W21 · 집계 — 미시 충격은 언제 거시 변동이 되는가

0. 이번 회차의 식¶

지금 읽히지 않아도 된다. 7절에서 같은 식을 다시 본다.

1. 도입¶

기업이 $n$개면 개별 충격은 $1/\sqrt{n}$으로 씻겨 나가야 한다. 그런데 씻겨 나가지 않는다. 무엇이 대수의 법칙을 막는가.

대수의 법칙에는 전제가 둘 있다. 더해지는 항의 가중치가 고르다는 것, 그리고 고르지 않다면 그 가중치를 만드는 규모의 2차 모멘트가 유한하다는 것이다. 경제는 둘 다 어긴다. 부문의 무게는 고르지 않고, 무게를 만드는 규모의 분포는 꼬리가 두껍다. 첫째 전제가 깨지는 길은 둘이다 — 가계가 어느 부문의 재화를 더 원하는 경우와, 어느 부문이 다른 부문 모두의 공급자인 경우다. 둘째 전제는 그 규모들의 분포가 어떤 꼬리를 갖는가로 정해진다. 학부 거시가 "부문 충격은 경기변동의 원인이 아니다"라고 가르치는 근거는 Lucas (1977)의 분산 논법이다 — 부문이 많으면 서로 상쇄된다. 이 논법은 두 전제 위에 서 있고, 전제를 식으로 적어 본 적이 없으면 어느 쪽이 깨졌는지 말할 수 없다.

Acemoglu et al. (2012)의 첫 명제는 로그 GDP를 $y=v'\varepsilon$으로 쓰고, $v=\tfrac{\alpha}{n}[I-(1-\alpha)W']^{-1}\mathbf 1$을 영향력 벡터(influence vector)라 부른다. 투입산출 수업을 들었으면 "Leontief 역행렬이다"까지는 읽힌다. 그 다음 세 줄에서 멈춘다. 역행렬이 왜 전치되어 나오는가. 왜 합이 아니라 2-노름 $\lVert v\rVert_2$를 보는가. 그리고 논문 중반의 멱법칙 결과 — 출차수 분포의 꼬리지수가 $(1,2)$에 있으면 $\lVert v\rVert_2$가 $n^{-1/2}$보다 느리게 준다 — 에서 지수 안의 $1/\zeta$가 어디서 왔는가. 세 답이 모두 0절의 두 줄에 있다. 세 줄을 읽지 못하면 논문의 나머지 — 미국 투입산출표에서 출차수 분포의 꼬리를 재고, 그 꼬리지수로 감쇠율을 예측하는 부분 — 는 숫자의 나열로 남는다.

실무의 장면도 같다. 포트폴리오 수업의 "종목 수가 크면 고유 위험은 사라진다"는 균등가중일 때의 문장이다. 시가총액 가중 지수의 고유 분산은 $\sigma^2\lVert w\rVert_2^2$이고, 시가총액이 Zipf에 가까우면 $\lVert w\rVert_2^2$는 $1/n$보다 훨씬 크다. 0절의 (2)는 종목 수 대신 부문 수로 같은 말을 한다. 2011년 3월 동일본 지진 뒤 상류 부품 공급자 몇 곳의 중단이 자동차 생산을 멈춘 일은 널리 알려진 장면이다. Carvalho et al. (2021)은 일본 기업 간 거래 자료로 그 전파를 공급망 거리별로 추적했다 — "기업 수로 세면 $1/n$, 영향력으로 재면 그렇지 않다"는 문장의 실물이다.

이 회차가 메우는 것은 "평균은 $1/\sqrt n$으로 수렴한다"에 숨은 두 전제 — 가중치가 고르고 꼬리가 얇다 — 를 식으로 드러내고, 어느 하나가 깨질 때 지수가 얼마가 되는지를 유도하는 일이다.

2. 기호 대장¶

같은 글자, 다른 이름. $\lambda_i$는 W04의 잠재가격(shadow price) 그대로다 — 자원제약을 1단위 완화할 때 후생이 늘어나는 양이며, (2)의 읽기를 재화 $i$의 자원제약에 적용한 것이다. W10의 수렴속도 $\lambda$ [시간$^{-1}$], W17의 지수분포 모수 $\lambda$와는 차원부터 다르다. 문헌에는 Domar 가중치를 $\lambda_i$로 쓰는 논문이 많다 — 이 책의 $v_i$다 — 그 논문을 읽을 때는 승수와 가중치를 구분한다. $\alpha$는 여기서 노동 분배율이고 논문(Acemoglu–Carvalho–Ozdaglar–Tahbaz-Salehi)의 용법이다. W02·W10의 자본분배율도, W18의 VaR 신뢰수준도 아니다. 꼬리지수는 이 책 규약대로 생존함수 꼬리지수 $\zeta$다 — Gabaix는 $\zeta$, 위 논문은 $\beta$로 쓴다. W18의 모멘트 존재 조건은 밀도 꼬리지수 $\gamma$로 적혀 있으므로 $\gamma=\zeta+1$로 옮긴다. $W$는 행렬이다. W04의 소득 $w$, W09의 위너 과정 $W_t$, W13의 부 $W_t$, W14의 시험 방향 $W$는 이 회차에 없다. $L$은 Leontief 역행렬(Leontief, 1936)이지 노동이 아니다 — 노동은 $\ell$이다. $b$는 선호 가중치이지 W07의 계수 후보 $b$가 아니다. $\pi$는 비중 벡터이지 이윤이 아니다. $S$·$S_{\min}$은 W19의 규모·반사벽 그대로다. $n$은 부문 수이며 W10의 인구증가율, W18의 모멘트 차수와 다른 뜻이다. $D_i$는 Domar 가중치이며 W03의 듀레이션 $D$와 다른 글자다. 노름 $\lVert\cdot\rVert_2$는 W07의 $\lVert\cdot\rVert$에 첨자 2를 붙인 것이다 — 같은 회차에 $\lVert\cdot\rVert_1$이 있어 첨자를 단다. $\kappa_i$((5)의 상수)는 이 회차 전용 글자다. $\sigma$는 표준편차이며 W11의 상대적 위험회피도가 아니다.

변수·파라미터·두 층의 무작위성. $W,\alpha,b,n,\zeta$는 구조(파라미터)다. $\varepsilon$은 매기 새로 뽑히는 입력이고, $\lambda,x,c,\ell$은 내생변수다. $L$과 $v$는 구조만의 함수이고 $\varepsilon$에 의존하지 않는다 — 로그선형이라 영향력이 상수라는 것이 이 모형의 전부다. 무작위성은 두 층이다. 정리 (iii)의 $S_i$는 구조를 만드는 무작위 추출(한 번 뽑고 고정)이고, $\varepsilon$은 그 위에서 매기 뽑힌다. $\Var(y)$는 구조를 조건으로 한 분산이고, (2)의 $\sim$은 구조 추출에 대한 진술이다. 두 층을 섞으면 "$\sigma_{\mathrm{agg}}$가 확률변수인가"라는 질문에 답을 못 한다. 0절과 논문의 정규화 차이도 여기서 밝힌다. 논문은 충격을 $z_i^{\alpha}$로 넣어 $v'\mathbf 1=1$이 되게 한다. 이 책은 Hicks 중립(Hicks-neutral) TFP 충격 $z_i$를 써서 $v$가 Domar 가중치 그 자체(합 $1/\alpha$)가 되게 한다. 두 벡터는 상수배 $\alpha$만큼 다르고 감쇠율은 같다. 논문의 $v$와 이 책의 $v$를 log-log 그림에 함께 그리면 세로로 $\alpha$배만큼 평행이동한 같은 선이다.

첨자의 방향. $w_{ij}$는 행 $i$가 구매자, 열 $j$가 공급자다. 그래서 $W\log\lambda$는 "부문 $i$가 사는 공급자들의 가격 평균"이고(비용이 아래로 흐른다), $W'D$는 "부문 $i$의 고객들의 매출 중 $i$의 몫"이다(영향력이 위로 흐른다). 열합 $d_j$가 큰 부문이 허브다. 논문에 따라 전치된 규약을 쓰므로 "어느 쪽 합이 1인가"로 판별한다. 전치는 프라임 $W'$ 하나로 통일한다. $t$가 (15)에 나오는데 시간이 아니라 최댓값의 척도 변수다.

3. 유도¶

가정을 먼저 적는다.

• A1 (기술) — 부문 $i=1,\dots,n$. 생산함수는 $f_i(\ell_i,x_{i\cdot})=z_i\,\ell_i^{\alpha}\prod_j x_{ij}^{(1-\alpha)w_{ij}}$, $\alpha\in(0,1]$, $w_{ij}\ge 0$, $\sum_j w_{ij}=1$이다. 지수 합이 $\alpha+(1-\alpha)=1$이므로 규모수익 불변이다. $w_{ij}=0$이면 투입 $x_{ij}$는 등장하지 않고 $0\log 0=0$으로 읽는다. $z_i=e^{\varepsilon_i}$는 Hicks 중립 TFP다. 자본은 없다 — 본원요소는 노동뿐이다.

• A2 (선호·부존) — 대표 가계 $u(c)=\sum_i b_i\log c_i$, $b\in\R^n_{++}$, $\mathbf 1'b=1$. 노동 공급은 비탄력적으로 1이다.

• A3 (해와 KKT) — 계획자 문제 (3)은 내부해(모든 $c_i,\ell_i>0$, $w_{ij}>0$이면 $x_{ij}>0$)를 가지며, KKT 조건이 필요충분이다. 목적함수가 오목이고 제약함수가 오목이며 Slater 조건이 성립하므로 이것은 정리이지만(Sundaram, 1996), 이 회차는 W04 Lemma 1처럼 KKT를 쓰는 회차이지 증명하는 회차가 아니다. Lemma 1은 아핀 제약용이므로 여기서는 "오목 계획판"으로 한 단계 넓혔다. 경쟁균형이 이 해와 일치한다는 것(후생경제학 제1정리)은 한 문장으로 인용만 한다(Long & Plosser, 1983).

• A4 (충격) — $\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n$은 서로 독립, 평균 0, 분산 $\sigma^2<\infty$다. 정규성은 필요 없다. 구조 $(W,b)$와 독립이다.

• A5 (꼬리; 정리 (iii)에서만) — $S_1,\dots,S_n$은 iid Pareto다: $\Pr(S>s)=(s/S_{\min})^{-\zeta}$, $s\ge S_{\min}$. 규모 비중은 $\pi_i=S_i/\sum_jS_j$다. 구조는 $b=\pi$(규모 채널) 또는 $W=\mathbf 1\pi'$(공급자 몫 채널)로 들어온다. $S$는 한 번 뽑아 고정한다.

다섯 가정이 어느 줄에서 쓰이는지를 미리 적어 둔다. A1·A2는 라그랑지안을 쓰는 자리와 1계 조건을 Cobb–Douglas 몫 조건으로 바꾸는 자리에서 쓰인다. A3은 1계 조건을 등식으로 쓰고 상보여유로 제약이 묶임을 끌어내는 자리에서 쓰인다. A4는 분산 한 줄에서만 쓰인다. A5는 정리 (iii)의 다섯 줄에서만 쓰인다 — 앞의 열한 줄은 꼬리와 무관하다. 어느 가정을 빼면 어느 줄이 무너지는지가 6절 채점의 절반이다.

(i)의 둘째 문장이 Hulten 정리(Hulten, 1978)다 — 이 Cobb–Douglas 모형에서는 1차 근사가 아니라 로그에서 정확하다. (ii)의 "합은 언제나 $1/\alpha$"가 "정보는 합이 아니라 노름에 있다"는 문장의 근거다. (iii)에서 $\asymp_p$를 $\to$로 바꿔 쓰면 틀린다 — $1<\zeta<2$의 극한은 비퇴화 확률변수다.

증명은 네 토막이다. 단계 1–4는 W04의 라그랑지안을 $n$개 부문에 옮겨 가격의 고정점을 얻는 일이다. 단계 5–8은 그 고정점을 Leontief 역행렬로 풀고, 같은 행렬을 전치해 매출 쪽에서 다시 읽는 일이며, 여기서 영향력 벡터가 태어난다. 단계 9–11은 노름의 대수다. 단계 12–16은 Pareto 꼬리에서 최댓값의 척도를 읽어 지수 $1/\zeta$를 얻는다. 각 단계 아래 근거 줄이 6절 채점표와 하나씩 대응한다.

번역. 정리 (i): 한 부문의 생산성이 1% 오르면 경제 전체의 실질 생산은 그 부문의 매출이 GDP에서 차지하는 비중만큼 오른다 — 그 부문이 누구에게 팔고 그 고객이 다시 누구에게 파는지가 이미 매출 안에 들어 있으므로, 전파를 따로 셀 필요가 없다. 정리 (ii): 집계 변동성은 개별 변동성에 매출 비중 벡터의 길이를 곱한 것이고, 그 길이는 비중이 고를 때만 부문 수의 제곱근에 반비례해 줄며, 어떤 구조에서도 부문 하나짜리 경제의 길이 — 총산출을 GDP로 나눈 배수 — 를 넘지 못한다. 정리 (iii): 큰 부문이 멱법칙으로 존재하면 길이는 가장 큰 부문 하나가 합을 따라잡지 못하는 정도만큼만 줄어들고, 꼬리가 충분히 얇으면 대수의 법칙이 돌아온다. 보조 문장 하나 — 비중의 합은 언제나 총산출을 GDP로 나눈 배수이므로, 정보는 합이 아니라 길이에 있다.

증명의 앞 열한 줄에서 W04의 $\lambda$가 한 일을 다시 본다. (2)는 $\lambda$를 "제약을 1단위 완화할 때 가치함수가 늘어나는 양"으로 읽었다. 그 읽기를 재화 $i$의 자원제약에 적용하면 $\lambda_i$는 재화 $i$ 한 단위의 사회적 한계가치, 곧 가격이다. 그 가격들이 만족하는 고정점이 (5)이고, W04에서 답을 구하고 나면 버렸던 승수가 여기서는 답 그 자체다. 같은 승수에 산출을 곱한 $\lambda_ix_i$가 매출이고, 매출의 고정점 (9)가 가격의 고정점을 전치한 것이라는 점이 정리 (i)의 전부다.

수치로 확인한다. 5부문 예제를 둔다 — $\alpha=\tfrac12$, $b=\tfrac15\mathbf 1$, 행은 구매자, 열은 공급자다.

행합은 모두 1이고 열합은 $d=(1.9,\,0.8,\,0.8,\,0.7,\,0.8)$이다. 에너지가 허브다. (7)의 급수를 $k=0,1$에서 끊은 1차 근사 $\tfrac1n(1+(1-\alpha)d_i)$와 정확한 $v=L'b$를 나란히 놓는다.

합은 정확히 $1/\alpha=2$다. 1차 근사는 합이 1.5에서 멈춘다 — 급수의 $k\ge 2$ 항, 곧 "고객의 고객"부터의 몫을 빠뜨렸기 때문이다. 에너지에서 그 차이가 가장 크다. 에너지는 소재·물류의 주 공급자이고 소재는 제조의 주 공급자이므로, 제조의 최종수요가 두 바퀴를 돌아 에너지에 닿는 몫이 크다. $\lVert v\rVert_2=0.917$이고 하한 $1/(\alpha\sqrt n)=0.894$보다 크다. 허핀달 $\lVert v/\mathbf 1'v\rVert_2^2=\alpha^2\lVert v\rVert_2^2=0.210$, 유효 부문 수는 4.75다 — 다섯 부문이 균등한 부문 4.75개(넷하고 4분의 3)와 같은 다변화 효과를 낸다. 노이만 부분합의 최대 오차는 $K=0,\dots,8$에서 $0.380,\,0.190,\,0.095,\,0.048,\,0.024,\,0.012,\,0.006,\,0.003,\,0.0015$로 매 회차 약 $\tfrac12$배(극한에서 $1-\alpha$)로 준다. 정확히 등식은 아니다 — 오차 벡터가 $e^{(K+1)}=(1-\alpha)W'e^{(K)}$로 사상되므로 max-노름의 비는 $0.5004,\,0.5008,\,0.5011,\,0.5002,\dots$이고, Perron 방향으로 수렴한 뒤에야 극한적으로 $1-\alpha$가 된다. Figure 1이 이 계산이다.

두 번째 확인은 계수 1 족 (13)이다. $\alpha=\tfrac12$, $b$ 균등이므로 $\lVert v\rVert_2^2=3/n+\lVert\pi\rVert_2^2$다. 순위–규모 벡터는 $S_i=i^{-1/\zeta}$(Pareto 분위수의 확정판)로 둔다.

표의 네 열은 같은 $n$에서 같은 합($1/\alpha=2$)을 가진 벡터들이다 — 다른 것은 길이뿐이다. $10^3\to10^6$의 log-log 기울기는 균등 -0.50, $\zeta=1.5$가 약 -0.37($\lVert\pi\rVert_2$만 보면 -0.34, 극한 $-1/3$), $\zeta=1.1$이 약 -0.16(극한 -0.09 — 수렴이 느리다), 별은 0이다. $n=10^6$에서 균등 대비 3.3배 · 24배 · 500배다. $\zeta=1.5$의 $n^{1/3}\lVert\pi\rVert_2$는 $n=10^2,\dots,10^6$에서 $0.694,\,0.659,\,0.645,\,0.638,\,0.635$로 위에서 단조 감소하고, 극한은 $\tfrac{\zeta-1}{\zeta}\sqrt{\sum_{i\ge1}i^{-2/\zeta}}\approx0.633$이다 — $n=10^6$의 0.635는 아직 유한 $n$의 값이다. $\zeta=3$이면 (18)로 $\sqrt n\lVert\pi\rVert_2\to2/\sqrt3=1.155$다. Figure 2가 이 표를 log-log로 그린 것이다.

세 번째 확인은 정리 (iii)의 $\asymp_p$가 $\to$가 아니라는 것이다. iid Pareto를 역함수법 $S=U^{-1/\zeta}$로 300회 뽑아($S_{\min}=1$, 시드 21) $n^{1-1/\zeta}\lVert\pi\rVert_2$의 중앙값과 10–90% 분위를 본다. $\zeta=1.5$에서 중앙값은 $n=10^2,10^3,10^4,10^5$에서 약 $0.79,\,0.74,\,0.74,\,0.71$이고 분위비(90%/10%)는 약 $2.4,\,2.6,\,3.1,\,3.2$다 — 띠가 줄지 않는다. $\zeta=3$에서 $\sqrt n\lVert\pi\rVert_2$의 중앙값은 약 $1.10,\,1.13,\,1.14,\,1.15$이고 분위비는 약 $1.12,\,1.09,\,1.05,\,1.03$이다 — 1.155로 조인다. Figure 3이 두 세계를 나란히 놓는다.

(14)의 절단 적분이 하는 일을 한 번 더 그린다. Figure 4에서 $\zeta=1.5$의 절단 2차 모멘트는 절단점 $u$의 $2-\zeta=0.5$ 제곱으로 끝없이 자라고, $\zeta=3$은 $\zeta S_{\min}^2/(\zeta-2)=3$에서 포화한다. (17)의 절단점 $u_n=S_{\min}(Kn)^{1/\zeta}$을 $u$에 넣으면 $n\cdot u_n^{2-\zeta}\propto n^{2/\zeta}$ — 합의 척도 $n^2$보다 느리게 자라는 정도가 $n^{-2(1-1/\zeta)}$이고, 그 제곱근이 (2)의 지수다.

4. 읽기¶

층 L4·L2이므로 Q1·Q2·Q3에 Q5·Q6·Q7·Q8·Q9·Q11을 더한다. (1)에는 Q1·Q2·Q3·Q11을, (2)에는 Q2·Q5·Q6·Q7·Q8·Q9를 적용한다.

Q1 · 기호¶

2절 표가 답이다. 한 줄만 덧붙인다. (1)의 $L$은 $n\times n$ 사상, $v$는 $\R^n_{++}$의 벡터, (2)의 양변은 $\R_{+}$의 스칼라 — 형상이 맞는다. $L$의 원소 $L_{ij}$는 부문 $j$의 비용 1%가 부문 $i$의 가격에 미치는 %이고, $L'\mathbf 1/n$의 $j$번째 성분은 부문 $j$가 모든 부문의 최종수요 $1/n$씩을 직접·간접으로 얼마나 공급하는가다.

Q2 · 한 문장 번역¶

(1): “역행렬은 한 부문의 비용 변화가 공급망을 몇 바퀴든 돌아 모든 부문 가격에 도달한 총량이고, 그것을 뒤집어 고객 쪽에서 더한 영향력 벡터는 각 부문의 매출이 GDP에서 차지하는 비중이다.” 둘째 반쪽의 합이 $1/\alpha$인 것은 "총산출을 GDP로 나눈 배수 — 중간재가 겹쳐 세어지는 정도"다. (2): “집계 변동성은 개별 변동성 곱하기 비중 벡터의 길이이고, 비중이 멱법칙이면 그 길이는 부문 수의 ‘1에서 꼬리지수의 역수를 뺀 만큼’ 제곱에 반비례해 준다 — 부문 수의 제곱근에 반비례하는 것보다 느리게.” 등가 재작성 하나 — $v=b+(1-\alpha)W'v$, 고정점 형이다. “영향력 = 자기 최종수요 몫 + 고객들이 자기 영향력 중 넘겨주는 몫.” 덩어리 짓기 하나 — $\lVert v\rVert_2^2$ 전체는 허핀달 지수의 $1/\alpha^2$배이고($\lVert v\rVert_2^2=\alpha^{-2}\lVert v/\mathbf 1'v\rVert_2^2$ — 2절의 상수배 $\alpha$가 여기서 제곱으로 나타난다), 정규화한 $\lVert v/\mathbf 1'v\rVert_2^2$의 역수가 유효 부문 수다.

Q3 · 차원¶

(1)·(2)의 모든 기호가 무차원이다. $w_{ij}$는 지출 몫, $\alpha$는 분배율, $b$는 선호 몫, $\varepsilon$은 로그, $n$은 개수다. $v$가 무차원인 이유는 두 가치 흐름의 비 $\lambda_ix_i/(\lambda_0\cdot 1)$ — [효용]/[효용] — 이기 때문이다(W02의 차원 검사). 무차원군은 $\sigma_{\mathrm{agg}}/\sigma=\lVert v\rVert_2=\Phi(n;\alpha,W,b)$ 하나이며, (2)는 이 무차원 함수의 $n$에 대한 멱법칙이다. 지수 $-1/2$(꼬리가 얇을 때)는 파라미터에 의존하지 않는 보편 지수 — 대수의 법칙이 준 것 — 이고, 지수 $-(1-1/\zeta)$는 미시 파라미터 $\zeta$에 의존하는 지수다. 둘 다 차원표 밖이며, W19 Definition 1의 분류로는 둘 다 차원해석이 정하지 못하는 지수다. $L$이 무차원이라는 것은 $W$의 행·열을 어떤 단위로 재도(달러, 원, 수량) 몫이면 같다는 뜻이다. W02의 세기 절차로 확인하면, 양은 $\sigma_{\mathrm{agg}},\sigma,n,\alpha,W,b$이고 차원을 가진 것은 하나도 없으므로 파이 정리는 "모든 양이 그대로 무차원군"이라고 답한다 — 차원해석이 줄여 줄 것이 없고, 지수는 차원표가 아니라 3절의 확률 극한이 정한다. W19에 거는 고리는 정의가 아니라 유비다 — $\sqrt n$ 사전척도로 조이면 상수가 되는 $\zeta>2$는 완전상사와 닮은 꼴이지만 그 $\sqrt n$은 차원이 아니라 정리 (iii)가 준 것이고, 지수가 $\zeta$를 따라 움직이는 $1<\zeta<2$는 불완전상사와 닮은 꼴이다. 차원이 없는 식이라서 이 회차의 모든 그림은 축에 단위가 없다.

Q5·Q7 · 극한과 탄력성¶

근거 — (2)·(18)의 로그 미분. 확률적 동일 차수 안에서 상수는 미분에 남지 않는다.

$n\to\infty$에서 (13)의 두 항 중 어느 것이 이기는가가 답의 요지다 — $\lVert\pi\rVert_2^2\asymp_p n^{-2(1-1/\zeta)}$ 대 $1/n$. $\zeta<2$이면 $2(1-1/\zeta)<1$이라 전자가 이긴다. 탄력성은 Figure 2·Figure 3의 log-log 기울기이고, 실증은 이 기울기를 자료에서 읽는 일이다. $\zeta\to 1^+$에서 탄력성은 0으로 간다 — 부문을 아무리 늘려도 변동성이 줄지 않는 세계다. $n\to 1$이면 $\lVert v\rVert_2=1/\alpha$, 부문 하나가 곧 경제다. $\zeta=1$(Zipf)은 정리 밖이다. $\E S=\infty$라 (16)의 대수의 법칙이 깨지고 $\lVert\pi\rVert_2\asymp 1/\ln n$이 된다 — Gabaix (2011)의 결과이며 여기서 증명하지 않는다.

Q6 · 불변성 — 2배, +Δ¶

• $n\to 2n$($\zeta$ 고정): $\sigma_{\mathrm{agg}}\to 2^{-(1-1/\zeta)}\sigma_{\mathrm{agg}}$. $\zeta=1.5$이면 0.79배, 대수의 법칙이면 0.71배다. 멱법칙이 곧 곱셈 불변(W17 (1))이다 — 부문 수를 2배 할 때마다 같은 비율로 준다.

• $\sigma\to 2\sigma$: $\sigma_{\mathrm{agg}}$는 2배가 된다(선형).

• $\varepsilon\to\varepsilon+\Delta\mathbf 1$(모든 부문 공통 $+\Delta$): $y\to y+\Delta\,\mathbf 1'v=y+\Delta/\alpha$. 공통 TFP 1%는 실질 GDP $1/\alpha$%다 — Domar 가중치의 합이 곧 집계 승수다. $\alpha=\tfrac12$이면 2%가 된다.

• 부문 번호 재배열 $W\to PWP'$, $b\to Pb$($P$는 치환행렬): $v\to Pv$, 노름은 변하지 않는다. 규모 $S\to cS$: $\pi$ 불변 — 척도가 없다(W17).

• $W\to$ 이중확률로 섞기: $v\to\frac{1}{\alpha n}\mathbf 1$, 정보가 소멸한다.

Q8 · 파라미터 극단 — 어떤 세계가 되는가¶

• $\zeta\to 1^+$: 감쇠 지수가 0에 다가가 부문 수를 늘려도 변동성이 거의 줄지 않는 세계다. 경계 $\zeta=1$(Zipf, W19)에서는 최대 부문의 비중이 $1/\ln n$으로만 준다 — Q5·Q7의 $\lVert\pi\rVert_2\asymp 1/\ln n$이 그것이다. 사실상 상수처럼 보이지만 $n$과 무관한 상수는 아니다. 다변화가 거의 불가능하다.

• $\zeta\to 2^-$: 지수가 $-1/2$로 간다. $\zeta>2$: 감쇠 지수는 균등과 같은 $-1/2$로 복귀하되 불균등은 상수 $(\zeta-1)/\sqrt{\zeta(\zeta-2)}>1$로만 남는다. $\zeta\to\infty$에서 그 상수가 1이 되어 비로소 균등이다.

• $\alpha\to 1$: $L\to I$, $v\to b$. 중간재가 없는 세계 — 네트워크는 무관하고 수요 몫(규모)만 남는다. Gabaix의 알갱이(granular) 세계다. (13)의 $\pi$ 항 계수 $(1-\alpha)/\alpha$가 0으로 간다.

• $\alpha\to 0$: $\mathbf 1'v=1/\alpha\to\infty$, $\lVert v\rVert_2\ge 1/(\alpha\sqrt n)\to\infty$. 부가가치가 총산출의 무한소인 우회생산 세계 — 공통 충격의 승수가 폭발한다. $1/\alpha$는 총산출/GDP이고 실제 투입산출표에서 이 비는 1보다 상당히 크다.

• 별 $W=\mathbf 1e_1'$: $\lVert v\rVert_2\to(1-\alpha)/\alpha$, 감쇠하지 않는다. 허브의 충격이 곧 집계 충격 — 2011년 부품 공급 중단의 세계다. 1-노름은 언제나 $1/\alpha$이지만 2-노름은 상한 $1/\alpha$에 닿지 않고 정확히 1만큼 못 미친다($\alpha=\tfrac12$: 1 대 2). 최대 성분은 $v_1=(1-\alpha)/\alpha+1/n$이다(표: $n=100$에서 $v_1=1.01$, $\lVert v\rVert_2=1.0149$).

• 이중확률 $W$(고리, 완전 대칭): $\lVert v\rVert_2=1/(\alpha\sqrt n)$ 정확히 — 대수의 법칙의 세계다.

• 공통 충격 $\Var(\varepsilon)=\sigma^2I+\sigma_c^2\mathbf 1\mathbf 1'$: $\Var(y)=\sigma^2\lVert v\rVert_2^2+\sigma_c^2/\alpha^2$ — 감쇠하지 않는 항이다. 논문들이 가정으로 배제하는 "쉬운 답"이고, 이 회차의 질문은 그 항 없이 $\sigma_{\mathrm{agg}}$가 남는가다.

Q9 · log-log¶

3절의 Figure 2가 계수 1 족의 표를 그린 것이다. semi-log에서는 곡선, log-log에서는 직선 — (2)가 $n$의 멱법칙이라는 뜻이다. 기울기 $-1/2$와 $-1/3$($\zeta=1.5$)의 기준선을 함께 그렸다. $\zeta$가 1에 가까우면 $n\le 10^6$에서 기울기가 극한값보다 가파르다 — 극한 정리와 유한 $n$의 차이이며, 표의 $\zeta=1.1$ 열이 그것이다. 몬테카를로 Figure 3의 띠는 이 직선이 한 경제의 진술이 아니라 $n$이 다른 경제들을 가로지르는 진술임을 보인다.

Q11 · 한계 원리 — 어느 양과 어느 양이 균등해지는가¶

(4)에서 세 균등이 동시에 걸린다. 재화 $i$의 한계효용 $b_i/c_i$는 잠재가격 $\lambda_i$와 같다. 어느 부문에서든 노동의 한계가치 $\lambda_i\,\partial f_i/\partial\ell_i$는 공통 잠재임금 $\lambda_0$와 같다. 어느 용도에서든 재화 $j$의 한계가치 $\lambda_i\,\partial f_i/\partial x_{ij}$는 공통 $\lambda_j$와 같다. W04의 “각 재화 대 $\lambda$” 원리가 $n$개 재화와 $n^2$개 용도에 동시에 걸린 것이다. (5)는 잠재가격이 잠재가격으로 잰 단위비용과 같다는 진술 — 가격이 비용을 상속한다. (9)는 매출이 최종수요와 고객 매출의 상속분의 합이라는 진술 — 영향력이 고객을 상속한다.

누가 무엇과 상충하는가. 노동제약 하나에 $n$개 부문이 걸려 있으므로, 한 부문이 노동을 더 쓰면 다른 부문이 덜 쓴다 — 그 상충의 가격이 공통 잠재임금 $\lambda_0$다. 재화 $j$의 자원제약에는 소비와 $n$개 용도가 걸려 있으므로, 중간재로 더 쓰면 소비가 준다 — 그 상충의 가격이 $\lambda_j$다. 계획자는 이 $n+1$개의 가격으로 모든 상충을 한 번에 정산한다. 상충이 아닌 것도 있다. 개별 부문의 사입 결정이 $W$를 만들고, $W$의 열합 분포가 경제 전체의 $\lVert v\rVert_2$를 정한다. 아무도 $\lVert v\rVert_2$를 선택하지 않는다. 금융의 같은 문장 — 시가총액 가중 지수의 고유 위험 $\sigma\lVert w\rVert_2$는 어떤 투자자의 선택도 아니고 시가총액 분포의 꼬리가 정한다.

5. 학부와 대학원의 간극¶

학부 거시의 문장은 Lucas (1977)의 것이다 — 부문 충격은 서로 상쇄되므로 경기변동의 원인이 아니다. 이 문장으로 Acemoglu et al. (2012)의 첫 식 $y=v'\varepsilon$, $v=\tfrac{\alpha}{n}[I-(1-\alpha)W']^{-1}\mathbf 1$을 열면 "Leontief 역행렬이다"까지는 읽힌다. 그 다음 세 줄에서 멈춘다. 전치 $W'$가 왜 붙는가, 왜 $\lVert v\rVert_2$인가, 멱법칙 결과의 지수 $(\beta-1)/\beta$(논문 표기)가 어디서 오는가. 평균을 내는 사람에게 전치는 오타로 보이고, 노름은 합의 잘못된 표기로 보이며, 지수는 외워야 할 상수로 보인다.

대학원 읽기는 세 가지를 더 본다. 전치는 쌍대다 — $L$은 비용을 공급자에서 구매자로 내리는 사상이고 $L'$은 매출을 구매자에서 공급자로 올리는 사상이며, 둘은 같은 행렬을 양 끝에서 읽은 것이다(W07 “행렬은 사상이다”). $\mathbf 1'v=1/\alpha$는 항등식이라 합에는 정보가 없고, 2-노름 — 합으로 정규화하면 허핀달 — 이 정보다. 지수는 최댓값의 척도 $n^{1/\zeta}$가 합의 척도 $n$을 따라잡지 못하는 정도 $1-1/\zeta$다 — (15) 한 줄이다. 한 가지 더 — (2)는 한 경제의 진술이 아니라 $n$이 다른 경제들을 가로지르는 진술이며, 그 진술의 극한은 상수가 아니라 확률변수다. Hulten (1978)의 정리가 이 모형에서는 로그에서 정확하다는 것과, 비선형 확장에서 2차항이 되살아난다는 것(Baqaee & Farhi, 2019)까지가 대학원 읽기의 범위다.

구체적 장면을 하나 든다. Gabaix (2011)은 미국 상위 100대 기업의 고유 충격이 GDP 변동의 약 3분의 1을 설명한다고 추정한다 — 기업 수로 세면 $100/n$은 0인데 $\lVert v\rVert_2$로 재면 0이 아니다. 같은 문장의 공급망판이 Carvalho et al. (2021)의 지진이다 — 피해 기업의 비율은 미미했으나 전파는 $L$을 따랐다. 학부 읽기는 기업을 세고, 대학원 읽기는 $v$로 가중한다. 기업규모가 Zipf에 가깝다는 관측(W19에서 본 것이며 Gabaix의 출발점)이 $\zeta\approx 1$을 주고, W19의 Gibrat + 반사벽이 그 이유다. 그 논문이 재는 양은 상위 기업의 매출을 GDP로 나눈 수 — 이 회차의 $v_i$ — 를 제곱해 더한 것, 곧 (11)의 $\lVert v\rVert_2^2$다.

6. 훈련¶

냉시동 인출(40분) — 1주 전 · 3주 전 · 8주 전 각 1항목.

• 1주 전 · W20 · 선호적 연결 율 방정식 → 정상해 멱법칙 지수 — 유입과 유출을 한 줄에 적고 정상해에서 지수가 진입 확률 $p$의 함수로 나오는 줄까지 적는다. 이 회차의 $\zeta$가 그 지수의 생존함수판이다.

• 3주 전 · W18 · 모멘트 존재 조건 $\gamma>n+1$ · VaR과 ES — 절단 적분이 절단점의 몇 제곱으로 자라는지와, 최댓값이 표본 크기의 $1/\zeta$ 제곱으로 자라는 줄을 적는다. 이 회차 (14)·(15)가 같은 두 줄이다(W18의 $n$은 모멘트 차수, 여기의 $n$은 부문 수).

• 8주 전 · W13 · 오일러 ⇔ $1=\E[mR]$ ⇔ 위험 프리미엄 $=-R_f\Cov(m,R)$ — 한계효용 비율을 $m$ 하나로 덩어리 짓는 줄과 공분산 분해 한 줄을 적는다. 이 회차의 $\Var(y)=v'\Var(\varepsilon)v$는 그 회차의 공분산 분해를 벡터 $\varepsilon$으로 늘린 것이다.

노트북(40분) — w21-lab.ipynb. 코드를 쓰기 전에 아래 셋을 답한다.

1. 5부문 예제에서 어느 부문의 $v_i$가 가장 큰가, $\sum_iv_i$는 얼마인가, $\lVert v\rVert_2$는 $1/(\alpha\sqrt n)=0.894$보다 큰가. 노이만 부분합의 최대 오차는 회차마다 몇 배로 주는가. 예측 — 열합이 가장 큰 에너지(1.9); 합은 $1/\alpha=2$; 크다, 0.917; 약 $\tfrac12$배($=1-\alpha$, 정확 등식은 아니고 극한에서).

2. 계수 1 족, 순위–규모 $\zeta=1.5$, $\alpha=\tfrac12$에서 $n=10^3\to10^6$이면 $\lVert v\rVert_2$는 몇 분의 1이 되는가. 균등 $\pi$이면? 예측 — 지수 $-1/3$ × 3자릿수 ≈ $1/10$, 실제는 $0.0857\to0.0066$으로 약 13분의 1(유한 $n$ 보정); 균등은 10^-1.5, 31.6분의 1.

3. iid Pareto 몬테카를로에서 $n^{1-1/\zeta}\lVert\pi\rVert_2$의 10–90% 띠 폭은 $n$이 커질 때 어떻게 되는가 — $\zeta=1.5$와 $\zeta=3$ 각각. 예측 — $\zeta=3$은 $2/\sqrt3=1.155$로 조인다(a.s. 수렴). $\zeta=1.5$는 조이지 않는다 — 극한이 비퇴화 확률변수라서(최댓값 항 $M_n/n^{1/\zeta}$는 Fréchet, $\sum_iS_i^2/n^{2/\zeta}$는 안정분포 — 어느 쪽이든 비퇴화) 분위비가 3 근방에 머문다.

계산은 패키지로 답을 내지 않는다. $W$를 배열로 직접 입력하고 행합 1을 확인한다. $v$는 선형계 $(I-(1-\alpha)W')v=b$를 풀어 얻고, 별도로 노이만 급수를 반복문으로 $K$회 쌓아 오차 열을 찍는다 — 역행렬 호출로 답을 내지 않는다. 계수 1 족은 (13)의 닫힌형과 전체 $L$로 두 번 계산해 일치를 확인한다. 순위–규모 벡터 $S_i=i^{-1/\zeta}$는 등차 배열로, 몬테카를로 Pareto는 역함수법 $S=U^{-1/\zeta}$로 만든다. 중앙값·분위는 분위수 함수로 잰다. 대조 표는 예측 · 결과 · 어긋남 · 원인 네 열이다.

7. 마치며…¶

0절의 식을 다시 본다.

지금은 이렇게 읽힌다. 기호로는 — $L$은 $n\times n$ 무차원 행렬이자 비용이 공급자에서 고객으로 몇 바퀴를 돌아 전파되는가를 더한 사상이고, $L'\mathbf 1/n$은 그 사상을 뒤집어 고객의 매출이 공급자로 거슬러 올라가는 몫을 더한 벡터 — 각 부문의 Domar 가중치다. 차원으로는 — 모든 기호가 무차원이며 $\lVert v\rVert_2$는 집계 변동성과 개별 변동성의 비, 곧 이 회차의 유일한 무차원군이다. 단위를 바꿔도 아무것도 움직이지 않으므로, 지수는 차원표가 아니라 극한 정리가 정한다. 메커니즘으로는 — 합은 언제나 $1/\alpha$이므로 합에는 정보가 없고 2-노름(합으로 정규화하면 허핀달)에 있다. 개별 충격 $\sigma$에 그 노름을 곱한 것이 집계 변동성이며, 노름은 가중치가 고를 때만 $1/\sqrt n$으로 줄고, 가중치의 꼬리가 멱법칙이면 최댓값의 척도 $n^{1/\zeta}$가 합의 척도 $n$을 따라잡지 못하는 정도 $1-1/\zeta$만큼만 준다. 그 극한은 상수가 아니라 확률변수다.

$L'$의 전치가 왜 나오는지 안 보이면 3절의 (9)로, 지수 $1/\zeta$가 어디서 오는지 안 보이면 (15)로 돌아간다.

이 회차의 $W$·$\alpha$·$\zeta$는 모형이 주어진 것으로 받았다. 자료에서 $v$를 읽으려면 어느 모수가 애초에 자료로 결정되는지를 먼저 물어야 한다. 자료가 대답할 수 있는 질문의 범위 — 그것이 다음 회차 W22 식별의 주제다.

이어지는 자료 — Barabási 7–8장 · 투입산출 네트워크 문헌 · Perron–Frobenius는 W7의 연장 · Carvalho & Tahbaz-Salehi, “Production Networks: A Primer”(Carvalho & Tahbaz-Salehi, 2019) · Gabaix, “The Granular Origins of Aggregate Fluctuations”(Gabaix, 2011)