W22 · 식별 — 데이터가 대답할 수 있는 질문의 범위

0. 이번 회차의 식¶

지금 읽히지 않아도 된다. 7절에서 같은 식을 다시 본다.

1. 도입¶

추정량은 배웠다. 그런데 이 모수가 애초에 데이터에서 결정되기는 하는가. 표본을 무한히 늘려도 답이 정해지지 않는 질문이 있다. 어느 질문이 그런지 식만 보고 가려낼 수 있는가.

LaLonde (1986)의 표 앞에서 멈춘다. 같은 직업훈련 프로그램의 임금 효과가 한 표에 두 방식으로 적혀 있다. 한 행은 무작위로 배정된 대조집단과 견준 실험 추정치다. 나머지 행들은 인구조사와 패널 자료에서 고른 비교집단과 견준 비실험 추정치다. 실험 행은 양수 몇백 달러다. 비실험 행들은 비교집단을 어떻게 고르느냐에 따라 큰 음수에서 양수까지 흩어진다. 같은 프로그램, 같은 참가자, 같은 임금 자료인데 행마다 답이 다르다. 학부 읽기는 각 열이 어떤 추정량 — 평균 차이, 회귀, 선택 보정 — 으로 계산됐는지는 안다. 행마다 표본 크기가 다르다는 것도 안다. 표준오차를 읽고 유의성을 판정하는 것까지도 한다. 그런데 표본이 아무리 커도 행들이 한 값으로 모이지 않으리라는 것, 행마다 다른 것을 재고 있다는 것은 말하지 못한다. 유의성은 행 안의 물음이고, 행 사이의 물음은 다른 종류다.

그 답이 (1)의 둘째 항이다. 비교집단을 바꾸는 것은 $\mathbb{E}[Y\mid D{=}0]$을 바꾸는 일이고, 그때 우변의 첫째 항은 한 자리도 움직이지 않는다. 움직이는 것은 둘째 항, 곧 처치가 없었더라도 두 집단이 달랐을 만큼이다. 비실험 행들이 흩어진 폭은 추정 오차의 폭이 아니라 둘째 항의 폭이다. 두 폭은 성질이 다르다. 앞의 것은 표본이 커지면 줄고, 뒤의 것은 표본이 커져도 그대로다.

같은 결핍이 다른 자리에서 나타난다. Hansen & Singleton (1982)의 결과 표에는 추정치 옆에 $\chi^{2}$ 통계량과 그 확률값 — 과대식별 제약의 검정 — 이 적혀 있다. 무엇이 과대인가. 모멘트 조건이 모수보다 몇 개 많은지, 남는 개수가 어디에 쓰이는지를 세어 본 적이 없으면 그 숫자는 읽히지 않는다. (2)의 $q$와 $p$가 그 개수다.

추정 이전에 "이 양이 관측 분포의 함수인가"를 묻는 단계가 빠져 있다. 그 단계의 이름이 식별(identification)이다. 그 단계가 없으면 표본이 아무리 커도 좁혀지지 않는 오차와 표본이 커지면 사라지는 오차를 구별하지 못한다. 그 구별은 표본이 아니라 식에서 읽힌다 — 어느 오차가 어느 것인지 식만 보고 가려내는 일이다.

2. 기호 대장¶

같은 $\E$, 다른 정보. (1) 좌변의 $\E[Y\mid D{=}1]$은 관측 분포 $P_{\mathrm{obs}}$만으로 계산되는 숫자다. 우변의 $\E[Y_0\mid D{=}1]$은 같은 기호로 적히지만 잠재 분포 $P$가 있어야 정의된다. 처치받은 사람의 “받지 않았더라면” — 반사실(counterfactual) — 은 어떤 표본에도 없다. 기호는 이 차이를 숨기고, 표의 “종류” 칸 — 관측 분포의 범함수인가 잠재 분포의 범함수인가 — 이 그것을 드러낸다. 범함수(functional)는 분포를 넣으면 숫자를 돌려주는 함수다. $\Delta$는 $P_{\mathrm{obs}}$를 넣으면 숫자가 나오고, $\tau_{\mathrm{ATT}}$는 $P$를 넣어야 숫자가 나온다. 하나 더 갈라 둔다. $\E[Y\mid D{=}1]$은 숫자이고 A4에 나오는 $\E[Y_0\mid D]$는 확률변수다 — $D$의 값에 따라 두 값을 취하는 $\sigma(D)$-가측 함수이며, W14 2절이 학부의 숫자와 대학원의 함수를 갈라 둔 구분 그대로다.

변수와 파라미터, 첨자. $\tau_{\mathrm{ATT}}$·$\delta_0$·$\theta_0$은 모집단의 고정된 숫자이고 추정치가 아니다. 모자가 없다. 이 회차는 (15) 전까지 표본을 다루지 않는다 — 식별은 모집단의 성질이고, 그 앞에서 표본 크기 $n$은 "그것과 무관하다"는 자리에만 나온다. $Y_d$의 아래첨자 $d\in\{0,1\}$은 시간이 아니라 처치 상태다. W09 이후의 $t$가 시점을 가리키던 자리에 여기서는 "어느 세계인가"가 온다. $\mu_{dd'}$의 첫 첨자는 잠재결과의 종류, 둘째 첨자는 실제 처치 집단이다 — $\mu_{01}$은 처치받은 집단이 처치 없는 세계에서 받았을 임금이고, 표본에 없는 칸이다. $q$와 $p$는 개수이지 확률이 아니다. $s$는 예제의 선택 강도 $\Pr(D{=}1\mid H)$이며 W10·W11의 저축률 $s$가 아니다. $\nu$는 (9)에서 반사실의 후보 분포이며 W02의 동차 차수·W19의 상사 지수와 다른 뜻이다.

같은 글자, 다른 이름. $\beta_1$은 회귀계수(W07)이고 4절 (17)의 $\beta$는 할인인자(W13)다. 한 회차에 둘 다 나오므로 첨자 유무로 구별한다. $\gamma$는 (17)에서 상대적 위험회피도(W13)이며 W17 이후의 꼬리지수가 아니다. $\delta_0$·$\delta_1$은 선택편의이며 W10·W11의 감가상각률, W19·W20의 퇴출률과 다른 뜻이다. $\Delta$는 관측 차이이며 W09·W13의 기간 길이, W03의 변화분 접두어와 다른 뜻이다. $\pi$는 처치 확률이며 원주율도, W06의 이윤 $\pi(K;r)$도, W21의 비중 벡터도 아니다. $P$는 확률측도(W14·W15)이지 W07의 사영행렬이 아니다. 사영은 W14를 따라 $\Pi$로 쓴다 — $\Pi_{\sigma(D)}$는 $L^2(\sigma(D))$ 위 직교사영, $\Pi_{A'}$는 $\mathcal{C}(A')$ 위 직교사영이다. 직전 회차와의 충돌을 한 줄씩 적는다. $W$(가중행렬)는 W21의 투입산출 몫 행렬 $W$·W14의 시험 방향 $W\in L^2(\Fc)$와 다른 글자다. $w$(관측 벡터)는 W21의 $w_{ij}$·W04의 소득과 다른 글자다. $M_G$는 W07의 소멸행렬 $M$과 같은 대수를 가진다. $g$는 모멘트 함수이며 W13이 소비성장 배수에 쓴 $g$와 다른 글자다. $\eta$는 관측 칸 평균이며 W20의 진입률 $\eta$와 다른 글자다. $A$는 $2\times3$ 관측 사상이며 W02·W10의 생산성 수준 $A$·W20의 단위당 연결률 $A$와 다른 글자다. 표본 크기 $n$은 W07과 같은 글자이고 W18·W21의 몬테카를로 $N$과 같은 역할이다. 회차 안에서도 겹치는 글자가 있다. $\mu_{dd'}$(칸 평균)와 4절의 $\mu_c,\mu_R$(로그정규 평균), $\sigma(D)$($\sigma$-대수)와 $\sigma_c,\sigma_R,\sigma_{cR}$(표준편차·공분산)는 첨자와 괄호로 구별한다.

3. 유도¶

관측 가능한 차이를 처치효과와 선택편의로 분해한다. 모멘트 조건의 개수와 모수의 개수로 식별·과대식별을 판정한다. W14의 사영이 여기서 세 번째로 쓰인다. W07에서는 행렬 $P$였고 W14에서는 연산자 $\Pi_{\Fc}$였던 것이 여기서는 세 얼굴로 나온다 — 더미 회귀의 계수, 식별 가정의 문장, "질문의 계수 벡터가 관측 사상의 행공간 위에 있는가"라는 판정.

가정을 번호 붙여 둔다.

• A1 (잠재결과·일관성(consistency)) 각 개체는 잠재결과 쌍 $(Y_0,Y_1)$을 가지며, 처치 $D\in\{0,1\}$에 따라 $Y=DY_1+(1-D)Y_0$만 관측된다 Rubin, 1974. 개체 사이에 간섭이 없고 처치는 한 종류다(SUTVA, stable unit treatment value assumption). 관측되는 것은 $(Y,D)$의 결합분포 $P_{\mathrm{obs}}$뿐이다 — 공변량도, 도구도, 둘째 결과도 없다.

• A2 (적분가능) $Y_0,Y_1\in L^2(\Omega,\mathcal{G},P)$. 분해 자체는 $L^1$이면 되지만 사영의 언어(W14)를 쓰기 위해 $L^2$로 둔다. A2’ (유계 지지) (9)에서만: $Y_0,Y_1\in[y_L,y_U]$ a.s.

• A3 (겹침(overlap)) $\pi:=\Pr(D{=}1)\in(0,1)$. 두 조건부 기댓값이 모두 정의되려면 두 집단이 모두 존재해야 한다.

• A4 (식별 가정 — 평균독립(mean independence)) $\E[Y_0\mid D]=\E[Y_0]$. A4’ (무작위 배정) $(Y_0,Y_1)\perp D$. A4’는 A4를 함의한다. 둘 다 (10)에서만 쓴다 — 정리의 (i)·(ii)는 A4 없이 성립한다.

• A5 (모멘트 조건의 정칙성) $\theta_0$은 $\Theta$의 내점이고, $\bar g(\theta):=\E[g(w,\theta)]$가 $\theta_0$의 근방에서 존재하며 $C^{1}$이고, $\bar g(\theta_0)=0$, $G:=\partial\bar g(\theta_0)/\partial\theta'$는 $q\times p$ 행렬이다.

• A6 (표본과 가중) (15)에서만: $w_1,\dots,w_n$은 i.i.d., $W$는 $q\times q$ 대칭 양정치, $G'WG$는 비특이. 극한분포는 인용만 한다.

A1–A3은 대상이 무엇인지 정한다 — 무엇이 존재하고 무엇이 보이는가. A4만이 잠재결과와 처치 사이의 관계를 말하고, 그 관계는 A1이 보여 주지 않는 칸에 관한 것이다. 실험은 A4’를 설계로 참이 되게 하는 장치이고, 관측 자료에서는 A4를 자료 밖에서 들여와야 한다. A5·A6은 둘째 식 (2)의 것이며, 거기서도 같은 질문 — 자료가 주는 식이 몇 개이고 미지수가 몇 개인가 — 이 반복된다.

번역. 처치집단과 대조집단의 평균 차이는, 처치가 처치집단에 준 효과와 처치가 없었더라도 두 집단이 달랐을 만큼의 합이다. 데이터는 그 합만 보여 주고, 두 조각을 나누는 것은 자료 밖에서 들여온 가정이다. 모멘트 조건은 모수보다 적으면 답을 정하지 못하고, 같으면 답만 정하며, 많으면 답과 함께 모형을 시험할 잣대를 남긴다.

수치 확인 1 — 두 유형 직업훈련 모형. 유형 $H$·$L$이 각 절반이고, 잠재 임금(만원/월)은 $y_0^{H}=300$, $y_1^{H}=330$, $y_0^{L}=200$, $y_1^{L}=250$이다. 처치효과는 유형별로 $\tau^{H}=30$, $\tau^{L}=50$ — 불리한 유형에게 더 크다. 선택 강도 $s=\Pr(D{=}1\mid H)=1-\Pr(D{=}1\mid L)=0.8$이면 $\pi=\tfrac12$, $\Pr(H\mid D{=}1)=0.8$, $\Pr(H\mid D{=}0)=0.2$다. 관측: $\E[Y\mid D{=}1]=0.8\cdot330+0.2\cdot250=314$, $\E[Y\mid D{=}0]=0.2\cdot300+0.8\cdot200=220$, $\Delta=94$; $\Cov(Y,D)=23.5$, $\Var(D)=0.25$, $\beta_1=94$, $\beta_0=220$. 잠재: $\E[Y_0\mid D{=}1]=280$, $\E[Y_1\mid D{=}0]=266$, $\tau_{\mathrm{ATT}}=34$, $\delta_0=60$, $\tau_{\mathrm{ATE}}=40$, $\tau_{\mathrm{ATU}}=46$, $\delta_1=48$. 검산 $34+60=94$, $34-40=0.5\times(48-60)=-6$. 관측 차이 94는 처치집단 효과 34의 2.8배다.

세 세계의 $(Y,D)$ 분포는 글자 하나까지 같다 — $D=1$이면 330(확률 0.8)·250(0.2), $D=0$이면 300(0.2)·200(0.8). 표본이 아무리 커도 세 세계를 가를 통계량은 없다. 식별집합의 폭 250은 $n$이 얼마든 그대로다. 단조 선택 $\delta_0\ge0$ — 처치받은 쪽이 처치 없이도 더 나았다 — 을 더하면 $[-86,94]$가 되고, A4를 더하면 $\{94\}$가 된다. 그런데 진짜 값은 34다. 가정이 틀리면 점식별된 답은 확실하게 틀린다.

같은 표를 (11)의 글자로 읽는다. 진짜 세계의 칸 평균은 $\mu^{*}=(314,280,220)'$이고 관측 칸은 $\eta=(314,220)'$이다. $A\mu=\eta$의 해집합은 $(314,\mu_{01},220)'$, $\mu_{01}$은 자유 — 세 세계 A·T·B는 이 직선 위의 세 점 $\mu_{01}=220,280,314$이고 A2’는 직선을 $\mu_{01}\in[150,400]$로 자른다. $c_{\Delta}'\mu=314-220=94$는 직선 위 어디서나 같고, $c_{\mathrm{ATT}}'\mu=314-\mu_{01}$은 점마다 다르다. (12)의 $\Pi_{A'}c_{\mathrm{ATT}}=(1,0,0)'$은 "처치집단의 관측 평균 314"라는 데이터가 답하는 부분이고, $(I-\Pi_{A'})c_{\mathrm{ATT}}=(0,-1,0)'$은 "그 집단의 반사실 평균"이라는 데이터가 못 보는 부분이다. 질문 하나가 두 조각으로 갈리고, 자료는 앞 조각만 돌려준다. Figure 1이 세 세계를 한 축에 놓는다.

수치 확인 2 — 모멘트 둘, 모수 하나. $p=1$, $q=2$, $W=I$, $a:=\E[zx]=(2,1)'$로 둔다. (가) $b:=\E[zy]=(3,1.5)'$: 두 비 $3/2=1.5/1$이 같고, $\theta_0=1.5$, 잔차 0 — 과대식별 제약이 충족된다. (나) $b=(3,1.8)'$: 비 $1.5\ne1.8$, 어떤 $\theta$도 두 식을 동시에 풀지 못한다. 최소점 $\hat\theta=a'b/a'a=7.8/5=1.56$, 잔차 $b-a\hat\theta=(-0.12,\,0.24)'$, $a$와의 내적 0, 제곱길이 0.072. $M_G=I-aa'/5=\begin{pmatrix}0.2&-0.4\\-0.4&0.8\end{pmatrix}$, $\operatorname{tr}=1=q-p$, $M_G^{2}=M_G$. (다) $z_2$를 버려 $q=1$로 하면 $\theta=b_1/a_1$, 잔차는 항등적으로 0 — (나)의 불일치가 보이지 않게 된다. Figure 2가 이 셈을 평면에 놓는다 — 모형이 허용하는 모멘트 벡터는 원점을 지나는 직선 $\{a\theta\}$뿐이다.

4. 읽기¶

Q1 · 기호¶

2절 표가 답이다. 두 줄만 덧붙인다. (1)의 다섯 기댓값 가운데 잠재 분포가 있어야 값이 정해지는 것은 $\E[Y_0\mid D{=}1]$ 하나다 — $\E[Y_1\mid D{=}1]$과 $\E[Y_0\mid D{=}0]$은 (3)으로 좌변의 관측 평균과 같은 숫자다. (2)의 $\theta_0$은 "$\bar g$의 영점"이고, $q$·$p$는 $g$의 형상이다. 등호도 종류가 다르다. (1)의 등호는 항등식 — 어떤 잠재 분포에서도 성립한다 — 이고, (2)의 등호는 모형의 주장 — 참 모수에서만 성립한다 — 이다.

Q2 · 번역¶

(1): “처치받은 집단과 받지 않은 집단의 평균 차이는, 처치가 받은 집단에 준 효과에, 처치가 없었더라도 두 집단이 달랐을 만큼을 더한 것이다.” (2): “모형이 맞다면 어떤 관측 가능한 양들의 평균이 참 모수에서 정확히 0이 된다 — 모수란 그 평균들을 0으로 만드는 값이다.”

두 문장은 한 문장으로 이어진다. 첫째 식은 등식이 하나뿐인데 미지수가 둘이라는 문장이고, 둘째 식은 등식이 $q$개인데 미지수가 $p$개라는 문장이다. 부족한 등식을 채우는 것은 첫째에서 A4, 둘째에서 도구이며, 채운 등식이 검정되는 것은 채우고도 남을 때뿐이다.

Q3 · 차원¶

(1): 다섯 항 모두 [화폐]이고, $D$·$\pi$는 무차원이다. 단위를 $Y_d\to\kappa Y_d+\kappa_0$으로 바꾸면 — $\kappa$는 배율, $\kappa_0$은 이동이며 이 문장 안에서만 쓰는 글자다 — 모든 항이 $\kappa$배가 되고 $\kappa_0$은 차에서 소거된다. 분해는 아핀 변환에 공변한다. 식별집합의 폭 $y_U-y_L$도 $\kappa$배다. 무차원군은 $\delta_0/\Delta$ — 관측 차이 가운데 선택이 차지하는 비율 — 이며 예제에서 $60/94=0.64$, 나머지 $\tau_{\mathrm{ATT}}/\Delta=0.36$이다.

(2): $[g_j]=[z_j][y]$처럼 성분마다 단위가 다르다. 목적함수 $\bar g'W\bar g$가 무차원이려면 $[W_{jk}]=1/([g_j][g_k])$이어야 하고, 차원이 강제하는 것은 여기까지다 — $S^{-1}$($S=\Var(g)$)도 $\operatorname{diag}(1/\Var g_j)$도 이 조건을 만족하고, 그 가운데 $S^{-1}$을 고르는 이유는 효율성이다. 식별은 $W$와 무관하다 — $\bar g(\theta_0)=0$이면 어떤 $W$에서도 $\theta_0$이 최소점이므로, 가중은 추정의 문제이고 식별은 모집단의 문제다. $J_n$은 무차원이고 극한분포 $\chi^{2}_{q-p}$의 평균이 정수 $q-p$다 — W02의 차원 읽기로 정수는 단위가 없고, $M_G$의 대각 성분만 무차원인 것(2절 표)과 정합한다.

Q8 · 파라미터 극단¶

두 유형 모형을 선택 강도 $s$로 파라미터화한다.

근거 — $\Pr(D{=}1\mid H)=s$, $\Pr(D{=}1\mid L)=1-s$, 유형 각 $\tfrac12$이므로 베이즈로 $\Pr(H\mid D{=}1)=s$, $\Pr(H\mid D{=}0)=1-s$. (4)·(5)에 대입한다. $\tau^{H}=30$, $\tau^{L}=50$. 수치: $\Delta=180s-50$, $\tau_{\mathrm{ATT}}=50-20s$, $\delta_0=200s-100$. Figure 3이 세 직선과 식별집합의 띠를 그린다.

• $s=\tfrac12$(무작위 배정): $\delta_0=0$, $\Delta=\tau_{\mathrm{ATT}}=\tau_{\mathrm{ATE}}=40$. 실험의 세계 — 가정 A4’가 설계로 참이 된다.

• $s\to1$(완전 분류): $\delta_0=100$, $\tau_{\mathrm{ATT}}=30$, $\Delta=130$. 관측 차이가 효과의 4.3배다. ATT 자체도 움직인다 — 누가 처치받는가가 바뀌면 "처치집단의 효과"라는 질문의 대상이 바뀐다. $\beta_1=\Delta$는 $s$의 함수이지만 유형별 잠재임금과 효과 $\tau^{H},\tau^{L}$은 아니다 — 사영 계수는 체제와 함께 움직이고 구조 원시량은 남는다.

• $s<\tfrac12$(음의 선택 — 불리한 사람을 겨냥하는 프로그램): $\delta_0<0$, $\Delta<\tau_{\mathrm{ATT}}$. $s<5/18$이면 $\Delta<0$이고, $s=0$이면 $\Delta=-50<0<\tau_{\mathrm{ATT}}=50$. 효과가 양수인데 관측 차이는 음수다 — LaLonde (1986)의 비실험 행이 음수였던 구조가 이것이다.

• $\pi\to0$ 또는 1: (7)의 분자 $\Cov(Y,D)=\pi(1-\pi)\Delta$와 분모 $\Var(D)=\pi(1-\pi)$가 같은 속도로 0이 되므로 $\beta_1=\Delta$는 극한 직전까지 유한하고, 극한에서는 $0/0$으로 정의되지 않는다 — 발산이 아니라 미정의다. 한쪽 집단이 비어 A3의 겹침이 깨지고 질문 자체가 자료에 없다 — W07 Q8의 완전 공선성과 같은 자리다. 처치 인원이 적어 $\hat\beta_1$의 분산이 커지는 것은 추정의 문제이고, 모집단의 미정의와 다른 자리다.

• $y_U-y_L\to\infty$: 식별집합이 $\R$ — 자료가 아무것도 말하지 않는다. $y_U-y_L\to0$: 모든 것이 식별되지만 변동이 없어 물을 것도 없다.

• (2)에서 $q<p$·$q=p$·$q>p$: 답 없음·답만·답과 잣대. $q\to\infty$ — 조건부 모멘트 $\E[m_{t+1}R_{t+1}-1\mid\Fc_t]=0$, W14 (17)의 “모든 $W\in L^2(\Fc_t)$” — 이면 무한히 많은 모멘트를 쓸 수 있지만, 식별은 $\theta\mapsto\E[m_{t+1}(\theta)R_{t+1}\mid\Fc_t]$의 단사성에 달려 있다. 아래 Q11의 $\sigma_{cR}=0$이 그 반례다. W14 (17)은 시험 방향 $W$를 고르는 일을 추정의 문제로만 적고 지나갔다 — 어느 $W$라야 $\theta$가 정해지는가는 거기서 묻지 않은 질문이고, 여기서 받는다.

이 가정은 모형의 것인가 데이터의 것인가. $s$는 데이터에 없다 — 유형 $H$·$L$은 관측되지 않는다. $s=\tfrac12$이라는 주장은 설계(무작위 배정)이거나 가정이며, 어느 쪽이든 $(Y,D)$가 확인해 주지 않는다. 반면 $\pi$와 $\Delta$는 데이터의 것이다. $y_L$·$y_U$는 중간이다 — 임금이 음수일 수 없다는 것은 자료 밖의 지식이지만, 관측된 $Y$의 최솟값과 최댓값이 그 안에 있어야 한다는 것은 자료가 확인한다. 자료 밖에서 온 것만이 식별집합을 좁힌다.

Q11 · 한계 원리¶

어느 양과 어느 양이 균등해지는가. (1)에서 A4 아래 균등해지는 것은 관측되지 않는 처치집단의 반사실 평균과 관측되는 대조집단의 평균이다 — $\E[Y_0\mid D{=}1]=\E[Y\mid D{=}0]$. 상충은 가정의 세기와 식별집합의 폭 사이에 있다. 아무 가정 없이 $[-86,164]$, 단조 선택으로 $[-86,94]$, 평균독립으로 $\{94\}$다. (2)·(15)에서 균등해지는 것은 1계 조건 $G'W\bar g_n(\hat\theta)=0$ — $q$개 표본 모멘트의 $p$개 가중 결합이 정확히 0이 되고, $q>p$면 전부를 0으로 만들 수 없어 나머지 $q-p$개 방향에 잔차가 남는다.

W13 고리로 마무리한다. 오일러 방정식은 모멘트 조건이다.

근거 — W13 (2)에 CRRA $m_{t+1}=\beta\,(c_{t+1}/c_t)^{-\gamma}$를 넣은 것이다. W13은 소비성장 배수를 $g$로 썼지만 이 회차에서 $g$는 모멘트 함수이므로 비를 그대로 적는다. $(\ln(c_{t+1}/c_t),\ln R_{t+1})$은 결합정규, $\ln(c_{t+1}/c_t)\sim N(\mu_c,\sigma_c^{2})$, $\ln R_{t+1}\sim N(\mu_R,\sigma_R^{2})$, $\Cov(\ln(c_{t+1}/c_t),\ln R_{t+1})=\sigma_{cR}$. 로그정규 모멘트 $\E[e^{aZ}]=e^{a\mu+a^{2}\sigma^{2}/2}$ — W13 (18)과 같은 계산이며, 거기의 $R^f$가 이 책의 표준 표기로 $R_f$다. 여기서 $\beta$는 할인인자, $\gamma$는 상대적 위험회피도(W13)다 — 3절의 $\beta_1$·3부의 꼬리지수와 다른 뜻이다. 두 식을 빼면 $\gamma$의 1차식이 되므로 $\sigma_{cR}\ne0$이면 유일해이고, 그 뒤 $\beta$가 정해진다. 수치: $\beta=0.98$, $\gamma=2$, $\mu_c=\sigma_c=0.02$, $\sigma_R=0.16$, 상관 0.5이면 $\sigma_{cR}=0.0016$, $\ln R_f=0.0594$(W13의 값), $\mu_R=0.0498$, 로그 프리미엄 $\mu_R+\tfrac12\sigma_R^{2}-\ln R_f=0.0032=\gamma\sigma_{cR}$, $\gamma=2$.

읽기. 모멘트 하나($q=1$, 무위험 자산만)면 $(\gamma,\ln\beta)$ 평면의 포물선 하나가 식별집합이다 — W13 (18)이 $(\beta,\gamma)$에서 $R_f$를 주던 식이 거꾸로 읽히면 $R_f$에서 곡선을 준다. 둘($q=p=2$)이면 점이다. 그러나 $\sigma_{cR}=0$이면 두 포물선이 평행해 그 차가 상수 $\ln R_f-\mu_R-\tfrac12\sigma_R^{2}$가 된다. 그 상수가 0이 아니면(예시값 -0.0032) 두 식을 함께 푸는 $\theta$가 없다 — A5의 $\theta_0$이 없고 모형이 기각된다. 0이면 두 곡선이 겹쳐 둘째 모멘트가 $\gamma$에 대해 아무것도 더하지 않는다. 어느 쪽이든 개수 조건은 맞고 계수 조건이 깨진다 — Lemma 2의 $G$의 둘째 열이 첫째 열의 상수배다. 위험 프리미엄을 소비와의 공분산으로 나눈 것이 $\gamma$를 식별한다. W13 4절 Q8에서 큰 $\gamma$가 필요했던 계산이 여기서는 "식별된 $\gamma$가 크다"로 읽힌다 — 다만 그 회차의 샤프비율 0.4와 이 회차의 로그 프리미엄 0.32%는 다른 설정이다. Figure 4가 두 곡선과 평행한 경우를 나란히 놓는다.

5. 학부와 대학원의 간극¶

멈추는 줄은 LaLonde (1986)의 표 — 실험 대조집단 행과 여러 비교집단 행들 — 이다. 학부 읽기는 각 행의 추정량이 $\beta_1$에 일치추정량이라는 것까지 안다. 그런데 행마다 다른 $\beta_1$을 향해 일치하고 있고, 그중 어느 것이 $\tau_{\mathrm{ATT}}$인지는 표본이 알려 주지 않는다. 학부 읽기는 "추정량이 일치한다"에서 멈추고 "무엇에 일치하는가"를 묻지 않는다. 표의 각 행을 (1)로 읽으면 비교집단을 바꾸는 것은 $\E[Y\mid D{=}0]$을 바꾸는 일이고, 첫째 항은 고정된 채 둘째 항만 행마다 달라진다 — 실험 행은 둘째 항이 설계로 0인 행이다. 같은 자리에서 Hansen & Singleton (1982)의 $\chi^{2}$ 통계량 — 과대식별 제약의 검정 — 도 읽히지 않는다. 몇 개가 남는지 세어 본 적이 없기 때문이다. Heckman (1979)이 선택을 명시적 모형으로 다루는 길을 연 것은 이 둘째 항을 0으로 가정하는 대신 그 항 자체를 모형화하는 길이고, 그 모형 역시 자료 밖에서 들여온 가정 위에 선다.

대학원 읽기는 추정 이전에 두 번 센다. 관측 분포가 주는 식이 몇 개, 질문이 걸린 미지수가 몇 개. (11)에서 $2<3$이면 가정 하나가 필요하고, 그 가정이 채우는 식은 검정되지 않는다는 것까지 (12)의 $\Pi_{A'}c\ne c$ 한 줄로 본다. 식별집합 $[-86,164]$가 정직한 답이고, $\{94\}$는 가정 A4의 값이며, 둘 중 어느 쪽도 진짜 34를 집어 주지 않는다는 것을 3절의 표에서 읽는다 — 구간은 34를 담지만 가리키지 못하고, 점으로 좁힌 94는 34가 아니다 — Manski (2003)이 신뢰성 감소의 법칙(law of decreasing credibility)이라 부른 상충이다. 강한 가정일수록 결론은 좁고 믿기 어렵다. 어느 가정을 들여올지는 통계가 아니라 경제학이 정하며, 그 가정의 값이 어디까지 검정되는지는 개수가 정한다.

구조 모형과 축약형의 다툼이 여기서 보인다. 양쪽은 $\phi(\mathcal{P})$ — 데이터가 보이는 것 — 에 대해서는 다투지 않는다. 다투는 것은 $\mathcal{P}$다. 구조 모형은 허용 분포를 좁혀 $\Theta_I$를 점으로 만들고 $q-p$개의 검정 가능한 제약을 얻지만, 그 좁힘이 틀리면 점이 틀린다. 축약형은 사영 계수 $\beta_1$처럼 언제나 식별되는 양에 머물지만, 그 양이 정책 아래 불변이라는 보장이 없다. Lucas (1976)의 비판은 4절 (16)이 보인 것 — 사영 계수 $\beta_1=180s-50$은 누가 처치받는가($s$)가 바뀌면 바뀌지만 $\tau^{H}$·$\tau^{L}$·$y_d^{H}$·$y_d^{L}$은 바뀌지 않는다 — 을 정책 개입 일반에 대해 말한 것이고, Sims (1980)의 "믿기 어려운 식별 제약"은 계수 조건을 채우기 위해 들여온 0들이 어디서 왔느냐는 물음이며, Koopmans (1949)의 계수 조건이 그 둘 사이의 원점이다. 이 회차가 갈라놓는 것은 "추정이 잘 됐는가"와 "질문이 자료에 있는가"이고, 후자는 자료를 더 모아도 바뀌지 않는다.

6. 훈련¶

냉시동 인출(40분) — 1주 전 · 3주 전 · 8주 전 각 1항목. 자료 없이 백지에서 재구성한다. 막힌 항목은 다음 주 “1주 전” 자리에 다시 올린다.

• 1주 전 — W21 · Leontief 역행렬 → 영향력 벡터 → 감쇠율. 역행렬의 급수 전개와 영향력 벡터의 노름이 $n$에 따라 줄어드는 속도까지.

• 3주 전 — W19 · Gibrat + 반사벽 → Pareto · Simon 지수 $\gamma=2+p/(1-p)$. 반사벽이 없으면 로그정규로 남는 이유까지.

• 8주 전 — W14 · $\E[Y\mid\Fc]$ = $L^2$ 직교사영 · 타워 성질. 직교조건에 지표함수를 넣어 유한 분할의 칸별 평균이 나오는 줄까지 — 이번 회차의 (3)·(7)이 그 줄에서 온다.

노트북(40분) — w22-lab.ipynb. 코드를 쓰기 전에 다음 셋에 답한다. 답은 3절의 표와 (15)에서 전부 읽어 낼 수 있어야 한다.

1. 두 유형 모형($s=0.8$)에서 $n=10^{2},10^{3},10^{4},10^{5}$로 늘릴 때 표본 평균 차이 $\hat\Delta$는 34로 가는가 94로 가는가. 정규방정식으로 직접 푼 더미 회귀 기울기 $\hat\beta_1$은 $\hat\Delta$와 모든 표본에서 정확히 같은가. — 예측: 94로 간다; 소수점 끝자리까지 같다 — 대수 항등식이며 W07 (18)이다.

2. 시뮬레이션의 잠재 $Y_0$을 신의 시점에서 써서 잰 $\hat\tau_{\mathrm{ATT}}$는 34로 가는가. $[150,400]$으로 계산한 표본 Manski 경계의 폭은 $n$에 따라 줄어드는가. — 예측: 34로 간다; 폭은 250에서 움직이지 않고 양끝만 -86·164로 수렴한다.

3. 선형 IV $p=1$, $q=2$, $n=500$, 2,000회 반복, 2단계 GMM. 바른 모형에서 $J_n>3.84$인 비율과 $J_n$의 평균은 얼마인가. 잘못된 모형($u$에 $0.3z_2$를 섞음)에서 그 비율은, $n$을 4배로 하면 $J_n$ 평균은 몇 배가 되는가. $z_2$를 버려 $q=p=1$로 하면 $J_n$은 얼마인가. — 예측: 약 0.05와 약 1 — 극한분포 $\chi^{2}_{1}$의 평균 $q-p$이며 시뮬레이션 관찰값으로만 확인한다; 1.00과 약 4배 — $J_n$은 $n$에 비례한다; 항등적으로 0.

계산은 패키지 호출 없이 한다. 유형을 반반으로 뽑고 $D$를 $\Pr(D{=}1\mid u)$로, $(Y_0,Y_1)$을 유형별 상수로 만들어 $Y=DY_1+(1-D)Y_0$을 직접 쌓는다. $\hat\beta_1$은 $X=[\mathbf 1\;D]$로 $X'X$, $X'y$를 만들어 푼다. 선형 IV는 $z_1,z_2,v,e$를 표준정규로 뽑아 $x=z_1+0.5z_2+v$, $u=0.5v+e$(바른 모형) 또는 $u=0.5v+0.3z_2+e$(틀린 모형), $y=1.5x+u$로 두고, 1단계 $W=I$, 2단계 $W=\hat S^{-1}$로 $\hat\theta$와 $J_n$을 식 그대로 계산한다. 틀린 모형의 $W=I$ 유사참값은 $a=(1,0.5)'$, $b=(1.5,1.05)'$에서 $a'b/a'a=1.62$이고 두 비는 1.5·2.1이다. 대조 표는 예측 | 결과 | 어긋남 | 원인 4열이다.

7. 마치며…¶

0절의 식을 다시 본다.

지금은 이렇게 읽힌다. 좌변의 두 기댓값은 관측 분포의 숫자이고, 우변의 $\mathbb{E}[Y_0\mid D{=}1]$은 어떤 표본에도 없는 잠재 분포의 숫자다 — 같은 $\mathbb{E}$가 두 종류다. 다섯 항은 모두 [화폐]이고 분해는 단위에 공변하며, 관측 차이 가운데 선택의 몫 $\delta_0/\Delta$가 무차원 지표다. 좌변은 더미의 회귀계수, 곧 사영 계수이므로 언제나 식별되고, 우변의 두 항은 관측 사상의 핵 방향으로 서로 상쇄되는 성분을 가져 합만 식별된다. 그 핵을 메우는 것이 "반사실을 처치 정보에 사영하면 상수"라는 가정 A4이고, 그 가정은 식을 하나 채우되 남기지 않으므로 검정되지 않는다. 모멘트가 모수보다 많을 때만 남는 것이 생기고, 남는 개수 $q-p$가 검정 통계량 극한분포의 평균이다. 예제의 94는 34와 60으로 갈리지만, 자료가 보는 것은 94 하나이고 띠의 폭 250은 표본이 커져도 줄지 않는다.

더하고 빼기가 왜 식별을 바꾸지 못하는지 보이지 않으면 3절의 (9)로, 개수가 안 세어지면 (11)로 돌아간다.

다음 회차 W23 · 모형을 캐리커처로 읽기는 식별 가정을 데이터의 결함이 아니라 저자가 분리하려 한 인과 채널의 선택으로 읽고, 그 선택을 직접 한 번 한다.

이어지는 자료 — 식별 문헌 · 이 회차는 4년 계획의 실증 축으로 가는 분기점이다 · Manski, Identification Problems in the Social Sciences 1–2장 Manski, 1995 · Angrist & Pischke, Mostly Harmless Econometrics 2장 — 선택편의와 효과 이질성의 분해 Angrist & Pischke, 2009 · Lewbel, The Identification Zoo — 식별이라는 낱말의 여러 뜻 Lewbel, 2019 · Imbens & Angrist — 도구가 있을 때 무엇의 효과가 식별되는가(이 회차 밖) Imbens & Angrist, 1994