W09 · 시간을 식에 넣는 세 가지 방법

0. 이번 회차의 식¶

지금 읽히지 않아도 된다. 7절에서 같은 식을 다시 본다.

1. 도입¶

같은 자본축적을 어떤 논문은 차분식으로, 어떤 논문은 미분식으로, 어떤 논문은 확률과정으로 쓴다. 셋은 같은 것인가. 연 10%의 감가상각을 분기 모형에 넣을 때 2.5%를 쓰는가, 2.47%를 쓰는가, 2.60%를 쓰는가. 세 숫자는 각각 $0.10/4$, $1-e^{-0.10/4}$, $1-0.9^{1/4}$이다. 셋 다 실무에서 쓰이고, 어느 것이 맞는지는 "연 10%"가 (1)의 $\delta$인지 (2)의 $\delta$인지에 달려 있다.

구체적 장면은 분기 실물경기변동 모형의 보정(calibration)이다. King & Rebelo (1999)는 분기 감가상각률을 $\delta=0.025$로 둔다 — 연 10%를 4로 나눈 값이다. 연 10%가 이산 연간 비율이라면 분기 비율은 $1-0.9^{1/4}=2.600\%$이고, 연속 강도 0.10이라면 $1-e^{-0.025}=2.469\%$다. 양 끝 값의 차이는 5% 남짓이다. 성장이 없는 정상상태(steady state)라면 자본–산출 비율은 저축률을 감가상각률로 나눈 것이므로 그만큼 움직이고, 추세 성장이 있는 그 논문의 모형에서는 분모에 성장률이 더해져 그보다 조금 덜 움직인다. 나눗셈 하나가 어느 표기에서 어느 표기로의 변환인지 말하지 못하면 이 보정표를 읽을 수 없다. 읽을 수 있다는 것은 세 가지를 말할 수 있다는 뜻이다. 0.025가 (1)의 자리에 앉는 비율이라는 것, 그 비율이 연속 강도 0.10에서 1차 근사로 온 것이라는 것, 그 근사가 버린 항이 분기 스텝에서 0.03%p이고 연 스텝이었다면 0.5%p라는 것이다. 셋 가운데 하나라도 막히면 다른 논문이 $\delta=0.0247$을 쓸 때 그것이 오타인지 다른 규약인지 판단할 수 없다.

두 번째 장면은 단기금리 논문이다. 첫 줄에 $dr=\kappa(\theta-r)\,dt+\sigma\,dW$를 쓰고, 다음 줄에서 월별 자료에 $r_{t+1}-r_t=a+b\,r_t+\varepsilon_{t+1}$을 회귀한다. 미분식과 차분식 사이에 어떤 줄이 생략됐는지, 회귀계수 $b$에서 $\kappa$를 어떻게 되찾는지, $\varepsilon$의 표준편차가 왜 $\sigma\sqrt{\Delta}$인지 — 생략된 그 줄이 이 회차다. 월별 회귀계수가 $b=-0.01$이면 연간 평균회귀(mean reversion) 속도는 0.12인가 0.1206인가. 답이 둘인 것은 두 줄 사이에 근사가 하나 끼어 있기 때문이고, 둘의 차이가 무시할 만한지는 계산해 보기 전에는 알 수 없다. 월별 잔차의 표준편차가 0.006이면 연 $\sigma$는 $0.006\times12=0.072$가 아니라 $0.006\sqrt{12}=0.021$이며, 그 제곱근이 어디서 오는지도 생략된 줄 안에 있다.

결핍은 한 줄로 적힌다. 차분방정식과 미분방정식을 별개 과목으로 배웠기 때문에 둘 사이의 변환 규칙과 그 오차를 계산한 적이 없다. 이 회차는 변환 규칙 하나와 오차의 차수 하나를 세우고, 세 번째 표기의 $dW$가 무엇의 이름인지를 표에 등록한다.

2. 기호 대장¶

표의 첫 함정은 $\delta$가 두 줄을 차지한다는 것이다. (1)의 $\delta$는 한 기간에 닳는 비율이고 무차원이다. (2)의 $\delta$는 순간 감가상각 강도이고 차원이 [시간$^{-1}$]이다. "연 10%"라는 말은 어느 쪽인지 정하지 않는다. 비율 0.10은 "1년이 지나면 10%가 사라졌다"는 뜻이고, 강도 0.10은 "매 순간 보유량의 연 10% 속도로 사라지고 있다"는 뜻이며, 후자의 1년 뒤 누적은 $1-e^{-0.10}=9.516\%$다. 3절부터 강도는 $\delta$로 쓰고, 비율은 정확 이산화의 $\delta_\Delta=1-e^{-\delta\Delta}$와 오일러의 $\delta\Delta$로 갈라 쓴다. $I_t$와 $I$의 관계도 같다 — 하나는 한 기간의 총액이고 하나는 단위시간당 율이다. W02에서 본 저량·유량의 구분과 연율화의 문제가 여기서는 $\delta$ 한 글자 안에 들어 있다.

둘째 함정은 $dW$가 무엇의 이름인가다. $W$의 종류는 "확률과정(stochastic process)"이다 — 이 책의 기호 대장에 처음 등록되는 종류다. W01의 규칙은 기호가 정의역과 형상을 가진 대상이라는 것이었고, 그 규칙을 $W$에 적용하면 형상은 $\Omega\times\R_+\to\R$이다. 결과 $\omega$와 시각 $t$를 받아 실수를 준다. 시각을 고정하면 확률변수이고, 결과를 고정하면 시간의 함수(경로)다. $dW$는 함수의 미분이 아니다. $W$의 경로는 어디서도 미분할 수 없으므로 $\dot W$라는 것은 없고, $dW$는 짧은 구간의 증분 $W_{t+dt}-W_t$에 붙은 이름이다. 그 증분의 크기는 $dt$가 아니라 $\sqrt{dt}$이며, 표의 차원 [시간$^{1/2}$]이 그것을 박아 둔다. 같은 이유로 (3)은 $\dot K$를 쓸 수 없고 $dK$로 쓴다 — 세 번째 표기가 존재하는 이유가 이것이다. 표의 $\varepsilon_j$는 $W$의 증분을 스텝 길이로 규격화한 것, 곧 $\varepsilon_j=(W_{t_j}-W_{t_{j-1}})/\sqrt{\Delta}$이다 — 구간 $[t_j,t_{j+1}]$의 충격은 $\varepsilon_{j+1}$이다. 종류는 확률변수이고 차원이 없다. $\sigma$는 그 무차원 충격에 [화폐/시간$^{1/2}$]의 크기를 입히는 계수이며, 이 회차에서는 상수다. $\sigma$가 상수라는 조건이 3절 뒤쪽에서 확률적분을 피하게 해 준다.

셋째 함정은 첨자다. (1)의 $K_{t+1}$은 기간 길이를 1로 둔 표기이고 거기서 $t$는 정수다. (2)의 $K(t)$에서 $t$는 실수다. 두 $t$를 한 절에서 함께 쓰면 충돌하므로 3절에서는 격자점 $t_j=j\Delta$에서의 값을 $K_j$로 쓴다. $\Delta=1$이면 $K_{j+1}$이 곧 $K_{t+1}$이다.

이 책에서 다른 뜻으로 쓰인 글자를 갈라 둔다. $I$는 W07에서 항등행렬이었고 여기서는 투자율이다. $\Delta$는 W03에서 변화량의 접두어($\Delta y$)였고 여기서는 홀로 서서 스텝 길이다. $T$는 W03의 만기 $T$와 같은 차원 [시간]이지만 다른 대상 — 채권의 수명이 아니라 계산의 지평이다. $n$은 W07에서 관측 수였고 여기서는 분할 수, 곧 복리 횟수다. $r$은 W02·W06에서 자본 임대료율이었고 여기서는 명목 연이율이다 — W02가 "이 책의 뒤에서 이자율·수익률로 다시 나온다"고 예고한 글자가 처음 그 뜻으로 쓰이는 자리다. $\sigma$는 W05에서 대체탄력성이었고 여기서는 확산계수다. $\kappa$는 W02의 단위환산계수·W03의 이표율이었고 $\theta$는 W05·W06의 외생 파라미터였는데, 도입의 금리식과 4절 (18)에서는 평균회귀 속도·장기 평균이다. $\mu_j$·$\varepsilon_j$·$x$는 W04의 승수 $\mu_\ell$·W02의 탄력성 $\varepsilon_{Y,K}$·W01의 선택변수 $x$와 무관한 이 회차의 보조 글자다. 차수 기호 $O(\cdot)$는 W03에서 정의한 것을 그대로 쓴다.

3. 유도¶

이 절은 (2)를 출발점으로 삼는다. 연속 강도 $\delta$와 투자율 $I$를 고정하고, 스텝 길이 $\Delta$를 도입해 (1)을 그로부터 만들어 낸다. 그러면 0절의 (1)은 "$\Delta=1$일 때의 $\delta_\Delta$와 $I_\Delta$"를 쓴 식으로 읽히고, 두 $\delta$의 관계가 식 하나로 드러난다. 확률 표기 (3)은 절의 끝에서 같은 스텝 $\Delta$로 읽는다.

가정은 다섯이다.

• A1 (선형 상수계수) — $\delta>0$은 상수다. 투자는 상수다: 연속에서 $I(t)\equiv I$, 오일러 이산에서 $I_j\equiv I\Delta$. 연속 표기의 $K:\R_+\to\R$는 미분가능하다(그래야 $\dot K$가 있다).

• A2 (같은 출발점) — $K(0)=K_0$이고 이산 수열도 $K_0$에서 출발한다.

• A3 (균등 격자) — 지평 $T>0$ 고정, $n\in\mathbb{N}$, $\Delta=T/n$, 격자점 $t_j=j\Delta$. 극한은 $T$를 고정한 채 $n\to\infty$($\Delta\to 0$)다.

• A4 (작은 스텝) — $0<\delta\Delta<1$. 로그의 테일러 전개가 유효한 범위이고 동시에 오일러 수열이 단조인 범위다. 안정성 논의((e), (12))에서만 이 범위를 벗어난다.

• A5 (확률 부분) — $W$는 위너 과정이다: $W_0=0$, 독립 증분, $W_{t+\Delta}-W_t\sim N(0,\Delta)$, 경로 연속. $\varepsilon_1,\varepsilon_2,\dots$는 서로 독립인 $N(0,1)$이고 $K_0$과 독립이다. $\sigma\ge0$은 상수다.

오일러 이산화는 접선을 따라 한 걸음 가는 것이다. 곡선 $K(t)$를 $t_j$에서 1차 테일러로 자르고, 그 직선 위에서 $\Delta$만큼 나아간 높이를 $K_{j+1}$로 삼는다. W03이 채권가격 곡선을 접선으로 대신한 것과 같은 조작이고, 한 걸음마다 버리는 것은 2차항 $\tfrac12\ddot K\,\Delta^{2}$다. 다른 점은 그 조작을 $n$번 되풀이하되 매번 앞 걸음이 남긴 점에서 다시 접선을 긋는다는 것이다. 버린 항이 어떻게 쌓이는가가 이 절의 질문이고, 쌓인 것의 이름이 이산화 오차(discretization error)다.

번역. 연속으로 닳는 자본을 스텝마다 한 번씩 닳게 하는 차분식으로 흉내 내면, 둘은 같은 정상상태를 향하지만 차분식이 매 스텝 조금 더 빨리 닳게 하고, 그 누적 오차는 스텝 길이에 비례한다. 스텝의 감가상각률을 $1-e^{-\delta\Delta}$로 잡으면 오차는 사라진다. 복리 횟수를 늘릴수록 연속복리에 다가가는 것은 같은 계산의 부호만 바꾼 것이다.

(c)의 $I_\Delta$는 읽을 거리다. 정확 이산화의 기간 투자액은 $I\Delta$가 아니라 $(I/\delta)(1-e^{-\delta\Delta})=I\Delta-\tfrac12\delta I\Delta^{2}+O(\Delta^{3})$다. 기간 안에 흘러 들어온 투자는 기간이 끝나기 전에 닳기 시작하므로, 0절 (1)의 $I_t$는 정확히는 "기간 투자 총액"이 아니라 "기간 말까지 살아남은 투자"다. 투자 쪽의 차이 $\tfrac12\delta I\Delta^{2}$와 감가상각 쪽의 절단 $-\tfrac12(\delta\Delta)^{2}K_j$를 합치면 한 스텝의 국소 오차 $-\tfrac12(\delta\Delta)^{2}(K_j-K^{*})$가 된다 — 정상상태와의 거리에 비례한다.

(11)은 W03의 질문에 답한다. W03은 "버린 항은 언제 되살아나는가"를 물었고, 채권가격에서는 $\Delta y$가 커질 때 2차항이 되살아났다. 여기서는 스텝마다 $\tfrac12(\delta\Delta)^{2}$을 버리고, 한 번 버린 양은 2차라 작지만 $n=T/\Delta$번 쌓인다. 스텝 $j$의 국소 오차 $-\tfrac12(\delta\Delta)^{2}(K_j-K^{*})$는 거리 $K_j-K^{*}\approx(K_0-K^{*})e^{-\delta t_j}$에 비례하고, 남은 시간 동안 $e^{-\delta(T-t_j)}$로 감쇠하며 지평까지 전파된다. 두 지수가 합쳐져 $e^{-\delta T}$가 되므로 $n$개의 합은 $-\tfrac12\delta^{2}\Delta^{2}\cdot n\cdot e^{-\delta T}(K_0-K^{*})=-\tfrac12\delta^{2}T\,e^{-\delta T}(K_0-K^{*})\Delta$ — (9)의 계수 그대로다. 국소 오차가 2차이고 대역 오차가 1차인 것은 오일러법 일반의 성질이다 Judd, 1998. W03에서 $\Delta y$의 크기가 1차 근사의 한계를 정했다면 여기서는 $\delta\Delta$의 크기가 그 역할을 하고, 버린 항이 되살아나는 방식은 "한 번에 크게"가 아니라 "여러 번 조금씩"이다.

수치 확인 — 파라미터는 $\delta=0.10$/년, $T=10$년, $K_0=2$, $K^{*}=1$($I=0.1$)이다. $T=1/\delta$는 $Te^{-\delta T}$가 최대인 지평이라 오차가 가장 큰 곳이다. 정확값은 $K(10)=1+e^{-1}=1.367879$다.

오차$/\Delta$가 상수 $-\tfrac12\delta^{2}Te^{-\delta T}(K_0-K^{*})=-0.018394$로 수렴한다 — 1차의 수치 증거다. 연 스텝에서 예측과 실제의 차이 0.0008은 (9)의 $O(\Delta^{2})$ 항이고, 스텝을 반으로 줄일 때마다 넷으로 준다. Figure 1의 오른쪽 패널이 이 표를 격자점마다 그린 것이다.

복리 쪽의 숫자도 같은 보조정리에서 나온다. $r=0.05$, $e^{0.05}=1.0512711$이다.

넷째 열은 (4)의 첫 보정항 $e^{r}r^{2}/(2n)$이고, 실제 차이와의 어긋남($n=1$에서 3%, $n=12$에서 0.3%)이 $O(n^{-2})$의 항이다. 연 1회 복리와 연속복리의 차이 13bp는 이자율이 이산 표기인지 연속 표기인지 밝히지 않은 채 "5%"라고만 적은 문서가 품은 오차의 크기다. Figure 2에서 두 점열이 평행한 것이 이 표와 앞의 표가 같은 항이라는 뜻이다.

도입의 세 숫자는 (10)과 (11)의 표다. 출발점이 무엇이냐에 따라 같은 "연 10%"가 세 개의 분기 숫자를 준다.

첫째 행과 둘째 행의 차이가 (11)의 $\tfrac12(\delta\Delta)^{2}$이다 — 연 스텝에서 0.5%p, 분기에서 0.03%p다. 셋째 행은 이산 연간 비율을 (10)의 규칙으로 분기에 옮긴 것이며, 이때 강도는 $\delta=-\ln 0.9=0.10536$이다. 보정표의 0.025는 둘째 행이다. 어느 행을 택했는지 적지 않은 보정표는 세 행 가운데 어느 것도 아닐 수 있다.

Figure 3의 둘째·셋째 패널이 보이는 진동과 발산은 자본의 성질이 아니라 스텝의 성질이다. 연 $\delta=0.5$에 이르는 소프트웨어 자본을 4년 스텝으로 흉내 내면 $\delta\Delta=2$가 되어 정상상태 양쪽을 같은 진폭으로 영원히 오가고, 5년 스텝이면 발산하며, 분기 스텝이면 둘 다 사라진다. 분기 모형의 $\delta=0.025$에는 그 위험이 없다 — 감가상각이 빠른 자본을 긴 스텝으로 다룰 때만 생기고, 어느 경우인지는 $\delta\Delta$ 하나가 말한다.

세 번째 표기로 간다. 이토 미적분은 쓰지 않는다. 확률적분 $\int g(K_t)\,dW_t$는 $g$가 $K$에 의존할 때 필요하고, 그 정의는 이 회차 밖이다. (3)의 $\sigma$는 상수이므로 $\sigma\,dW$를 구간마다 더한 것은 $\sigma$ 곱하기 $W$의 순증분이고, 확률적분이 등장하지 않는다. 그 덕분에 (3)의 뜻은 이산 재귀식의 평균과 분산 — 학부 도구 — 으로 붙잡힌다.

근거 — Definition 2. $\sigma$가 상수이므로 $\sigma\,dW$의 합은 $\sigma(W_T-W_0)=\sigma W_T$이고(A5의 $W_0=0$), 확률적분이 따로 필요 없다. 첫 적분은 경로별 보통 적분이다 — A5로 $W$의 경로가 연속이므로 $K_t$의 경로도 연속이다. 미분식 (3)은 이 적분식의 줄임말이지 $dK/dt$의 진술이 아니다.

근거 — Definition 2. 구간 $[t_j,t_{j+1}]$에서 (13)의 적분을 $(I-\delta K_j)\Delta$로 근사한다 — Definition 1과 같은 오일러다. 증분 $W_{t_{j+1}}-W_{t_j}$는 A5에 의해 정확히 $N(0,\Delta)$, 곧 $\sqrt{\Delta}\,\varepsilon_{j+1}$의 분포다. 근사는 표류항에만 있고 충격항에는 없다. $\sigma=0$이면 (6)으로 돌아간다.

번역. 충격이 더해진 자본의 평균은 충격 없는 차분식과 똑같이 움직이고, 흩어짐은 스텝마다 $\sigma^{2}\Delta$만큼 들어와 $(1-\delta\Delta)^{2}$의 비율로 잊힌다. 들어오는 양과 잊히는 양이 같아지는 곳이 정상 분산이다.

$\sigma^{2}/(2\delta)$는 연속 과정 자체의 정상분산을 증명한 것이 아니라 이산 재귀식 고정점의 $\Delta\to0$ 극한이다. 그 증명은 이 회차 밖이다. 수치로는 $\sigma=0.3$, $\delta=0.1$에서 극한이 0.45이고, $\Delta=1$이면 $V^{*}_\Delta=0.47368$(차이 0.02368), $\Delta=1/4$이면 0.45570, $\Delta=1/12$이면 0.45188(차이 0.00188, (16) 둘째 항의 근사 $\sigma^{2}\Delta/4=0.001875$)이다. 스텝을 셋으로 줄이면 차이도 셋으로 준다.

4. 읽기¶

이 회차의 층은 L0·L3이다. Q1–Q3에 Q10을 더하고, 파라미터 극단은 Q10 안에서 다룬다.

Q1 · 기호¶

2절 표가 답이다. 덧붙일 것은 하나다. 표의 “종류” 열에 "확률과정"이 이 책에서 처음 등장했다. 스칼라·함수·확률변수와 구별되는 점은 형상 $\Omega\times\R_+\to\R$다 — 시각을 고정하면 확률변수이고, 결과를 고정하면 시간의 함수다. (3)의 $K$도 확률과정이다. (2)의 $K$는 함수이고, (1)의 $K_t$는 수열이다. 같은 글자의 종류가 식마다 다르다. 종류가 다르면 허용되는 연산이 다르다 — 함수는 미분할 수 있고, 수열은 차분할 수 있으며, 확률과정은 증분의 분포를 물을 수 있다.

Q2 · 번역¶

세 식을 각각 번역한다.

• (1): 다음 기의 자본은 이번 기 자본에서 한 기 동안 닳은 몫을 뺀 것에 이번 기 투자 총액을 더한 것이다.

• (2): 자본은 매 순간 투자율만큼 늘고 보유량에 비례하는 속도로 닳는다.

• (3): 짧은 시간 동안 자본의 변화는 예측 가능한 부분(투자에서 감가상각을 뺀 것에 시간을 곱한 것)과 예측 불가능한 부분(시간의 제곱근 크기를 갖는 정규 충격)의 합이다.

세 번역의 차이가 세 표기의 차이다. 첫 문장의 "한 기 동안"과 "총액"은 기간이 단위라는 뜻이다. 둘째 문장의 "매 순간"과 "속도"는 시간이 연속이라는 뜻이다. 셋째 문장의 "예측 가능한 부분"과 "예측 불가능한 부분"은 식이 두 항으로 갈라져 있고 둘째 항의 크기가 시간의 제곱근이라는 뜻이다. 번역에서 "보유량에 비례하는 속도로 닳는다"를 지우면 $\dot K=I$가 되고, 그것이 Q10의 $\delta\to0$ 극단이다. 번역에서 "예측 불가능한 부분"을 지우면 셋째 식이 둘째 식이 되고, 그것이 $\sigma\to0$ 극단이다. 번역이 항 하나와 일대일이면 번역이 맞은 것이다.

등가 재작성 하나를 더한다. (2)는 $\dot K=\delta(K^{*}-K)$와 값이 같다 — “자본은 정상상태와의 거리에 비례해 정상상태로 끌려간다.” 투자와 감가상각이라는 두 항이 “거리에 비례하는 복원력” 한 항으로 접힌다. 이 형태가 무엇을 드러내는지는 Q10의 끝에서 본다.

Q3 · 차원¶

• (1): 좌변 [화폐]. 우변의 $(1-\delta)K_t$가 [화폐]이려면 $\delta$는 무차원, $I_t$는 [화폐]다.

• (2): 좌변 $\dot K$는 [화폐/시간]. 우변의 $\delta K$가 같은 차원이려면 $[\delta]=$ [시간$^{-1}$]이고, $I$는 [화폐/시간]이다. $1/\delta$는 시간이다 — 이 식이 가진 유일한 시간 척도다.

• (3): 좌변 $dK$는 [화폐]. 표류항 $(I-\delta K)\,dt$는 [화폐/시간]·[시간] = [화폐]. 충격항 $\sigma\,dW$가 [화폐]이려면 $[\sigma]\cdot$[시간$^{1/2}$] = [화폐], 곧 $[\sigma]=$ [화폐·시간$^{-1/2}$]다. "연 변동성 30%"가 월 변동성 $0.30/\sqrt{12}$로 환산되는 시간의 제곱근 규칙이 여기서 나온다 — 수익률 논문의 그 $\sigma$는 분자가 [화폐]가 아니라 무차원(로그수익률)이지만, 시간 지수 $-1/2$는 같다.

무차원군을 센다. 3절에 등장한 양은 $K_0$, $I$, $\delta$, $T$, $\Delta$, $\sigma$의 여섯이고 기본 차원은 [화폐]와 [시간] 둘이므로, W02의 세기 절차(파이 정리)로 무차원군은 $6-2=4$개다.

근거 — 각각 무차원임을 검산한다. $\delta\Delta$: [시간$^{-1}$][시간]. $\delta K_0/I$: [시간$^{-1}$][화폐]/[화폐/시간]. $\sigma^{2}\delta/I^{2}$: [화폐$^{2}$/시간][시간$^{-1}$]/[화폐$^{2}$/시간$^{2}$]. 넷은 서로 독립이다 — $\Delta$, $T$, $K_0$, $\sigma$가 각각 하나에만 들어간다.

(17)의 넷 가운데 $\pi_1=\delta\Delta$가 이산화 오차와 안정성을 홀로 결정한다 — (9)의 $\delta^{2}T\Delta=\pi_1\pi_2$, (11)의 절단, (12)의 조건, (16)의 분모가 모두 $\pi_1$의 함수였다. $\pi_2=\delta T$는 지평이 시간척도의 몇 배인가이고, $\pi_3=K_0/K^{*}$는 출발점이 정상상태의 몇 배인가다. $\pi_4=2V^{*}/K^{*2}$는 정상상태 변동계수의 제곱의 2배다. 정상분산 $\sigma^{2}/(2\delta)$의 차원 검산: [화폐$^{2}$·시간$^{-1}$]/[시간$^{-1}$] = [화폐$^{2}$].

Q10 · 고정점과 안정성¶

• (2): 고정점은 $K^{*}=I/\delta$ 하나다. $\dot K=-\delta(K-K^{*})$의 기울기가 $-\delta<0$이므로 안정이다. 도달 속도는 시간척도 $1/\delta$ — $\delta=0.10$이면 10년마다 거리의 $e^{-1}\approx37\%$가 남는다.

• (1)·(6): 같은 고정점이다. 안정 조건은 (12) — 공비 $1-\delta\Delta$의 절댓값이 1보다 작아야 한다. 연속식에는 없던 조건이 생겼다.

• (3): 경로의 고정점은 없다. 충격이 계속 들어오므로 어느 경로도 한 값에 머물지 않는다. 고정점은 분포에 있다 — 평균 $K^{*}$, 분산 $\sigma^{2}/(2\delta)$(이산에서는 $V^{*}_\Delta$). 정상상태의 뜻이 "값"에서 "분포"로 옮겨 간다. Figure 4의 경로는 정상 띠 안을 계속 오가고, 띠 자체는 움직이지 않는다.

오일러와 연속해의 속도 차이에는 경제적 읽기가 있다. 오일러 차분식은 기간 초의 보유량 전체에 $\delta\Delta$를 한 번 매기고, 연속식은 기간 안에서 이미 줄어든 보유량에 매 순간 매긴다. 자본이 줄고 있는 동안($K_0>K^{*}$)에는 연속식의 밑수가 더 작아 오일러가 더 닳고, 늘고 있는 동안($K_0<K^{*}$)에는 반대다 — (9)의 인수 $(K_0-K^{*})$가 그 부호다. 어느 쪽이든 오일러 수열은 정상상태와의 거리를 연속해보다 빨리 줄인다.

분포의 고정점에도 속도가 있다. (15)의 분산 재귀식은 공비 $(1-\delta\Delta)^{2}$의 등비수열이므로 분산은 평균의 두 배 강도 $2\delta$로 정상값에 다가간다 — 시간척도로는 $1/(2\delta)=5$년이다. 다만 Figure 4의 띠 위치는 평균 $\mu_j$가 정하므로 띠가 정상 띠에 붙는 속도는 평균의 속도 $1/\delta$다. 같은 그림에서 아래쪽 경로는 0 밑으로 내려간다. 가법 충격 $\sigma\,dW$는 $K$가 0 근처에서도 같은 크기이므로 경로가 음수로 갈 수 있고, 자본이 음수일 수 없다는 조건은 이 식 어디에도 없다. 같은 결함이 (18)의 금리에서는 음의 금리로 나타난다. 식이 틀린 것이 아니라 식이 붙잡으려 한 것이 "정상상태 근처의 흔들림"이지 "0 근처의 행동"이 아니라는 뜻이다.

파라미터를 극단으로 보내면 어떤 세계가 되는가.

• $\delta\Delta\to0$: (1)이 (2)가 된다. 이산 세계가 연속 세계로 간다. 오차 (9)와 분산의 차이 (16)이 함께 사라진다.

• $\delta\Delta=1$: 한 기에 전부 닳는다 — 자본이 재고가 아니라 매 기 새로 사는 중간재가 된다. 오일러 수열은 한 스텝에 $K^{*}$에 닿는다.

• $1<\delta\Delta<2$: 부호를 바꿔 가며 수렴한다. $\delta\Delta=2$면 진폭이 줄지 않는 영구 진동이고, $\delta\Delta>2$면 발산한다 — (12)의 진동과 발산은 연속 세계에는 없는, 표기가 만든 것이다.

• $\delta\to0$($\Delta$, $T$ 고정): $K^{*}\to\infty$, 고정점이 사라진다. (2)는 $\dot K=I$ — 자본이 선형으로 쌓이기만 한다. (3)은 표류 $I$의 확률보행이 되어 분산 $\sigma^{2}t$로 무한히 커진다. 정상 분포가 없다.

• $\sigma\to0$: (3)이 (2)로 간다. 분포의 고정점이 값의 고정점으로 좁아진다.

• $T\to\infty$: 오일러와 연속 둘 다 $K^{*}$로 가므로 (9)의 오차 $\propto Te^{-\delta T}\to0$이다. 오차는 $T=1/\delta$에서 최대다 — 짧은 지평도 긴 지평도 아닌, 시간척도 한 개짜리 지평이다.

Q2의 등가 재작성 $\dot K=\delta(K^{*}-K)$로 돌아간다. 이 형태에서 글자만 바꾸면 단기금리의 식이 된다.

근거 — (3)의 표류항을 $I-\delta K=\delta(K^{*}-K)$로 고쳐 쓰고 $K\to r$, $\delta\to\kappa$, $K^{*}\to\theta$로 이름만 바꾼 것이다. 단기금리의 Vasicek 모형이다 Vasicek, 1977. 자본 대신 금리, 정상상태 대신 장기 평균 $\theta$, 감가상각 강도 대신 평균회귀 속도 $\kappa$ — 같은 식, 다른 이름이다. 이 문항의 답도 그대로 옮겨진다: 고정점은 $\theta$ 하나, 시간척도는 $1/\kappa$, 오일러 이산화의 계수는 $1-\kappa\Delta$, 정확 이산화의 계수는 $e^{-\kappa\Delta}$, 분포의 고정점은 평균 $\theta$·분산 $\sigma^{2}/(2\kappa)$다. 금리의 평균회귀 속도가 연 0.1이면 금리도 자본과 같은 10년 시간척도로 장기 평균에 끌려간다.

5. 학부와 대학원의 간극¶

어디서 멈추는가. Chan et al. (1992)는 단기금리 모형을 $dr=(a+b\,r)\,dt+\sigma(r)\,dW$로 쓰고, 다음 줄에서 월별 자료의 이산 근사 $r_{t+1}-r_t=a+b\,r_t+\varepsilon_{t+1}$을 추정한다(논문의 글자는 $\alpha$, $\beta$다). 확산계수 $\sigma(r)$는 금리의 거듭제곱에 비례하는 꼴이고, (18)의 Vasicek 모형은 그 거듭제곱의 지수가 0인 경우다. 학부 읽기는 두 줄 사이에서 멈춘다. 첫 줄은 미분방정식 과목이고 둘째 줄은 시계열 과목이며, 둘을 잇는 규칙을 배운 적이 없다. 두 줄에 같은 글자 $a$, $b$가 쓰인 것이 그 빈 줄을 더 잘 숨긴다.

대학원 읽기가 보는 것. 둘째 줄은 (14)다. Vasicek의 오일러 읽기에서 회귀계수는 $b=-\kappa\Delta$, 절편은 $a=\kappa\theta\Delta$이므로 월별 추정치에서 연간 $\kappa$를 되찾으려면 $\Delta=1/12$로 나눈다. 오차항의 표준편차는 $\sigma\sqrt{\Delta}$다. 회귀식 자체는 오일러와 (10)의 정확 이산화에서 같은 AR(1)이고, 차이는 $b$에서 $\kappa$를 되찾는 규칙에 있다 — 정확 이산화는 AR(1) 계수 $1+b=e^{-\kappa\Delta}$를 주고 오일러의 $1-\kappa\Delta$는 그 1차 절단이므로, 오일러 읽기 $\kappa=-b/\Delta$는 정확 읽기 $\kappa=-\ln(1+b)/\Delta$에 대해 $O(\Delta)$의 편의를 갖는다. 월 자료($\kappa\Delta\approx0.01$ 수준)에서는 무시할 만하고, 연 자료에서는 아니다. 어느 쪽인지 판단하는 데 필요한 것은 $\pi_1=\kappa\Delta$ 하나다.

숫자로 보면 이렇다. 월별 회귀가 $b=-0.010$을 주었다고 하자. 오일러 읽기는 $\kappa=0.010\times12=0.120$/년이고, 정확 이산화 읽기는 AR(1) 계수 $1+b=0.990=e^{-\kappa/12}$에서 $\kappa=-12\ln0.990=0.1206$/년이다. 차이는 0.5%다. 같은 모형을 연 자료로 추정해 $b=-0.15$를 얻었다면 오일러 $\kappa=0.150$, 정확 $\kappa=-\ln0.85=0.1625$ — 8.3%의 차이이고, 이번에는 무시할 수 없다. 두 경우를 가르는 것은 자료의 빈도 그 자체가 아니라 $\kappa\Delta$의 크기이며, 그 값은 (11)에서 버린 항 $\tfrac12(\kappa\Delta)^{2}$이 첫 항 $\kappa\Delta$의 몇 %인지를 1차로 말해 준다 — 월 자료에서 0.5%, 연 자료에서 7.5%이고, 연 자료의 8.3%는 다음 항 $\lvert b\rvert^{2}/3$까지 더한 값이다.

표기 선택이 바꾸는 것. 차분 표기는 자료와 곧장 맞물린다(추정 가능). 미분 표기는 닫힌 해와 시간척도 $1/\kappa$를 준다(해석 가능). 확률 표기는 분포의 정상상태를 준다(위험 계산 가능). 논문이 셋을 번갈아 쓰는 것은 취향이 아니라 각 줄에서 필요한 계산이 다르기 때문이며, 표기를 옮길 때마다 $\pi_1$ 크기의 오차가 따라온다는 것을 아는 사람만이 그 줄들을 잇는다. 같은 이유로 한 논문의 보정표는 차분 표기의 기간 비율($\delta\Delta$ 또는 $\delta_\Delta$)을 적고, 이론 절은 미분 표기의 $\delta$를 적으며, 위험 절은 $\sigma^{2}/(2\delta)$를 적는다. 한 논문 안에서 $\delta$를 세 번 만나면 각각이 어느 표기의 것인지 여백에 먼저 적는 것이 읽기의 첫 단계다.

6. 훈련¶

냉시동 인출(40분) — 1주 전 · 3주 전 · 8주 전 각 1항목.

1. 1주 전 · W08 관문에서 통과하지 못한 항목 1개 — 관문의 네 항목(포락선 정리 · 음함수 정리 비교정학 · FWL · 채권가격 2차 전개) 가운데 자기 진단표에서 막혔던 것을 백지에서 다시 한다.

2. 3주 전 · W06 — 1계 조건 전미분 → 비교정학 부호. Theorem 1의 유도를 근거 줄까지 재구성한다.

3. 8주 전 · W01 — 기호 대장 5칸으로 예산제약 최적화 식 전체를 표로 옮기기. (1)의 모든 기호를 종류·형상·차원·이름으로.

노트북(40분) — w09-lab.ipynb. 코드를 쓰기 전에 다음 셋에 답한다.

1. $\delta=0.10$, $T=10$, $K_0=2$, $K^{*}=1$에서 연 스텝 오일러의 오차 부호와 크기는 무엇인가. 스텝을 분기로 줄이면 오차는 몇 배가 되는가. (예측: 음, 약 -0.018; 약 $1/4$.)

2. $\delta\Delta=1.5$에서 오일러 경로의 모양은 무엇인가. $\delta\Delta=2.2$에서는 무엇인가. (예측: 부호를 바꿔 가며 수렴, 진폭이 스텝마다 0.5배; 발산, 진폭이 스텝마다 1.2배.)

3. $\sigma=0.3$, $\delta=0.1$, $\Delta=1/12$, 경로 2,000개, $T=40$에서 $K_T$의 표본 분산은 얼마인가. 표본 평균 경로는 어느 곡선 위에 있는가. (예측: 0.452 부근 — $V^{*}_\Delta=0.45188$, 연속 극한 0.45; (5) 위.)

계산은 직접 쌓는다. (5)는 공식으로, 오일러 (6)은 반복문으로 — 적분 패키지를 쓰지 않는다. $n$을 두 배씩 늘려 가며 오차와 오차$/\Delta$의 표를 출력한다. $\delta=1$로 두고 $\delta\Delta\in\{0.5,1,1.5,2,2.2\}$의 다섯 경로를 같은 반복문으로 만든다. (14)는 표준정규 벡터로 2,000경로를 동시에 반복하고, 매 스텝 표본 평균·분산을 기록해 (15)의 $\mu_j$, $V_j$와 나란히 그린다. 대조 표는 예측 | 결과 | 어긋남 | 원인의 4열이다.

7. 마치며…¶

0절의 식을 다시 본다.

지금은 이렇게 읽힌다. 첫 식의 $\delta$는 비율이고 둘째 식의 $\delta$는 강도라서 같은 글자가 아니다 — 둘은 $\delta_\Delta=1-e^{-\delta\Delta}$로 이어지고, 첫 식이 둘째 식의 오일러 이산화라면 그 차이는 스텝의 1차이며 부호는 "더 빨리 닳는 쪽"이다. 차원으로 읽으면 첫 식은 [화폐]의 식, 둘째 식은 [화폐/시간]의 식이고, 셋째 식의 $\sigma$는 [화폐/시간$^{1/2}$]라서 $dW$가 $\sqrt{dt}$ 크기의 증분임을 차원이 먼저 말해 준다. 메커니즘으로 읽으면 셋은 같은 고정점 $K^{*}=I/\delta$를 향한다 — 첫 식은 스텝 조건 $\delta\Delta<2$가 붙은 채로, 둘째 식은 조건 없이 단조로, 셋째 식은 값이 아니라 분포로 향한다. 셋째 식의 평균은 둘째 식이고, 분산은 스텝마다 $\sigma^{2}\Delta$가 들어와 $(1-\delta\Delta)^{2}$로 잊히는 재귀식의 고정점 $V^{*}_\Delta$에 멈추고, 그 값은 $\Delta\to0$에서 $\sigma^{2}/(2\delta)$로 간다. 셋은 같은 자본을 다른 계산 목적으로 쓴 것이다 — 자료에 맞추려면 첫 식, 닫힌 해와 시간척도가 필요하면 둘째 식, 분포와 위험이 필요하면 셋째 식을 쓴다.

오차의 부호와 차수가 안 나오면 3절의 (8)–(9)로, $\delta_\Delta$가 왜 $\delta\Delta$가 아닌지 안 읽히면 (10)–(11)로, $dW$의 크기가 안 읽히면 (14)로 돌아간다.

다음 회차에서는 $\dot K=I-\delta K$처럼 풀리는 식을 떠나, 풀리지 않는 비선형 식 앞에서 풀지 않은 채 위상선 위의 고정점과 수렴속도를 읽는다.

이어지는 자료 — Strogatz 1장 · QuantEcon Intermediate 선형동학 절 · Higham (2001)의 오일러–마루야마 입문