W16 · 관문 — 동학·확률 종합, 자산가격 논문 분해

0. 관문이 묻는 것¶

2부의 세 전환(고정점·사영·측도 변환)이 실제 논문 앞에서 작동하는가.

관문은 새 도구를 주지 않는다. 앞 일곱 회차가 준 도구를 논문 한 편 위에 올려놓고, 어느 줄에서 손이 멈추는지를 적는다. 산출물은 셋이다 — 백지 재유도 4항목의 통과·막힘 기록(3절), 논문 분해의 막힌 지점 기록표(2절), 자기 진단 표(5절). 셋 다 "무엇을 아는가"가 아니라 "어느 줄에서 막혔는가"를 적는 표다.

순서가 있다. 논문을 펴기 전에 3절의 백지 시험을 먼저 한다. 이 관문의 논문은 벨만 연산자·포락선 조건·확률 오일러 방정식을 본문에 다 적어 놓은 논문이라, 읽고 나서 재유도하면 백지가 아니다. 백지 시험 100분(4항목, 각 25분)을 마친 뒤 논문 읽기 3시간, 분해 80분의 순서로 간다.

1. 분해 대상¶

Lucas (1978), “Asset Prices in an Exchange Economy”, Econometrica 46(6), 1429–1445. 원문은 JSTOR에서 받는다. 17쪽이다.

이 논문을 고른 이유는 하나다. 2부의 세 회차가 따로 세운 것 — W12의 벨만 연산자와 압축사상, W12·W13의 포락선 조건, W13의 확률적 할인인자 — 이 한 논문의 4절 두 쪽 안에 차례로 놓여 있다. 논문은 소비재 하나를 내는 나무 $n$그루와 동일한 소비자들로 경제를 짓고, 나무의 주식 가격이 산출 상태의 함수 $p(y)$로 정해진다는 것을 보인다. 분해 대상은 다음 범위다.

5절(쌍대 정리)과 6절(안정성)은 범위 밖이다 — 이 책의 어느 회차도 그 도구를 주지 않았다. 7.3절은 2절의 파라미터 극단에서 한 번만 쓴다.

논문에 없는 것이 하나 있다. 무위험 자산이다. Lucas의 경제에는 나무의 주식만 거래되므로 $R_f$가 식에 나오지 않고, 위험 프리미엄 (3)과 이항모형의 $q$ (1)는 논문 밖에서 붙여야 한다. 그 자리를 채우는 대안 논문이 Mehra & Prescott (1985), “The Equity Premium: A Puzzle”, Journal of Monetary Economics 15(2), 145–161이다(Elsevier ScienceDirect). 같은 나무 경제에 한 기간 무위험 채권을 더하고 소비성장을 두 상태 마르코프 연쇄로 두어, 주식과 채권의 수익률 차이를 자료와 대본다 — (15) 아래의 숫자가 거기서 나왔다. Lucas가 무거우면 이쪽을 주 대상으로 삼아도 된다. 2절의 절차는 같다. 셋째 후보는 Hansen & Jagannathan (1991), Journal of Political Economy 99(2)다. 효용함수 없이 (2)만으로 시작하는 논문이며, 2절의 3단계(1계 조건 번역)가 비어 있다는 것이 그 논문의 요점이다.

2. 분해 절차¶

기호 대장 → 차원 검사 → 1계 조건 번역 → 파라미터 극단 → 비교정학 부호 예측 → 확인. 각 단계에서 막힌 지점을 기록한다. 막힌 지점이 이 관문의 실제 산출물이다.

논문 3·4절이 세우는 식 넷을 이 책의 표기로 옮겨 적어 둔다. 분해는 이 넷 위에서 한다.

(1)은 논문의 정의 (i), (2)는 1계 조건 (3)과 명제 2의 식 (2), (3)은 균형 가격식 (6), (4)는 (9)와 (8)이다.

1단계 — 기호 대장. 논문 2·3절의 기호 전부를 W01의 5칸(기호·종류·형상·차원·이름)으로 옮긴다. 함정은 넷이다. (a) $x$는 다음 기의 주식 보유량이지 지급액이 아니다 — W13의 $x_{t+1}$과 같은 글자, 다른 뜻이고, W13의 지급액 자리에 서는 것은 $y'_i+p_i(y')$다. (b) 프라임은 도함수가 아니라 다음 기다 — $y'$는 다음 기 산출이고 $U'$만 도함수다. W12 2절의 프라임 문단이 경고한 자리다. (c) $p(y)$는 숫자가 아니라 함수이고, $v(z,y;p)$는 그 함수를 인수로 받는다 — 함수가 점이라는 W12의 층 이동이 여기서 두 번 일어난다. 하나는 $v$를 점으로 보는 $T_p$, 다른 하나는 $p$를 점으로 보는 $T_i$다. (d) $\int\cdot\,dF(y',y)$가 W13의 $\E_t$이고 정보집합은 오늘 산출 $y$ 하나다 — W14의 $\Fc_t$가 $\sigma(y_t)$로 줄어든 것이며, 그것을 허용하는 근거가 마르코프 가정이다. 표를 채우다 막히는 기호를 기록표에 적는다.

2단계 — 차원 검사. 뉴메레르는 소비재다. $y_i$는 [수량/주], $z_i$는 [주], $p_i$는 [수량/주], $U'$은 [효용/수량]이다. (2) 둘째 식의 양변은 [효용/주]이고 (3)의 양변도 [효용/주]다. (4)의 $f_i$는 [효용/주]이며, $U'$으로 나눈 $p_i$가 [수량/주]로 돌아온다 — W13 Q3에서 $u'(c_t)$로 나누어 효용 단위를 지운 것과 같은 조작이 논문의 (8)이다. 7.2절의 (20)은 양변이 무차원이어야 한다 — 탄력성 둘의 차이다. 무차원군이 $\beta$와 $-yU''/U'$ 둘뿐이라는 것을 여기서 미리 센다. 식 하나라도 양변의 단위가 다르게 읽히면 1단계의 표가 틀린 것이다.

3단계 — 1계 조건 번역. (2)의 첫 식은 W13 (7)이고 둘째 식은 (8)이다 — 상태변수가 부 $W_t$가 아니라 주식 보유 $z$이므로, W12 (15)의 $g_k$ 자리에 “한 주가 낳는 자원” $y_i+p_i(y)$가 선다. 둘을 잇고 균형($z=x=\mathbf 1$, $c=\sum_j y_j$)을 넣으면 (3), 곧 (9)다. 논문은 이 줄을 확률 오일러 방정식이라 부르고 한계대체율과 시장 전환율의 등치라고 적는다. 번역 문장을 쓴다 — 한 주를 오늘 팔아 소비하는 한계효용은, 내일 그 주가 주는 배당과 가격을 내일의 한계효용으로 재어 할인해 평균한 것과 같다. 양변을 $U'(\sum_j y_j)$로 나눈다.

이것이 (11)의 둘째 줄이고, $m$이 Definition 1의 확률적 할인인자다. 논문에는 $m$이라는 글자가 없다 — 덩어리 짓기는 읽는 쪽의 일이다. 명제 2의 증명은 W12가 인용만 한 미분가능성을 이 문제에서 직접 보인다. 두 방향의 부등식으로 $f'(A)=U'(c(A))$를 얻는 반 쪽이며, Benveniste & Scheinkman (1979)는 그 논증의 일반형이다. 이 반 쪽에서 막히면 그 줄을 기록한다.

4단계 — 파라미터 극단. (4)에서 $\beta\to0$이면 $g_i\to0$, $f_i\to0$, 가격이 0이다 — 가격은 전부 미래의 값이다. $\beta\to1$이면 7.1절의 급수 $\sum_s\beta^{s}\E(y_{i,t+s}\mid y)$가 발산한다 — W12 Q8의 압축계수가 1로 가는 세계이고 명제 1·3이 서지 않는다. $U$가 선형이면 (3)의 $U'$이 양변에서 지워져 (14) — 가격은 배당의 할인 현재가치 — 가 되고, $m=\beta$가 상수가 되어 W13 Q8의 $\gamma\to0$ 세계다. 논문은 이 경우가 유계 가정을 어긴다고 적고 따로 다룬다. 산출이 독립인 나무가 많아지면(7.3절) 총산출이 평균 $\mu$에 붙어 $U'(\sum_j y'_j)\approx U'(\mu)$가 상수가 되고 선형 효용의 공식으로 돌아간다. 논문의 보조정리 2는 두 압축사상의 고정점 거리를 $A/(1-\beta)$로 재는데, 이것은 W12 (10)의 사전 상계와 같은 계산이다. 각 극단에서 "어떤 세계인가"를 한 문장씩 적고, 문장이 나오지 않는 극단을 기록한다.

5단계 — 비교정학 부호 예측. 7.2절을 읽기 전에 (4)에서 부호를 예측한다. 산출이 독립동일분포이면 $g_i$가 상수이고 $f_i$도 상수이므로 $p(y)=f/U'(y)$이고, $U'$이 감소함수이니 $p'(y)>0$이다. 탄력성은 W02의 정의대로 로그 미분해 $yp'/p=-yU''/U'$ — 상대적 위험회피도 그 자체다. 산출이 자기상관이면 $f$가 (7)의 고정점이므로, W06의 절차대로 (7)을 $y$로 미분해 $f'$의 부호를 묻는다. 항이 하나 더 붙는다.

둘째 항은 양이다. 첫째 항의 부호는 $g$의 피적분함수 $U'(y')y'$가 $y'$에 대해 증가하는가에 달렸고, 그것은 상대적 위험회피도가 1보다 작은가와 같은 조건이다. 예측은 이렇다 — 위험회피도가 1 아래이면 좋은 소식은 가격을 올리고, 1 위이면 내릴 수 있다. 자산 사이의 부호도 예측한다 — 배당이 총산출과 같이 움직이는 나무일수록 (5)의 $m$과 음의 공분산을 가져 기대 배당 한 단위당 가격이 낮다. (14)의 부호다. 예측을 적고 나서 7.2절을 편다.

6단계 — 확인. 셋을 대본다. 첫째, 7.2절의 (20)이 (6)과 같은가, 논문이 소득효과와 정보효과라 부른 두 항이 예측한 부호를 갖는가, 논문의 (19)가 정보효과의 부호를 위험회피도 1 아래에서만 보장하는가. 둘째, 숫자. W13 3절의 두 상태 경제($\beta=0.98$, $\gamma=2$, 소비성장 0.95·1.05)는 (5)를 한 기간으로 자르고 $p_i(y')=0$으로 둔 것이다 — 자산 A의 가격 0.9825가 (5)로 다시 나오는가. 소비성장의 두 상태에 W15의 글자를 붙이면 $m_H$, $m_T$이고, 무위험 채권을 하나 더 두면 $R_f=1/\E[m]$이며,

가 (13)이다. Lucas의 나무에 채권을 더한 것이 Mehra–Prescott의 경제이고, 그 경제의 위험중립확률이 이 줄이다. 셋째, 8절. 논문은 가격 자체가 마팅게일이 아니라 하고, 그 대신 한계효용을 곱한 초과수익 (22)의 조건부 기댓값이 0이라고 적는다. W14 (14)의 첫 식 — 최선의 예측이 현재값 — 으로 그 줄을 읽고, $U'$이 상수일 때만 가격이(배당과 $\beta$를 보정한 뒤) 마팅게일에 가까워지는 이유를 (3)에서 지목한다. 세 확인 가운데 하나라도 어긋나면 어긋난 자리가 기록표의 마지막 행이다.

기록표의 양식은 아래와 같다. 한 행이 한 막힘이다. 막힌 조작을 논문의 식 번호와 함께 적고, 그 조작을 허용하는 근거가 이 책의 어느 줄인지 찾아 적는다. 근거를 찾지 못한 행이 3부로 넘어가는 빚이다. 첫 두 행은 보기다.

3. 백지 재유도 시험¶

백지 재유도 4항목 — W12 · Blackwell 조건 → 압축사상 → 벨만 고정점 · 포락선 조건. W13 · 오일러 ⇔ $1=\E[mR]$ ⇔ 위험 프리미엄 $=-R_f\Cov(m,R)$. W14 · $\E[Y\mid\Fc]$ = $L^2$ 직교사영 · 타워 성질. W15 · 이항모형 복제 → $q$ · $q$는 $m$의 재규격화.

항목 이름은 백지 유도 목록의 문구 그대로다. 2부의 네 회차가 등록한 항목 넷이 그대로 네 자리에 온다. 항목당 25분이고, 각 회차 6절의 60분보다 짧은 것은 이번이 첫 유도가 아니라 회수이기 때문이다. 25분 안에 끝나지 않으면 그 자리에서 멈추고 막힌 줄을 표시한다. 자료를 열지 않는다.

4. 모형을 다시 보기¶

Sugden(2000) — 모형의 가정 하나를 빼고 어느 줄이 무너지는지 지목한다

Sugden (2000)은 경제 이론 모형을 "신뢰할 만한 세계(credible world)"로 읽는다. Akerlof의 중고차 시장과 Schelling의 바둑판 모형이 사례다. 두 모형의 가정은 현실의 요소를 떼어 낸 분리(isolation)도 아니고 개념의 탐색(conceptual exploration)도 아니다. 있을 법한 반사실적 세계를 하나 지어 놓고 그 세계에서 성립하는 것이 현실에서도 성립하리라고 옮겨 가는 일이며, 그 옮김은 연역이 아니라 귀납이다 — 한 사례에서 비슷한 다른 사례로 가는 추론과 같은 종류라는 것이 Sugden의 주장이다. 이 읽기로 Lucas의 세계에 묻는다. 물음은 다섯이고, 각 물음의 답은 논문의 식 번호로 끝나야 한다.

물음 1 — 가정을 두 묶음으로 나눈다. 논문 2·3절의 가정을 전부 적고, 현실의 요소를 떼어 낸 것(저장·자본축적 없음, 거래비용 없음)과 현실에 없는 것을 지어 넣은 것(동일한 소비자, 단일 재화, 나무 하나에 한 주, 지각된 가격함수와 시장청산 가격함수가 같다는 합리적 기대)으로 가른다. Sugden의 구분에서 뒤 묶음은 분리가 아니라 구성(construction)이다. 어느 묶음이 더 긴가. 근사와 캐리커처의 구분(Gibbard & Varian, 1978)을 같은 목록에 겹쳐 놓았을 때 두 구분이 갈리는 가정은 무엇인가.

물음 2 — 가정 하나를 빼고 무너지는 줄을 지목한다. 아래 표의 왼쪽 칸을 하나씩 빼면서 논문의 어느 식이 처음 서지 않는지를 적는다. 오른쪽 두 칸은 답의 보기다 — 마지막 두 행은 직접 채운다.

물음 3 — 세계는 무엇을 근거로 신뢰할 만한가. Sugden에게 신뢰성은 그 세계 안의 인과가 알려진 방식으로 작동한다는 것이다. Lucas는 6절에서 스스로 묻는다 — 사람들이 동적 계획법을 모르고 그럴듯한 경험칙으로 포트폴리오를 평가하며 그 규칙을 경험에 따라 고치면, 5절의 연산자 $M$을 반복하는 것이 되어 균형 가격으로 간다고. 이 논증은 세계의 신뢰성을 높이는가, 아니면 두 번째 세계를 하나 더 짓는 것인가. 6절의 논증이 서기 위해 필요한 가정(정상성, 학습이 $M$의 반복과 같다는 것)을 물음 1의 목록에 추가하면 어느 묶음이 늘어나는가.

물음 4 — 귀납의 한 걸음. 논문 8절은 모형 세계 안의 명제 — 가격은 마팅게일이 아니고 한계효용 가중 초과수익 (22)가 마팅게일 차분이다 — 를 세운 뒤, 9절에서 실제 가격 계열의 마팅게일 검정이 시장 효율성 일반에 대해 말해 주는 것이 없다고 적는다. 모형 세계에서 현실 시장으로 가는 이 걸음은 Sugden의 뜻에서 귀납인가. 그 귀납이 기대는 유사성은 어느 가정에 있는가 — 시간가산 선호인가, 마르코프 산출인가, 대표 소비자인가. 그 가정을 물음 2의 표에서 빼면 (22)는 어떻게 바뀌는가.

물음 5 — 강건성과 자료. Sugden은 결과가 비슷한 세계들에서 되풀이되는 것을 귀납의 근거로 든다. 논문 7.3절은 나무를 많게 하고 독립으로 두었을 때 가격이 선형 효용의 공식에 얼마나 가까운지를 보조정리 2의 상계 $\lVert\tilde f-f\rVert\le(1-\beta)^{-1}\lVert\tilde g-g\rVert$로 잰다 — 강건성을 숫자로 만든 것이다. 반대 방향의 시험이 Mehra–Prescott다. 같은 세계에 자료를 대면 주식 프리미엄이 나오지 않는다. 이때 신뢰성을 잃는 것은 세계 전체인가, 가정 하나인가. 논문 각주 8은 시간가산 효용에서 $U$의 곡률이 위험회피와 기간간 대체를 동시에 맡는다고 적었다. 그 한 문장이 가리키는 가정을 표에서 빼면 (5)의 $m$은 어떤 모양이 되는가. 답은 이 책 밖에 있고, 여기서는 물음의 자리만 지목한다.

5. 자기 진단¶

표의 항목은 appendix/gap-21.md의 2부 행 일곱과 이 관문의 산출물 둘이다. 통과 칸에는 날짜를, 막힌 줄 칸에는 식 번호를 적는다. 비워 두는 칸은 없다 — 시도하지 않았으면 "미시도"라고 적는다.

통과 기준은 각 회차 6절의 채점표 전체다. 표에 적기 위해 한 줄로 줄이면 다음과 같다.

• W09 — 오일러 차분해와 연속해의 오차 계수 $-\tfrac12\delta^{2}Te^{-\delta T}(K_0-K^{*})$와 차수 $O(\Delta)$가 나오고, $(1+r/n)^{n}\to e^{r}$이 같은 보조정리의 $x=r$ 경우임이 적혀 있다.

• W10 — $\lambda=(1-\alpha)(n+\delta)$가 고정점 선형화와 정상상태 조건에 의한 $s$의 소거로 나오고, 반감기 $\ln2/\lambda$의 숫자(17.3년)가 파라미터 값과 함께 적혀 있다.

• W11 — $\det J<0$가 $c^{*}>0$·$f''<0$·$\sigma>0$에서 나오고, 안장은 실근·이부호라는 것과 횡단조건이 $\lambda_2>\rho$로 발산 가지를 지운다는 것이 적혀 있다.

• W12 — Blackwell의 두 조건 → (2) → $\beta<1$로 유일성 → $g_c=-1$에 기댄 포락선 조건 (15)까지 근거 줄이 이어진다. 3절 항목 1과 같다.

• W13 — (4)에서 (14)까지, $\Fc_t$-가측인 양을 $\E_t$ 안팎으로 옮기는 여섯 자리에 근거가 있고 $-R_f\Cov$의 부호 검산이 있다. 3절 항목 2와 같다.

• W14 — 직교조건과 최소 제곱의 동치, 존재는 사영 정리에서 빌린다는 명시, 타워 $\Pi_t\Pi_{t+1}=\Pi_t$의 방향(작은 정보가 이긴다)이 적혀 있다. 3절 항목 3과 같다.

• W15 — 복제 연립 → $q$, $q\in(0,1)\iff d<R<u$, $Z=m/\E[m]$, $m_H=q/(pR)$까지 근거 줄이 이어진다. 3절 항목 4와 같다.

• 분해·모형론 — 2절 기록표에 행이 하나 이상 있고, 4절 표의 일곱 행에 논문의 식 번호가 적혀 있다.

6. 마치며…¶

2부에서 채워진 것은 세 전환이다. 값을 계산하는 것에서 연산자의 고정점으로 — W10·W11은 상태공간의 고정점과 그 근방의 속도를, W12는 함수공간의 고정점과 전역 수렴을 주었다. 조건부 확률을 계산하는 것에서 정보집합 위의 사영으로 — W14는 W07의 $P$를 $\Pi$로 바꿔 놓았고, W13이 이름만 부르던 첨자 이동의 근거가 그것이었다. 위험중립확률을 요령으로 쓰는 것에서 측도 변환으로 — W15는 $q$가 $m$의 재규격화임을 계산했다. W09는 그 앞에 시간의 세 표기를 두었고, W13은 소비이론의 오일러 방정식과 자산가격의 $p=\E[mx]$가 같은 줄임을 보였다. Lucas의 4절 두 쪽은 이 셋이 한 논문에서 어느 줄인지를 확인하는 자리였다.

남은 것을 숨기지 않는다. 다섯이다. (a) 가치함수의 미분가능성 — W12 A5·W13 A4는 가정으로 두었고, Lucas는 유계 효용으로 피해 갔다. CRRA처럼 유계가 아닌 효용에서 존재와 미분가능성을 세우는 논증은 이 부에 없다. (b) 무차익이면 양의 $m$이 존재한다는 역방향 — W13은 인용만 했다. (c) 상태가 셋 이상이고 자산이 둘일 때 $Q$가 여럿이 되는 불완전시장 — W15의 상자가 경계만 그었다. (d) 연속시간의 측도 변환과 이토 공식 — W15는 차수 세기까지만 갔다. (e) Lucas의 5절 쌍대 정리와 6절 안정성 — 이 책의 어느 회차도 그 도구를 주지 않았다. 다섯은 이 책이 아니라 그 뒤의 몫이다.

기록은 이렇게 한다. appendix/derivations.md의 W12·W13·W14·W15 행에 이 관문의 날짜 또는 막힌 식 번호를 적는다. 통과하지 못한 항목은 다음 주 냉시동 인출의 “1주 전” 자리에 다시 올라오고 3주 뒤에 한 번 더 올라온다 — 시간표의 산식이 그렇게 되어 있고, 관문 주가 걸리는 뒤 회차들은 그 자리를 이미 비워 두었다. 5절 표에서 막힌 줄 칸이 모두 빈 진단은 진단이 아니다. 아홉 행 가운데 몇 행이 식 번호로 채워졌는지가 이 관문의 점수이고, 그 숫자를 적는 것이 관문이 요구하는 정직성의 전부다. 2절 기록표도 같다 — 행이 하나도 없는 기록표는 분해를 하지 않았다는 뜻이다.

다음 회차(W17)부터는 3부다 — 같은 식을 이번에는 "어떤 변환에 불변인가"로 읽고, 곱셈에 불변인 분포가 왜 멱법칙일 수밖에 없는지에서 시작한다.

이어지는 자료 — Lucas (1978) 원문 Lucas, 1978 · Mehra & Prescott (1985) Mehra & Prescott, 1985 · Sugden (2000) Sugden, 2000 · Cochrane, Asset Pricing 1장 Cochrane, 2005 · QuantEcon Asset Pricing II: The Lucas Asset Pricing Model