W23 · 모형을 캐리커처로 읽기 — 그리고 직접 하나 만들기

0. 이번 회차의 식¶

이 회차의 식은 새 식이 아니다. 첫 식은 W13의 오일러 방정식에 W04의 상보여유를 되붙인 것이고, 둘째 식은 그것을 두 유형의 가계로 집계한 것이다. 앞선 회차의 식들을 이 두 줄 위에서 재분류한다.

지금 읽히지 않아도 된다. 7절에서 같은 식을 다시 본다.

1. 도입¶

"가정이 비현실적이다"라는 비판은 언제 타당하고 언제 과녁을 빗나가는가.

장면 하나. 세금 환급이 몇 달 전에 공표되고 금액도 정해져 있다. 항상소득(permanent income) 이론이 맞다면 소비는 공표 시점에 이미 움직였어야 하고, 입금 시점에는 아무 일도 없어야 한다. 그런데 입금된 분기에 비내구재 지출이 뛴다(Johnson et al., 2006). 이 종류의 사실 — 예측 가능한 소득에 소비가 따라 움직이는 것 — 을 먼저 다룬 Campbell & Mankiw (1989)은 소득의 일정 비율이 현재소득을 그대로 쓰는 가계에 돌아간다고 가정하고, 소비 변화를 소득 변화에 회귀한 한 줄의 계수 $\lambda$를 그 비율이라 부른다. Kaplan & Violante (2014)은 그 가계가 가난하지 않을 수 있음을 보였다. 그 계수가 W04의 승수인지 분포의 모수인지, 소비 수준의 반응으로 읽어야 하는지 두 반응의 차이로 읽어야 하는지가 학부 읽기에는 정해져 있지 않다.

학부 읽기는 이 문장에서 두 갈래로 멈춘다. 한쪽은 "사람들이 그렇게 단순할 리 없다"다 — 가정의 현실성 비판이다. 다른 쪽은 "그렇다면 이 비율은 데이터에 맞춘 숫자다"다 — 모형이 아무것도 설명하지 않는다는 판단이다. 두 반응 모두 그 가정이 무엇을 분리하기 위해 놓였는지를 묻지 않는다. 이 비율을 만드는 가장 작은 모형의 가정 목록 — 확실성, 두 기간, 딱딱한 차입 한도 — 은 비현실적인 것이 맞다. 물어야 할 것은 비현실적인가가 아니라, 어느 가정이 어느 채널을 끄기 위해 놓였고 그 가정을 다시 켜면 어느 결론이 살아남는가다.

관문에서 이 질문을 남의 모형에 던져 봤다. W08은 Gibbard와 Varian의 구분 — 근사인가 캐리커처인가 — 을 논문 한 편에 적용했고, W16은 Sugden의 절차 — 가정 하나를 빼면 어느 줄이 무너지는가 — 를 다른 논문에 적용했다. 남의 모형에서는 어느 가정이 분리를 위한 것인지 저자에게 물을 수 없다. 자기 모형이라면 물을 수 있다. 이번에는 직접 만든다.

이 회차가 메우는 결핍은 습관 하나다. 모형의 가정을 "현실과 얼마나 가까운가"로 채점하는 습관은 있는데, "이 가정은 어느 채널을 끄기 위해 놓였고 그것을 켜면 어느 결론이 살아남는가"를 묻는 습관이 없다. 그 습관은 남의 모형을 읽는 것만으로는 생기지 않는다 — 하나를 직접 만들어야 생긴다.

2. 기호 대장¶

화폐 단위는 소비재 단위다(뉴메레르). 표의 [화폐]는 [소비재 수량]과 같은 차원이다. 위첨자 $u$는 묶이지 않은(unconstrained) 가계, $c$는 묶인(constrained) 가계의 값을 표시하며 지수가 아니다. 최적해의 별표는 KKT 체계 안에서 생략한다 — W04의 규약이다.

4절에서만 쓰는 $T$(기간 수, 무차원)와 $\eta$·$\bar y_2$·$\varepsilon$(2기 소득의 교란·평균·폭, [화폐])은 등장하는 자리에서 정의한다.

같은 글자, 다른 이름. $\beta$는 할인인자다. W02의 노동탄력성도, W07의 회귀계수도 아니다. $R$은 W13의 무위험 총수익률 $R_f$의 약칭이다 — 이 회차에는 위험자산이 없어 첨자를 뗀다. $\lambda_1,\lambda_2$는 W04의 잠재가격(shadow price) 그대로다 — W10의 수렴속도, W17의 지수분포 모수가 아니다. $\mu$는 W04에서 비음 제약에 붙였던 부등식 승수와 같은 역할이다. 이번에는 차입 한도에 붙는다. $m$은 W13의 확률적 할인인자인데, 확실성 아래서는 확률변수가 아니라 숫자 하나다 — W15는 $m$을 재규격화해 $q$를 얻었지만 여기서는 재규격화할 확률 자체가 없다. $\kappa_1,\kappa_2$는 W21의 Leontief 가격식에 붙는 상수 $\kappa_i$, W19의 평균회귀 속도 $\kappa$와 다른 뜻이다. $\omega$는 W03의 현재가치 가중치 $\omega_i$, W05의 임금 $\omega$와 다른 뜻이다. $s$는 저축액(수준)이며 W10·W11의 저축률 $s$, W22의 선택 강도 $s$가 아니다. $\eta$(2기 소득의 교란)는 W20의 진입률과, $T$(기간 수)는 W12의 벨만 연산자와 다른 글자다. 문헌은 묶인 가계의 비율을 $\lambda$로 쓴다(Campbell & Mankiw, 1989). 이 책에서 $\lambda$는 이미 세 가지 뜻을 가지므로 $\omega$를 쓴다. 기호 선택이 정보를 보존하는 사례다 — 이 비율은 승수가 아니라 분포의 모수이고, 글자가 그 사실을 미리 말한다.

변수와 파라미터, 그리고 무엇이 데이터인가. $c_1,c_2,s,\lambda_1,\lambda_2,\mu$는 문제를 푸는 동안 움직이고, $y_1,y_2,\bar b,R,\beta$는 주어진 숫자다. 3절 후반에서 역할이 바뀐다. $\omega,\beta$가 찾아야 할 모수가 되고 $\kappa_1,\kappa_2$가 관측되는 모멘트가 된다 — 같은 $\beta$가 앞에서는 주어진 숫자, 뒤에서는 찾아야 할 숫자다. W22의 어휘로 말하면 $(\kappa_1,\kappa_2)$가 (2)의 모멘트 조건이 묶는 관측량이고 $(\omega,\beta)$가 $\theta_0$이다. 모멘트 둘, 모수 둘이다.

두 기간의 달력 길이는 없다. $\beta$와 $R$은 "한 기간당"인데 그 기간이 1년인지 1분기인지 모형은 말하지 않는다(W09). 그러므로 이 모형의 $1/(1+\beta)\approx0.51$은 연간 한계소비성향 추정치와 비교할 수 없는 숫자다. 이 사실이 4절 Q3·Q8과 5절의 주장 — 숫자는 옮기지 못하고 부호·순위만 옮긴다 — 의 근거다. 두 가지를 더 못 박는다. (1)은 일반 효용 $u$에서 성립하고, (2)는 로그 효용에서의 닫힌형이다. 첫 식은 일반, 둘째 식은 로그 — 이 차이가 4절 Q4의 답을 가른다.

3. 유도¶

Varian 절차를 실행한다. 현상 관찰 → 비전공자에게 설명 → 문헌을 보지 않고 → 2×2·두 기간 장난감 모형 → 숫자 예제 → 그 다음에 문헌. 여섯 단계를 순서대로 밟는다(Varian, 1998).

단계 1 — 현상. 예고된 소득이 입금되는 시점에 소비가 뛴다. 소득이 1원 늘 때 소비가 거의 1원 느는 가계와 몇십 전만 느는 가계가 함께 있다. 여기까지는 식이 없다. 문헌도 아직 열지 않는다.

단계 2 — 비전공자에게 설명. “돈이 들어올 것을 알아도 지금 빌릴 수 없으면 지금 쓸 수 없다. 빌릴 수 있는 사람은 미리 나눠 쓴다.” 이 두 문장에 모형의 재료가 전부 들어 있다 — 두 시점, 미래 소득, 차입 가능 여부, 두 종류의 사람. 효용이라는 말도 승수라는 말도 없다.

단계 3 — 문헌을 보지 않고 재료를 고른다. 가장 작은 판은 두 기간, 소비재 하나, 확실성, 가계 유형 둘(소득 경로만 다름), 딱딱한 차입 한도다. 이 자리에서 무엇을 일부러 왜곡했는가를 채널 이름과 함께 적는다. 괄호의 A번호는 단계 4에서 정의하는 가정 목록의 번호다.

비현실적인 것이 맞다. 그래야 채널 하나가 보인다. 이것이 "가정이 비현실적이다"에 대한 선제 답변이다.

단계 4 — 장난감 모형. 가정을 먼저 적는다.

• A1 (선호) — $u:\R_{++}\to\R$는 $C^2$이고 $u'>0$, $u''<0$, $\lim_{c\to0}u'(c)=\infty$다. 목적함수는 시간분리 가산형 $u(c_1)+\beta u(c_2)$, $0<\beta\le1$이다.

• A2 (확실성) — $y_1,y_2,R$은 1기에 알려진 상수다. 기댓값이 등장하지 않는다. 이것이 캐리커처 가정이다 — 예비적 저축 채널을 끄기 위해 일부러 놓는다. 4절 Q8의 (14)에서 뺀다.

• A3 (예산·차입 한도) — $c_1+s=y_1$, $c_2=y_2+Rs$, $s\ge-\bar b$, $0\le\bar b<y_2/R$이다(한도까지 빌려도 $c_2>0$). 저축의 상한은 없다. 한도는 딱딱한 벽이다 — 차입 금리가 오르는 부드러운 마찰이 아니다. 이것도 캐리커처 가정이다(이자율 채널을 끈다).

• A4 (두 유형·집계) — 측도 1의 가계 연속체다. $(u,\beta,R)$은 공통이고 $(y_1,y_2,\bar b)$만 다르다. 비율 $\omega$는 (9)의 묶임 조건을 엄격 부등식으로 만족하고, $1-\omega$는 엄격 반대 부등식을 만족한다 — 꺾임점에 질량이 없다. 집계 실험은 모든 가계에 같은 $dy_1$ 또는 $dy_2$를 주는 것이다.

• A5 (로그 효용) — 닫힌형 (ii)–(iv)에서만 $u(c)=\ln c$다. (i)과 Lemma 1은 A5 없이 성립한다.

다섯 가정 가운데 A2·A3이 분리 가정이고, A4는 집계를 위한 것이며, A5는 숫자를 얻기 위한 편의다. A1은 문제가 풀리기 위한 최소 조건이다. 어느 가정이 어느 줄에서 하중을 받는지가 6절 채점의 절반이다.

이 회차가 책임지는 것은 (i)–(iv)와 Lemma 1이다. "이 모형이 현실의 근사인가"는 정리가 아니라 5절의 판정이다. 증명은 열 단계다. 단계 4.1–4.5는 W04의 라그랑지안과 W05의 포락선 정리를 두 기간 문제에 옮기는 일이고, 4.6–4.8은 로그 효용에서 경우를 나누는 일이며, 4.9–4.10은 미분과 가중합이다. 각 단계 아래 근거 줄이 6절 채점표의 항목과 대응한다.

단계 5 — 숫자 예제. $\beta=0.96$, $R=1.04$($\beta R=0.9984$), $y_1=1$, $\bar b=0$이다. (9)의 묶임 문턱은 $y_2>0.9984$다.

$y_2=1.5$에서 한도를 $\bar b=0.1$로 풀면 문턱은 $y_2>1.202$로 오르고 $c_1=1.1$, $c_2=1.396$, $\mu=0.194$, $\tilde R=1.322$다. $\bar b=0.2$면 $\mu=0.061$, $\tilde R=1.122$다. $\bar b$가 0.246을 넘으면 묶이지 않는다($s^u=-0.2461$). 읽기: 한도에 묶인 가계는 이자율 4%의 세계가 아니라 56%의 세계에 산다. 그 가계에 "이자율 정책"은 닿지 않는다 — $R$이 4%에서 2%로 내려가도 $c_1=y_1+\bar b$는 움직이지 않는다.

집계: $\omega=0.3$이면 (12)로 $\kappa_1=0.657$, $\kappa_2=0.343$, $R\kappa_2=0.357$이다. 역산하면 $\omega=0.657-0.357=0.300$, $\beta=(1-0.657)/0.357=0.96$ — 두 모멘트에서 두 모수가 정확히 돌아온다. 대표적 개인은 $\kappa_1=0.510$을 준다. 수준의 차이 0.147은 전부 분포에서 온다.

단계 6 — 그 다음에 문헌. 이제 연다. 묶이지 않은 세계(모두 $\mu=0$)가 Hall (1978)의 확률보행이다. "어느 집단에서 $\mu>0$인가"를 검정한 것이 Zeldes (1989)이다 — W04 5절이 읽기만 했던 논문이다. $\omega$를 시계열로 추정한 것이 Campbell & Mankiw (1989)이다(그들의 글자는 $\lambda$). 한도와 불확실성을 함께 넣어 “묶이지 않았는데 묶인 것처럼” 행동하는 가계를 만든 것이 Deaton (1991)이고, Carroll (1997)는 명시적 한도 없이 소득이 0이 될 위험만으로 같은 행동을 만든다. 그 가계가 부유할 수 있음을 보인 것이 Kaplan & Violante (2014)이다. 문헌을 마지막에 여는 이유는 하나다. 먼저 열었다면 (12)의 쐐기가 자기 것이 되지 않았다.

번역. 정리 (i)–(ii): 오늘 1원을 더 쓰는 즐거움은 그 1원을 미뤄 내일 $R$원으로 쓰는 즐거움의 할인값과 같거나 크다. 크다면 그 차이가 정확히 차입 한도의 값어치이고, 한도에 걸리지 않은 가계에서는 두 즐거움이 같다. 정리 (iii)–(iv): 오늘 소득 1원에 소비가 얼마나 반응하는가는 참을성과 제약이 섞인 숫자이지만, "오늘 소득 1원"과 "내일 소득 $R$원"에 대한 반응의 차이는 한도에 묶인 가계의 비율 그 자체다 — 참을성도, 효용의 모양도, 미래의 불확실성도 그 차이를 만들지 못한다.

4. 읽기¶

층 L6이므로 Q1·Q2·Q3에 Q4·Q8·Q11을 더한다. L6의 두 질문 — 근사인가 캐리커처인가, 무엇을 분리하려 했는가 — 는 Q4와 Q8 아래에서 답한다. 중심 식은 (1), 집계 식은 (2)다.

Q1 · 기호¶

2절 표가 답이다. 덧붙일 것 하나 — (1)의 $\mu$는 W04에서 “구하고 버리던” 승수인데 이 회차에서는 유일하게 살아남는 기호다. 모형의 결론 전체가 "$\mu$가 0인 가계와 양인 가계"라는 이분법 위에 서 있다. 종류는 승수, 형상은 $\R_+$, 차원은 [효용/화폐]다. 기호 선택에서 하나를 더 본다. 문헌처럼 묶인 비율을 $\lambda$로 썼다면 "이 숫자는 잠재가격이다"라는 잘못된 정보가 보존되고 "이 숫자는 분포의 모수다"라는 옳은 정보가 버려진다. $\omega$는 그 반대다.

Q2 · 한 문장 번역¶

(1): “오늘 1원의 한계효용은 내일 $R$원의 할인된 한계효용보다 크거나 같고, 큰 만큼이 차입 한도의 값어치다 — 한도에 닿지 않은 가계에서는 정확히 같다.” (2): “경제 전체 소비의 오늘 소득 반응에서 내일 소득 반응의 $R$배를 빼면, 한도에 묶인 가계의 비율이 남는다.” 첫 번역에는 효용이 있고 둘째 번역에는 없다. 집계는 효용을 지웠다.

Q3 · 차원¶

(1): 세 항 모두 [효용/화폐]다. $\beta$·$R$은 무차원이다. $\mu$가 [효용/화폐]인 것은 $s+\bar b$가 [화폐]이기 때문이다 — W04의 규칙 $[\lambda_j]=[u]/[g_j]$대로 승수의 차원은 [목적함수]/[제약]이다. 그러므로 $\mu/\lambda_1$은 [화폐/화폐], 곧 차입 한도 1원의 값어치를 오늘 소득 몇 원으로 잰 무차원 수다(Q11의 (15)). (2): 전부 무차원이다 — 한계소비성향은 [화폐/화폐]다. 무차원군을 센다. (9)의 셋 $y_2/(Ry_1)$, $\beta$, $\bar b/y_1$에 $\omega$가 더해져 넷이다. 차원 검사가 드러내는 캐리커처 하나: $\beta$와 $R$은 "기간당"인데 기간의 달력 길이가 없다(W09). $1/(1+\beta)$는 두 기간 모형 안에서만 뜻이 있는 숫자다.

Q4 · 크기 순위 — 무엇을 버렸는가¶

버린 것 셋을 "되살렸을 때 결론이 얼마나 움직이는가"로 순위 매긴다. 수치는 Q8의 두 식에서 온다. (1) 지평 $T$: 묶이지 않은 가계의 성향이 $0.51\to0.04$ — 12배 넘게 줄어든다. 수준을 통째로 바꾼다. (2) 불확실성 $\varepsilon$: $0.51\to0.61$ — 수준을 얼마간 올린다. "0 또는 1"의 이분법이 연속으로 풀리는 것은 한도와 불확실성을 함께 넣은 Deaton의 세계이고 이 회차의 수치 밖이다. (3) $\beta$의 이질성: $\beta\in[0.9,1]$에서 $1/(1+\beta)\in[0.50,0.53]$ — 거의 움직이지 않는다. 가장 작은 항은 (3)이고, 지워도 남는 것은 그대로다. 그런데 셋 모두 쐐기 $\kappa_1-R\kappa_2=\omega$는 건드리지 못한다. (2)·(3)은 Lemma 1이 그대로 덮는다. (1)은 보조정리 밖이다 — 한도 없는 $T$기간에서는 $c_1=f(W)$이므로 쐐기가 0이지만, 한도와 지평을 함께 넣으면 5절 (b)의 유보가 붙는다. 이 모형이 근사인지 캐리커처인지의 답은 결론마다 다르다. 수준 $\kappa_1$에 대해서는 캐리커처다 — 숫자를 옮기지 못한다. 쐐기에 대해서는 두 기간 안에서의 정리다 — 부호와 존재(제약이 있어야 쐐기가 있다)는 옮기고, "$\omega$는 지금 묶인 비율"이라는 해석은 두 기간이라는 분리 가정에 매달린다. 옮길 수 있는 것과 없는 것이 같은 식 안에서 갈린다.

Q8 · 파라미터 극단 — 어떤 세계가 되는가¶

• $\bar b\to y_2/R$(각 가계의 한도를 자연 차입 한도까지 올린다 — A3의 부등식이 묶이지 않는다): 아무도 묶이지 않는다, $\omega=0$. Hall의 세계다 — 소비는 항상소득의 함수이고, 예고된 소득에 미리 반응하며 입금일에는 아무 일도 없다. $\kappa_1=R\kappa_2$.

• $\bar b=0$이고 모든 가계가 $y_2/(Ry_1)>\beta$: $\omega=1$. 케인스 소비함수의 세계다 — 소비는 오늘 소득이고 $\kappa_1=1$, $\kappa_2=0$이다. $\beta$는 데이터에 흔적이 없다(미식별).

• $\beta\to0$: 모멘트 평면에서 $(\omega,\beta)=(0,\beta\to0)$과 $(1,\cdot)$는 같은 $\kappa_1=1$을 주지만 $R\kappa_2$가 1과 0으로 갈린다 — 수준으로는 조급함과 제약이 구별되지 않고 쐐기로는 구별된다. 일반 $\omega$에서도 $\kappa_1\to1$로 수준이 겹칠 뿐 쐐기는 $\omega$로 남는다. 단, 이 모형 안에서 참을성이 없어지면 (9)로 모두가 벽에 닿아 $\omega\to1$이 된다 — 조급함 자체가 묶임을 만든다. Figure 3에서 두 세계는 윗변의 양 끝 $(1,1)$과 $(0,1)$이다.

• $R$: $R\kappa_2=(1-\omega)/(1+\beta)$는 $R$에 무관하다. 이자율은 $\kappa_2$의 수준을 바꾸지 쐐기를 바꾸지 않는다.

• $T\to\infty$ ((13)): 묶이지 않은 성향이 $1-\beta$로 간다($\beta<1$). 항상소득 가설의 연금 형태다 — 두 기간의 0.51은 지평의 산물이었다.

• $\varepsilon>0$, A2 제거 ((14)): 예비적 저축의 세계다. 묶이지 않은 가계의 $\kappa_1$이 오르지만 $\omega=0$ 선 위를 미끄러진다. 캐리커처는 이 세계를 "$\omega=0$이고 참을성이 낮은 세계"로 읽는다 — $\hat\beta$가 $0.96\to0.68$($\varepsilon=1.0$). 신중함을 조급함으로 오독하되 제약으로 오독하지는 않는다.

지평을 되살린다. $T$기간, 한도 없음, 로그 효용이다.

근거 — 한도 없음($\mu=0$). 1계 조건 $c_t=(\beta R)^{t-1}c_1$을 예산에 넣으면 $c_1\sum_{t=1}^{T}\beta^{t-1}=W$, 등비급수다. 닫힌형은 $\beta<1$에서다 — $\beta=1$이면 $c_1=W/T$이고 성향은 $1/T\to0$이다. $T=2$에서 $1/(1+\beta)$ — (11)과 일치한다. $R$이 사라진다. 수치($\beta=0.96$): $T=2,10,40,\infty$에서 $0.510,\ 0.119,\ 0.050,\ 0.040$. 같은 문제를 W12의 벨만 식 (1)로 역진귀납하면 같은 숫자가 나온다(Sargent & Stachurski, 2024) — 6절 노트북의 둘째 예측이다. Figure 2.

확실성을 뺀다. Sugden (2000)의 절차 — 가정 하나를 빼고 어느 줄이 무너지는지 본다 — 를 A2에 적용한다. 2기 소득을 $y_2=\bar y_2+\eta$, $\E[\eta]=0$인 확률변수로 두고 한도는 없앤다.

근거 — A2를 뺀 (6)에서 한도를 뗀 것이다. "한도 없음"은 A3의 부등식 $s\ge-\bar b$를 떼어 낸다는 뜻이다 — 이나다 조건으로 모든 상태에서 $c_2>0$, 곧 $s>-(\bar y_2-\varepsilon)/R$가 스스로 걸리는 자연 차입 한도가 되어 $\bar b$라는 파라미터가 필요 없어지고 $\mu=0$이다. 기댓값이 돌아와 (1) 그대로다. 부등호는 젠센(Jensen) 부등식 — $u'$이 볼록이면($u'''\ge0$; 로그는 $u'''=2/c^{3}>0$) $\E[u'(X)]\ge u'(\E X)$. $u'''>0$ — Kimball (1990)의 신중성(prudence) $-u'''/u''$이 양이라는 것 — 이 예비적 저축(precautionary saving)이 양이 되는 조건이다. 확실성 해 $c_1^u$에서 우변이 좌변보다 커지므로 $c_1$을 줄여야 등식이 회복된다 — 예비적 저축. 쐐기는 여전히 0이다(Lemma 1). 수치(로그, $\bar y_2=1.5$, $\eta=\pm\varepsilon$ 등확률, 이분법으로 풀이): $\varepsilon=0,\ 0.5,\ 1.0,\ 1.2$에서 $\kappa_1=0.510,\ 0.543,\ 0.594,\ 0.611$이고 $\kappa_1-R\kappa_2=0.000$이며, (12)로 역산한 $\hat\beta=0.96,\ 0.84,\ 0.68,\ 0.64$다. "$\kappa_1$이 $\varepsilon$에 단조 증가"는 이 수치에서의 사실이지 정리가 아니다. Figure 3.

앞 회차의 식을 같은 잣대로 재분류한다. 골격 0절이 약속한 표다.

근사는 "가정을 조금 틀리게 했으니 결론도 조금 틀리다"이고, 캐리커처는 "가정을 크게 틀리게 했으니 결론의 숫자는 버리고 부호·순위·존재만 가져간다"이며, 항등식은 "가정이 아니라 회계"다 — 표에서는 (1)의 더하고 빼기 하나뿐이다. 세 종류를 구분하지 못하면 세 종류 모두에 같은 비판 — 비현실적이다 — 을 하게 된다. 같은 식 안에서도 결론마다 종류가 다르다는 것이 이 회차 모형의 마지막 줄이다.

Q11 · 한계 원리 — 무엇과 무엇이 균등해지는가¶

묶이지 않은 가계: 오늘 1원의 한계효용과 내일 $R$원의 할인 한계효용이 균등해진다 — (1)의 확실성 형태다. 묶인 가계: 균등화가 $\mu$만큼 실패한다. 가계는 내일의 $R$원을 오늘로 옮기고 싶은데 벽이 막는다. 균등해지는 것은 $\tilde R$로 바꿔 쓴 식이다 — 그 가계는 자기만의 이자율 $\tilde R=1.5625$에서 균등화한다. 상충하는 것은 가계와 가격이 아니라 가계와 대부자의 벽($\bar b$)이다. 여기에 W13의 고리를 건다.

근거 — (6)을 $u'(c_1)=\lambda_1$로 나눈다: $1=\beta Ru'(c_2)/u'(c_1)+\mu/\lambda_1=mR+\mu/\lambda_1$. $m$은 (2)의 정의인데 확실성(A2)이라 기댓값이 없다. 마지막 등식은 (7)이다. 읽기: 묶인 가계의 할인인자로 무위험 채권을 값 매기면 1이 아니라 $1-\mu/\lambda_1$이다 — 그 가계가 채권에 매기는 값은 시장가격 1보다 낮다 — 사고 싶은 것이 아니라 팔고(빌리고) 싶은데 벽이 막는다. 수치: $y_2=1.5$, $\bar b=0$에서 $\mu/\lambda_1=0.334$ — 차입 한도 1원은 오늘 소득 0.33원의 값어치다. W04에서 $\mu/\lambda$를 화폐로 읽던 방식 그대로다. 차입 한도가 1원 풀리면 그 가계는 오늘 소득이 0.33원 는 것만큼 좋아진다.

5. 학부와 대학원의 간극¶

학부 읽기는 A2·A3·"두 기간"을 보고 "현실은 이렇지 않다"에서 멈춘다. Gibbard & Varian (1978)의 구분으로는 이 비판은 근사 모형에만 유효하다. 캐리커처는 가정이 근사적으로 참이라고 주장한 적이 없다 — 주장한 것은 "쐐기는 제약이 만들고 선호는 만들지 못한다"는 채널에 관한 문장 하나다. 그 문장을 반박하려면 가정의 비현실성을 세는 것이 아니라, Lemma 1의 어느 가정 — 두 기간, 딱딱한 한도 — 이 하중을 받는지 지목하고 그것을 빼면 어느 줄이 무너지는지 보여야 한다.

대학원 읽기는 세 가지를 더 본다. (a) 어느 가정이 분리 가정인가 — A2가 예비적 저축을, A3의 딱딱한 벽이 이자율 채널을 끈다. 3절 단계 3의 표가 그 목록이다. (b) 무엇이 옮겨지는가 — 수준 0.51은 옮기지 못한다. 달력 길이가 없고 지평이 둘이다. 쐐기 $=\omega$는 옮긴다. 단, 옮긴 뒤의 $\omega$는 "지금 묶인 가계"가 아니라 "묶인 것처럼 행동하는 가계"의 비율이 된다. 다기간 세계에서 내일 묶일 것을 아는 가계는 바로 다음 기 소득 $y_2$에 대해서는 여전히 쐐기 0이다 — 4.9의 논증(1계 조건은 $y_1$과 $\bar y_2$를 $Ry_1+\bar y_2$로만 본다)이 내일의 가치함수에도 그대로 서기 때문이다. 그러나 묶이는 시점 뒤에 도착하는 예고소득($y_3$ 이후)에 대해서는 오늘 묶이지 않았어도 쐐기를 만든다. 예고소득이 늘 바로 다음 기에 도착한다는 것이 두 기간 가정이 하는 일이고, 그것을 빼면 $\omega$의 뜻이 바뀐다 — Deaton (1991)의 완충재고, Kaplan & Violante (2014)의 부유한 손에서 입으로(wealthy hand-to-mouth) 가계가 그 귀납의 실제 모습이다. (c) Sugden (2000)의 어휘로, 두 기간 세계는 “있을 법한 세계”(credible world)여야 하고 거기서 현실로 가는 것은 연역이 아니라 귀납이다. 현실의 가계가 모형의 묶인 유형과 관련된 측면에서 닮았다는 별도의 주장이 필요하고, 그 주장은 모형 밖의 증거 — 어느 집단에서 $\mu>0$인가(Zeldes, 1989) — 로만 뒷받침된다. Lucas (1976)의 경고도 여기서 성립한다. $\omega$는 신용 조건이 바뀌면 함께 바뀌는 양이지 구조 파라미터가 아니다.

구체적 장면은 Campbell & Mankiw (1989)의 추정식이다. 소비 변화를 소득 변화에 회귀해 “규칙대로 소비하는 가계의 비율” $\lambda$(그들의 글자)를 얻는다. 학부 읽기는 이것을 "비합리적 가계의 비율"로 읽고 멈춘다 — 모형이 사람을 모욕했다고 느끼거나, 데이터에 맞춘 숫자라고 무시한다. 대학원 읽기는 그 $\lambda$가 (12)의 $\omega$임을 보고 두 가지를 이어서 묻는다. 이 비율이 수준으로 식별됐는가 쐐기로 식별됐는가 — 도구변수가 예고된 소득 변화를 잡는다면 후자에 가깝다. 그리고 왜 그 가계가 규칙대로 소비하는가는 이 모형이 대답하지 않는 질문임을 — 그것이 Zeldes의 "어느 집단에서 $\mu>0$인가"라는 다음 논문이다.

6. 훈련¶

냉시동 인출(40분) — 1주 전 · 3주 전 · 8주 전 각 1항목.

• 1주 전 · W22 · 관측 차이 = ATT + 선택편의 · 모멘트 수 vs 모수 수 — 분해의 두 항이 어느 가정으로 갈라지는 줄과, $q$개 조건에 $p$개 모수가 걸릴 때 식별이 되는 조건. 이 회차 (12)가 $q=p=2$인 경우다.

• 3주 전 · W20 · 선호적 연결 율 방정식 → 정상해 멱법칙 지수 — 유입과 유출을 맞춰 정상해를 세우는 줄과 지수가 나오는 줄. 이 회차의 집계처럼 "분포가 결론의 대상"인 회차다.

• 8주 전 · W15 · 이항모형 복제 → $q$ · $q$는 $m$의 재규격화 — 복제 포트폴리오에서 $q$가 나오는 줄과 $q=mR_f$의 한 줄. 이 회차의 $m$은 확실성이라 재규격화할 확률이 없다.

노트북(40분) — w23-lab.ipynb. 코드를 쓰기 전에 아래 셋을 답한다.

1. 가계 $N=10{,}000$을 $y_1=1$, $y_2\sim U[0.6,\,2.0]$, $\bar b=0$으로 뽑고 $\beta=0.96$, $R=1.04$로 각자 풀면, 묶인 비율은 $\Pr(y_2>0.9984)=(2.0-0.9984)/1.4\approx0.715$이고, 균일 이전 $\Delta=10^{-3}$에 대한 집계 성향은 $\kappa_1\approx0.715+0.285/1.96=0.861$, $\kappa_2\approx0.285/(1.04\times1.96)=0.140$이며, 쐐기 $\kappa_1-R\kappa_2$는 묶인 비율과 소수 셋째 자리까지 일치한다.

2. $T$기간 로그 문제를 역진귀납(W12의 벨만 연산자를 $T$번 적용)으로 풀면 1기 성향은 $T=2,10,40$에서 $0.510,\ 0.119,\ 0.050$ — (13)의 닫힌형과 소수 셋째 자리까지 맞고, $R$을 1.02로 바꿔도 변하지 않는다.

3. 한도 없는 세계에서 $y_2=1.5\pm\varepsilon$: $\varepsilon=0\to1.0$에서 $\kappa_1$은 $0.510\to0.594$로 오르지만 $\kappa_1-R\kappa_2$는 10^-3 이내에서 0이고, (12)로 역산한 $\hat\omega\approx0$, $\hat\beta$는 $0.96\to0.68$로 떨어진다.

계산은 패키지로 답을 내지 않는다. 가계별 해는 (8)·(9)·(10)의 경우 나누기를 코드로 그대로 쌓고, 검증용으로 몇 가계는 $s$ 격자 위에서 $u(y_1-s)+\beta u(y_2+Rs)$를 직접 최대화해 같은 답이 나오는지 본다. 집계 성향은 모든 가계에 $\pm\Delta$를 주고 중앙차분한다. $T$기간은 $V_T(W)=\ln W$부터 $V_t(W)=\max_c\{\ln c+\beta V_{t+1}(R(W-c))\}$를 $W$ 격자 위에서 $T$번 — 그리드 최대화, 선형 보간. 불확실성은 (14)를 $c_1$에 대한 이분법(200회)으로 푼다. 대조 표는 예측 · 결과 · 어긋남 · 원인 네 열이다.

7. 마치며…¶

0절의 식을 다시 본다.

지금은 이렇게 읽힌다. 기호로는 — $\mu$는 버리는 승수가 아니라 이 모형의 주인공이다. 0인 가계와 양인 가계, 두 유형이 그것으로 나뉜다. $\tilde R$은 묶인 가계가 사는 세계의 이자율이다. 차원으로는 — 세 항 모두 [효용/화폐]이고, $\mu/\lambda_1$은 차입 한도 1원의 값어치를 오늘 소득으로 잰 무차원 수다. $\beta$·$R$에는 달력 길이가 없어 $1/(1+\beta)$라는 숫자는 모형 밖으로 나가지 못한다. 메커니즘으로는 — 오늘과 내일의 한계효용이 균등해지지 못한 만큼이 벽의 값어치이고, 그 벽이 있는 가계의 비율은 수준이 아니라 쐐기로 읽힌다. 참을성도 효용의 모양도 불확실성도 그 쐐기를 흉내 내지 못한다. 그리고 L6으로는 — 이 모형은 수준에 대해서는 캐리커처이고 쐐기에 대해서는 두 기간 안의 정리다 — 부호와 존재는 옮기고, "$\omega$는 지금 묶인 비율"이라는 해석은 두 기간에 매달린다. 어느 결론을 현실로 옮길 자격이 있는지가 모형 안에서 이미 갈린다. 0절 둘째 식 (2)는 그 갈림을 두 식으로 나란히 적은 것이다 — 왼쪽은 옮기지 못하는 수준, 오른쪽은 옮길 수 있는 쐐기.

$\mu$가 왜 0 아니면 양인지가 안 되면 3절의 (5)로, 쐐기가 왜 참을성에 무관한지가 안 되면 (11)의 근거 줄로 돌아간다.

이 회차에서 만든 네 쪽 — 가정 목록·정리·숫자 표·쐐기 그림 — 은 W24 관문에서 본인 분야의 논문 한 편과 나란히 놓고 같은 절차로 분해한다.

이어지는 자료 — Varian(1998), How to Build an Economic Model in Your Spare Time · Gibbard & Varian(1978) · Sugden(2000) · Morgan, The World in the Model 4장 · Kaplan & Violante(2014) · Campbell & Mankiw(1989)