W18 · 뚱뚱한 꼬리 — 모멘트가 발산할 때

0. 이번 회차의 식¶

지금 읽히지 않아도 된다. 7절에서 같은 식을 다시 본다.

1. 도입¶

같은 주가지수의 일수익률 첨도(kurtosis)가 표본 기간을 바꾸면 30이 되기도 80이 되기도 한다. 어느 쪽이 맞는가. 둘 다 아니다 — 그 숫자는 아무것도 추정하고 있지 않을 수 있다. "평균으로 수렴한다"가 성립하지 않는 세계에서 표본평균·분산·VaR은 무엇을 말하는가.

실증 금융 논문의 표 1 앞에서 멈춘다. 일수익률의 평균·표준편차·왜도·첨도 네 칸이 있고 첨도 칸에 45.3이 적혀 있다(수치는 예시다). 같은 논문의 4절은 꼬리지수를 추정해 $\hat\zeta=3.1$을 보고한다. 대형주와 지수의 일수익률 꼬리가 지수 3 근처의 멱법칙이라는 것은 Jansen & Vries (1991)와 Gopikrishnan et al. (1998)가 추정하고 Gabaix (2009)가 "역삼승 법칙(inverse cubic law)"으로 정리한 결과다. 두 숫자를 한 논문에서 읽고도 멈추지 않으면 표 1을 읽은 것이 아니다. 생존함수 꼬리지수가 3.1이면 4차 모멘트는 존재하지 않고, 45.3은 표본을 늘리면 커지는 숫자다. 표본을 10배 늘리면 첨도는 규모로 대략 2배가 되며 — 중앙값 기준이고 표본마다 수십 배 다르다 — 표본 기간이 다른 두 논문의 첨도가 30과 80으로 갈리는 것은 추정 오차만이 아니라 그 숫자에 극한이 없기 때문이다. 학부 읽기는 "첨도가 높다 = 꼬리가 두껍다"에서 끝난다. 45.3이 무엇의 추정치인지 — 무엇의 추정치도 아닐 수 있다는 것 — 를 묻지 못한다.

같은 논문에서 멈추는 두 번째 줄이 있다. 위험관리 절에 99% VaR 옆에 97.5% ES가 나란히 적혀 있고, 논문은 둘이 "거의 같다"고 지나간다. 정규분포 아래서는 그렇다 — 표준편차 단위로 2.326과 2.338이다. 꼬리가 멱법칙이면 그렇지 않고, 그 차이의 크기는 꼬리의 첫 모멘트가 존재하는지에 달려 있다. 첫 모멘트가 없으면 VaR은 계산되는데 ES는 무한대다. 표 1의 첨도와 위험관리 절의 ES는 같은 질문 하나 — 이 꼬리에서 몇 차 모멘트까지 존재하는가 — 에 걸려 있고, 그 질문에 답하는 도구는 적분 하나다.

정규분포는 규모 하나로 모든 것이 정해지는 분포다. 표준편차를 알면 첨도는 3이고, 99% 분위수는 $2.326\sigma$이며, 그 너머의 평균은 $2.665\sigma$다. 정규성을 가정하면 모든 모멘트가 공짜로 따라온다. 그 가정을 빼는 순간 "몇 번째 모멘트까지 존재하는가"가 표 1을 읽기 전에 먼저 답해야 하는 질문이 되고, 그 답은 꼬리지수와 모멘트 차수 사이의 부등식 하나다.

2. 기호 대장¶

변수와 파라미터. (1)에서 움직이는 것은 적분변수 $x$뿐이다. $x_m$·$\gamma$·$C$는 분포를 고정하는 파라미터이고, $n$은 "몇 차 모멘트를 묻는가"라는 질문의 번호다. 결론 $\gamma>n+1$은 파라미터 하나와 질문 번호 하나 사이의 부등식이며 $x$도 $x_m$도 $C$도 들어 있지 않다. 모멘트의 존재는 규모와 무관한 형상(shape)의 성질이다. $C$는 파라미터이지만 자유롭지 않다 — $x_m$과 $\gamma$가 정해지면 $\int p=1$이 $C$를 정한다. 3절 (2)가 그 계산이다.

두 꼬리지수. $\gamma$는 밀도 $p(x)\propto x^{-\gamma}$의 지수, $\zeta=\gamma-1$은 생존함수 $\Pr(X>x)\propto x^{-\zeta}$의 지수다. 둘 다 W17 Lemma 1에서 이름을 얻었다. 실증 문헌의 "꼬리지수 3"은 거의 언제나 $\zeta$다. 이 회차의 조건은 $\gamma>n+1$과 $\zeta>n$ 두 얼굴을 가지며 뒤의 것이 판정에 편하다. 문헌의 "$\zeta\approx3$"을 "$\gamma\approx3$"으로 옮겨 적으면 4차 모멘트만이 아니라 2차 모멘트까지 없다고 판정하게 된다 — 판정이 통째로 틀린다. $\zeta\approx3$은 $\gamma\approx4$다. log-log 그림의 기울기는 밀도를 그리면 $-\gamma$, 생존함수를 그리면 $-\zeta$ — 그림이 무엇을 그렸는지 먼저 본다.

같은 글자, 다른 이름. $\lambda$는 W04에서 잠재가격, W10에서 수렴속도였고 W17과 여기서는 지수분포 모수다. $\alpha$는 W02·W10에서 자본분배율이었고 여기서는 VaR 신뢰수준이다 — "99% VaR"은 $\alpha=0.99$, 꼬리확률은 $1-\alpha=0.01$. $C$는 W03에서 컨벡시티였고 여기서는 규격화 상수다. $n$은 W09에서 복리 횟수, W10에서 인구증가율이었고 여기서는 모멘트 차수다 — 표본 크기는 $N$으로 구분한다. $F$는 W02에서 생산함수였고 여기서는 분포함수다. $u$(문턱)는 W14·W15의 상승 배수, W17의 좌표 $u=\ln x$와 다른 글자다. $Y$는 W02에서 산출, W14에서 사영되는 확률변수였고 여기서는 지수분포 대조군이다. $\Delta$는 W17의 이동량과 같은 뜻이고 W15의 주식 수와 다른 뜻이다. (13)의 $t$는 시간이 아니라 최댓값의 무차원 규모다. $M_n$은 W07의 소멸행렬 $M$과 무관하다. $\gamma$는 W13에서 상대적 위험회피도였고 W17부터 꼬리지수다.

3. 유도¶

가정을 번호 붙여 둔다.

• A1 (Pareto 밀도) — $X$는 실수 확률변수, $x_m>0$, $\gamma>1$, 밀도 $p(x)=Cx^{-\gamma}\,\mathbf{1}\{x\ge x_m\}$. $C$는 $\int p=1$로 정해진다. $\gamma>1$은 규격화 가능 조건이다 — $\gamma\le1$이면 $C$ 자체가 존재하지 않는다.

• A2 (모멘트 차수와 비음성) — $n\ge0$ 실수. $X\ge x_m>0$이므로 $X^{n}\ge0$이고, 비음 피적분함수의 이상적분은 절단적분의 극한과 같다(단조수렴 정리 — 빌린다). $\mathbb{E}[X^n]\in[0,\infty]$이며 "정의되지 않음"은 없다. 이것이 (1)에 $\iff$를 쓸 수 있는 이유다.

• A3 (대조군) — $Y\sim\mathrm{Exp}(\lambda)$, $\lambda>0$, 밀도 $\lambda e^{-\lambda y}\,\mathbf{1}\{y\ge0\}$. 정수 $n$에서 $\Gamma(n+1)=n!$.

• A4 (위험측도 규약) — $X$는 손실(양수가 손실). $\alpha\in(0,1)$. VaR은 $\alpha$-분위수, ES는 VaR을 넘는 손실의 조건부 평균이다. 이 조건부 평균 형태는 분포함수가 $\mathrm{VaR}_\alpha$에서 연속인(그 점에 확률 원자가 없는) 분포에서 일반 정의 — Acerbi & Tasche (2002)의 분위수 평균 — 와 일치한다. 원자가 있으면 다르다. 이 회차의 세 분포는 모두 연속이므로 조건부 평균 형태만 쓴다. 정합성(coherence)은 증명하지 않는다(Artzner et al., 1999; McNeil et al., 2015 2장).

• A5 (빌려 오는 사실 — 대수의 법칙과 그 역) — $X_1,\dots,X_N$ i.i.d. 비음. $\mathbb{E}[X_1^n]<\infty$이면 $\frac1N\sum_iX_i^n\to\mathbb{E}[X_1^n]$ a.s.이고, $\mathbb{E}[X_1^n]=\infty$이면 $\frac1N\sum_iX_i^n\to\infty$ a.s.다. 비음 피적분함수의 적분 순서 교환(Tonelli 정리)도 여기 포함한다(Durrett, 2019 2장).

• A6 (실증 입력) — 대형주·지수의 일수익률 절댓값 꼬리는 문턱 위에서 근사적으로 $\bar F(x)\approx\bar F(u)(x/u)^{-\zeta}$, $\hat\zeta\approx3$이다(양쪽 꼬리 모두; 문헌 범위는 대략 2.5–4; Gabaix, 2009, Jansen & Vries, 1991, Gopikrishnan et al., 1998). 이 숫자는 입력이지 결과가 아니다 — 어디서 오는지는 이 회차가 답하지 않는다. 몸통(body)은 Pareto가 아니어도 된다(Lemma 1).

Figure 1이 (3)·(4)의 그림이다. 네 곡선의 차이는 $L$을 10배 할 때 얼마나 오르는가다. $n=1,2$는 $L^{-2}$, $L^{-1}$로 줄어드는 나머지를 남기고 극한에 붙고, $n=4$는 10배마다 10배 오른다. $n=3$은 10배마다 같은 양 $C\ln10=3\ln10\approx6.9$만큼 오른다 — $L=10^4$에서도 28 근처라 유한한 $L$에서 이 곡선을 보고 "수렴한다"고 판단하는 것이 시뮬레이션에서 흔한 오독이다. 느리지만 유계가 아니다.

(6)이 하는 일은 분리다. 좌변은 분포 전체의 함수이고 우변은 두 조각 — 문턱 아래의 유한한 적분과 문턱 위의 꼬리 적분 — 의 합이다. 수익률 자료의 몸통은 정규에 가깝고 꼬리만 멱법칙이다. 몸통의 형상은 문턱 아래 조각에만 들어가고 그 조각은 언제나 유한하므로, 모멘트가 있는가 없는가는 문턱 위 조각, 곧 $\zeta$ 하나가 정한다. 첨도 45.3은 몸통과 꼬리를 한 숫자에 섞은 것이고, 꼬리지수 3.1은 꼬리만 잰 것이다 — 둘 중 극한을 갖는 쪽은 뒤의 것뿐이다. 같은 이유로 "꼬리가 정확히 Pareto인가"는 판정에 중요하지 않다. 문턱 위에서 생존함수가 어떤 멱함수 $x^{-\zeta}$의 상수배 사이에 끼여 있기만 하면 (4)의 부호 판단이 그대로 옮겨진다.

"뚱뚱하다"는 말의 정확한 내용이 (12)의 비율에 있다. 문턱을 10배 올리면 지수분포의 초과분은 그대로 $1/\lambda$인데 Pareto의 초과분은 10배가 된다 — 큰 손실이 났을 때 "얼마나 더 큰가"가 손실의 크기에 비례해서 커지는 꼬리가 뚱뚱한 꼬리다. $\zeta\downarrow1$이면 그 비례상수가 무한대로 가고, 문턱을 넘은 뒤 기대할 수 있는 손실이 없다.

Figure 2의 셋째 패널에서 곡선이 계단처럼 뛰는 자리가 새 최댓값이 들어온 순간이다. 뛴 뒤에는 $1/N$로 천천히 내려오다가 다음 최댓값에서 다시 뛴다 — $\max X_i^4/N\asymp N^{1/3}$이 합을 지배하는 모습이다. 둘째 패널의 표본분산은 수렴하되 $N=10^6$에서도 0.72–0.79에 흩어져 있다. 2차 모멘트는 있고 4차 모멘트가 없으므로 표본분산의 오차는 중심극한정리의 $N^{-1/2}$가 아니라 $N^{2/\zeta-1}=N^{-1/3}$ 규모로 줄어든다. 이 지수는 (14)에 $n=2$를 넣은 것이다 — 최댓값 한 항의 몫 $N^{2/\zeta-1}$이 중심극한정리의 잡음 $N^{-1/2}$보다 크다($\zeta<4$). 같은 식에 $n=1$을 넣으면 $N^{1/\zeta-1}$이 $N^{-1/2}$를 이기는 조건이 $\zeta<2$ — 표본평균의 중심극한정리가 깨지는 지점이 같은 줄에서 나온다.

번역. 손실의 확률이 손실 크기의 거듭제곱으로 줄어드는 꼬리에서는, 몇 제곱의 평균이든 그 제곱 차수가 꼬리지수보다 작을 때에만 유한하다. 손실의 분위수는 언제나 계산되지만 그 너머의 평균 손실은 꼬리지수가 1을 넘을 때에만 존재하며, 그때 둘의 비율은 신뢰수준과 무관한 상수다. 표본 쪽에서 같은 말은 이렇다 — 존재하지 않는 차수의 표본 모멘트는 표본을 늘릴수록 커지고, 그 크기는 표본에서 가장 큰 관측값 하나가 정한다.

수치로 확인한다. 세 분포를 규모 1로 맞춘다 — 표준정규($\sigma=1$), $\mathrm{Exp}(\lambda=1)$, $\mathrm{Pareto}(x_m=1,\zeta=3)$, 비교용 $\mathrm{Pareto}(x_m=1,\zeta=1.5)$. 정규는 $\mathrm{VaR}_\alpha=\Phi^{-1}(\alpha)$, $\mathrm{ES}_\alpha=\phi(\Phi^{-1}(\alpha))/(1-\alpha)$이며 노트북에서 이분법으로 직접 구한다. 지수·Pareto는 (9)·(11)·(12)의 폐형식이다.

마지막 행이 바젤 시장위험 규제의 “99% VaR → 97.5% ES” 교체(Basel Committee on Banking Supervision, 2019)가 무엇을 뜻하는지 말한다. 정규 아래서는 중립(1.005)이지만, 요구자본이 위험측도 값에 비례한다고 놓으면 $\zeta=3$에서는 10.5%, $\zeta=1.5$에서는 63%의 증가다. 비율 행은 정규·지수가 $\alpha$를 올릴수록 1로 가고 Pareto는 $\alpha$와 무관하게 $\zeta/(\zeta-1)$에 붙박여 있음을 보인다(Figure 3). 첫 두 행에서 지수와 Pareto $\zeta=3$의 VaR은 4.605와 4.642로 거의 같다 — 규모를 이렇게 맞춘 우연이지만, 어떤 규모에서든 한 분위수는 다른 형상으로 맞출 수 있다. 분위수 하나로는 두 꼬리를 가를 수 없고, ES에서 5.605와 6.962로 갈린다.

4. 읽기¶

Q1 · 기호¶

2절 표가 답이다. 한 줄만 덧붙인다. (1)의 $n$은 변수가 아니라 질문의 번호이고, 답은 $\gamma$와 $n$ 사이의 부등식이다. 좌변은 숫자 하나(또는 $+\infty$), 우변은 참·거짓 — 식 전체는 "숫자가 유한하다"와 "부등식이 성립한다"가 동치라는 명제다.

Q2 · 번역¶

(1): “밀도가 $x^{-\gamma}$처럼 줄어드는 꼬리에서 $n$제곱의 평균은 꼬리지수가 모멘트 차수보다 1 넘게 클 때에만 유한하다.” 생존함수 형태로: “꼬리확률이 $x^{-\zeta}$처럼 줄어들면 $\zeta$보다 낮은 차수의 모멘트만 존재한다.” (11): “VaR을 넘는 손실의 평균은 VaR의 $\zeta/(\zeta-1)$배이고, 꼬리지수가 1을 넘지 못하면 그 평균은 없다.”

등가 재작성. (1)을 (6)의 꼴로 다시 쓰면 $\int_0^\infty nx^{n-1}\bar F(x)\,dx<\infty\iff n<\zeta$다 — 밀도의 지수가 아니라 생존함수의 지수로 판정하는 형태이며, 몸통이 Pareto가 아닌 자료에 쓰는 것은 이쪽이다. 덩어리 짓기. $\zeta/(\zeta-1)$ 전체를 꼬리 승수 $\kappa(\zeta)$ 하나로 보면 (11)은 $\mathrm{ES}=\kappa(\zeta)\,\mathrm{VaR}$이고, $\kappa\to1$($\zeta\to\infty$)과 $\kappa\to\infty$($\zeta\downarrow1$) 두 극한이 이 회차의 두 끝이다.

Q3 · 차원¶

$[p]=[X]^{-1}$ — 밀도에 길이를 곱하면 확률이다. $[x^{-\gamma}]=[X]^{-\gamma}$이므로 $[C]=[X]^{\gamma-1}$이고, (2)의 $C=(\gamma-1)x_m^{\gamma-1}$과 일치한다. 좌변 $x^n\cdot Cx^{-\gamma}\cdot dx$의 차원은 $[X]^n[X]^{\gamma-1}[X]^{-\gamma}[X]=[X]^n$ — $[\mathbb{E}X^n]=[X]^n$과 맞는다. 조건 $\gamma>n+1$은 무차원수 둘의 비교다. 규모 $x_m$이 들어 있지 않으므로 화폐 단위를 바꿔도 판정은 그대로다. 무차원군을 W02의 세기 절차로 센다 — 양은 $\{x,x_m,\gamma,n\}$ 넷, 독립 차원은 $[X]$ 하나, 무차원군은 $4-1=3$개: $x/x_m$, $\gamma$, $n$. $\alpha$를 넣으면 $\mathrm{VaR}_\alpha/x_m=(1-\alpha)^{-1/\zeta}$처럼 모든 결과가 무차원군의 함수다. 정규분포와 대조하면, 정규의 유일한 규모는 $\sigma$이고 형상은 고정되어 모든 모멘트가 $\sigma$의 거듭제곱이다. Pareto는 규모 $x_m$과 별도로 형상 $\gamma$가 자유롭다 — 그 자유도가 모멘트를 죽인다. "$x^{-\gamma}$"를 혼자 쓰면 차원이 맞지 않는다. 언제나 $(x/x_m)^{-\gamma}\cdot x_m^{-1}$의 약기다.

Q5 · 극한¶

$x\to\infty$: $x^n$(증가)과 $x^{-\gamma}$(감소) 중 누가 이기는가는 지수 $n-\gamma$의 부호가 아니라 -1과의 비교로 결정된다 — $\int^\infty x^{-1}dx$가 로그로 발산하기 때문에 심판선이 -1이다. 피적분함수가 0으로 가는 것만으로는 부족하고, $1/x$보다 빨리 가야 한다. $x\to x_m$(하한): 아무것도 발산하지 않는다 — 뚱뚱한 꼬리는 $x\to\infty$만의 문제다. 지수분포에서는 $y^ne^{-\lambda y}$가 모든 $n$에서 0으로 간다((7)의 경계항) — 지수 감쇠는 어떤 멱의 증가보다 빠르다. $\alpha\to1$: 두 VaR 모두 $\infty$로 가지만 Pareto는 $(1-\alpha)^{-1/\zeta}$(멱)로, 지수는 $-\ln(1-\alpha)$(로그)로 간다. 꼬리확률을 10분의 1로 줄일 때 Pareto VaR은 $10^{1/\zeta}$배가 되고 지수 VaR은 $\ln10/\lambda$만큼 더해진다. 경제적으로는, 신뢰수준을 99%에서 99.9%로 올리는 규제 강화가 지수 꼬리에서는 요구자본을 상수만큼 올리고 멱법칙 꼬리에서는 배수로 올린다는 뜻이다.

Q6 · 불변성¶

2배와 $+\Delta$. 이 회차의 파라미터·결과가 두 변환에 어떻게 반응하는지가 W17의 두 불변성 그대로다.

근거 — (2)에 $x\to x/c$; (9)·(11); 이동은 Lemma 1(존재는 꼬리의 성질)로 지수를 바꾸지 않는다. 읽기: 단위를 바꾸면(2배) 모든 화폐량이 같이 2배가 되고, 존재 조건과 ES/VaR 비율은 불변이다 — 비율은 형상의 순수 수다. 상수를 더하면($+\Delta$) VaR과 ES가 같이 $\Delta$만큼 이동한다(분위수·조건부 평균의 이동 등변성). 비율은 바뀌지만 차이 $\mathrm{ES}-\mathrm{VaR}$은 그대로다. 곱셈 불변 분포의 자연스러운 불변량은 비율이고 덧셈 불변 분포의 자연스러운 불변량은 차이다 — (12)의 두 결과가 이것이다. 모멘트의 존재 여부는 두 변환 모두에 불변이다. 존재는 규모·위치가 아니라 형상의 성질이다. 경제적으로 읽으면, 손실을 원에서 달러로 바꾸거나 고정 수수료를 얹는 것은 위험의 형상을 바꾸지 못한다. 형상을 바꾸는 유일한 조작은 $\zeta$를 바꾸는 것이고, 그것은 단위 변경이 아니라 다른 자산·다른 시장으로 가는 일이다.

Q7 · 탄력성¶

근거 — (2)·(9)의 로그 미분; W02 (2)의 탄력성 정의; Theorem 1(탄력성이 상수인 유일한 함수가 멱법칙). 읽기: Pareto 생존함수의 탄력성은 $-\zeta$로 어디서나 같고(log-log 직선), 지수분포의 탄력성은 $-\lambda y$로 끝없이 커진다(log-log에서 아래로 꺾인다). VaR의 꼬리확률 탄력성 $-1/\zeta$: $\zeta=3$이면 꼬리확률을 10배 엄격히 할 때 VaR은 $10^{1/3}=2.15$배, $\zeta=1.5$면 4.64배다. 지수분포는 탄력성이 0으로 가서 신뢰수준을 아무리 올려도 VaR이 느리게 는다. 모멘트 존재 조건 $n<\zeta$는 "$x^n$의 탄력성 $n$이 꼬리의 탄력성 $\zeta$보다 작다"로 읽힌다.

Q8 · 파라미터 극단¶

각 극단에서 어떤 세계가 되는가.

• $\zeta\to\infty$: $\bar F(x)=(x/x_m)^{-\zeta}\to0$ ($x>x_m$) — 분포가 $x_m$ 한 점으로 붕괴한다. 모든 모멘트가 $x_m^n$, $\mathrm{ES}/\mathrm{VaR}\to1$. 꼬리가 없는 세계, 곧 손실이 언제나 같은 크기인 세계다. W17의 $\gamma\to\infty$ 극한 — 모든 기업이 같은 크기인 대표적 기업의 세계 — 와 같은 자리다.

• $\zeta\downarrow2$: 평균은 있으나 분산이 $\infty$로 간다((5)의 $(\zeta-2)$). 표본평균은 수렴하지만 $\sqrt N$ 규모의 중심극한정리가 서지 않는다((14)에 $n=1$). 간극 상자의 “CLT의 전제” — 유한 분산 — 는 $\zeta\le2$에서 깨지고, 극한이 정규를 벗어나는 것은 $\zeta<2$다 — 정규화된 합의 극한이 안정분포(stable distribution)이며, 경계 $\zeta=2$에서는 극한은 정규이되 정규화만 $\sqrt N$이 아니다. 빌려 오는 명제이며 유도하지 않는다(Durrett, 2019 3장; Embrechts et al., 1997). $\zeta\le2$면 W13 A5의 2차 모멘트 조건이 깨진다. 항등식 (3) 자체는 $1=\mathbb{E}[mR]$과 $\mathbb{E}[R]<\infty$($\zeta>1$)만으로 서지만, 코시–슈바르츠 위에 선 (15)의 Hansen–Jagannathan 경계는 분모 $\sigma(R)$이 $+\infty$라 좌변이 0이 되어 내용을 잃는다. W14 (1)의 $L^2$ 사영도 같은 자리에서 없어진다 — $R$이 $L^2$ 밖에 있으면 사영할 대상이 없다.

• $\zeta\downarrow1$: 평균이 $\infty$로, ES가 $\infty$로 간다 — VaR은 $x_m\cdot100^{1/\zeta}$로 멀쩡히 유한하다. "99% 분위수는 계산되는데 그 너머의 평균 손실은 없다"는 세계다. 평균 내기가 손실을 줄이지 못한다. $\zeta<1$이면 $\sum X_i\asymp N^{1/\zeta}\gg N$이라 합이 최댓값 하나의 규모다((14)). 보험이 성립하지 않는 세계이기도 하다 — 기대 손실이 없으므로 보험료를 정할 평균이 없다.

• $n\uparrow\zeta$: $\mathbb{E}[X^n]=\frac{\zeta}{\zeta-n}x_m^n\to\infty$ — 모멘트는 경계에서 뛰어 무한이 되는 것이 아니라 연속적으로 커져 무한에 닿는다. 경계 바로 아래서는 존재하되 표본 모멘트의 수렴이 극도로 느리다.

• $\alpha\to1$: Q5. $x_m\to0$($\zeta$ 고정): 모든 양이 $x_m$에 비례해 0으로 간다 — 규모의 극단은 아무 구조도 바꾸지 않는다.

• $\lambda\to0$(지수분포): 평균 $1/\lambda\to\infty$지만 어떤 유한한 $\lambda$에서도 모든 모멘트가 존재한다. 변동성이 두 배인 시장은 자(규모)가 길어진 것이고, 꼬리지수가 3인 시장은 형상이 멱법칙인 것이다. 꼬리가 두껍다·뚱뚱하다는 말은 뒤의 것에만 쓴다.

Q9 · 숫자와 그림¶

Pareto $\zeta=3$, $x_m=1$: $\bar F(1)=1$, $\bar F(2)=0.125$, $\bar F(10)=10^{-3}$, $\bar F(100)=10^{-6}$ — log-log에서 기울기 -3의 직선, semi-log에서는 아래로 볼록하게 휘어 갈수록 완만해지는 곡선이다. $\mathrm{Exp}(1)$: $\bar F(1)=0.368$, $\bar F(2)=0.135$, $\bar F(10)=4.5\times10^{-5}$, $\bar F(100)=3.7\times10^{-44}$ — semi-log에서 기울기 -1의 직선, log-log에서 아래로 꺾인다(Figure 3 왼쪽). $x=100$에서 두 꼬리확률의 비는 약 $3\times10^{37}$ — "뚱뚱하다"의 크기다. log-log 직선의 기울기를 추정하는 표준 도구가 아래 식이다.

근거 — (2)에 $x=x_me^{y}$; (7)의 $n=1$; 문턱 $u=X_{(k+1)}$ 위에서 Lemma 2로 다시 Pareto이므로 상위 $k$개의 로그 초과분은 $\mathrm{Exp}(\zeta)$ 표본이고 그 표본평균의 역수가 최우추정량이다(Hill (1975)). 읽기: 로그를 취하면 곱셈 불변이 덧셈 불변이 된다 — W17의 두 식이 로그 하나로 이어진다. 문헌의 "$\hat\zeta\approx3$"은 이 식(또는 log-log 회귀)의 출력이며, 그 숫자를 (1)에 넣는 순간 표 1의 첨도 칸이 무엇을 추정하는지가 판정된다.

5. 학부와 대학원의 간극¶

학부 읽기는 "수익률은 대략 정규, 표본이 크면 CLT로 평균은 정규"에서 멈춘다. 정규성 아래서는 모든 모멘트가 공짜이므로 표 1의 네 칸 — 평균·표준편차·왜도·첨도 — 이 전부 무엇인가의 추정치라는 것을 의심할 이유가 없다. 멈추는 줄은 논문이 "꼬리지수 $\hat\zeta=3.1\,(0.2)$"라고 적은 한 줄이다. 이 줄은 표 1의 첨도 칸이 추정치가 아니라는 선고인데, 학부 읽기는 "첨도가 높다"와 "꼬리가 두껍다"를 같은 말로 알고 지나간다. 수익률 꼬리가 정규가 아니라는 것은 Mandelbrot (1963)가 면화 가격에서, Fama (1965)가 주식에서 보인 지 60년이 넘었다. 논문이 그것을 모르는 것이 아니라, 읽는 쪽이 그 한 줄에서 표 1로 되돌아가지 않는 것이다. 정규 읽기가 얼마나 틀리는지는 1987년 10월 19일 S&P 500이 하루에 20% 넘게 떨어진 날 하나로 보인다 — 일수익률 표준편차 1%의 정규 아래서는 $2\Phi(-20)$, 10^-88 규모의 확률이고, 문턱 $2\sigma$ 위가 $\zeta=3$의 Pareto인 꼬리에서는 (10)에 의해 $\Pr(X>2\sigma)\cdot(20/2)^{-3}$, 문턱 확률 2%면 $2\times10^{-5}$로 200년에 한 번 규모다. 두 계산의 차이는 $\sigma$의 값이 아니라 꼬리의 형상에서 온다.

대학원 읽기는 어떤 통계량이 나오기 전에 그 통계량의 존재 차수를 센다. 표본평균의 CLT에는 2차 모멘트가, 표본분산의 표준오차에는 4차 모멘트가, ES에는 꼬리의 1차 모멘트가 필요하다. $\zeta\approx3$이면 첫째는 통과, 둘째는 실패, 셋째는 통과다 — 표본분산은 수렴하되 오차가 $N^{-1/2}$가 아니라 $N^{2/\zeta-1}=N^{-1/3}$ 규모로 줄어든다(Figure 2 가운데). 이 세 판정이 논문 한 편을 읽는 순서를 바꾼다. 표 1을 읽고 꼬리지수로 가는 것이 아니라, 꼬리지수를 먼저 읽고 표 1로 돌아간다.

구체 장면 하나. 바젤 시장위험 규제는 요구자본의 기준을 99% VaR에서 97.5% ES로 바꾸었다(Basel Committee on Banking Supervision, 2019). 3절 표의 마지막 행 — 정규 1.005, $\zeta=3$에서 1.105, $\zeta=1.5$에서 1.629. 규제 문서는 두 숫자가 정규 아래서 같도록 97.5%를 골랐다. 대학원 읽기는 그 선택이 "꼬리의 첫 모멘트가 존재하고 꼬리가 얇다"는 가정 위에 서 있음을 보고, $\zeta$가 1로 내려갈수록 ES가 VaR의 몇 배로 벌어지는지를 (11) 한 줄로 계산한다. 앞 회차들이 조용히 가정했던 것 — W13 (3)의 $\operatorname{Cov}(m,R)$, W14 (1)의 $\mathbb{E}[Y^2]<\infty$ — 이 어떤 꼬리지수 아래서 무너지는지도 같은 줄에서 읽힌다. 그 판정은 4절 Q8의 $\zeta\downarrow2$ 항목에 있다.

6. 훈련¶

냉시동 인출(40분) — 자료 없이 백지에 쓴다.

• 1주 전 — W17 · 곱셈 불변 → 멱법칙 · 덧셈 불변 → 지수 (함수방정식). 함수방정식 $g(b_1b_2)=g(b_1)g(b_2)$에서 거듭제곱까지, $u=\ln x$ 좌표변환으로 둘이 같은 정리라는 것까지.

• 3주 전 — W15 · 이항모형 복제 → $q$ · $q$는 $m$의 재규격화. 복제 연립에서 $q=(R-d)/(u-d)$까지, $dQ/dP=m/\mathbb{E}[m]$까지.

• 8주 전 — W10 · 고정점 선형화 → 수렴속도 $\lambda$와 반감기. 솔로우 고정점에서 $\lambda=(1-\alpha)(n+\delta)$와 $\ln2/\lambda$까지.

노트북(40분) — w18-lab.ipynb. 코드를 쓰기 전에 아래 셋에 답한다.

1. $\mathrm{Pareto}(x_m=1,\zeta=3)$ 표본 $N=10^2,10^3,\dots,10^6$에서 표본평균·표본분산·표본 4차 모멘트 중 어느 것이 수렴하는가. 4차 모멘트는 $N$이 10배 될 때 대략 몇 배가 되는가. 시드를 바꾸면 어느 것이 가장 크게 달라지는가. 예측: 평균은 1.5로, 분산은 0.75로 — 요동은 $N^{-1/3}$이라 $N=10^6$에서도 $\pm0.05$. 4차는 규모 $10^{1/3}=2.15$배씩 — 단 시드마다 수십 배 차이. 표본 첨도는 $N=10^6$에서 수백에서 수천 사이.

2. 같은 표본의 경험적 $\mathrm{VaR}_{0.99}$·$\mathrm{ES}_{0.99}$는 이론값 4.642·6.962에 맞는가. $\mathrm{ES}/\mathrm{VaR}$ 비율은 $\alpha=0.9,0.99,0.999$에서 모두 1.5 근처인가. $\mathrm{Exp}(1)$ 표본은 1.434·1.217·1.145로 1에 접근하는가. 예측: $N=10^6$에서 VaR·ES 모두 소수 첫째 자리까지 일치(VaR의 표본오차 약 $\pm0.03$). Pareto 세 비율 모두 $1.50\pm0.02$. 지수는 하강.

3. 상위 $k=N/100$개로 계산한 Hill 추정량 $\hat\zeta_k$는 3 근처인가. 최댓값은 $N$을 1,000배 할 때 몇 배가 되는가. 예측: $N=10^5$에서 $3\pm0.2$. 최댓값은 $1000^{1/3}=10$배 규모, $N=10^6$의 최댓값 중앙값은 $100\times1.13\approx113$, 시드에 따라 90–250.

계산은 직접 쌓는다. $U=$ rng.random(N), $X=x_mU^{-1/\zeta}$ — 역함수법을 손으로. np.cumsum으로 running 평균·2차·4차 모멘트를 만들고 표본분산은 $\overline{X^2}-\bar X^2$. 경험적 VaR은 정렬 후 $\lceil\alpha N\rceil$번째 값, ES는 그 위의 산술평균 — np.percentile을 쓰지 않는다. Hill은 내림차순 정렬 $X_{(1)}\ge\cdots$에서 $\hat\zeta_k=1/\mathrm{mean}(\ln X_{(i)}-\ln X_{(k+1)})$, $i\le k$, $k\in\{N/1000,N/100,N/10\}$ 셋. 3절 표를 재현한다 — 정규 $\Phi^{-1}$은 이분법, $\phi$는 손으로, 지수·Pareto는 폐형식, 소수 셋째 자리까지 표와 일치해야 한다. 대조 표는 예측 | 결과 | 어긋남 | 원인 4열이다. 예상되는 어긋남 하나를 미리 적어 둔다 — 4차 모멘트의 성장 배율이 2.15가 아니라 시드마다 0.2–30 사이인 것. 원인은 극한이 정규가 아니라 최댓값 하나가 정하는 분포((13))이기 때문이다.

7. 마치며…¶

0절의 식을 다시 본다.

지금은 이렇게 읽힌다. $X$는 손실, $x_m$은 그 하한이자 규모, $\gamma$는 밀도의 꼬리지수, $n$은 몇 차 모멘트를 묻는가라는 질문의 번호다. $x^n$은 질문이고 $Cx^{-\gamma}$는 꼬리이며, 적분은 둘의 지수 싸움이고 심판선은 -1이다. $C$가 $[X]^{\gamma-1}$의 차원을 지고 있어서 결론 $\gamma>n+1$에는 규모가 없다 — 존재는 형상의 성질이고, 화폐 단위를 바꿔도 상수를 더해도 판정은 그대로다. 부등식은 $\zeta>n$으로도 읽히고, 그 $\zeta$는 문턱을 올려도 형상이 반복되는 곱셈 불변의 지수다(W17). 메커니즘은 이렇다. 존재하지 않는 차수에서는 표본 하나가 합을 지배하고, 그 하나는 $N^{1/\zeta}$로 자라므로 표본 모멘트에 극한이 없다. 분위수는 언제나 계산되지만 그 너머의 평균은 $n=1$의 존재 조건을 통과해야 하고, 통과하면 비율 $\zeta/(\zeta-1)$이 붙박인다. 문헌의 "3"을 넣으면 표 1의 첨도 칸이 무엇을 추정하는지 — 아무것도 — 가 판정되고, 위험관리 절의 VaR과 ES가 왜 정규 아래서만 "거의 같은지"가 같은 줄에서 읽힌다.

극한의 부호 판단이 안 되면 3절의 (4)로, ES가 왜 첫 모멘트인지 안 보이면 (10)으로 돌아간다.

다음 회차 W19 · 지수는 어디서 오는가는 이 회차가 입력으로만 받은 숫자 3이 차원에서 읽히는 수인지, 생성 과정이 정하는 수인지를 묻는다.

이어지는 자료 — Newman(2005) 4–6절 · Sethna 12장(스케일링 부분) · Newman(2005) 3.2–3.3절(모멘트·최댓값) · McNeil·Frey·Embrechts(2015) 2장(위험측도)·5장(극단값)