W24 · 관문 — 종합, 그리고 4년으로의 인계

0. 관문이 묻는 것¶

24주가 실제로 무엇을 바꾸었는가. 그리고 다음은 어디인가.

관문에는 새 식이 없다. W08은 1부의 도구가 논문 앞에서 작동하는지를 물었고, W16은 2부의 세 전환이 작동하는지를 물었다. 이 관문은 일곱 층 전부를 논문 한 편 위에 한꺼번에 올린다. 논문은 본인 분야에서 고른 한 편이고, 그 옆에 W23에서 직접 만든 장난감 모형을 나란히 놓는다. 남의 모형과 자기 모형을 같은 절차로 분해했을 때 같은 꼴의 기록이 나오는가 — 그것이 "바뀌었다"의 검사다.

"바뀌었다"는 말은 읽는 순서가 바뀌었다는 뜻이다. 3부가 요구한 순서는 넷이다. 표 1의 첨도를 읽기 전에 꼬리지수를 읽는가(W18). 회귀 기울기 하나를 보고하는 대신 기울기가 구간에 불변인지를 보는가(W17). 추정량을 고르기 전에 모멘트와 모수의 개수를 세는가(W22). 가정의 현실성을 비판하는 대신 그 가정이 끄는 채널을 지목하는가(W23). 네 순서가 논문 한 편 위에서 실제로 실행되는지를 아래 다섯 절이 확인한다.

산출물은 셋이다. 막힌 지점 기록표(2절), 백지 시험의 채점표(3절), 21항목 자기 진단표(5절). 세 기록 모두 빈칸이 있어야 정상이다. 빈칸이 없는 기록은 시험을 치르지 않은 기록이다.

1. 분해 대상¶

원칙은 본인 분야 논문 1편이다. 고르는 기준은 셋이다. 명제와 증명이 있다 — 증명이 부록에 있어도 좋다. 3부의 항목 가운데 둘 이상이 걸린다 — 꼬리지수·집계·식별·캐리커처 중 둘. 자료 절이 있어 식별 질문이 성립한다. 셋 가운데 하나라도 빠지면 절차의 한 단계가 비어 돌아간다.

분야가 아직 정해지지 않았으면 기본값은 Gabaix (2011) — “The Granular Origins of Aggregate Fluctuations”, Econometrica 79권 3호다. 한 논문 안에 멱법칙(W17–W19)·모멘트 존재 조건(W18)·집계 감쇠율(W21)·식별(W22)이 모두 있고, 3부의 백지 항목 가운데 W21의 3주 뒤 칸과 W23의 1주 뒤 칸이 이 관문에 걸려 있어 시험 항목과 논문이 겹친다. 게재본은 Econometrica(Wiley Online Library)와 JSTOR에 있다 — 기관 구독이 필요하다. 워킹페이퍼판은 NBER에, 최종 원고와 부록은 저자 홈페이지에 있다. 워킹페이퍼판과 게재본은 명제 번호가 다를 수 있으므로 분해는 게재본 하나로 한다.

대상으로 삼는 것은 다섯 곳이다. 첫째, 단순 모형 절의 성장률 식과 매출 허핀달 $h_t$의 정의 — 아래 (1)·(2). 둘째, 명제 1과 명제 2 — 꼬리가 얇을 때와 두꺼울 때의 감쇠율, (3). 셋째, 연결이 있는 확장 — 논문이 Hulten (1978)의 정리를 불러 매출 비중을 Domar 가중치로 바꾸는 자리. 넷째, 실증 절의 과립 잔차(granular residual) 정의식과 그것을 GDP 성장률에 회귀한 표 — (5). 다섯째, 부록의 명제 2 증명 — 안정분포(stable distribution)의 극한정리를 쓰는 대목이다. 그 밖의 확장과 강건성 절은 대상이 아니다. 대상을 좁히는 것이 절차의 일부다 — 논문 전체를 “읽는” 것은 관문이 아니다.

대안은 둘이다. Acemoglu et al. (2012)는 같은 학술지의 이듬해 논문으로, 규모 채널 대신 네트워크 채널 — 출차수 분포의 꼬리 — 로 같은 감쇠율을 얻는다. W21 정리 (iii)의 $W=\mathbf 1\pi'$ 쪽이 그 논문이다. 명제의 수가 많고 증명이 길어 기본값보다 무겁다. Carvalho (2014)는 같은 주제의 개관으로, 학술지가 무료로 공개하며 명제 없이 식과 그림으로 두 논문을 잇는다. Econometrica 게재본이 아직 무거우면 이것을 먼저 분해하고 기본값으로 간다 — 단, 개관에는 증명이 없으므로 3절 둘째 항목은 기본값으로 돌아와야 한다.

2. 분해 절차¶

기호 대장 → 차원 검사 → 1계 조건 번역 → 파라미터 극단 → 비교정학 부호 예측 → 확인. 각 단계에서 막힌 지점을 기록한다. 막힌 지점이 이 관문의 실제 산출물이다.

여섯 단계를 기본값 논문의 실제 식에 적용한다. 논문의 기호를 이 책의 기호로 옮겨 적은 것이 아래 다섯 식이다 — 옮긴 자리마다 무엇이 바뀌었는지가 첫 단계의 일이다.

(3)의 첫 줄은 논문의 명제 1 — 분산이 유한한 어떤 규모 분포든 — 이고, Pareto에서는 $\zeta>2$가 그 조건이다. 둘째·셋째 줄이 명제 2다. 논문은 우변 앞에 확률변수 $v_\zeta$를 붙여 쓰고, 이 책은 W21 Definition 2의 $\asymp_p$로 같은 말을 한다.

단계 1 · 기호 대장. (1)의 기호를 5칸 표로 옮긴다. 옮기면서 갈리는 자리가 넷이다. 논문의 $\varepsilon_{i,t+1}$은 분산 1이고 $\sigma_i$가 밖에 있다 — W21 (11)의 $\varepsilon$은 분산 $\sigma^2$을 안에 품는다. 논문의 $S_{it}/Y_t$가 W21의 규모 비중 $\pi_i$이고 논문의 $h_t$가 $\lVert\pi\rVert_2$다 — 논문은 이름을 "매출 허핀달"로 붙이고 책은 노름으로 부르지만 같은 수다. 논문의 $N$이 책의 $n$이다. 논문의 $\zeta$는 이 책의 $\zeta$와 같은 규약 — 생존함수 꼬리지수, Zipf가 1 — 이라 옮길 것이 없다. 함정은 종류 칸에 있다. 명제 2의 상수 $v_\zeta$는 파라미터가 아니라 확률변수다. $S_{it}$는 구조를 만드는 한 번의 추출이고 $\varepsilon$은 매기의 추출이다 — W21 2절의 "두 층의 무작위성"이며, 종류 칸에 "확률변수"라고만 쓰면 두 층이 섞인다. 막히는 지점은 대개 여기다 — $v_\zeta$를 상수로 읽고 명제 2를 수렴으로 읽는 것.

단계 2 · 차원 검사. (1)의 양변은 무차원이다 — 성장률이고, $S/Y$가 무차원이며, $\sigma\varepsilon$이 “한 기간당” 성장률이다. 그 "한 기간"이 논문에서는 1년이다. W09의 습관대로 분기로 바꾸면 독립 충격 아래 $\sigma$는 절반이 되고 $h_t$는 그대로다. (3)의 $N$은 개수이므로 $\ln N$도 $N^{-(1-1/\zeta)}$도 무차원이다. 지수에 규모 $S_{\min}$이 없다. W17 (6)의 이유 그대로다 — 매출을 달러에서 원으로 바꿔도 $\pi_{it}$는 변하지 않고, log-log 기울기 $\zeta$는 단위에 무관하다. $h_t$의 범위는 W21 (12)에 $\alpha=1$을 넣은 것 — $N^{-1/2}\le h_t\le1$이다. 하한이 “모든 기업이 같은 크기”, 상한이 "기업 하나뿐"이다. 차원에서 막히는 자리는 대개 "연간"이 어디에 숨어 있는가다.

단계 3 · 1계 조건 번역. 섬 경제(islands economy)에는 1계 조건이 없다. (1)은 회계 항등식이다 — GDP가 매출의 합이고 중간재가 없다는 가정 아래서 각 기업의 증가분을 더한 것뿐이다. 이 단계에서 할 일은 항등식과 균형 조건을 가르는 것이다. 균형의 내용은 두 가정에 들어 있다 — 기업 간 충격이 독립이라는 것, 그리고 연결이 없다는 것. 연결을 넣는 확장에서 1계 조건이 나타난다. 매출 비중이 W21 (9)의 Domar 가중치 $\lambda_ix_i$ — 잠재가격 곱하기 산출 — 로 바뀌고, 그 합은 1이 아니라 $1/\alpha$가 된다. 번역 문장은 이렇다. “경제 전체의 성장률은 각 기업의 성장률을 그 기업의 매출 비중으로 가중한 합이고, 연결이 있으면 그 비중은 최종수요 몫이 아니라 매출/GDP다.” Hulten의 줄에 재배분 항이 없는 이유 — 최적점에서 투입을 다시 배분해 얻는 1차 이득이 0이라는 것 — 은 W05의 포락선 정리다. 논문이 그 정리를 한 줄로 부르고 지나가는 자리에서 W21 단계 8의 근거 줄을 옆에 적는다.

단계 4 · 파라미터 극단. 넷을 본다. $\zeta\to\infty$이면 모든 기업이 $S_{\min}$이고 $h_t=N^{-1/2}$ — Lucas (1977)의 세계, 명제 1이다. $\zeta\to2$에서는 지수 $1-1/\zeta$가 위아래 모두 $1/2$로 이어지지만, $\zeta>2$ 쪽의 상수 $(\zeta-1)/\sqrt{\zeta(\zeta-2)}$(W21 (18))가 발산한다 — 분산이 존재하기를 그치는 경계이고 W18 (4)의 $\gamma=3$이다. $\zeta\to1^{+}$에서는 지수가 0으로 가 감쇠가 사라진다. $\zeta=1$ 그 자체는 3부가 유도하지 않은 줄이다. W21 단계 14는 $\E S<\infty$, 곧 $\zeta>1$을 썼고, $\zeta=1$에서는 평균이 없다. 논문은 그 자리에 $1/\ln N$을 적는다. 그 줄을 자기 손으로 메우는 것이 이 단계의 실제 과제다 — 절단 1차 모멘트가 로그로 자란다는 W18 (3)의 "$n=\gamma-1$이면 로그"가 그 자리다.

합 $T_N$은 W21 (16)의 것이고, 최댓값 $M_N$의 척도 $N^{1/\zeta}=N$은 (15)다. 합이 $N$이 아니라 $N\ln N$으로 자라는 것이 평균이 없는 세계의 표시이며, 최댓값이 합을 로그 하나만큼만 따라잡지 못하는 것이 (3) 셋째 줄이다. 하한은 이 한 줄이고, 상한은 W21 단계 15의 절단 논법을 $\zeta=1$에서 되풀이하면 된다 — 절단 2차 모멘트가 $u$에 선형으로 자란다. 넷째 극단은 $N\to\infty$다. $1<\zeta<2$에서 $N^{1-1/\zeta}h_t$는 수렴하지 않고 비퇴화 확률변수로 남는다(W21 Figure 3). 명제 2의 $v_\zeta$가 그 확률변수다.

단계 5 · 비교정학 부호 예측. 논문의 표를 열기 전에 적는다. 첫째, $N$·$\sigma$ 고정에서 $\partial\sigma_{\mathrm{GDP}}/\partial\zeta<0$ — 꼬리가 두꺼울수록 집계 변동성이 크다. 지수 $1-1/\zeta$가 $\zeta$의 증가함수이므로 부호는 미분 없이 나온다. 둘째, (5)의 $b>0$이고, 섬 경제의 가중 합 그대로라면 1 근처, 연결이 있으면 승수만큼 1보다 크다. 셋째, $K$를 늘리면 설명력은 오르되 체감한다 — 순위 $i$의 비중이 $i^{-1/\zeta}$로 줄기 때문이다(W21 3절의 순위–규모 표). 넷째, 공통 성분 $\bar g_t$를 빼는 것이 불완전하면 $b$는 위로 치우친다 — 큰 기업이 경기에 더 민감하면 $\Gamma_t$와 $u_t$의 공분산이 양이다. 넷 모두 부호와 순위만이고 계산은 없다. 이 단계가 관문의 판별 인터리빙을 대신한다.

단계 6 · 확인. 논문을 연다. 명제 1·2를 (3)과 대조하고, 회귀표를 단계 5의 넷과 대조한다. 논문은 상위 100개 기업의 과립 잔차가 GDP 성장률 변동의 대략 3분의 1을 설명한다고 쓴다 — 예측의 둘째와 셋째가 그 표에서 확인된다. 어긋나는 자리가 셋 나온다. 논문의 $v_\zeta$와 책의 $\asymp_p$ — 같은 내용의 두 표기다. 논문의 $\zeta=1$ 줄 — (4)로 메운다. 논문의 증명 경로 — 안정분포의 극한정리(Feller, 1971)를 쓰고, 책은 최댓값과 합의 척도(W21 단계 13–15)를 쓴다. 두 경로가 같은 지수에 닿는 이유를 한 줄로 적을 수 있으면 통과, 없으면 기록표에 적는다. 넷째 예측은 논문이 검정하지 않는다 — 검정할 수 없기 때문이다. 그것이 4절 다섯째 질문이다.

막힌 지점 기록표는 아래 양식이다. 한 행이 한 지점이고, "막힌 종류"는 기호·차원·근거·계산·해석 다섯 가운데 하나다. 되돌아갈 자리는 이 책의 식 번호다.

첫 행은 기본값 논문에서 거의 누구나 막히는 자리를 미리 적어 둔 것이다. 나머지 행은 본인의 것이다. 행이 하나도 늘지 않았다면 분해가 아니라 통독을 한 것이다.

3. 백지 재유도 시험¶

본인 분야 논문 1편 완전 분해 + 핵심 결과 재유도 + W23의 장난감 모형 완성본.

시간은 주 6시간 전부다. 분해 180분, 재유도 60분, 모형 60분, 자기 진단 40분, 기록 20분. 냉시동 인출은 이 관문에서 따로 두지 않는다 — 시간표의 W21(3주 뒤)과 W23(1주 뒤) 두 칸이 아래 둘째·셋째 항목 그 자체다.

백지 유도 목록이 관문에 배정한 네 항목은 여기서 셋으로 묶인다. 둘째 항목이 목록의 W21 "Leontief 역행렬 → 영향력 벡터 → 감쇠율"과 W18 "모멘트 존재 조건 $\gamma>n+1$"을 한 줄에 걸고, 셋째 항목이 W23 "Varian 절차 → 장난감 모형 하나"이며, W17 "곱셈 불변 → 멱법칙 · 덧셈 불변 → 지수 (함수방정식)"은 첫째 항목의 차원 검사 자리에서 걸린다. 항목 이름은 목록의 문구 그대로 쓴다.

4. 모형을 다시 보기¶

4년 계획 층별 인계표 — 부록 roadmap

W08은 Gibbard와 Varian의 구분을, W16은 Sugden의 절차를 남의 논문에 적용했다. 이 관문은 두 절차를 기본값 논문에 다시 적용하되, 그 옆에 W23에서 만든 자기 모형을 두고, 결과를 인계표의 일곱 행에 적어 넣는다. 인계표는 24주 뒤 각 층이 어디에 있는지를 적은 표이고, 아래는 그 표를 논문 한 편 위에서 읽은 것이다.

표 위에서 던지는 질문은 여섯이다. 답은 각각 한 문단이고, 이 논문의 기록에 붙인다.

1. 근사인가 캐리커처인가(Gibbard & Varian (1978)). 섬 경제의 분리 가정 둘 — 기업 간 충격 독립, 중간재 없음 — 은 각각 어느 채널을 끄는가. 공통 충격과 네트워크 전파다. 옮겨지는 결론은 무엇인가 — 감쇠 지수라는 순위·부호인가, 보정된 변동성 수준인가. W23 Definition 1의 작업 정의로 판정하고, 수준을 옮기려면 어느 가정이 근사여야 하는지 적는다.

2. 가정 하나를 뺀다(Sugden (2000)). 충격 독립을 빼면 (2)의 어느 등호가 무너지는가 — W21 (11)의 $\Var(\varepsilon)=\sigma^2I$다. 연결 없음을 빼면 가중치는 무엇이 되고 지수는 변하는가 — Theorem 1 (iii)의 마지막 문장이다. Pareto를 로그정규로 바꾸면 명제 2의 어느 줄이 먼저 무너지는가 — W17 (15)의 국소 지수가 상수가 아니라는 것이다. 세 답에서 살아남는 결론만이 이 모형의 결론이다.

3. Varian 절차를 거꾸로(Varian (1998)). 이 논문을 W23의 여섯 단계로 되돌린다. 현상 — “큰 회사 몇 개가 흔들리면 나라 경제가 흔들린다”. 비전공자에게 설명 — 효용도 승수도 쓰지 않고 두 문장. 재료를 고른다 — 가장 작은 판은 큰 기업 하나와 같은 크기의 작은 기업 $N-1$개다. 장난감 모형의 2×2는 무엇인가 — 꼬리의 두꺼움과 연결의 유무다. 숫자 예제 하나를 $N=100$, $\zeta=1.5$로 만든다. 문헌은 마지막이다 — 다섯 단계를 끝내기 전에 논문의 명제를 다시 열지 않는다.

4. 자기 모형과 나란히. W23의 $\omega$와 이 논문의 $h_t$는 같은 종류의 양인가. 둘 다 대표적 개인에는 없는 분포의 통계량이다. W23의 쐐기처럼 이 논문에서 "선호와 기술의 모양에 무관하게 남는 양"은 무엇인가 — 지수 $1-1/\zeta$다. 두 모형이 같은 문장 — 대표적 개인을 버리면 분포의 모수가 집계량에 들어온다 — 을 다른 재료로 말하고 있음을 한 문단으로 적는다.

5. 식별(Manski (1995)). (5)의 회귀는 모멘트 조건 하나에 모수 하나다 — $q=p$, 검정 불가. 공통 성분 $\bar g_t$를 빼는 것이 어느 가정을 대신하는가 — 큰 기업의 고유 충격이 집계 충격과 직교한다는 것이다. 그 가정이 틀리면 $b$는 어느 방향으로 치우치는가 — 단계 5의 넷째 예측이다. W22 (1)의 둘째 항에 해당하는 항을 이 회귀에서 지목하고, 그것이 검정되지 않는 이유를 Solution to Exercise 1 5항목의 문장으로 적는다.

6. 비어 있는 행(Morgan (2012)). 인계표의 어느 행이 이 논문에서 비었는가 — L3이다. 한 논문이 일곱 층을 다 시험하지 않는다. 그 행을 시험할 두 번째 논문을 본인 분야에서 고르고 제목만 적어 둔다 — 분해는 종료 후 첫 두 달의 일이다.

5. 자기 진단¶

21항목 전부를 행으로 둔다. 통과 기준은 이 관문의 세 산출물 — 논문 분해·재유도·자기 모형 — 과 백지 유도 목록의 기록에서 읽는다. 통과 칸은 날짜, 막힌 줄 칸은 식 번호다. 비워 둔 칸이 정직한 기록이다.

행 10–12는 기본값 논문이 걸지 않는 항목이다 — 동역학(L3)도, 벨만 연산자도, 오일러 방정식도 이 논문에 없다. 세 행은 자기 모형과 백지 목록의 기록으로 채운다 — 논문 한 편이 스물한 항목을 다 걸지 않는다는 것이 4절 여섯째 질문의 근거다.

6. 마치며…¶

3부가 채운 것은 한 문장이다. 대표적 개인을 버리면 분포의 모수가 집계량에 들어온다 — 꼬리지수로(W17–W20), 연결 행렬 위 비중 벡터의 길이로(W21), 제약에 묶인 가계의 비율로(W23) — 그리고 그 모수가 자료에서 식별되는지는 추정 전에 개수로 정해진다(W22). 기본값 논문은 그 문장의 첫 두 길을 한 편에 담고 있고, 자기 모형은 셋째 길이다. 두 기록이 같은 절차에서 같은 꼴로 나왔다면 관문은 통과다.

남은 것은 4절 표의 넷째 열이다. 안정분포의 극한정리, Hulten 너머의 비선형 집계, 분포와 변동성의 동시 동학, 식별 가정의 실증 설계. 넷 다 24주의 밖이고, 인계표의 해당 행에 자료가 적혀 있다.

통과하지 못한 항목의 기록 방법은 셋이다. 5절 표의 막힌 줄 칸에 식 번호를 적는다 — 통과 칸은 비워 둔 채로. 그 항목을 백지 유도 목록의 “종료 후” 칸 맨 앞에 올린다 — 종료 후 첫 두 달의 인출 목록이 그 칸에서 만들어진다. 막힌 지점 기록표는 논문과 함께 보관한다 — 다음 논문을 분해할 때 첫 행부터 대조한다. 숨기는 방법은 하나뿐이다 — 통과 칸을 채우는 것. 그 칸을 채우면 인출 목록에서 항목이 내려가고, 8주 뒤 같은 자리에서 다시 막힌다.

24주가 바꾼 것은 지식의 양이 아니라 읽는 순서다. 표 1보다 꼬리지수를 먼저, 기울기보다 구간 불변을 먼저, 추정량보다 개수를 먼저, 현실성보다 채널을 먼저. 그 순서가 자기 것이 됐는지는 5절 표의 빈칸이 말한다.

다음 회차는 없고, 이 자리를 잇는 것은 부록 roadmap의 층별 인계표이며 그 표의 첫 행이 25주째의 시작이다.

이어지는 자료 — Gabaix(2011), 기본값 논문 Gabaix, 2011 · Acemoglu·Carvalho·Ozdaglar·Tahbaz-Salehi(2012), 대안 Acemoglu et al., 2012 · Carvalho(2014) JEP, 무료 개관 Carvalho, 2014 · Feller 2권, 안정분포 절 Feller, 1971 · Varian(1998), How to Build an Economic Model in Your Spare Time Varian, 1998 · Gibbard & Varian(1978) Gibbard & Varian, 1978 · Sugden(2000) Sugden, 2000 · Morgan, The World in the Model Morgan, 2012