 \;\Rightarrow\; 1 - e^{-0.4T} = 0.75 \;\Rightarrow\; e^{-0.4T} = 0.25$$

양변에 자연로그를 취하면 $-0.4T = \ln 0.25 = -\ln 4 \approx -1.38629$ 이므로 다음이 된다.

$$T = \frac{1.38629}{0.4} \approx 3.47 \ \text{개월}$$

**답** — 총 효과 $2{,}000$ 만원, 순이익 $+500$ 만원, 광고비 회수까지 약 $3.5$ 개월.

**검산** — $T = 3.466$ 에서 $e^{-0.4 \times 3.466} = e^{-1.38629} = 0.25$ 이므로 누적은 $2{,}000 \times (1 - 0.25) = 1{,}500$ 만원이다. 광고비와 정확히 같다.

**빈번한 오류** — 두 가지가 있다.

첫째, "첫 달 효과가 $800$ 만원이므로 $2$ 달이면 $1{,}600$ 만원"이라 계산하는 것. $g(0) = 800$ 은 **흐름의 순간값**(만원/월)이지 첫 달 총액이 아니다. 실제 $1$ 개월차 누적은 $2{,}000(1 - e^{-0.4}) \approx 2{,}000 \times 0.32968 \approx 659$ 만원으로 훨씬 작다.

둘째, 매출 흐름과 공헌이익 흐름을 혼용하는 것. 변동비를 빼지 않은 매출로 회수를 계산하면 회수 시점이 실제보다 이르게 나온다. 광고비와 비교할 대상은 **변동비를 뺀 몫**이다.

**확장** — 감쇠율이 $0.4$ 가 아니라 $0.8$ 이라면(잊히는 속도가 두 배) 총 효과는 $800 \div 0.8 = 1{,}000$ 만원이다. 첫 달 반응의 크기($800$ 만원/월)는 동일한데 광고비 $1{,}500$ 만원을 **회수하지 못한다.** 광고의 가치는 반응의 크기보다 반응의 지속 기간에 더 크게 좌우된다. 브랜드 광고와 할인 쿠폰을 같은 기준으로 평가할 수 없는 이유가 여기 있다.
:::

### 문제 13 · 두 난방 정책  ★★★

**상황** — 어느 광역시가 노후 아파트 난방 개선에 두 가지 안을 검토한다. 시행 시점을 $t = 0$(년)으로 두면 연간 재정 지출 흐름은 다음과 같다.

- **갑안** — $A(t) = 100 + 10t$ (억원/년). 초기 비용은 작지만 유지비가 매년 는다.
- **을안** — $B(t) = 160 + 2t$ (억원/년). 초기 설비비가 크지만 이후 증가가 완만하다.

사업 기간은 $15$ 년이다.

**모형 설정** — 어느 쪽이 저렴한지에 대한 답이 하나로 정해지지 않을 수 있다. 비교 구간을 $15$ 년 전체로 잡는지 더 짧게 잡는지에 따라 답이 뒤집힌다. 두 곡선이 만나는 시점을 먼저 구하는 것이 순서다.

:::{admonition} 모형화 다섯 단계
:class: tip
① **미지량** — 두 안의 $15$ 년 누적 지출과 그 차이, 그리고 중간에 중단할 때의 비교.
② **주어진 값** — $A(t) = 100 + 10t$, $B(t) = 160 + 2t$ (둘 다 억원/년), 기간 $15$ 년.
③ **관계식** — 교차 시점은 $A(t) = B(t)$. 누적 차이는 $\displaystyle\int_0^{T}\big(B(t) - A(t)\big)dt = \int_0^{T}(60 - 8t)\,dt$.
④ **사용 도구** — [제35장](../part3/ch35.md) 두 곡선 사이 넓이, [제10장](../part2/ch10.md) 일차방정식
⑤ **모형의 한계** — 이 비교는 두 안의 **효과가 같다**고 놓았다. 을안이 난방 효율을 더 크게 올려 시민의 난방비를 더 줄인다면, 지출 곡선만 비교하는 것은 비교의 한쪽 항만 고려하는 것이다.
:::

:::{admonition} 풀이와 검산
:class: dropdown
**교차 시점.**

$$100 + 10t = 160 + 2t \;\Rightarrow\; 8t = 60 \;\Rightarrow\; t = 7.5\ \text{년}$$

$7.5$ 년 전에는 을안이 더 비싸고, 그 뒤에는 갑안이 더 비싸다.

**$15$ 년 누적 차이.**

$$\int_0^{15}\big(B - A\big)dt = \int_0^{15}(60 - 8t)\,dt = \Big[60t - 4t^2\Big]_0^{15} = 900 - 900 = 0$$

$0$ 이다. 각각 직접 계산해도 결과가 같다.

$$\int_0^{15}(100 + 10t)\,dt = 1{,}500 + 5 \times 225 = 2{,}625$$
$$\int_0^{15}(160 + 2t)\,dt = 2{,}400 + 225 = 2{,}625$$

**중간에 중단하는 경우.** $8$ 년째에 사업이 중단되는 경우를 계산한다.

$$\int_0^{8}(60 - 8t)\,dt = \Big[60t - 4t^2\Big]_0^{8} = 480 - 256 = 224$$

**답** — 두 곡선은 $7.5$ 년에 만난다. $15$ 년 누적 지출은 두 안 모두 $2{,}625$ 억원으로 **정확히 같다**. 그러나 $8$ 년에 중단되면 갑안 $1{,}120$ 억원, 을안 $1{,}344$ 억원으로 갑안이 $224$ 억원 적다.

**검산** — 두 곡선 사이의 넓이를 두 조각으로 나눠 확인한다.

$$\int_0^{7.5}(60 - 8t)\,dt = 450 - 4 \times 56.25 = 225 \qquad (\text{을안이 더 쓴 몫})$$
$$\int_{7.5}^{15}(8t - 60)\,dt = \Big[4t^2 - 60t\Big]_{7.5}^{15} = (900 - 900) - (225 - 450) = 225 \qquad (\text{갑안이 더 쓴 몫})$$

두 조각이 정확히 같으므로 총액이 같다는 결과와 일치한다.

**빈번한 오류** — "$15$ 년 총액이 같으므로 어느 쪽이든 무방하다"는 결론. 넓이가 같아도 **넓이의 시점 분포**가 다르면 현재가치가 다르다. [제39장](ch39.md)의 할인을 반영하면 지출이 앞쪽에 집중된 을안이 현재가치 기준으로 더 비싸다. 미래의 $100$ 억원은 현재의 $100$ 억원보다 현재가치가 작기 때문이다.

**확장** — 갑안이 항상 유리한 것은 아니다. 갑안은 시간이 갈수록 지출이 늘어나므로, $15$ 년 뒤에도 사업을 계속한다면 부담이 계속 커진다. $20$ 년으로 늘리면 $\int_0^{20}A = 2{,}000 + 5 \times 400 = 4{,}000$ 억원, $\int_0^{20}B = 3{,}200 + 400 = 3{,}600$ 억원으로 을안이 $400$ 억원 적다. **넓이가 같을 때 선택을 가르는 것은 넓이 바깥의 조건** — 사업의 지속 기간과 현재 재정의 여력 — 이다.
:::

### 문제 14 · 카페의 하루  ★☆☆

**상황** — 대구의 한 카페가 포스 기록으로 시간대별 매출 속도를 추정했다. 오전 $9$ 시를 $t = 0$, 오후 $9$ 시를 $t = 12$ 로 두면 $r(t) = 5t(12 - t)$ (천원/시간)이다.

**모형 설정** — $r(6) = 180$ 이라는 값이 "오후 $3$ 시 매출이 $18$ 만원"을 뜻하는지 단위로 확인한다. 그리고 하루 매출을 구할 때 이 곡선을 더할 것인지, 곱할 것인지, 적분할 것인지를 정한다.

:::{admonition} 모형화 다섯 단계
:class: tip
① **미지량** — 하루 총매출, 평균 매출 속도.
② **주어진 값** — $r(t) = 5t(12-t) = 60t - 5t^2$ (천원/시간), $0 \le t \le 12$.
③ **관계식** — 하루 매출 $= \displaystyle\int_0^{12} (60t - 5t^2)\,dt$, 평균 $= \dfrac{1}{12}\int_0^{12} r(t)\,dt$.
④ **사용 도구** — [제32장](../part3/ch32.md) 적분의 도입, 구간 평균
⑤ **모형의 한계** — 이 곡선은 과거 기록에서 추정한 것이다. 강우, 시험 기간, 인근 공사 등 곡선의 형태를 바꾸는 요인은 이 식에 포함되지 않는다. 그리고 매출은 이익과 다른 양이다.
:::

:::{admonition} 풀이와 검산
:class: dropdown
$$\int_0^{12} 5t(12 - t)\,dt = 5\int_0^{12}(12t - t^2)\,dt = 5\left[6t^2 - \frac{t^3}{3}\right]_0^{12}$$

$$= 5\left(6 \times 144 - \frac{1{,}728}{3}\right) = 5(864 - 576) = 5 \times 288 = 1{,}440 \ \text{천원}$$

평균 매출 속도는 $1{,}440 \div 12 = 120$ 천원/시간이다.

**답** — 하루 매출 $1{,}440$ 천원 $= 144$ 만원. 평균 $12$ 만원/시간, 최고는 $t = 6$(오후 $3$ 시)의 $18$ 만원/시간.

**검산** — 두 가지로 확인한다. 첫째, 평균 $\times$ 시간 $= 120 \times 12 = 1{,}440$ 천원으로 일치한다. 둘째, 포물선 아래 넓이는 그 포물선에 외접하는 직사각형 넓이의 $\tfrac23$ 이다. $180 \times 12 \times \tfrac23 = 1{,}440$ 천원으로 일치한다.

**빈번한 오류** — $r(6) = 180$ 을 "오후 $3$ 시 매출이 $18$ 만원"으로 읽는 것. $r$ 의 단위는 천원/**시간**, 곧 속도다. 오후 $3$ 시라는 **한 시점**의 매출은 $0$ 이다(구간의 폭이 없으므로). $180$ 천원은 "오후 $2$ 시 $30$ 분부터 $3$ 시 $30$ 분까지 한 시간에 약 $18$ 만원"이라는 뜻이다. 속도계의 눈금을 거리로 읽는 오류와 동일한 구조다.

**확장** — 오후 $1$ 시부터 $5$ 시까지($t \in [4, 8]$)의 매출을 구한다.

$$5\left[6t^2 - \frac{t^3}{3}\right]_4^8 = 5\left[(384 - 170.67) - (96 - 21.33)\right] = 5 \times 138.67 \approx 693 \ \text{천원}$$

$12$ 시간 중 $4$ 시간이 하루 매출의 $48\%$ 를 만든다. 반면 오전 $9$ 시부터 정오까지($t \in [0,3]$)는 $5 \times 45 = 225$ 천원으로 $15.6\%$ 다. 시간제 인력을 어느 시간대에 배치할지, 오전 영업을 유지할지 같은 결정이 이 넓이의 분포에서 나온다.
:::

### 문제 15 · 보고서 바로잡기  ★★☆

**상황** — 어느 지자체 산하 공사의 연간 보고서에 다음 세 문장이 실렸다.

> **(가)** "올해 하수처리 시설의 한계비용이 작년보다 모든 구간에서 낮아졌다. 따라서 총운영비가 줄었다."
> **(나)** "물가 상승률이 $3\%$ 에서 $1.5\%$ 로 절반이 되었다. 따라서 물가가 절반으로 내렸다."
> **(다)** "이번 분기 월별 순현금흐름이 계속 줄고 있다. 따라서 현금 잔고가 줄고 있다."

참고로 (가)의 수치는 다음과 같다. 작년 한계비용 $MC_1(q) = 0.4q + 300$, 올해 $MC_2(q) = 0.2q + 300$ (원/톤). 처리량은 작년 $2{,}000$ 톤에서 올해 $5{,}000$ 톤으로 늘었고, 고정비는 두 해 모두 $1{,}000{,}000$ 원이다.

**모형 설정** — 세 문장은 하나의 공통 오류를 공유한다. 먼저 그 오류를 규정한다. 그리고 (가)에 대해서는 "한계비용이 낮아졌다"는 관찰이 **틀린 것인지**, 아니면 **관찰은 옳으나 결론이 따라 나오지 않는 것인지**를 구분해야 한다. 데이터를 의심할 것인지 추론을 의심할 것인지가 분기점이다.

:::{admonition} 모형화 다섯 단계
:class: tip
① **미지량** — 세 문장에서 무엇이 도함수에 관한 서술이고 무엇이 원함수에 관한 서술인지, 그리고 (가)의 실제 총운영비.
② **주어진 값** — $MC_1(q) = 0.4q + 300$, $MC_2(q) = 0.2q + 300$, 처리량 $2{,}000 \to 5{,}000$ 톤, 고정비 $1{,}000{,}000$ 원.
③ **관계식** — $\displaystyle C = F + \int_0^{q} MC(x)\,dx$. 한계량은 피적분함수, 총량은 넓이다. 넓이는 **높이와 밑변 둘 다**로 정해진다.
④ **사용 도구** — [제33장](../part3/ch33.md) FTC, [제41장](ch41.md) 한계, 스톡과 플로우
⑤ **모형의 한계** — 총운영비가 늘었다는 사실 자체는 이 시설의 성과를 판정하지 않는다. 처리량이 $2.5$ 배가 되었으므로 총비용이 느는 것은 계산상 당연한 결과다. 무엇을 개선으로 규정할지(총액인지 톤당 단가인지)는 계산이 아니라 판단의 영역이다.
:::

:::{admonition} 풀이와 검산
:class: dropdown
세 문장이 공유하는 오류는 **한계량(도함수)의 변화에서 총량(원함수)의 변화를 곧바로 읽어 낸 것**이다. 속도계의 눈금을 주행거리계의 눈금으로 읽은 것이다.

**(가) — 관찰은 옳고 결론이 틀렸다.**

모든 $q > 0$ 에서 $MC_2(q) < MC_1(q)$ 인 것은 사실이다($0.2q < 0.4q$). 그러나 총비용은 곡선의 **높이**만이 아니라 밑변까지 곱해진 넓이다.

작년 변동비:

$$\int_0^{2{,}000}(0.4q + 300)\,dq = \Big[0.2q^2 + 300q\Big]_0^{2{,}000} = 800{,}000 + 600{,}000 = 1{,}400{,}000$$

작년 총비용 $= 1{,}000{,}000 + 1{,}400{,}000 = 2{,}400{,}000$ 원.

올해 변동비:

$$\int_0^{5{,}000}(0.2q + 300)\,dq = \Big[0.1q^2 + 300q\Big]_0^{5{,}000} = 2{,}500{,}000 + 1{,}500{,}000 = 4{,}000{,}000$$

올해 총비용 $= 1{,}000{,}000 + 4{,}000{,}000 = 5{,}000{,}000$ 원.

총운영비는 감소하지 않았고, 두 배 넘게 증가했다.

**(나)** 지수를 $100$ 에서 출발시키면 $100 \to 103 \to 103 \times 1.015 = 104.545$ 이다. 물가는 두 해 내내 올랐다. 물가가 내리려면 상승률이 **음수**(디플레이션)여야 한다. 상승률이 줄어드는 것은 물가 곡선의 기울기가 완만해지는 현상, 곧 이계도함수에 관한 서술이다.

**(다)** 순현금흐름이 매달 $+30$, $+20$, $+10$ (백만원)으로 줄었다고 한다. 흐름은 줄었지만 세 달 동안 잔고는 $60$ 백만원 **증가한다.** 잔고가 줄려면 순현금흐름이 음수여야 한다.

**답** — 세 문장 모두 틀렸다. 바로잡으면 다음과 같다.

| 원문 | 바른 문장 |
|---|---|
| (가) 한계비용이 낮아졌으므로 총운영비가 줄었다 | 한계비용은 낮아졌지만 처리량이 $2.5$ 배가 되어 총운영비는 $240$ 만원에서 $500$ 만원으로 늘었다. 개선은 **톤당 평균비용**에 나타난다 |
| (나) 상승률이 절반이므로 물가가 절반으로 내렸다 | 물가는 계속 올랐고, 다만 **오르는 속도**가 절반이 되었다 |
| (다) 순현금흐름이 줄고 있으므로 잔고가 줄고 있다 | 순현금흐름이 양수인 한 잔고는 계속 는다. 다만 **늘어나는 속도**가 느려지고 있다 |

**검산** — (가)의 톤당 평균비용을 계산하면 보고서가 서술하려던 내용이 드러난다.

$$\text{작년: } \frac{2{,}400{,}000}{2{,}000} = 1{,}200 \ \text{원/톤} \qquad \text{올해: } \frac{5{,}000{,}000}{5{,}000} = 1{,}000 \ \text{원/톤}$$

톤당 평균비용은 실제로 감소했다. **틀린 것은 데이터가 아니라 데이터를 요약한 지표의 선택이다.**

**빈번한 오류** — (가)에서 $MC_2 < MC_1$ 이라는 관찰까지 의심하고 데이터가 잘못되었다고 결론짓는 것. 관찰은 정확하다. 오류는 관찰과 결론을 잇는 추론에 있다. 보고서를 검토할 때는 개별 문장의 참·거짓보다 문장 사이의 추론 단계를 먼저 점검하는 편이 빠르다.

**확장** — 이 세 오류는 같은 구조로 반복된다. "실업률 증가세가 둔화되었다"(실업자는 여전히 늘고 있다), "적자 폭이 감소했다"(부채는 여전히 쌓이고 있다), "온실가스 배출 증가율이 꺾였다"(대기 중 농도는 계속 오르고 있다). 뉴스에서 **"~율", "~세", "~폭"**이라는 표현이 나오면 속도계에 해당하는 양을 읽고 있는 것이다. 주행거리계에 해당하는 양은 따로 확인해야 한다.
:::

## 적용 범위와 한계

**잉여는 지불용의로 잰다. 지불용의는 지불능력에 묶여 있다.** 소비자잉여의 넓이는 "$1$ 만원어치 만족은 누구에게나 $1$ 만원어치"라고 놓는다. 월 소득 $200$ 만원인 사람의 $1$ 만원과 월 소득 $2{,}000$ 만원인 사람의 $1$ 만원을 같은 무게로 계산하는 것이다. 그래서 총잉여를 최대로 만드는 배분이 곧 가장 정의로운 배분이라는 보장은 없다. 이 넓이는 **효율**을 재는 척도이지 **공정**을 재는 척도가 아니다.

**곡선은 관측되지 않는다.** 실제로 관측되는 것은 몇 개의 점 — 어느 날의 가격과 그날의 거래량 — 뿐이다. 수요곡선과 한계비용 곡선은 그 점들 사이를 추정해 이은 것이다. 곡선의 형태를 직선으로 잡는지 곡선으로 잡는지에 따라 잉여의 넓이는 전혀 달라진다. 이 장의 문제들이 함수를 처음부터 제시한 것은 연습을 위한 설정이며, 실제 자료가 이런 형태로 주어지는 것은 아니다.

**적분은 쌓기만 하고 감소를 반영하지 않는다.** $S(T) = S(0) + \int_0^T f$ 라는 식은 쌓인 것이 그대로 남는다고 가정한다. 그러나 대기 중 탄소는 바다가 흡수하고, 부채는 상환되고, 인구는 사망으로 줄고, 자본은 마모된다. 이러한 감소를 반영하면 식이 $S'(t) = f(t) - \delta S(t)$ 형태가 되어 미분방정식이 필요해진다. 이 책이 다루는 범위를 벗어난다.

**적분상수는 데이터에서 나오지 않는다.** 한계 정보만으로는 수준을 알 수 없다는 것이 이 장 앞부분의 결론이다. 고정비가 얼마인지, 초기 저수량이 얼마인지, 현재 부채가 얼마인지 — 이 값들은 반드시 **곡선 바깥에서** 가져와야 한다. 그리고 실무의 오류는 대개 곡선이 아니라 이 상수에서 발생한다.

**연속은 편의상의 가정이다.** $\int f(t)e^{-rt}dt$ 는 돈이 연속적으로 흐른다고 놓는다. 실제 월급은 매달 $25$ 일에 일시금으로 들어오고, 임대료는 매달 $1$ 일에 일시금으로 나간다. 흐름의 빈도가 높으면 연속 근사가 잘 맞지만, 큰 금액이 드물게 오가는 사업이라면 이산으로 계산하는 편이 정확하다.

**하나의 수는 하나의 정보만 전달한다.** 지니계수가 그렇고, 평균이 그렇고, 누적 총량이 그렇다. 요약은 언제나 무언가를 지우고, 지워진 것이 결정적일 때가 있다.

## 요약과 다음 장

이 장의 요지는 다음 한 문장이다. **흐름을 쌓으면 총량이 되고, 그 총량은 곡선 아래의 넓이다.**

| 흐름(플로우) | 쌓는 변수 | 총량(스톡) |
|---|---|---|
| 한계비용 $MC(q)$ | 수량 $q$ | 변동비 (+ 고정비 = 총비용) |
| 소득·적자·배출·유입 $f(t)$ | 시간 $t$ | 자산·부채·축적량·저수량 |
| 지불용의 − 가격 | 수량 $Q$ | 소비자잉여 |
| 가격 − 한계비용 | 수량 $Q$ | 생산자잉여 |
| 현금흐름 $\times\, e^{-rt}$ | 시간 $t$ | 현재가치 |
| $x - L(x)$ | 인구 비율 $x$ | 지니계수(의 절반) |

여기에 두 가지 논점이 덧붙는다. 하나는 **적분상수의 경제학**이다. 한계 정보는 수준을 결정하지 못하고, 그 결정되지 않은 수준이 고정비이고 초기 부채이고 초기 인구다. 다른 하나는 **구간 평균**이다. 넓이를 밑변으로 나눈 높이가 평균이고, 무엇으로 가중할지 정하지 않은 평균은 의미가 없다.

도입에서 제시한 속도계와 주행거리계의 구분으로 돌아온다. 이 장에서 바로잡은 오독 — 상승률과 물가, 적자와 부채, 한계비용과 총비용, 배출량과 축적량 — 은 모두 두 계기의 눈금을 바꿔 읽은 것이었다. [제41장](ch41.md)이 속도계를 구성하는 방법이었다면 이 장은 주행거리계를 구성하는 방법이며, 이제 두 양을 함께 놓고 경제 서술을 읽을 수 있다.

다만 이 장에서 측정한 넓이에는 조건이 하나 붙어 있다. **가로축과 세로축에 수가 붙어 있어야 한다는 것이다.** 가격이 있고 수량이 있어야 잉여를 측정할 수 있다. 그런데 가로축은 있으나 세로축이 정의되지 않은 대상이 있다. 여기서 남는 물음 — 곡선은 어디서 오는가, 값이 매겨지지 않은 것은 어떻게 재는가 — 을 [제43장](ch43.md)에서 이어 간다.