W08 · 관문 — 정학 종합, 논문 한 편 전면 분해

0. 관문이 묻는 것¶

1부의 도구가 실제 논문 앞에서 작동하는가.

일곱 회차가 도구 일곱을 세웠다 — 기호 대장, 차원, 근사의 차수, 승수, 포락선, 음함수, 사영. 각 도구는 그 회차가 고른 식 위에서 작동했다. 관문은 저자가 고르지 않은 식 위에서 같은 도구를 돌린다. 새 도구는 없다. 새 식도 없다 — 식은 논문이 준다.

관문의 산출물은 통과 목록이 아니라 막힌 지점의 목록이다. 어느 식의 어느 줄에서 어느 도구가 멈췄는지를 적은 표 하나, 그리고 4항목 백지 시험의 채점표 하나. 두 표에 빈칸이 없으면 통과이고, 빈칸이 있으면 그 칸이 다음 몇 주의 냉시동 인출 항목이 된다. 관문에서 막힌 것은 숨길 것이 아니라 등록할 것이다.

시간은 여섯 시간이다. 논문 분해에 세 시간(2절), 백지 시험에 두 시간(3절), 모형 읽기와 자기 진단에 한 시간(4·5절).

1. 분해 대상¶

Dixit & Stiglitz (1977), “Monopolistic Competition and Optimum Product Diversity”, The American Economic Review 67권 3호(1977), 297–308쪽. 원문은 JSTOR에서 받는다. 열두 쪽이다.

분해 범위는 I절 "Constant Elasticity Case"다 — A 수요함수, B 시장균형, C 제약 최적, D 비제약 최적의 네 소절. 식으로는 효용함수와 예산제약(논문의 첫 두 식), 수량지수 $y$와 가격지수 $q$의 정의, 각 변종의 수요함수, 기업의 가격 조건과 진입 조건, 그리고 세 해 — 시장균형 $(p_e,x_e,n_e)$, 제약 최적 $(p_c,x_c,n_c)$, 비제약 최적 $(p_u,x_u,n_u)$ — 까지다. 아래첨자 $e$·$c$·$u$는 논문의 것이다. II절(가변 탄력성)과 그 뒤는 이 관문의 범위 밖이다. 통과한 뒤 같은 절차를 II절에 다시 돌리는 것은 선택이다.

이 논문을 고른 이유는 1부의 도구가 한 편 안에 다 들어 있기 때문이다. CES 효용과 예산제약((1)의 형상), 가격지수의 1차 동차성(W02의 오일러 정리), "$n$이 크면 각 기업이 가격지수에 미치는 영향을 무시한다"는 한 줄(W03의 버린 항), 두 단계 예산의 승수 둘(W04), 지출함수의 미분으로 나오는 수요(W05의 Shephard), 진입 조건의 비교정학(W06). 사영(W07)만 없다 — 그 도구는 3절의 백지 항목으로 시험한다.

대안 둘. Rothschild & Stiglitz (1976), “Equilibrium in Competitive Insurance Markets”, The Quarterly Journal of Economics 90권 4호(1976) — 두 상태의 소득 벡터의 형상, 보험료와 보상액의 차원, 기대효용의 1계 조건(공정보험에서 완전보험), 고위험 유형의 비율이 작을 때 균형이 없다는 극단이 같은 여섯 단계로 분해된다. Spence (1973), “Job Market Signaling”, The Quarterly Journal of Economics 87권 3호(1973) — 교육수준과 유형별 비용함수의 차원, 자기선택 조건 두 부등식의 번역, 저생산성 유형의 비율의 극단이 분해 대상이다. 둘 다 JSTOR에 있다. 어느 것을 고르든 2절의 절차는 같다. Dixit–Stiglitz를 기본으로 두는 것은 승수·포락선·비교정학이 한 절 안에서 연달아 나오기 때문이다.

2. 분해 절차¶

기호 대장 → 차원 검사 → 1계 조건 번역 → 파라미터 극단 → 비교정학 부호 예측 → 확인. 각 단계에서 막힌 지점을 기록한다. 막힌 지점이 이 관문의 실제 산출물이다.

여섯 단계를 논문의 식에 적용하는 방법을 단계마다 적는다. 논문의 기호를 그대로 쓴다 — 이 책의 기호로 옮기는 것은 기호 대장의 다섯째 칸이 할 일이지 식을 다시 쓰는 일이 아니다.

1단계 — 기호 대장. 대상은 논문 I절의 첫 두 식이다.

W01의 다섯 칸으로 옮긴다. 기호는 열둘 남짓이다 — $x_0$, $x_i$, $i$, $n$, $\rho$, $U$, $p_i$, $I$, 그리고 논문이 곧이어 정의하는 $y$, $q$, $\beta$, $s$. 함정은 셋이다. $\beta$는 이 논문에서 $\rho/(1-\rho)$이지 할인인자도 노동탄력성도 아니다. $I$는 소득이고 이 책의 $w$다. $n$은 소비자에게 파라미터이고 진입 조건에서는 변수다 — 같은 글자가 소절에 따라 종류 칸이 바뀐다. 형상 칸에는 $0<\rho<1$과 논문이 $U$에 부여하는 성질을 적는다. 그 성질이 뒤의 어느 줄을 지탱하는지 — $\rho<1$이 변종 사이의 대체를 불완전하게 하고, 지출 몫 $s$가 $q$만의 함수가 되려면 $U$가 동조적(homothetic)이어야 한다 — 를 형상 옆에 적는 것까지가 이 단계다. 논문에서 그 성질이 적힌 줄을 찾지 못하면 그것이 첫 막힌 지점이다.

2단계 — 차원 검사. 대상은 두 지수의 정의다.

$y$는 $x$에 1차 동차이므로 $x_i$와 같은 단위다 — 모든 변종이 같은 단위로 재어진다는 가정이 여기 숨어 있다. $q$는 $p$에 1차 동차이므로 [기준재/수량]이다. 마지막 등식은 W02 Theorem 1의 오일러 정리다 — $q$가 1차 동차이면 $\sum_ip_i\,\partial q/\partial p_i=q$이고, 3단계의 수요함수를 넣으면 $\sum_ip_ix_i=qy$가 된다. 양변이 [기준재]다. 무차원군은 $\rho$·$\beta$·$n$·$s=qy/I$·$a/(cx)$의 다섯이다. 대칭가격 $p_i=p$에서 $q=p\,n^{-1/\beta}$ — 지수 $-1/\beta=-(1-\rho)/\rho$가 무차원이라야 $n$의 거듭제곱이 뜻을 갖는다. 이 단계에서 막히는 자리는 대개 그 지수의 부호다. 가격지수는 가격의 멱평균이고 $\beta>0$이므로 변종이 늘수록 $q$는 내려간다 — 같은 값의 가격이 더 많은 변종에 걸리면 묶음은 싸진다.

3단계 — 1계 조건 번역. 논문은 승수를 적지 않는다. 적지 않은 승수를 복원하는 것이 이 단계다. 소비자 문제는 두 단계다. 안쪽은 $y$를 주고 $\sum_ip_ix_i$를 최소화하는 지출최소화이고, 그 승수 $\mu$는 [기준재/$y$의 단위]로 지출함수 $e(p,y)=q\,y$의 $y$ 미분 — 곧 $q$ 자신이다. 바깥쪽은 $U(x_0,y)$를 $x_0+qy=I$ 아래 최대화하는 문제이고, 그 승수 $\lambda$는 [효용/기준재]로 W04 (2)의 $\partial V/\partial I$다. 1계 조건 $U_y/U_0=q$는 W04 Q11의 문장으로 옮긴다 — 변종 묶음 한 단위의 한계효용을 기준재로 잰 것이 가격지수와 균등해진다. 안쪽 문제의 답은 지출함수의 가격 미분이다.

첫 등식이 W05 Lemma 1의 Shephard 보조정리다 — 논문은 이름을 부르지 않고 결과만 적는다. 둘째 등식은 (2)의 $q$를 미분한 것이고, $1+\beta=1/(1-\rho)$가 각 변종의 자기가격탄력성이다. 그 탄력성이 정확히 $1+\beta$인 것은 $\partial q/\partial p_i$를 무시할 때뿐이다 — 논문이 "$n$이 크다"고 쓰는 줄이며, 대칭균형에서 버린 항의 크기는 $\partial\ln q/\partial\ln p_i=1/n$이다. W03의 눈으로 그 줄 옆에 $O(1/n)$을 적는다. 기업 쪽은 고정비 $a$와 한계비용 $c$로 이윤 $(p_i-c)x_i-a$를 최대화한다. 한계수입이 한계비용과 균등해지는 조건 $p_i\,(1-1/(1+\beta))=c$가 $p_e=c/\rho$이고, 자유진입으로 이윤이 0이 되는 조건 $(p_e-c)\,x_e=a$가 $x_e$를 준다. 번역 — 가격은 한계비용을 $\rho$로 나눈 것이고, 마크업은 대체탄력성만이 정하며 고정비는 가격에 들어오지 않는다. 고정비가 정하는 것은 기업의 규모다. $n_e$는 변종 묶음에 쓰는 지출 $s(q_e)I$를 기업당 매출 $p_ex_e=a/(1-\rho)$로 나눈 것이다. $s(q_e)$ 안에 $q_e=p_e\,n_e^{-1/\beta}$가 들어 있으므로 이 식은 $n_e$의 고정점 조건이지 닫힌 해가 아니다 — 5단계가 그것을 쓴다.

4단계 — 파라미터 극단. 식 일기 Q8을 논문의 파라미터에 돌린다. (3)의 파라미터는 $\rho$·$a$·$c$·$I$·$n$이다. 각 극단이 어떤 세계인지 한 문장씩 적는다. $\rho\to1$ — 변종이 완전대체재가 되고 $p_e\to c$로 마크업이 사라지며 $x_e\to\infty$다. 고정비를 마크업 없이 회수하려면 기업이 무한히 커야 하고, $n^{-1/\beta}\to1$이라 변종의 수는 가격지수를 내리지 못한다 — 경쟁시장에 규모의 경제만 남은 세계다. $\rho\to0$ — 마크업 $1/\rho$가 발산하고 $x_e\to0$, $n^{-1/\beta}\to0$이다. 변종 하나하나가 독점이고 변종 수가 한없이 귀한 세계다. $a\to0$ — $x_e\to0$, $n_e\to\infty$인데 $p_e=c/\rho$는 그대로다. 고정비가 사라져도 가격은 한계비용으로 내려오지 않는다. 독점적 경쟁의 마크업은 진입장벽이 아니라 대체탄력성에서 온다는 문장의 수학이 이 극단이다. $I\to2I$ — $x_e$는 그대로이고 $n_e$만 는다($s$가 고정이면 정확히 두 배). 시장이 커지면 기업이 커지는 것이 아니라 변종이 는다. $n\to\infty$ — $\partial q/\partial p_i\to0$이라 3단계의 근사가 정확해진다.

5단계 — 비교정학 부호 예측. 계산하기 전에 부호를 적는다. 판별 인터리빙의 관문판이다 — 도구와 부호만 적고 값은 구하지 않는다. $\partial p_e/\partial a=0$, $\partial x_e/\partial a>0$, $\partial x_e/\partial c<0$, $\partial p_e/\partial\rho<0$ — 넷은 (3)에서 바로 읽힌다. $n_e$는 그렇지 않다. $s(q_e)$가 $n_e$에 의존하므로 W06 (1)의 형태로 적어야 한다.

분자의 부호는 정해졌다. 분모 $F_n=1-s'(q)\,q'(n)\,I(1-\rho)/a$는 정해지지 않았다 — $q'(n)<0$이므로 $s'(q)<0$이면 둘째 항이 양이고 $F_n$의 부호는 그 크기에 달렸다. $s$가 상수($U$가 Cobb–Douglas)이면 $F_n=1$이고 $dn_e/da<0$이다. 일반 $U$에서는 $F_n>0$이 따로 필요하다. 이 조건이 논문의 어느 가정에 해당하는지를 찾는다. 찾지 못하면 그것이 막힌 지점이고, "논문이 적지 않은 조건"이라는 기록도 정당한 기록이다. 부호 예측을 셋 더 적는다 — 제약 최적 $(p_c,x_c,n_c)$가 시장균형과 같은가, 비제약 최적의 $x_u$가 $x_e$와 같은가, $n_u$가 $n_e$보다 큰가 작은가. 논문의 C·D 소절을 읽기 전에 답을 적고 읽은 뒤 대조한다.

6단계 — 확인. 닫힌 해가 나오는 특수 사례로 5단계의 예측을 숫자로 검산한다. $U$를 Cobb–Douglas로 두어 $s=0.5$로 고정하고 $\rho=0.5$, $a=c=1$, $I=100$을 넣는다. $\beta=1$이다. (3)에서 $p_e=2$, $x_e=1$, $n_e=25$. 검산 — 변종 지출 $n_ep_ex_e=50=sI$, 기업 이윤 $(2-1)\cdot1-1=0$, $q_e=2\cdot25^{-1}=0.08$, $y_e=50/0.08=625=25^{2}\cdot1$. 제약 최적은 손실 없는 기업이라는 제약 아래 $q$를 최소화하는 문제다. $n=s(q)\,I\,(p-c)/(ap)$를 $q=p\,n^{-1/\beta}$에 넣으면 $q$가 $p$의 음함수로 정해지고, $p$로 미분하면

$s(q)$를 고정한 편미분으로 충분한 이유는 W06 (1)이다 — $G(q,p)=0$이 $q(p)$를 정하면 $dq/dp=-G_p/G_q$이고, 최소점의 조건 $dq/dp=0$은 $G_p=0$이다. $G_q\neq0$이 필요하고, 그것은 5단계의 $F_n$과 같은 자리의 조건이다. 그러므로 $x_c=x_e$, $n_c=n_e$ — 시장균형이 제약 최적이다. 비제약 최적은 자원비용 $na+ncx$를 $n^{1/\rho}x=y$ 아래 최소화하는 문제이고, 그 답은 $x_u=a\beta/c=x_e=1$, $p_u=c=1$이다. 기업당 산출은 세 해에서 같다. 그 문제의 승수 $\mu_u=c\,n^{-1/\beta}$가 $y$의 자원 한계비용이고 시장의 $q_e$는 같은 $n$에서 그것의 $1/\rho$배다 — 승수를 읽는 W04의 눈이 두 해의 차이를 한 줄로 보인다. 이 숫자 예에서 $n_u=100/3$, $y_u\approx1111$이고 효용은 $\sqrt{50\cdot625}\approx176.8$에서 $\sqrt{33.3\cdot1111}\approx192.4$로 오른다. 이 값들은 노트북 없이 손으로 나온다. 예측이 어긋난 항목은 기록표의 "막힌 줄"이 아니라 원인 칸의 "예측 오류"로 적는다 — 유도가 막힌 것과 부호를 잘못 읽은 것은 다른 결함이다.

막힌 지점 기록표. 여섯 단계를 마친 뒤 채운다. 빈 행이 없어야 하고, "없음"도 기록이다.

원인 칸의 앞 네 갈래는 W01–W07이 각각 멈춘 자리의 이름이다 — 형상을 읽지 않았거나, 차원이 맞지 않거나, 줄 옆의 근거가 비었거나, 부호 규약을 잘못 잡았거나. 마지막 칸에는 그 줄만 확인한 본문의 식 라벨 하나를 적는다. 전체를 다시 읽지 않는다.

3. 백지 재유도 시험¶

백지 재유도 4항목 — 포락선 정리 → Shephard 보조정리, 1계 조건 전미분 → 비교정학 부호, FWL 정리 · 사영행렬의 멱등·대칭, 채권가격 2차 테일러 전개 → 듀레이션·컨벡시티.

항목 이름은 백지 유도 목록의 문구 그대로다. 항목당 30분이다. 각 회차 6절의 60분보다 짧은 것은 이번이 첫 유도가 아니라 회수이기 때문이다. 30분 안에 끝나지 않으면 그 자리에서 멈추고 막힌 줄을 표시한다. 자료를 열지 않는다.

통과하지 못한 항목은 백지 유도 목록의 해당 행에 막힌 줄의 식 번호로 기록하고, 다음 회차 냉시동 인출의 첫 자리에 올린다. 둘 이상 막혔으면 가장 앞 회차의 것부터다 — 뒤 항목이 앞 항목을 근거로 쓰기 때문이다. 넷 다 통과했으면 다음 회차의 그 자리는 비운다. 다른 항목으로 채우지 않는다.

4. 모형을 다시 보기¶

Gibbard & Varian(1978) — 근사와 캐리커처의 구분을 그 논문에 적용한다.

Gibbard & Varian (1978)는 경제 모형을 둘로 가른다. 근사(approximation)는 가정이 현실에 가깝고, 가정을 현실 쪽으로 옮길수록 결론이 현실에 가까워지는 모형이다. 캐리커처(caricature)는 어느 한 특징을 일부러 과장해 다른 것을 지운 모형이며, 가정이 현실과 멀다는 것을 알면서 쓴다. 두 종류는 결론을 현실로 옮기는 자격이 다르다 — 근사는 정도를 따지고, 캐리커처는 과장된 그 특징이 현실에서도 작동하는지를 따진다. 2절을 마친 뒤 Dixit–Stiglitz의 I절에 다음 여섯 질문을 던진다. 답은 각각 두세 문장이면 된다.

1. 가정을 둘로 나눈다. 논문 I절의 가정 — 변종의 완전 대칭, 상수 대체탄력성, 대표 소비자 한 명, 고정비 더하기 상수 한계비용, “$n$이 크다” — 가운데 어느 것이 근사로 참이고 어느 것이 의도적 왜곡인가. 대칭과 상수 탄력성은 어느 쪽인가.

2. 무엇을 분리하려 했는가. 이 모형이 과장해 드러내려는 하나의 상충은 무엇인가 — 변종의 수와 기업당 규모 사이의 상충, 곧 다양성 대 규모의 경제. 그 상충을 보이기 위해 지운 것은 무엇인가.

3. 논문 안의 근사. "$n$이 크면 $\partial q/\partial p_i$를 무시한다"는 줄은 캐리커처의 일부인가, 캐리커처 안의 근사인가. 2절 3단계에서 적은 $O(1/n)$이 답이다 — 그 줄은 $n$을 키우면 오차가 사라지므로 근사이고, 대칭 가정은 $n$을 키워도 사라지지 않으므로 캐리커처다. 한 논문 안에 두 종류가 같이 있다.

4. 어느 결론이 캐리커처의 결론인가. "시장균형이 제약 최적과 일치한다"는 I절의 결론은 상수 탄력성이라는 과장에 매달려 있다. 논문의 II절이 탄력성을 움직이면 그 일치는 일반적으로 깨진다. 그러면 I절의 결론은 무엇에 대한 진술인가 — 현실의 시장인가, 벤치마크인가.

5. 결론을 옮길 자격. "독점적 경쟁은 변종의 수를 잘못 정하지 않는다"는 문장을 현실의 산업에 적용하려면 어느 파라미터가 현실에서 무엇이어야 하는가. 마크업 $1/\rho$가 진입장벽과 무관하다는 4단계의 극단은 어느 산업에서 현실에 가까운가.

6. 신뢰할 만한 세계. Sugden (2000)은 캐리커처가 쓸모를 얻는 조건을 "신뢰할 만한 세계(credible world)"라 부른다 — 현실의 모사가 아니라 현실이 그럴 수 있었을 하나의 세계로 읽히는 것. Dixit–Stiglitz의 선호는 이후 무역·지리·성장 모형의 표준 부품이 됐고(Krugman (1991)이 한 예다), 살아남은 부품은 이 논문의 결론이 아니라 (2)의 가격지수와 (3)의 수요함수다. 결론보다 부품이 살아남은 것을 이 구분으로 설명한다.

여섯 답을 적은 뒤 하나만 더 본다. 2절의 기록표에서 "형상"을 원인으로 적은 행이 있으면, 그 형상 선언이 근사의 가정인지 캐리커처의 가정인지를 표에 덧붙인다. 근사의 가정에서 막힌 것은 수학의 막힘이고, 캐리커처의 가정에서 막힌 것은 대개 "왜 이렇게 두는가"를 묻지 않은 막힘이다. Varian (1998)의 절차 — 가장 단순한 모형을 먼저 만들고 그 결론이 살아남는지 가정을 하나씩 옮겨 본다 — 는 이 논문의 I절과 II절의 관계 그 자체다.

5. 자기 진단¶

1부의 간극 항목은 일곱이다. 각 행의 "통과 기준"은 2절과 3절에서 그 항목이 실제로 작동했는지의 판정이다. “통과” 칸에는 날짜를, “막힌 줄” 칸에는 식 번호를 적는다. 빈칸은 두지 않는다.

일곱째 행이 논문 밖에서 판정되는 것을 숨기지 않는다. 사영 도구가 논문 앞에서 작동하는지는 이 관문이 판정하지 못한 항목으로 남긴다. 3절의 4항목과 이 표의 7항목은 다른 표다. 앞의 것은 유도 능력이고 뒤의 것은 읽기 능력이다. 둘 다 통과해야 관문 통과다. 한쪽만 통과한 경우가 흔하고, 그때 어느 쪽이 남았는지를 6절의 기록에 적는다.

6. 마치며…¶

1부가 채운 것은 정학의 일곱 도구다. 기호를 형상으로 읽고, 양변의 차원을 맞추고, 버린 항의 크기를 적고, 승수를 가격으로 읽고, 간접효과가 사라지는 자리를 알고, 1계 조건을 항등식으로 미분하고, 회귀를 사영으로 본다. 논문 한 편의 정학 절은 이 일곱으로 분해된다 — Dixit–Stiglitz의 I절이 그 시험이었다.

채워지지 않은 것도 적는다. 시간이 없다 — 1부에서 시간은 W03의 지급 시점 $t_i$와 듀레이션의 단위로만 나왔고, 한 시점의 값을 다음 시점의 값에 잇는 식은 한 번도 없었다. 글자 $t$는 배율이었다. 불확실성이 없다 — 기댓값 기호가 한 번도 나오지 않았다. 확률변수·확률과정·정보집합은 기호 대장의 종류 칸에 이름만 있고 행이 없다. 동역학의 고정점과 안정성은 식 일기의 Q10이 비어 있는 채로 남아 있다. 1부의 도구는 시점 하나에서 작동하는 도구이고, 시점 둘 사이를 잇는 도구는 아직 없다.

기록 방법은 셋이다. 첫째, 2절의 기록표와 5절의 진단표를 지우지 않고 그대로 둔다 — 빈칸을 채우려고 본문을 다시 읽지 않는다. 둘째, 3절에서 막힌 항목은 백지 유도 목록의 그 행에 막힌 줄의 식 번호를 적고, 다음 회차 냉시동 인출의 첫 자리에 올린다. 셋째, 5절에서 막힌 항목은 그 회차의 5절 상자를 다시 읽는 것이 아니라 3절의 그 라벨 하나만 다시 유도한다. 통과하지 못한 항목의 이름을 이 페이지 아래에 적어 두는 것이 이 관문의 마지막 동작이다 — 통과 목록보다 그 목록이 다음 여덟 주의 계획이다.

막힌 항목이 셋 이상이면 관문을 한 주 더 쓴다. 논문을 바꾸지 않고 같은 논문의 같은 절을 다시 분해한다. 둘 이하면 진행한다.

다음 회차 W09는 시간을 식에 넣는 세 가지 방법이다 — 차분·미분·확률과정, 그리고 $(1+r/n)^{n}\to e^{r}$.

이어지는 자료 — Dixit & Stiglitz (1977), American Economic Review, I절 · Gibbard & Varian (1978), Journal of Philosophy · Sugden (2000), Journal of Economic Methodology · Varian, How to Build an Economic Model in Your Spare Time