W20 · 율 방정식 — 분포를 동학의 결과로 유도하기

0. 이번 회차의 식¶

지금 읽히지 않아도 된다. 7절에서 같은 식을 다시 본다.

1. 도입¶

분포를 주어진 것으로 받지 않고 만들어 낼 수 있는가. 진입·퇴출·성장이라는 세 규칙에서 무엇이 나오는가.

기업 규모의 로그-로그 기울기 -1.06을 회귀로 얻고 나면 다음 줄이 없다. 그 숫자가 어느 규칙의 어느 비에서 왔는지 말할 수 없기 때문이다. Zipf 기울기가 1.06인 경제와 1.25인 경제는 무엇이 다른가. 분포를 추정 대상으로만 읽으면 이 질문 자체가 생기지 않는다.

논문의 장면은 기업 규모 분포다. Axtell (2001)류의 자료 논문은 미국 기업의 종업원 수 생존함수가 로그-로그에서 기울기 약 -1.06의 직선임을 보인다. Luttmer (2007)류의 이론 논문은 "규모 밀도는 진입을 원천으로 갖는 정상 전진방정식의 해이고, 꼬리 지수는 진입과 기존 기업 성장의 비로 결정되며, 진입이 작을수록 Zipf에 가까워진다"는 뜻의 한 문단을 쓴 뒤 곧바로 지수의 식을 적는다. 학부 읽기는 자료 논문의 기울기까지는 따라간다. 이론 논문의 "정상해"라는 단어에서 멈춘다 — 분포가 방정식의 해라는 문장을 처음 만나기 때문이다.

실무의 장면은 거래처 집중도다. 한 은행의 거래상대 익스포저 상위 목록이 해마다 흩어지지 않는다. 생존함수의 기울기가 1.1 근처라는 것까지는 계산한다. 그 기울기가 "새 거래처가 생기는 속도 대 기존 거래처와의 거래가 자라는 속도"의 비 하나로 정해지며, 그 비를 바꾸지 않는 한 집중도는 구조적으로 유지된다는 것은 읽지 못한다. 답은 3절의 (9) 한 줄이다.

두 장면에서 막히는 자리는 같다. 한쪽에는 기울기라는 숫자가 있고 다른 쪽에는 진입·성장이라는 규칙이 있는데, 둘 사이에 방정식이 하나 빠져 있다. 그 방정식은 규모 $k$인 기업의 수가 시간에 따라 어떻게 변하는지를 적은 것이고, 0절의 식이 그것이다. 학부 확률론은 분포를 먼저 주고 그 성질을 묻는다. 순서를 뒤집으면 — 규칙을 먼저 주고 분포를 풀면 — 풀린 분포의 꼬리 기울기는 규칙의 파라미터 둘의 비 하나로만 나타나고, 그래서 자료의 기울기 하나가 그 비를 되돌려 준다.

이 회차가 메우는 결핍은 하나다. 분포는 추정할 모수가 아니라 흐름의 균형이 남긴 형태이고, 그 형태의 꼬리 기울기는 바닥에서 들어오는 양과 위에서 자라는 양의 비 하나로 읽힌다.

2. 기호 대장¶

상수처럼 보이는 함수. (1)의 $A$는 파라미터 자리에 있지만 $A(t)=a/U(t)$다. 연결 확률이 "가진 몫 $k/U(t)$"라는 규칙 자체가 분모 $U(t)$를 만들고, $U(t)$가 자라므로 $A$는 $1/t$로 줄어든다. 상수인 것은 $A$가 아니라 무차원 결합 $At=1-p$다. 이 한 줄이 이 회차의 L0이고, 3절의 (4)가 그것을 증명한다. $A$가 진짜 상수가 되는 세계는 둘뿐이다 — 퇴출이 있어 총 단위 수가 멈추고 $A(t)\to A^{*}$가 되는 세계((14))와, 정규화 $1/U(t)$ 자체를 버려 지수가 1에 머무는 세계((17))다. 0절이 $A$를 상수처럼 적은 것은 오류가 아니라 생략이며, 무엇을 생략했는지가 4절 식 일기의 “기호 선택” 문항이다. $\partial N_k/\partial t$도 같은 종류의 생략이다 — $k$는 이산 지표이므로 편미분할 다른 변수가 없고, $\partial N_k/\partial t$는 $dN_k/dt=\dot N_k$와 같다. 논문이 $\partial$를 쓰는 것은 $k$를 연속 변수로 보낼 준비이지 편미분이 아니다. 3절부터는 $\dot N_k$로 쓴다.

같은 글자, 다른 이름. $A$는 W10의 생산성 수준([재화/노동]$^{1-\alpha}$[시간$^{-1}$])이 아니라 연결률([시간$^{-1}$])이다. $\delta$는 W09–W12의 감가상각률이 아니라 W19와 같은 퇴출률이다 — 문헌의 관례이며, 같은 글자가 같은 차원 [시간$^{-1}$]을 갖는 것은 우연이 아니다(둘 다 "사라지는 강도"다). $\Gamma(k)$는 W12의 실현가능 대응(집합)이 아니라 감마함수(수)다. 혼동을 피하려고 본문의 닫힌 형은 베타함수 $B(k,1+\zeta)$로 쓰고, $\Gamma$는 점근 (8) 근처에서만 쓴다. $p$는 W01·W04의 가격 벡터가 아니라 스칼라 확률이며, W19 (2)의 진입 확률과 같은 뜻이다. $\gamma$·$\zeta$는 W17 규약 그대로 밀도·생존함수의 꼬리지수다Newman, 2005. $t$는 W02·W04의 배율이 아니라 W09 이후의 시간이다. $N$은 W18·W19의 몬테카를로 표본 크기가 아니라 총 기업 수 $N(t)$다. 이 회차에 $\lambda$는 없다 — W10의 수렴속도 $\lambda$ 자리에는 로그시간당 속도 $1+(1-p)k$가 선다(4절 Q10). $\eta$는 W10 보조정리 증명의 임시 허용오차가 아니라 진입률이다. 문헌은 이 성장 규칙을 선호적 연결(preferential attachment)Barabási & Albert, 1999 또는 누적 이익(cumulative advantage)Price, 1976이라 부른다 — 이 책에서는 기업 규모의 비례 성장으로 읽고, 노드·링크·차수라는 말은 (15) 한 곳에서만 대응시킨다.

변수와 파라미터의 구분. $N_k(t)$는 확률변수의 기댓값이다(3절 A4). 첨자 $k$는 상태(규모), 괄호 안 $t$는 시간이며, $N_k$ 전체는 "$k$마다 하나씩"의 열이다. $n_k=N_k/t$는 수준을 시간으로 나눈 형태이고, 정상해 $n_k^{*}$는 $t$에 무관한 숫자 열이다. "정상"은 $N_k$의 수준이 멈춘다는 뜻이 아니라 형태가 멈춘다는 뜻이다 — W10 Definition 1이 말한 고정점은 여기서 $n^{*}$이지 $N$이 아니다. $p$는 이산 Simon 과정에서는 확률이고, 일반 율 $(a,\eta)$에서는 “새 단위 유입 가운데 신생 기업으로 가는 몫” $\eta/(a+\eta)$로 정의된다 — 한 기에 단위 하나가 들어오는 이산 과정에서 둘은 일치한다. $\zeta$는 (6)에서 $1/(1-p)$의 이름으로 먼저 붙이고, (10)에서 그것이 생존함수 꼬리지수임을 확인한다 — 이름을 미리 붙이고 뒤에서 맞음을 확인하는 순서다.

3. 유도¶

3부의 주력 백지 유도. 선호적 연결 율 방정식을 세우고 정상해에서 멱법칙 지수를 얻는 전 과정. 진입률을 바꾸면 지수가 어떻게 움직이는지까지.

가정을 먼저 번호 붙인다.

• A1 (상태와 개체) 기업의 규모는 양의 정수 $k\in\{1,2,\dots\}$(단위 수). $N_k(t)\ge0$, $N_0(t)\equiv0$. 기업은 줄지 않고 사라지지 않는다 — 퇴출 없음. (14)에서만 완화한다.

• A2 (진입) 신생 기업은 일정한 율 $\eta>0$으로 들어오고, 들어올 때 규모는 1이다. 일반 진입 규모 $k_0$는 (15)에서만.

• A3 (선호적 연결 = 비례 성장) 기존 기업으로 가는 단위는 일정한 율 $a>0$으로 도착하고, 각 단위는 규모 $k$인 기업에 확률 $k/U(t)$로 붙는다. 따라서 규모 $k$인 한 기업이 단위를 받는 율은 $A(t)\,k$, $A(t):=a/U(t)$다. 이것이 W19 (1)의 비례 성장(Gibrat)Gibrat, 1931을 기댓값에서 구현한 것이다.

• A4 (기댓값과 연속시간) $N_k(t)$는 규모 $k$ 기업 수의 기댓값이다. 율 방정식의 우변은 $N$에 선형이므로, 한 기에 단위 하나가 도착하는 이산 과정(Simon)에서는 기댓값에 대해 정확한 차분식이 되고((12)), 연속시간 $\dot N_k$는 그 차분식의 연속화다 — W09 Definition 1의 오일러 이산화를 거꾸로 밟은 것이다.

• A5 (시간 원점) 시간 원점은 $U(0)=0$, $N(0)=0$이 되도록 잡는다. 이산 과정에서 규모 1인 기업 하나로 $t=1$에 시작하면 $U(t)=t$가 정확히 성립하고 $N(t)=\eta t+O(1)$이다 — $O(1)$은 $n_k=N_k/t$에서 사라진다.

외부에서 빌려 오는 결과 넷을 이름으로 적는다. (F1) 감마·베타함수 — $\Gamma(z+1)=z\Gamma(z)$, $B(x,y)=\Gamma(x)\Gamma(y)/\Gamma(x+y)=\int_0^1u^{x-1}(1-u)^{y-1}\,du$. (F2) 감마 비의 점근(Stirling) — 아래 Lemma 1. (F3) 하삼각 상수계수 선형 상미분방정식의 해는 고정점에 대각 성분을 지수로 갖는 모드들의 합을 더한 것이다 — W10 Lemma 1의 선형 경우, W11의 고윳값Strogatz, 2024. (F4) 망원합(telescoping).

(c)의 마지막 줄이 W19 (2)를 율 방정식의 정상해로 다시 얻는 것이다. W19 Lemma 2는 평균장 근사로 지수만 얻고 소규모 형태는 인용했다. 여기서는 정상해 전체가 나오고 지수는 그 점근이다.

번역. 규모 $k$인 기업의 수는 한 단위 작은 기업이 단위를 받아 올라오는 만큼 늘고 자신이 단위를 받아 올라가는 만큼 줄며, 맨 아래 칸에는 신생 기업이 일정한 속도로 들어온다. 받는 속도가 가진 만큼에 비례하고 신생 기업이 꾸준히 바닥에서 들어오면, 오래 지난 뒤 규모 분포의 형태는 하나로 정해지고, 그 꼬리의 기울기는 신생 기업이 가져가는 몫과 기존 기업이 가져가는 몫의 비 하나로 결정된다. 진입 몫이 0에 가까우면 Zipf이고, 커질수록 꼬리는 얇아진다.

검산과 변형. 정리를 두 방향에서 다시 얻고(이산 과정·개별 기업), 가정 둘을 하나씩 푼다(퇴출·진입 규모).

근거 — A4·A5: 한 기에 단위 하나. 확률 $p$로 신생 기업, $1-p$로 기존 기업(규모 비례). 우변이 $N$에 선형이므로 기댓값을 취해도 정확하다. 정상 형태에서 $n_k$는 상수이므로 $N_k=n_kt$를 넣으면 좌변은 $n_k\,(t+1)-n_k\,t=n_k$ — (6)과 문자 그대로 같은 점화식이다. 정상해에는 이산화 오차가 없고, 오차는 과도기((11)의 지수)에만 있다 — W09 Theorem 1의 "같은 고정점, 다른 속도"가 여기서 되풀이된다. Ijiri & Simon (1977)는 이 점화식을 기업 규모에 적용한 원형이다.

근거 — A3의 수취율 $A(t)k=(1-p)k/t$를 기업 $i$의 기댓값 성장으로 읽으면 변수분리 상미분방정식(W09), $k_i(t_i)=1$. 진입 시각 $t_i$는 A2에 의해 $[0,t]$ 위에 균등하다. 이것은 발견적 검산이다 — 규모를 결정론적으로 다루므로 지수 $\zeta=1/(1-p)$는 (10)과 일치하고 소규모 형태는 다르다. W19 Lemma 2의 연령 논법과 글자까지 같다. 읽기: 성장률이 규모에 비례하는 것(W19 (1)의 Gibrat)과 바닥에서 꾸준히 들어오는 질량(여기서는 진입, W19에서는 반사벽)이 짝을 이룰 때 Pareto가 나온다. 반사벽은 있던 기업을 되돌리고 진입은 새 기업을 넣는다는 점만 다르다.

근거 — A1의 "퇴출 없음"을 규모 무관 퇴출률 $\delta>0$으로 완화. 둘째 줄은 (4)와 같은 망원합에 $-\delta N$, $-\delta U$가 더해진 것 — $N$과 $U$가 수준의 고정점을 갖고 $e^{-\delta t}$로 수렴한다(W10 (2)의 실시간 지수 수렴, $\lambda$ 자리에 $\delta$, 반감기 $\ln2/\delta$). 셋째 줄: $\dot N_k=0$에 $A^{*}$를 넣고 $\delta/A^{*}=1/(1-p)=\zeta$. 지수는 $\delta$에 무관하다 — 퇴출은 수준을 멈추게 하지만 형태를 바꾸지 않는다. 단서가 하나 있다. 일반형은 $\zeta=\delta/A^{*}$, 곧 퇴출률 대 단위당 성장률의 비다. $\delta$가 소거되는 것은 총 단위 유입 $a$를 고정한 폐쇄에서 $A^{*}=(1-p)\delta$로 성장률이 퇴출률에 비례해 조정되기 때문이다. 기업 수준 성장률 $g$를 원시 파라미터로 고정하는 폐쇄에서는 $\zeta=\delta/g$로 퇴출률이 지수에 직접 들어간다Luttmer, 2007Gabaix, 2009 — 어느 양을 원시로 두는가가 답을 가른다. 이 세계에서 0절의 $A$는 정상상태에서 상수 $A^{*}$가 된다. 도입의 “진입·퇴출·성장” 세 규칙이 여기서 모두 회수된다.

근거 — 진입 규모를 $k_0$로 두면 (4)에서 $\dot U=a+\eta k_0$이고, 진입 몫의 정의(새 단위 유입 가운데 신생 기업으로 가는 몫)를 그대로 쓰면 $1-p=a/(a+\eta k_0)$다. 나머지 유도는 $k\ge k_0$에서 동일하다. 읽기: 지수를 정하는 것은 “진입이 가져오는 단위 질량” 대 "기존 기업이 받는 단위 질량"의 비다. 성장 네트워크 문헌의 $\gamma=3$은 $\eta=1$, $k_0=m$, $a=m$인 경우 — 새 노드의 링크 $m$개가 기존 노드의 차수를 합쳐 $m$만큼 올리므로 진입 질량과 성장 질량이 같다Barabási & Albert, 1999. 경제의 예는 진입 은행이 $k_0$개 거래상대와 함께 들어오는 은행간 시장이다.

수치 확인. 진입 몫을 바꾸면 지수가 어떻게 움직이는지를 표로 적는다. $\zeta=1/(1-p)$, $\gamma=1+\zeta$, $f_1=1/(2-p)$, 평균 규모 $1/p$다.

$p=0.0566$은 1절의 기울기 $\hat\zeta\approx1.06$을 (9)로 되돌린 값이다: $\eta/a=\hat\zeta-1=0.06$. 그때 평균 규모 $1/p\approx18$은 자료의 평균 고용 규모와 같은 자릿수다. 표의 $p=0.05$와 0.2 두 행이 말하는 것은 하나다 — 진입 몫이 5%에서 20%로 오르면 밀도 꼬리지수는 2.05에서 2.25로, 생존함수 꼬리지수는 1.05에서 1.25로 오른다. Figure 1이 이 관계의 볼록성을 보인다.

점근 (8)이 어디서부터 직선인지도 숫자로 본다. $p=0.1$ ($\zeta=1.111$, $\gamma=2.111$, $C/\eta=\zeta\Gamma(1+\zeta)=1.169$)에서 정확값과 점근의 비다.

1차 보정항의 상대오차는 $k=10$에서 1.3%(0.895 대 0.883), $k=12$부터 1% 안쪽($k=15$: 0.59%, $k=20$: 0.33%)이다. $k<5$에서는 멱법칙이 아직 켜지지 않았다 — 로그-로그 회귀를 $k=1$부터 돌리면 기울기가 얕게 나오는 이유다. 생존함수 (10)은 $S^{*}(1)=0.474$, $S^{*}(10)=0.0729$, $S^{*}(100)=0.00623$, $S^{*}(1000)=4.88\times10^{-4}$이고, $\log S^{*}$ 대 $\log k$의 최소제곱 기울기는 구간 $[1,200]$에서 -1.052, $[5,200]$에서 -1.079, $[10,300]$에서 -1.092, $[30,1000]$에서 -1.105, 점근이 -1.111이다. 회귀 구간이 오른쪽으로 갈수록 점근에 붙는다.

4. 읽기¶

0절의 중심 식 (1)에 식 일기 문항을 적용한다. Q1–Q3은 항상, Q10은 L3, Q12는 L5의 문항이다.

Q1 · 기호¶

2절 표가 답이다. 한 줄만 더한다. (1)의 우변에는 $N_k$가 아닌 것이 셋 있다 — $A$(함수), $\eta$(파라미터), $\mathbf 1\{k=1\}$(지표). 셋의 종류가 다르다는 것이 첫 읽기다. $A$를 파라미터로 읽는 순간 (4)의 보존이 사라지고, $\eta$를 함수로 읽는 순간 정상해가 사라진다.

Q2 · 번역¶

(1): 규모 $k$인 기업의 수는 한 단위 작은 기업이 단위를 받아 올라오는 만큼 늘고 자신이 단위를 받아 올라가는 만큼 줄며, 맨 아래 칸에는 신생 기업이 일정한 속도로 들어온다. 이 흐름이 자리를 잡으면 규모 분포는 멱법칙이 된다. Theorem 1 (b)·(c): 받는 속도가 가진 만큼에 비례하고 신생 기업이 꾸준히 바닥에서 들어오면, 규모 분포의 형태는 하나로 정해지고 그 꼬리의 기울기는 진입 몫과 기존 기업 몫의 비 하나로 결정된다. (14): 기업이 규모와 무관하게 사라지면 기업 수와 단위 수는 멈추지만, 총 단위 유입을 고정하는 한 분포의 꼬리 기울기는 그대로다.

덩어리 짓기. $J_k:=A\,k\,N_k$를 "규모 $k$와 $k+1$ 사이의 경계를 단위시간에 넘는 기업의 수"라는 하나의 개체로 이름 붙이면 (1)은 $\dot N_k=J_{k-1}-J_k+\eta\,\mathbf 1\{k=1\}$이다 — 규모 축 위의 연속방정식이다. 정상해는 이 흐름이 원천과 균형을 이루는 형태다. 등가 재작성. $\dot N_k=-A\bigl[kN_k-(k-1)N_{k-1}\bigr]+\eta\,\mathbf 1\{k=1\}$ — 후진 차분 하나로 쓰면 "규모 축을 따라 실려 가는 양 $kN_k$"가 보인다. 기호 선택. 0절이 $A$를 상수처럼 쓴 것은 선형 구조를 보존하고 $1/U(t)$ 정규화를 버린 것이다. 버린 것이 (17)에서 되살아난다.

Q3 · 차원¶

(1): 좌변은 [기업 수/시간] $=$ [시간$^{-1}$]이다(개수는 무차원). 우변 $A\,(k-1)\,N_{k-1}$은 [시간$^{-1}$]·[1]·[1] $=$ [시간$^{-1}$], $\eta\,\mathbf 1\{k=1\}$은 [시간$^{-1}$]·[1]. 일치한다.

무차원군은 둘이다. $k$, $N_k$는 이미 무차원이고, 차원 있는 양은 $a$, $\eta$(모두 [시간$^{-1}$])와 $t$([시간])다 — $A=a/U$는 이들의 파생량이다. 독립 무차원군은 $\eta/a$($=p/(1-p)$)와 $at$(누적 단위 수의 눈금) 둘이다. 정상 형태는 정의상 $t$에 무관하므로 지수 $\gamma$는 둘째 군을 잃고 첫째 군만의 함수여야 한다 — 동치로 $p$, 또는 (4)에 의해 $t$가 소거된 $At=1-p$다. 지수가 순수 숫자인 이유가 여기 있고, 유도는 그 함수가 $1+1/(At)$임을 보였다. W19의 간극 상자가 던진 질문(“메커니즘이 지수를 고정하는가, 자유롭게 남기는가”)의 답이다. 고정하되 진입 몫의 함수로 고정한다. W02 (2)의 탄력성 읽기로는 $-\gamma$가 탄력성 $d\ln n_k^{*}/d\ln k$의 $k\to\infty$ 극한이다.

Simon의 정규화 $a+\eta=1$은 시간 단위를 "단위 하나가 도착하는 기간"으로 잡은 것이다. 그러면 $t$는 누적 단위 수와 같은 눈금이고, 가장 오래된 기업의 규모 $t^{1-p}$가 규모 축의 상한이 된다 — 멱법칙의 유효 범위 $1\ll k\ll t^{1-p}$가 차원적으로 정합인 이유다. 왼쪽 경계는 (8)의 $O(1/k)$, 오른쪽 경계는 유한 $t$의 절단이다. "모든 $k$에서 직선"이 아니다.

Q8 · 파라미터 극단¶

이 문항은 L2·L4의 것이지만 골격 3절이 요구한 진입률 실험이므로 둔다. 각 극단에서 어떤 세계가 되는가.

$p\to0$ ($\eta\ll a$): $\gamma\to2$, $\zeta\to1$ — Zipf. 평균 규모 $1/p\to\infty$. 가장 오래된 기업의 비중 $t^{1-p}/t=t^{-p}$는 $p$가 작을수록 천천히 준다 — $p=0.1$, $t=5\times10^5$에서 27%다. 기업이 $N=\eta t=5$만 개 있어도 한 기업이 경제의 4분의 1을 쥔다.

$p\to1$ ($\eta\gg a$): $\gamma\to\infty$. 모두 규모 1이다 — 진입만 있고 성장이 없는 세계다. 분포는 $f_k\to\mathbf 1\{k=1\}$이다.

$p=1/2$ ($\eta=a$): $\gamma=3$ — W18 (1)의 분산 존재 경계다. 모멘트를 적는다.

근거 — 첫 등식은 (4)의 항등식이며 구성상 항상 참이다. 둘째는 (F1)의 베타 적분 $\sum_kkB(k,1+\zeta)=\int_0^1(1-u)^{\zeta-2}du=1/(\zeta-1)$ ($\zeta>1$이므로 항상 유한 — 평균은 늘 존재). 분산 조건은 W18 (1)의 $\gamma>n+1$에 $n=2$. 꼬리 질량은 (8)의 점근을 적분한 것이다. 읽기: $p=0.1$이면 $K=2\times10^4$까지 더한 평균은 6.5이고 꼬리 질량 근사는 3.5다 — 평균 10의 35%가 $k>2\times10^4$에 있다. 평균은 존재하지만 표본에서 잘 보이지 않는 세계다.

$\delta>0$이면 총 단위 유입을 고정한 채로는 지수가 불변이고 수준은 정상상태를 갖는다((14)). $k_0$가 커지면 $\gamma=2+\eta k_0/a$가 커진다 — 진입 질량이 커지면 꼬리가 얇아진다((15)).

$A$ 상수 — 정규화가 없는 세계, 곧 총 단위가 희소하지 않은 세계다.

근거 — 추측–검증. $x:=1-e^{-At}$, $\dot x=Ae^{-At}$. $k=1$: 좌변 $\eta e^{-At}$, 우변 $-\eta x+\eta=\eta(1-x)$. $k\ge2$: 좌변 $\eta x^{k-1}e^{-At}$, 우변 $\eta x^{k-1}-\eta x^{k}=\eta x^{k-1}(1-x)$. $N_k(0)=0$. $\sum_kN_k=-(\eta/A)\ln(1-x)=\eta t$. 순수 출생 과정의 닫힌 형이다Yule, 1925. 읽기: $t\to\infty$에서 $N_k\to\eta/(Ak)$ — $\gamma=1$, 정규화 불가, 정상 형태 없음. 총 단위가 지수적으로 자라고 오래된 기업이 전부를 가져간다. 분모 $U(t)$ — 단위가 희소하다는 것 — 가 $\gamma$를 1 위로 밀어 올린다.

Q10 · 고정점은 몇 개이고 어느 것이 안정인가¶

몇 개. $N_k$ 자체에는 고정점이 없다 — 모두 $\infty$로 간다(수준). 형태 $n_k=N_k/t$의 로그시간 계 (5)는 하삼각 선형계이고 대각 $-(1+(1-p)k)\ne0$이므로 고정점이 정확히 하나다((6)). W10 Definition 1의 "고정점"이 여기서는 벡터장의 영점(연속시간 $s$)이고, (12)의 이산 점화에서는 사상의 부동점이다 — 같은 $n^{*}$다.

안정. 고윳값이 모두 음이므로 전역 안정이다. W10처럼 선형화가 필요 없다 — 계가 이미 선형이다. W10 Lemma 1의 "국소"가 여기서는 "전역"이 된다는 점은 W12 Theorem 1의 압축사상 결과와 닮았으나, 여기에는 실시간의 압축계수가 없다 — 로그시간에서는 계수 $e^{-(2-p)}$의 압축이고 실시간에서는 압축이 아니다. W12의 $\beta^{n}$과 다른 점은 시계다.

얼마나 빨리. 로그시간에서 지수적 $e^{-(2-p)s}$, 실시간에서 대수적 $t^{-(2-p)}$. 반감기는 $t$가 $2^{1/(2-p)}$배 될 때마다 절반 — $p=0.1$이면 1.44배다. 초기에는 빠르고 갈수록 느려진다. 시계 $A(t)=(1-p)/t$가 $1/t$로 느려지기 때문이다. W10 (2)의 $\lambda$ 자리에 서는 것은 $A(t)k=(1-p)k/t$이고, 그것이 상수가 아니라는 것이 실시간 지수 수렴이 없는 이유다. 퇴출 $\delta>0$이면((14)) 수준 $N$, $U$가 고정점을 갖고 $e^{-\delta t}$로 수렴한다 — W10의 세계로 돌아온다. Figure 3이 두 세계를 나란히 놓는다. $\eta=1$, $p=0.1$, $t=1$에서 전 질량을 $k=3$에 두고 (5)를 로그시간 오일러($\Delta s=10^{-3}$, $k\le400$)로 적분하면 $\lvert n_1(t)-n_1^{*}\rvert$는 $t=10$에서 $6.6\times10^{-3}$, 10²에서 $8.3\times10^{-5}$, 10³에서 $1.04\times10^{-6}$, 10⁴에서 $1.30\times10^{-8}$이고, 로그-로그 기울기는 $-1.90=-(2-p)$다. $k=5$의 편차는 처음에 두 번 부호를 바꾸며 흔들리다가 $t\ge10^2$에서 같은 기울기로 붙는다 — 빠른 모드 $j\ge2$가 먼저 사라지고 $j=1$만 남는다.

몬테카를로에서는 이 과도기가 보이지 않는다. 표본 요동은 $t^{-1/2}$로 줄고 과도기는 $t^{-1.9}$로 줄므로, 표본에서 남는 것은 요동뿐이다 — 노트북 예측 3이 이것을 묻는다. 반대로 정상 형태 자체는 표본에서 잘 보인다. Figure 4는 $5\times10^5$단위의 이산 Simon 과정 하나가 (10)의 $S^{*}(k)$ 위에 놓이는 것을 보인다. 흩어지는 것은 상위 몇 개 기업뿐이고, 그것이 유한 $t$ 절단이다.

Q12 · 등록¶

"흐름 수지 (3) → 보존·$At=1-p$ (4) → 로그시간 고정점 (5)–(6) → 베타 닫힌 형 (7) → 감마 비 점근 (8) → $\gamma=2+\eta/a$ (9) → 안정성 (11)"을 내일 백지 항목으로 등록한다. 항목 이름 옆에 근거 줄 여덟 개 — 6절의 채점 기준 — 를 적는다. 백지에서 막히는 자리는 대개 둘째 줄의 망원합과 셋째 줄의 "수준이 아니라 형태"다.

5. 학부와 대학원의 간극¶

자료 논문은 "기업 규모의 생존함수는 기울기 -1.06의 멱법칙"이라 쓰고, 이론 논문은 "규모 분포는 진입을 원천으로 갖는 율 방정식(연속 규모에서는 전진 Kolmogorov 방정식)의 정상해이며 꼬리 지수는 진입과 성장의 비로 결정된다"고 쓴다. 학부 읽기는 첫 문장을 "Pareto를 적합했다"로, 둘째 문장을 "복잡한 확률과정을 풀었다"로 읽고 둘을 잇지 못한다. 대학원 읽기는 둘째 문장을 (3)–(9)의 일곱 줄로 읽고, 첫 문장의 1.06을 (9)에 넣어 $\eta/a=0.06$, 곧 $p\approx0.057$을 얻는다 — 그리고 그 $p$가 자료의 진입 몫(신규 고용 가운데 신생 기업의 몫)과, 같은 $p$가 예측하는 평균 규모 $1/p\approx18$과 규모 1 비율 $f_1=0.515$가 자료와 맞는지를 묻는다. 같은 1.06을 W19의 Gibrat+반사벽으로 읽으면 $\mu/\sigma^{2}$ 하나가 되고, 맞출 둘째 관측치는 진입 몫이 아니라 성장률의 평균과 분산이다 — 두 후보를 가르는 것은 기울기가 아니라 기울기와 짝지을 둘째 관측치다. 이것이 상자의 "후보 메커니즘 역추적"이다Gabaix, 2009.

Luttmer (2007)류 논문의 핵심 식은 정상 밀도 방정식이고, 그 꼬리 지수는 진입(또는 기업 수 증가)의 속도와 기존 기업의 성장 속도가 들어간 2차식의 양의 근이다. 논문은 "진입이 성장에 비해 작을수록 지수는 1(Zipf)에 가까워진다"는 뜻의 문장을 쓴다. (9)의 $\zeta=1+\eta/a$가 정확히 그 문장이다 — 연속 규모·연속 시간에서 식의 모양은 달라도 "바닥의 원천 대 위의 성장"이라는 구조는 같다. 학부 읽기는 논문의 2차식 앞에서 멈추고, 대학원 읽기는 그 근이 왜 진입률의 증가함수인지를 (9)의 $\partial\gamma/\partial p>0$으로 먼저 안다.

실무에도 같은 간극이 있다. 거래처·차주 집중도 관리에서 "상위 10곳의 비중"을 보고하는 것은 분포를 주어진 것으로 받는 일이다. 생존 기울기가 1.1이면 (16)에 의해 분산은 없고 최대 비중은 $t^{-p}$로만 준다 — 집중도는 표본이 커져도 씻기지 않는 구조적 양이며, 그것을 바꾸는 손잡이는 $\eta/a$(새 거래처 개척 대 기존 거래 확대) 하나다. 율 방정식으로 읽을 때만 보이는 정책 변수다.

6. 훈련¶

판별 인터리빙(100분) — 냉시동 인출과 재유도를 대신한다. W19 · Gibrat + 반사벽 → Pareto · Simon 지수 $\gamma=2+p/(1-p)$. W17 · 곱셈 불변 → 멱법칙 · 덧셈 불변 → 지수 (함수방정식). W12 · Blackwell 조건 → 압축사상 → 벨만 고정점 · 포락선 조건. 8문제 각각에 "어느 도구인가"와 "부호·크기 순위"만 답하고 계산하지 않는다.

노트북(40분) — w20-lab.ipynb. 코드를 쓰기 전에 답한다. 계산 계획: numpy만. (a) 이산 Simon 과정을 직접 쌓는다 — $p=0.1$, $T=5\times10^5$단위, $t=1$에 규모 1 기업 하나. 규모 비례 선택은 단위 하나를 균등하게 골라 그 소유 기업에 붙인다(가중 추출 함수 금지). (b) 도수에서 $f_1,f_2$, 표본 생존함수, $\log S$ 대 $\log k$의 최소제곱 기울기를 직접 계산한다. (c) (5)를 로그시간 오일러($\Delta s=10^{-3}$, $k\le400$)로 적분해 $\lvert n_1(t)-n_1^{*}\rvert$의 로그-로그 기울기를 잰다. (d) (6) 점화로 정확한 $f_k$·$S^{*}(k)$를 만들어 (b)와 대조한다.

1. 정상 형태. 규모 1 기업의 비율은 $1/(2-p)=0.526$에 $\pm0.005$ 안쪽(표본 표준편차 $\approx0.002$). 규모 2는 0.165–0.175. 평균 규모 $U/N$은 $1/p=10$에 $\pm1\%$ — 항등식이다.

2. 꼬리 기울기. 표본 생존함수의 $[5,200]$ 구간 로그-로그 기울기는 -1.05에서 -1.15 사이(정확 정상해는 -1.08, 점근 -1.11). $k=1$부터 잡으면 더 얕아진다((8)의 $O(1/k)$ 보정). 상위 1,000개의 순위–규모 기울기는 $-1/\zeta=-0.9$와 -1.0 사이 — 유한 $t$ 절단이 큰 쪽을 깎는다. 최대 기업의 비중은 15–40%(시드 종속, $t^{-p}\approx27\%$ 근처).

3. 과도기. 결정론적 (5)의 $\lvert n_1(t)-n_1^{*}\rvert$는 로그-로그 기울기 $-1.9=-(2-p)$. 몬테카를로의 $f_1(t)$ 요동은 $t^{-1/2}$로만 줄어 과도기를 덮는다 — 표본에서는 보이지 않는다.

대조 표(예측 | 결과 | 어긋남 | 원인)의 원인 후보는 표본 요동·유한 $k$ 보정·유한 $t$ 절단($k\lesssim t^{1-p}$)이다. $T$를 두 배로 늘리면 셋이 갈라진다 — 요동은 $1/\sqrt2$배, 보정은 그대로, 절단은 오른쪽으로 $2^{1-p}$배.

7. 마치며…¶

0절의 식을 다시 본다.

지금은 이렇게 읽힌다. $N_k$는 기댓값 열이고 $A$는 상수가 아니라 $(1-p)/t$이며, $\eta\,\mathbf 1\{k=1\}$은 바닥에서 들어오는 원천이다. 0절이 생략한 것은 분모 $U(t)$ 하나이고, 그 분모가 정말 없으면 지수는 1에 머문다. 양변은 [시간$^{-1}$]이고 정상 형태에 남는 무차원군은 $At=1-p$ 하나 — 그래서 지수는 순수 숫자이며 $1+1/(At)$다. 우변 첫 괄호는 규모 축 위의 흐름(유입 $-$ 유출)이고, 정상해는 그 흐름이 원천과 균형을 이루는 형태다. 고정점은 로그시간에서 하나이고 안정이며 실시간에서는 대수적으로 닿는다. 화살표 오른쪽의 $\gamma$는 "진입 몫 대 성장 몫"의 비 $2+\eta/a$이고, 자료에서 $\zeta$를 읽으면 그 비가 되돌아온다 — 분포가 메커니즘의 이름표가 된다. 퇴출을 넣으면 $A$는 상수가 되고 수준은 멈추지만, 총 단위 유입을 고정하는 한 지수는 그대로다. 화살표의 $\sim$은 두 경계 사이에서만 성립한다. 왼쪽은 소규모의 $O(1/k)$ 보정, 오른쪽은 가장 오래된 기업의 규모 $t^{1-p}$다. 논문의 "정상해"라는 한 단어는 이 문단의 축약이고, 자료 논문의 1.06과 이론 논문의 지수 식은 (9) 한 줄로 이어진다.

(6)의 비 $(k-1)/(k+\zeta)$가 어디서 왔는지 안 보이면 3절의 (5)로 돌아간다.

다음 회차는 이렇게 만들어진 멱법칙 분포를 기업들 사이의 연결 행렬 위에 얹어, 개별 기업의 충격이 언제 경제 전체의 변동이 되는지를 묻는다.

이어지는 자료 — Barabási, Network Science 5–6장 · Krapivsky·Redner·Ben-Naim(사전으로) · Simon(1955) · Luttmer(2007)