W17 · 불변성 — 분포를 구조로 읽기

0. 이번 회차의 식¶

첫 식의 우변에 $x$가 없다. 둘째 식의 우변에도 $x$는 없지만 $\lambda$가 남아 있다 — $1/\lambda$가 특징 규모(characteristic scale)다.

지금 읽히지 않아도 된다. 7절에서 같은 식을 다시 본다.

1. 도입¶

기업규모, 도시규모, 소득 분포는 왜 하나같이 로그-로그에서 직선인가. 그 직선이 말하는 것은 무엇인가.

미국 도시를 인구 순서로 늘어놓고 순위와 인구를 둘 다 로그로 찍으면 기울기 -1의 직선이 나온다. 인구를 천 명 단위로 바꿔도, 상위 100개만 남겨도, 직선과 기울기는 그대로다. 무엇이 직선을 지키고, 그 기울기는 무엇의 이름인가.

Gabaix (1999)의 첫 그림이 그 직선이다. 미국 대도시권 135개의 로그 순위를 로그 인구에 대해 찍은 것이고, 기울기 추정치는 -1에서 소수 둘째 자리 안에서 벗어나지 않는다. Axtell (2001)은 미국 기업 전체를 종업원 수로 세어 도수를 log-log로 그리고 기울기 -2 근처를 얻는다 — -1과 -2가 같은 법칙의 두 이름인 이유는 4절 Q1의 $\gamma$와 $\zeta$다. 이름은 소득에서 Pareto Pareto, 1896, 도시에서 Zipf Zipf, 1949에게서 왔고, 경제학 안의 목록은 길다 Gabaix, 2016. 학부 읽기는 이 그림을 "회귀 기울기 = 지수 추정치"로 읽고 다음 쪽으로 넘어간다. 논문은 곧바로 "지수는 측정 단위에 무관하다"고 한 줄 쓰고 다음 문장으로 넘어간다. 그 한 줄이 왜 직선과 같은 말인지, 왜 로그정규(lognormal)분포에서는 같은 말을 할 수 없는지를 학부 읽기는 말하지 못한다. 기울기를 추정하는 손은 있고, 기울기가 무엇에 대한 진술인지 말하는 입은 없다. 그 기울기가 왜 하필 -1인가는 이 회차의 물음이 아니다. 물음은 그 앞에 있다 — 직선이라는 것 자체가 함수에 대해 무엇을 말하는가.

다른 장면은 Calvo (1983)의 가격설정을 이산시간으로 옮긴 뉴케인지언 논문의 둘째 쪽에 있다. "가격의 평균 지속기간은 $1/(1-\theta)$"라는 문장이다. 어디서 오는 수인가. 매 기 확률 $1-\theta$로 가격이 바뀐다면, 이미 $t$기 살아남은 가격이 한 기 더 살아남을 확률은 $t$와 무관하게 $\theta$다 — (2)의 이산판이다. 그 "무관하게"가 이산시간에서는 기하분포(geometric distribution)를, 연속 극한에서는 지수분포(exponential distribution)를 강제한다 — Calvo 원문은 연속시간이고, 이산판의 평균 $1/(1-\theta)$가 연속판의 $1/\lambda$에 대응한다. 실증에서 가격 변경의 위험률이 가격의 나이에 따라 달라지는지가 이 가정의 검증 지점이다 Nakamura & Steinsson, 2008. 두 장면은 같은 물음이다. 첫 장면은 규모를 몇 배로 늘려도 변하지 않는 함수를 묻고, 둘째 장면은 시간을 얼마만큼 더해도 변하지 않는 함수를 묻는다.

로그-로그 직선을 추정 결과로만 배웠기 때문에, 그 직선이 함수에 대한 어떤 진술인지 — 무엇에 불변이고 무엇에 불변이 아닌지 — 를 말한 적이 없다. 이 회차가 메우는 결핍은 그것이다.

2. 기호 대장¶

0절의 $P$는 “규모 $x$의 양의 함수” 일반이고, 3절의 정리는 그 일반성에서 증명한다. 분포로 읽을 때는 밀도 $p(x)$로 읽는 것을 기본으로 한다. 생존함수로 읽으면 같은 검사의 답이 달라지며, 그 차이는 3절 Lemma 1에서 갈라 쓴다.

변수와 파라미터를 가른다. $x$·$b$·$\Delta$는 변수다 — 불변성은 “모든” 값에서 성립해야 하는 진술이고, 한 값에서의 등식은 불변성이 아니다. $\gamma$·$\lambda$는 파라미터이고 $C$·$x_m$은 규격화 파라미터다. (1)의 2는 $b$의 대표값일 뿐이며, 3절의 정리는 $b$ 전체를 요구한다(가정 A3). 규모 $x$의 차원은 식이 정하지 않는다 — 매출이든 인구든 지속기간이든 같은 식이 선다. 그것이 이 회차 제목이다. $x$는 W01의 소비 묶음 벡터 $x\in\R^{L}_{+}$와 글자가 같고 여기서는 스칼라다.

같은 글자, 다른 이름. $\lambda$는 W04에서 잠재가격([효용/화폐])이었고 W10에서 수렴속도([시간$^{-1}$])였으며 여기서는 지수분포 모수다. $x$가 시간이면 차원이 W10의 $\lambda$와 같은 [시간$^{-1}$]이고 식의 꼴 $e^{-\lambda t}$도 같다 — W10에서는 편차가 감쇠하는 결정론적 곡선이었고 여기서는 살아남을 확률이다. 같은 수학, 다른 대상. $P$는 W03에서 채권가격, W07에서 사영행렬($n\times n$), W15에서 실제 확률측도($dQ/dP$)였고 여기서는 규모의 함수다. $\Delta$는 W03에서 변화량의 접두어($\Delta y$), W09에서 스텝 길이, W15에서 주식 수였고 여기서는 이동량 — 식 일기 Q6의 "$+\Delta$"가 바로 이것이다. $k$는 W02의 자본노동비율·W10의 1인당 자본 $k=K/L$과 글자가 같고 여기서는 함수다. $g$는 W02 (10)의 $g(t)=F(tK,tL)$과 글자가 같다 — 그것은 배율을 넣은 함수값이고, 여기의 $g(b)$는 비율 $P(bx)/P(x)$다. W02의 $g(t)/g(1)$이 이 회차의 $g(b)$에 해당한다. $\gamma$는 꼬리지수로서는 여기가 첫 등장이며, W13의 $\gamma$(상대적 위험회피도)와 다른 뜻이다. $C$(규격화 상수)는 W03의 컨벡시티 $C$와, $h(x)$(위험률)는 W15의 단계 길이 $h$와 다른 글자다. $\zeta$는 이 책에서 여기가 첫 등장이고 이름은 "생존함수 꼬리지수"로 고정한다.

로그의 인수는 무차원이어야 한다. $\ln P=\ln C-\gamma\ln x$에서 $\ln x$는 엄밀히 $\ln(x/x_m)$ 또는 기준 단위로 나눈 $\ln(x/1\,\mathrm{unit})$이다 Mahajan, 2014. 단위를 바꿔 $x'=cx$로 쓰면 $P=Cc^{\gamma}x'^{-\gamma}$ — 절편 $\ln C$가 $\gamma\ln c$만큼 움직이고 기울기 $-\gamma$는 그대로다. W02의 "탄력성은 단위에 의존하지 않는다"가 여기서 "log-log 기울기는 단위에 의존하지 않는다"로 읽힌다. 지수함수는 다르다 — $e^{-\lambda x}=e^{-(\lambda/c)x'}$이므로 단위를 바꾸면 $\lambda$의 숫자가 바뀐다. $\lambda$가 차원을 갖기 때문이고, 그것이 "특징 규모가 남는다"의 차원 쪽 표현이다.

3. 유도¶

가정을 번호 붙여 둔다.

• A1 (양의 함수) — $P>0$이 정의역 전체에서 성립한다. 곱셈 불변은 $(0,\infty)$, 덧셈 불변은 $[0,\infty)$. 비율과 $\ln P$가 정의되기 위한 조건이다.

• A2 (미분가능) — $P$는 정의역에서 연속 미분가능($C^{1}$)이다. 덧셈 불변의 $x=0$에서는 우측 도함수를 쓴다. 이 가정이 (4)·(8)의 미분을 허용한다.

• A3 (모든 배율·모든 이동에서 불변) — 곱셈 불변은 모든 $b>0$에 대해, 덧셈 불변은 모든 $\Delta\ge0$에 대해 성립한다.

• A4 (분포로 읽을 때) — 밀도로 읽으면 멱법칙은 하한 $x_m>0$ 위에서 정의되고 $\gamma>1$, 지수는 $[0,\infty)$에서 $\lambda>0$. 이때 곱셈 불변성은 $x\ge x_m$, $bx\ge x_m$(특히 $b\ge1$이면 모든 $x\ge x_m$에서)에서 성립하는 것으로 읽는다 — $x<x_m$에서 $p=0$이라 A1이 $(0,\infty)$ 전체에서 서지 않기 때문이다. 증명은 $g(b)=P(bx_m)/P(x_m)$, $b\ge1$로 두고 $b=1$에서 우측 도함수를 취하면 그대로 통한다 — (3)의 $x=1$ 대입이 $x=x_m$ 대입이 될 뿐이다.

A3에서 "모든"이 빠지면 정리가 아니다. $P(x)=x^{-\gamma}\bigl(1+\epsilon\cos(2\pi\log_2 x)\bigr)$, $|\epsilon|<1$은 모든 $x$에서 $P(2x)/P(x)=2^{-\gamma}$를 만족한다 — $\log_2(2x)=\log_2 x+1$이므로 코사인 항이 그대로 돌아온다. 멱법칙이 아니다. 로그 눈금에서 주기 1로 흔들리는 로그-주기 진동(log-periodic oscillation)이 얹혀 있고, $b=3$에서 깨진다. $\gamma=1.5$, $\epsilon=0.3$, $x=1.3$이면 $P(3x)/P(x)=0.317$인데 $3^{-\gamma}=0.192$다. (1)은 정리의 결과이지 가정이 아니다. 불변성은 한 배율이 아니라 배율의 연속체에 대한 진술이다.

두 불변성은 $u=\ln x$라는 좌표변환으로 서로 옮겨지므로 정리는 하나다.

번역. 규모를 몇 배로 늘리든 함수값이 줄어드는 비율이 출발 규모와 무관한 함수는 멱법칙 하나뿐이고, 규모를 얼마만큼 더하든 줄어드는 비율이 출발점과 무관한 함수는 지수함수 하나뿐이다. 앞의 것에는 규모를 잴 자가 없고, 뒤의 것에는 $1/\lambda$라는 자가 하나 있다. 로그 눈금에서 보면 둘은 같은 직선이다. Figure 1이 그 문장의 수치판이다.

두 얼굴은 대칭이지만 같지는 않다. 멱법칙에는 파라미터 $C$와 $\gamma$가 있고 지수에는 $C$와 $\lambda$가 있다. $\gamma$는 무차원이고 $\lambda$는 $[x]^{-1}$이다. 파라미터 하나가 자를 갖고 있는가 — 두 족의 차이는 그것이 전부다. 자가 없으면 "큰 기업"이라는 말에 절대적 뜻이 없고 "다른 기업의 두 배"라는 말만 남는다. 자가 있으면 "$1/\lambda$보다 오래 산 가격"이라는 말이 뜻을 가진다. 0절의 두 문장이 그 차이를 적은 것이다.

분포로 읽으면 규격화가 붙고, 그 규격화가 지수의 이름을 갈라 놓는다.

번역. 멱법칙을 확률로 쓰려면 최소 규모를 정해 주어야 하고, 그 최소 규모는 높이만 바꿀 뿐 모양은 바꾸지 않는다. 지수분포에서는 지금까지 얼마나 살았는지가 앞으로의 생존 확률에 아무 정보도 주지 않으며, 그 이탈률 $\lambda$의 역수가 평균 지속기간이다. 멱법칙의 위험률은 규모에 반비례한다.

위험률로 읽으면 두 족의 경제적 뜻이 갈린다. 상수 위험률은 부도 강도가 일정한 채권, Calvo의 가격, 실업 탈출률이 실업 기간에 무관한 탐색 모형 — 모두 "지금까지"가 "앞으로"에 정보를 주지 않는다는 가정이다. 그 가정 아래에서만 평균 지속기간이 $1/\lambda$ 한 수로 요약된다. 같은 시간 변수 위에서 멱법칙은 실업 기간이 길수록 탈출률이 $\zeta/t$로 내려가는 음의 기간의존(negative duration dependence)이다. 규모의 횡단면으로 돌아가면 $\zeta/x$는 죽는 비율이 아니라 규모 사다리를 한 칸 오를 때 남은 것 가운데 떨어져 나가는 비율이고, 그것은 규모 불변의 다른 얼굴이다 — 위험률의 두 배 검사가 다시 $x$ 없는 상수 $1/2$를 준다(Figure 2).

수치 확인. 파라미터는 3절의 표·그림과 4절에서 같다 — 멱법칙은 생존함수 $\bar F(x)=(x/x_m)^{-\zeta}$, $\zeta=1$(Zipf), $x_m=1$; 지수는 $\bar F(x)=e^{-\lambda x}$, $\lambda=0.1$(특징 규모 10); 이동량 $\Delta=1$. 순위–규모(rank–size) 표본(Figure 4)만 $\lambda=1$이다. 아래 $2\times2$ 표는 (6)·(9)·(11)의 수치판이다.

각 함수는 자기 검사에서만 열이 상수다. 멱법칙의 $+\Delta$ 열은 $(1+1/x)^{-1}$로 1을 향한다 — 규모가 클수록 고정량은 무의미해진다. 지수의 두 배 열은 $e^{-0.1x}$로 0을 향한다 — 규모를 10 단위로 잰 값이 지수에 앉아 있다. $x=10$, 곧 특징 규모 한 개에서 두 배 비율이 $e^{-1}$인 것이 그 표시다. 두 상수 열의 높이도 읽힌다. 멱의 0.5는 $2^{-\zeta}$이고, 지수의 0.9048은 $e^{-\lambda\Delta}$다 — 앞의 높이는 지수를, 뒤의 높이는 걸음의 길이를 $1/\lambda$로 잰 값을 말한다.

기울기 표는 (10)의 수치판이다. 세 점 $x=1,10,100$을 잡는다.

멱법칙은 log-log에서 기울기가 자릿수마다 같고 semi-log에서는 10배씩 완만해진다. 지수는 반대로 semi-log에서 같고 log-log에서 10배씩 가팔라진다. 이유는 국소 log-log 기울기, 곧 탄력성이다. 세 족의 탄력성을 나란히 적는다 — 로그정규는 4절 Q7과 5절의 대조군이다.

근거 — 첫 줄은 (4)다. 둘째 줄은 $d\ln P/d\ln x=x\cdot d\ln P/dx=-\lambda x$((8)에 $x$를 곱한 것)이다. 셋째 줄은 로그정규 밀도 — $\ln X\sim N(\mu,\sigma^{2})$, $\ln p_{\mathrm{LN}}=c-\ln x-(\ln x-\mu)^{2}/(2\sigma^{2})$ — 를 $\ln x$로 미분한 것이다. 지수의 국소 기울기는 $x=1,10,100$에서 $-0.1,-1,-10$이고, 표의 구간 기울기 -0.39, -3.9는 그 사이 값이다. 로그정규의 국소 지수는 4절 Q7에서 읽는다.

단위 변경 검사는 2절 마지막 문단(로그의 인수)의 수치판이다. 달러를 원으로($c=1300$) 바꾸면 멱법칙의 log-log 절편이 $\ln1300=7.170$만큼 이동하고 기울기는 자릿수 끝까지 같다. 지수의 $\lambda$는 $0.1/1300=7.7\times10^{-5}$가 된다 — 숫자가 바뀐 것이 아니라 자가 바뀐 것이다.

4. 읽기¶

Q1 · 기호¶

2절 표가 답이다. 덧붙일 것 하나. 0절의 $P$는 종류가 "함수"이고 밀도로 읽는다. 생존함수로 읽으면 (1)의 우변이 $2^{-\zeta}$, $\zeta=\gamma-1$이 된다((12)). 논문이 “지수 $\alpha$” 또는 "지수 $\zeta$"라고 쓸 때 그것이 밀도인지, 생존함수인지, 순위–규모 기울기인지 먼저 확인하는 것이 이 회차 L0의 습관이다. 순위–규모 회귀 $\ln x=a-\dfrac{1}{\zeta}\ln r$의 기울기는 $-1/\zeta$이고 Zipf($\zeta=1$)에서만 -1이다. 이 책에서 꼬리지수로 $\alpha$를 쓰지 않는다 — $\alpha$는 자본분배율이다.

Q2 · 한 문장 번역¶

(1): “규모를 두 배로 늘렸을 때 함수값이 줄어드는 비율은 출발한 규모가 얼마였는지에 달려 있지 않고, 언제나 같은 비율 $2^{-\gamma}$만큼 준다.”

(2): “규모를 일정량 더 늘렸을 때 함수값이 줄어드는 비율은 출발점에 달려 있지 않지만, 더한 양을 $1/\lambda$라는 자로 잰 만큼 준다.”

덩어리 짓기. $2^{-\gamma}$ 전체를 "한 옥타브(2배)의 감쇠율"로, $e^{-\lambda\Delta}$ 전체를 "$\Delta$만큼 더 살아남을 확률"로 읽는다. 등가 재작성 — (2)의 양변에 로그를 취하면 $\ln P(x+\Delta)-\ln P(x)=-\lambda\Delta$: “로그 높이가 일정 걸음마다 일정량 내려간다”.

Q3 · 차원¶

(1)은 양변 무차원이고 $\gamma$도 무차원이다. $x$의 차원은 아무것이어도 된다 — 식에 $x$와 같은 차원을 가진 다른 양이 없으므로 $x$를 잴 단위가 식 안에 없다. 단위 변경 $x\to cx$는 (1)을 $P(2cx)/P(cx)=2^{-\gamma}$로 바꾸는데 이것은 같은 식이다. 단위 불변과 규모 불변은 같은 진술이다.

(2)는 $\lambda\Delta$가 무차원이어야 하므로 $[\lambda]=[x]^{-1}$. 식 안에 자 $1/\lambda$가 들어 있다. 단위를 바꾸면 $\lambda$의 숫자가 바뀐다(2절 마지막 문단).

무차원군은 W02의 세기 절차 그대로다. 멱법칙(밀도)의 양 $(x,x_m,\gamma,C)$ 가운데 차원을 가진 것은 $x$, $x_m$이고 $C$는 규격화로 결정되므로, 군은 $x/x_m$ 하나이고 모양은 $\gamma$가 정한다 — 하한은 높이에만 들어간다. 지수의 양 $(x,\lambda)$에서 군은 $\lambda x$ 하나이고 이 군이 모양 자체다. 둘 다 군이 하나지만 군이 하는 일이 다르다.

Q5 · 극한¶

$x\to\infty$에서 지수와 멱법칙을 겨룬다.

근거 — $\ln(x^{\gamma}e^{-\lambda x})=\gamma\ln x-\lambda x\to-\infty$ ($\ln x/x\to0$). 최댓값은 미분해 0으로 놓은 것 — $\gamma/x=\lambda$ — 이다. 지수는 $\infty$에서 언제나 멱법칙에 진다. 그러나 비율 $e^{-\lambda x}/x^{-\gamma}$가 줄기 시작하는 것은 $x=\gamma/\lambda$부터이고, 실제 교차점 — 규격화 상수를 넣은 두 함수가 같아지는 곳 — 은 $C$와 $x_m$에 달려 있어 그보다 훨씬 뒤일 수 있다. $\gamma=4$, $\lambda=0.1$이면 $x=40$까지 비율이 오히려 커지고 최댓값은 $40^{4}e^{-4}\approx4.7\times10^{4}$다. 위험률로 읽으면 멱법칙의 $\zeta/x\to0$ — 꼬리가 얇아지는 속도가 규모에 반비례해 0으로 가고, 지속기간이면 오래된 것일수록 탈출률이 0에 가깝다. 지수의 위험률은 $\lambda$로 고정이다. "꼬리가 뚱뚱하다"는 말의 첫 정의가 이 극한이다.

$x\to0$에서 멱법칙 $Cx^{-\gamma}\to\infty$ ($\gamma>0$). $\gamma\ge1$이면 0 근처 적분이 발산하고, 꼬리 적분에 필요한 $\gamma>1$과 합치면 어떤 $\gamma$에서도 $(0,\infty)$ 전체 규격화가 불가능하다 — 하한 $x_m$이 강제된다((12)). $0<\gamma<1$이면 0 근처는 적분 가능하지만 그때는 $\infty$ 쪽이 발산한다. 지수는 $x\to0$에서 $C$로 간다 — 0 근처가 가장 흔하다. 경제적으로 읽으면 멱법칙 세계에는 "작은 것"의 끝이 없고(하한을 모형 밖에서 정해야 한다), 지수 세계에는 $1/\lambda$보다 작은 것이 대부분이다. 기업규모 자료에서 하한 $x_m$은 종업원 한 명, 또는 자료가 잡히기 시작하는 문턱이다 — 모형이 정하는 수가 아니라 자료 수집이 정하는 수이고, 그래서 논문은 하한을 옮겨 가며 지수가 흔들리지 않는지를 보고한다.

Q6 · 불변성¶

정리 그 자체다. 두 배: 멱 $2^{-\gamma}$ / 지수 $e^{-\lambda x}$. $+\Delta$: 멱 $(1+\Delta/x)^{-\gamma}$ / 지수 $e^{-\lambda\Delta}$ — (6)·(9)·(11), 3절 첫 표, Figure 1. 두 검사 가운데 어느 검사에서 $x$가 사라지는가가 곧 어느 족인가다. 둘 다에서 $x$가 남으면 어느 불변성도 없다. 식 일기의 두 검사가 이 회차에서는 진단이 된다 — 두 배 검사에서 수평선이면 규모를 잴 자가 없는 세계이고, $+\Delta$ 검사에서 수평선이면 자가 하나 있는 세계이며, 어느 쪽도 수평선이 아니면 자가 여럿이거나 모양 자체가 규모에 따라 변하는 세계다.

Q7 · 탄력성¶

(15)가 답이다. 멱법칙은 탄력성이 상수 $-\gamma$ — W02 (2)의 탄력성이 상수인 유일한 경우이고, Cobb–Douglas (1)이 $K$에서도 $L$에서도 멱법칙인 이유다. 탄력성 $\alpha$, $\beta$가 상수라는 것이 곧 그것이다 Cobb & Douglas, 1928. 지수의 탄력성은 $-\lambda x$ — 규모에 비례해 커진다. 로그정규는 그 사이 — 국소 지수 $1+(\ln x-\mu)/\sigma^{2}$가 $\ln x$에 선형으로 움직인다. 십진 한 자릿수(decade, 10배; $\ln10=2.30$)마다 $2.30/\sigma^{2}$씩이고, $\sigma^{2}=3$이면 자릿수당 0.77이다. 탄력성을 $\ln x$의 함수로 그리면 멱법칙은 수평선 $-\gamma$, 로그정규는 기울기 $-1/\sigma^{2}$의 직선(절편 $-1+\mu/\sigma^{2}$), 지수는 아래로 달아나는 곡선 $-\lambda e^{\ln x}$ — 셋이 갈린다. $x$ 축으로 그리면 상수·원점 통과 직선·로그 곡선이다. 어느 축에서도 셋이 모두 직선이 되지는 않는다.

Q8 · 파라미터 극단¶

$\gamma\to\infty$ ($x_m$ 고정): $\bar F(x)=(x/x_m)^{-\zeta}\to0$이 모든 $x>x_m$에서 — 질량 전부가 $x_m$에 앉는다. 모든 기업이 같은 크기인 세계, 곧 대표적 기업(representative firm)의 세계다. 3부의 출발점 "대표적 개인을 버리면"은 $\gamma$를 유한하게 두는 것이다.

$\gamma\to1^{+}$ ($\zeta\to0^{+}$): $\bar F\to1$이 모든 $x$에서, $C\to0$ — 질량이 무한대로 달아나 규격화가 무너진다. 어떤 규모도 전형적이지 않은 세계다.

$\gamma=2$ ($\zeta=1$, Zipf): 순위–규모 기울기 -1. 도시·기업 자료가 앉는 자리다. $\int_{x_m}^{\infty}x\,p(x)\,dx$가 $\gamma>2$에서만 수렴한다는 것을 여기서는 관찰만 한다.

$\lambda\to0$: $\bar F\to1$ — 아무것도 이탈하지 않는다. Calvo에서 가격이 영원히 굳는 세계, 평균 지속기간 $\to\infty$. $\lambda\to\infty$: 즉시 이탈, 평균 지속기간 $\to0$ — 신축가격 세계다.

(2)에서 $\Delta\to0$: $e^{-\lambda\Delta}\approx1-\lambda\Delta$(W03의 1차 근사) — $\lambda$는 "단위 시간당 이탈 확률"이다. (6)에서 $b\to1$: $b^{-\gamma}\approx1-\gamma(b-1)$ — $\gamma$는 "1% 커질 때 몇 % 줄어드는가"다. 두 파라미터의 이름이 1차 근사에서 나온다.

Q9 · 숫자와 두 그림¶

3절 기울기 표와 Figure 3가 함수의 그림이고, Figure 4이 표본의 그림이다. 규칙 한 줄 — 직선인 좌표가 족을 말한다. log-log면 곱셈 불변, semi-log면 덧셈 불변, 둘 다 아니면(로그정규처럼 둘 다에서 완만히 휘면) 어느 불변성도 없다.

Figure 4이 보이는 것은 한 회귀 기울기의 한계다. 지수분포 표본조차 전 구간 OLS 기울기가 -1.03으로 나온다. 이 값은 $N$에 따라 움직인다 — 요점은 숫자가 아니라 한 기울기가 곡률을 보지 못한다는 것이다. 지수 표본의 순위 $r$에서는 $\hat{\bar F}\approx r/N$이므로 $\ln x\approx\ln(\ln N-\ln r)-\ln\lambda$이고, 국소 기울기는 $-1/(\ln N-\ln r)$이다 — 상위 순위에서 0에 가깝고 아래로 갈수록 가팔라지는 것이 -0.28과 -1.72의 이유다. 가르는 것은 구간을 옮겨 가며 기울기가 같은가 — (6)의 검사 — 이고, 상위 10%와 나머지의 기울기가 -0.28과 -1.72로 갈리면 곱셈 불변이 아니다.

5. 학부와 대학원의 간극¶

Gabaix (2009)는 멱법칙을 정의한 직후 "지수 $\zeta$는 측정 단위에 무관하다($\zeta_{aX}=\zeta_X$) — 그래서 $\zeta=1$ 같은 보편 진술을 바랄 수 있다"고 쓴다. 학부 읽기는 이 줄을 정의의 반복으로 읽고 넘어간다. 그 줄이 Theorem 1 (a)의 "$\iff$"라는 것 — 식 안에 단위가 없다는 것과 $\zeta$가 무차원 파라미터라는 것이 같은 말이고, 무차원 파라미터라야 보편 상수가 될 수 있다는 것 — 을 모르면, 같은 절의 "어떤 저자는 $1+\zeta$를 지수라 부른다"가 왜 같은 법칙의 다른 이름인지(Q1) 보이지 않는다. 절단점은 사정이 다르다. 모집단의 $\zeta$는 절단점에 무관하지만 추정치는 그렇지 않다 — Gabaix 자신이 최적 절단점 선택에 합의가 없다고 쓴다. 그래서 구간을 옮겨 가며 기울기를 보는 것이 검사가 된다.

대학원 읽기가 보는 것은 (15)다. Eeckhout (2004)는 미국의 모든 도시 — 대도시만이 아니라 — 를 넣으면 규모 분포가 로그정규라고 보고한다. 상위 꼬리에서만 Pareto처럼 보인다. 로그정규의 국소 지수는 $\ln x$에 선형으로 움직이고 $\sigma^{2}$가 크면 천천히 움직이므로, 두어 자릿수 범위의 log-log 그림은 직선처럼 보인다. 한 회귀 기울기로는 둘을 가를 수 없다 — Figure 4에서 지수분포 표본조차 전 구간 기울기가 -1.03이었다. 가르는 것은 구간을 옮겨 가며 기울기가 같은가, 곧 (6)의 검사다. 학부 읽기는 기울기를 하나 보고하고, 대학원 읽기는 기울기가 구간에 불변인지를 보고한다.

구조로 읽는다는 것은 이런 뜻이다. "Pareto를 가정한다"는 말은 모수 하나를 추정하겠다는 말이 아니라, $x_m$ 위의 모양에는 규모의 단위가 없다는 — 하한을 넘긴 뒤에는 비율만 뜻을 갖는다는 — 구조를 가정하겠다는 말이다. "지수분포를 가정한다"는 말은 기억이 없다는 — 나이가 이탈률에 정보를 주지 않는다는 — 구조를 가정하겠다는 말이다(Calvo, 1983의 가격, 상수 강도의 부도). 가정 하나를 빼는 방법(Sugden, W16)이 여기서는 "불변성 하나를 넣으면 어느 족만 남고, 빼면 어느 줄 — 단위 무관·절단점 무관 — 이 무너지는가"가 된다. Calvo 가정을 검증하는 자리가 그 실례다. Nakamura & Steinsson (2008)가 묻는 것은 모수 $\theta$의 값이 아니라 상품 수준에서 $h(t)=\lambda$((14))가 서는가다. 합쳐진 위험률은 상수 위험률의 수준이 상품마다 다르기만 해도 나이에 따라 내려간다 — 지수의 혼합은 감소 위험률이다 Kiefer, 1988 — 그래서 그들은 이질성을 걷어 낸 뒤에야 "처음 몇 달 뒤에는 대체로 평평"을 보고한다. 내려가는 위험률 하나로는 "무기억성이 깨졌다"와 "무기억 단위가 섞였다"를 못 가른다. 학부 읽기는 $\theta$를 보고하고, 대학원 읽기는 어느 수준에서 불변성을 검사했는지를 먼저 본다.

6. 훈련¶

냉시동 인출(40분) — 자료 없이 백지에 쓴다.

• 1주 전 — W16 관문에서 통과하지 못한 항목 1개. 관문 4항목(압축사상과 벨만 고정점 · 포락선 조건 · $1=\E[mR]$에서 위험 프리미엄 · 이항모형 $q$) 가운데 W16 자기 진단표에 "막힌 줄"이 적힌 것 하나를 고른다.

• 3주 전 — W14 · $\E[Y\mid\Fc]$ = $L^2$ 직교사영 · 타워 성질. 직교조건에서 시작해 작은 정보가 이긴다는 방향까지.

• 8주 전 — W09 · 이산↔연속 변환과 이산화 오차 · $(1+r/n)^n\to e^{r}$. 지수함수를 그때는 복리의 극한에서 얻었고 이번에는 무기억성에서 얻었다 — 두 길이 같은 함수에 닿는 이유를 한 줄로.

노트북(40분) — w17-lab.ipynb. 코드를 쓰기 전에 아래 셋에 답한다.

1. 두 배 비율의 표본판. Pareto($\zeta=1$, $x_m=1$) 표본 2,000개(역함수 표본추출, seed 0)에서 경험적 생존함수의 두 배 비율 $\hat{\bar F}(2x)/\hat{\bar F}(x)$를 $x=1,2,5,10,20$에서 구하면? 지수($\lambda=0.1$) 표본에서는? 예측: 멱은 모두 0.5 부근 — 표본 결과 0.503, 0.504, 0.501, 0.524, 0.564로 꼬리로 갈수록 표본 수가 줄어 흔들린다. 지수는 $e^{-0.1x}$ = 0.905, 0.819, 0.607, 0.368, 0.135 — 표본 결과 0.901, 0.818, 0.605, 0.377, 0.183.

2. 순위–규모 기울기. 같은 두 표본의 log-log OLS 기울기를 전체 / 상위 10%(순위 1–200) / 순위 201 이후(나머지 1,800개)로 나누면? 예측: 멱은 셋 다 -1 근처 — -1.05, -1.13, -1.02. 지수는 전체 -1.03이지만 상위 10% -0.28, 순위 201 이후 -1.72 — 한 기울기로는 못 가른다.

3. 단위 변경. 멱 표본에 1,300을 곱하면(달러→원) log-log 기울기와 절편은? 지수 표본에 곱하면 $\hat\lambda=1/\bar x$는? 예측: 기울기는 자릿수 끝까지 동일, 절편 $+\ln1300=7.170$. $\hat\lambda$는 $0.0981\to7.55\times10^{-5}$, 곧 $1/1300$배.

계산은 직접 쌓는다. 균등난수 $u$에서 $x=x_mu^{-1/\zeta}$와 $x=-\ln u/\lambda$로 표본을 만들고, 경험적 생존함수는 $x>t$인 비율을 직접 센다. 정렬해 순위를 붙이고 $\ln r$, $\ln x$의 공분산/분산 비로 OLS 기울기를 세 구간에서 계산한다 — 패키지의 적합 함수는 쓰지 않는다. 표본에 1,300을 곱해 같은 계산을 반복한다. 보너스: 로그-주기 반례 $P(x)=x^{-1.5}(1+0.3\cos(2\pi\log_2x))$의 $P(2x)/P(x)$와 $P(3x)/P(x)$를 $x=1.3,2.7,10$에서 — 앞은 $0.3536=2^{-1.5}$로 상수, 뒤는 $0.317,0.344,0.277$로 흔들린다. 대조 표는 예측 | 결과 | 어긋남 | 원인 4열이다. 예측이 어긋나면 코드를 고치기 전에 어긋남의 원인을 먼저 적는다.

7. 마치며…¶

0절의 식을 다시 본다.

지금은 이렇게 읽힌다. $P$는 규모의 함수이고 $\gamma$는 밀도의 꼬리지수, 생존함수로 읽으면 하나 작은 $\zeta$다. 첫 식의 우변에 $x$가 없다는 것은 식 안에 $x$를 잴 단위가 없다는 것이고, 그래서 단위를 바꿔도·절단점을 옮겨도 log-log 기울기 $-\gamma$가 그대로다 — 그 기울기는 상수 탄력성이다. 둘째 식에는 $\lambda$가 남아 있고 그것이 지속기간으로 읽을 때 단위 시간당 이탈률이며, $1/\lambda$가 평균 지속기간이다 — 나이가 이탈률에 정보를 주지 않는 세계의 이름이 지수분포다. 둘은 $\ln x$ 좌표에서 같은 직선이다. 분포를 가정한다는 것은 모수를 고르는 일이 아니라 어느 불변성을 고르는 일이다. 두 식은 한 정리의 두 좌표이고, 도입의 두 장면 — 도시의 직선과 가격의 지속기간 — 은 같은 정리의 두 얼굴이다.

$\gamma$가 왜 탄력성인지 안 보이면 3절의 (4)로 돌아간다. 왜 하한 $x_m$이 필요한지 안 보이면 (12)로 돌아간다.

다음 회차에서는 이 멱법칙 밀도에 $x^{n}$을 곱해 적분해 보고, 어느 $\gamma$부터 평균과 분산이 존재하지 않게 되는지 — 꼬리가 뚱뚱하다는 말의 정확한 뜻 — 를 묻는다.

이어지는 자료 — Newman(2005), Power laws, Pareto distributions and Zipf’s law 1–3절 Newman, 2005 · Gabaix(2016) JEP 1–2절, 경제학 쪽 개관 Gabaix, 2016 · Aczél(1966) 2장, 함수방정식 $f(xy)=f(x)f(y)$의 정칙해 Aczél, 1966