1회 · 확률이란 무엇인가 · 워크북

C. 증명 문제

노트의 정리를 변형하고, 일반화하고, 반례로 경계를 확인한다. 증명은 노트의 단계형 모양으로 쓴다. 한 줄에 한 단계, 줄마다 근거.

C1 대칭차 ★

[T1] · 정리 4.3 · 15분

$A\triangle B=(A\setminus B)\cup(B\setminus A)$를 $A$와 $B$의 대칭차라 한다. 다음을 보여라.

1. (a)

   $P(A\triangle B)=P(A)+P(B)-2P(AB)$

2. (b)

   $|P(A)-P(B)|\le P(A\triangle B)$

3. (c)

   $P(A\triangle C)\le P(A\triangle B)+P(B\triangle C)$

힌트

(a) $A\setminus B=A\setminus AB$이다. (c)는 $A\triangle C\subset(A\triangle B)\cup(B\triangle C)$를 원소 추적으로 보이고 Boole 부등식을 쓴다. $\omega\in A\setminus C$일 때 $\omega\in B$인 경우와 아닌 경우로 나눈다.

풀이

(a) $A\setminus B$와 $B\setminus A$는 서로소다. $A\setminus B=A\setminus AB$이고 $AB\subset A$이므로 정리 4.3(d)로 $P(A\setminus B)=P(A)-P(AB)$이고, 같은 방법으로 $P(B\setminus A)=P(B)-P(AB)$이다. 유한가법성으로 더한다.

(b) $P(A)-P(B)=\bigl(P(A)-P(AB)\bigr)-\bigl(P(B)-P(AB)\bigr)=P(A\setminus B)-P(B\setminus A)\le P(A\setminus B)\le P(A\triangle B)$이다. $A$와 $B$를 바꾸면 $P(B)-P(A)\le P(A\triangle B)$이다.

(c) $\omega\in A\triangle C$라 하자. $\omega\in A\setminus C$이면, $\omega\in B$일 때 $\omega\in B\setminus C\subset B\triangle C$이고 $\omega\notin B$일 때 $\omega\in A\setminus B\subset A\triangle B$이다. $\omega\in C\setminus A$이면 같은 방법으로 $\omega\in(B\triangle A)\cup(C\triangle B)$이다. 따라서 $A\triangle C\subset(A\triangle B)\cup(B\triangle C)$이고, 단조성과 Boole 부등식(정리 4.3(d)(g))으로 결론이 나온다. 이 부등식으로 $d(A,B)=P(A\triangle B)$는 사건들 사이의 거리처럼 쓰인다.

C2 모두 함께 일어날 확률의 하한 ★★

[T1] · 정리 4.3(g) · 15분

1. (a)

   사건 $A_1,\dots,A_n$에 대해 $P\bigl(\bigcap_{i=1}^nA_i\bigr)\ge\sum_{i=1}^nP(A_i)-(n-1)$을 보여라.

2. (b)

   $\sum_iP(A_i)>n-1$이면 $A_1,\dots,A_n$이 모두 함께 일어날 확률이 양수임을 보여라.

3. (c)

   확률이 각각 $0.99$인 사건 50개가 모두 일어날 확률의 (a)의 하한을 구하라. 사건이 몇 개이면 이 하한이 0이 되는가?

힌트

교집합의 여사건은 여사건들의 합집합이다(De Morgan). 그다음은 Boole 부등식이다.

풀이

(a) De Morgan으로 $(\bigcap_iA_i)^c=\bigcup_iA_i^c$이다. 여사건 공식과 Boole 부등식으로

$$P\Bigl(\bigcap_iA_i\Bigr)=1-P\Bigl(\bigcup_iA_i^c\Bigr)\ge1-\sum_{i=1}^nP(A_i^c)=1-\sum_{i=1}^n\bigl(1-P(A_i)\bigr)=\sum_{i=1}^nP(A_i)-(n-1) .$$

(b) (a)의 오른쪽이 양수다. (c) $50\cdot0.99-49=0.5$이다. 사건이 $n$개이면 하한은 $0.99n-(n-1)=1-0.01n$이므로 $n=100$에서 0이 된다. 이 하한은 사건들의 관계를 전혀 가정하지 않는다. 사건들이 독립이면 정확한 값은 $0.99^{50}\approx0.605$로 하한보다 크다.

최종답 (c) $\tfrac12$

C3 사건열의 상극한과 하극한 ★★

[T5] · 정리 4.7 · 20분

사건열 $A_1,A_2,\dots$에 대해 다음과 같이 정의한다.

$$\limsup_nA_n=\bigcap_{n=1}^\infty\bigcup_{k\ge n}A_k,\qquad \liminf_nA_n=\bigcup_{n=1}^\infty\bigcap_{k\ge n}A_k .$$

1. (a)

   $\omega\in\limsup_nA_n$은 $\omega$가 무한히 많은 $A_n$에 속한다는 것과 같고, $\omega\in\liminf_nA_n$은 유한개를 빼고 모든 $A_n$에 속한다는 것과 같음을 보여라.

2. (b)

   $\liminf_nA_n\subset\limsup_nA_n$이고 $(\limsup_nA_n)^c=\liminf_nA_n^c$임을 보여라.

3. (c)

   다음을 보여라.

   $$P\bigl(\liminf_nA_n\bigr)\le\liminf_nP(A_n)\le\limsup_nP(A_n)\le P\bigl(\limsup_nA_n\bigr)$$

힌트

(c) $C_n=\bigcap_{k\ge n}A_k$는 증가하고 $C_n\subset A_n$이다. $D_n=\bigcup_{k\ge n}A_k$는 감소하고 $D_n\supset A_n$이다. 연속성과 수열의 상극한·하극한의 정의 [T5].

풀이

(a) $\omega\in\bigcap_n\bigcup_{k\ge n}A_k$는 “모든 $n$에 대해 $\omega\in A_k$인 $k\ge n$이 있다”는 뜻이다. 이것은 $\omega$가 속하는 $A_k$의 첨자가 위로 유계가 아니라는 것, 곧 무한히 많다는 것과 같다. $\omega\in\bigcup_n\bigcap_{k\ge n}A_k$는 “어떤 $n$이 있어 $k\ge n$인 모든 $A_k$에 $\omega$가 속한다”는 뜻이고, 이것은 $\omega$가 속하지 않는 $A_k$가 유한개라는 것과 같다.

(b) 유한개를 빼고 모두에 속하면 무한히 많은 것에 속한다. De Morgan을 두 번 쓰면 $(\bigcap_n\bigcup_{k\ge n}A_k)^c=\bigcup_n\bigcap_{k\ge n}A_k^c$이다.

(c) $C_n\uparrow\liminf_nA_n$이므로 연속성(정리 4.7(a))으로 $P(C_n)\to P(\liminf A_n)$이다. $C_n\subset A_k$ ($k\ge n$)이므로 $P(C_n)\le\inf_{k\ge n}P(A_k)$이고, $n\to\infty$에서 $P(\liminf A_n)\le\liminf_nP(A_n)$이다. 같은 방법으로 $D_n\downarrow\limsup A_n$, $P(D_n)\ge\sup_{k\ge n}P(A_k)$에서 정리 4.7(b)로 $P(\limsup A_n)\ge\limsup_nP(A_n)$이다. 가운데 부등식은 수열의 하극한이 상극한보다 크지 않다는 것이다 [T5].

C4 Borel–Cantelli의 첫째 보조정리 ★★

[T5] · C3, 정리 4.3(g) · 15분

1. (a)

   $\sum_{n=1}^\infty P(A_n)<\infty$이면 $P(\limsup_nA_n)=0$, 곧 확률 1로 유한개의 $A_n$만 일어남을 보여라.

2. (b)

   $P(A_n)=1/n^2$이면 무한히 많은 $A_n$이 일어날 확률은 얼마인가?

3. (c)

   거꾸로는 성립하지 않는다. $U$가 $\mathrm U(0,1)$이고 $A_n=\{U<1/n\}$이면 $\sum_nP(A_n)=\infty$인데 $P(\limsup_nA_n)=0$임을 보여라.

힌트

(a) 모든 $n$에서 $\limsup A_k\subset\bigcup_{k\ge n}A_k$이다. 수렴하는 급수의 꼬리 $\sum_{k\ge n}P(A_k)$는 0으로 간다 [T5]. (c) $A_n$은 감소한다.

풀이

(a) 정의로 모든 $n$에서 $\limsup_kA_k\subset\bigcup_{k\ge n}A_k$이다. 단조성과 Boole 부등식으로 $P(\limsup_kA_k)\le\sum_{k\ge n}P(A_k)$이다. 급수가 수렴하면 꼬리는 $n\to\infty$에서 0으로 가므로 $P(\limsup_kA_k)=0$이다. C3(a)로 이것은 “무한히 많은 $A_n$이 일어날 확률이 0”이라는 뜻이다.

(b) $\sum1/n^2<\infty$이므로 (a)로 0이다.

(c) $P(A_n)=1/n$이고 $\sum1/n=\infty$이다(조화급수 [T5]). $A_n$은 감소하므로 $\bigcup_{k\ge n}A_k=A_n$이고 $\limsup A_n=\bigcap_nA_n=\{U\le0\}$이다. $U\in(0,1)$이므로 이 사건은 공집합이고 확률은 0이다. 둘째 보조정리, 곧 “$\sum P(A_n)=\infty$이고 $A_n$들이 상호 독립이면 $P(\limsup A_n)=1$”에는 독립이 필요하다는 것을 이 예가 보여 준다.

C5 조건부 독립은 독립이 아니다 ★★

[T2] · 정리 5.4 · 20분

앞면이 나올 확률이 $0.9$인 동전과 $0.1$인 동전이 있다. 같은 확률로 하나를 골라, 고른 동전을 독립적으로 두 번 던진다. $C$를 첫째 동전을 고른 사건, $H_i$를 $i$번째가 앞면인 사건이라 하자.

1. (a)

   이 실험의 확률공간 $(\Omega,P)$를 적고, $P(H_1H_2\mid C)=P(H_1\mid C)P(H_2\mid C)$이며 $C^c$에서도 그러함을 확인하라.

2. (b)

   $P(H_1)$, $P(H_2)$, $P(H_1H_2)$를 구해 $H_1$과 $H_2$가 독립이 아님을 보여라.

3. (c)

   $P(H_2\mid H_1)$을 구하라. 첫 결과가 둘째 결과에 대해 무엇을 알려 주는지 설명하라.

힌트

$\Omega=\{1,\allowbreak 2\}\times\{\text{앞},\allowbreak \text{뒤}\}^2$이고 $P(c,\allowbreak h_1,\allowbreak h_2)=\tfrac12p_c^{\#\text{앞}}(1-p_c)^{\#\text{뒤}}$이다. (b)는 전확률 공식을 $\{C,C^c\}$에 쓴다.

풀이

(a) $p_1=0.9$, $p_2=0.1$로 두면 $\Omega=\{1,\allowbreak 2\}\times\{\text{앞},\allowbreak \text{뒤}\}^2$ 위에 $P(c,\allowbreak h_1,\allowbreak h_2)=\tfrac12p_c^{a}(1-p_c)^{2-a}$ ($a$는 앞면의 수)이다. 합이 $\tfrac12\bigl[(p_1+q_1)^2+(p_2+q_2)^2\bigr]=1$이므로 정리 4.9로 확률이다. $P(H_1H_2\mid C)=\tfrac{\frac12\cdot0.81}{\frac12}=0.81=0.9\cdot0.9=P(H_1\mid C)P(H_2\mid C)$이고, $C^c$에서도 $0.01=0.1\cdot0.1$이다.

(b) 전확률 공식으로 $P(H_1)=\tfrac12(0.9+0.1)=\tfrac12$, 같은 방법으로 $P(H_2)=\tfrac12$이고, $P(H_1H_2)=\tfrac12(0.81+0.01)=0.41\ne0.25=P(H_1)P(H_2)$이다.

(c) $P(H_2\mid H_1)=0.41/0.5=0.82$이다. 첫 번째가 앞면이면 앞면이 잘 나오는 동전을 골랐을 사후확률이 $\tfrac{0.45}{0.5}=0.9$로 올라가고, 그 정보가 둘째 던지기의 예측에 들어간다. 동전이 정해지면 두 결과는 서로에 대해 알려 주는 것이 없지만, 동전을 모르면 두 결과는 같은 미지의 동전에 대한 정보를 공유한다.

최종답 (b) $P(H_1H_2)=0.41$ (c) $0.82$

C6 Bonferroni 부등식, 셋째 항까지 ★★★

[T3] · 정리 1.5, 4.9 · 25분

$\Omega$가 유한하거나 셀 수 있고 $P$가 정리 4.9의 이산 확률 $P(A)=\sum_{\omega\in A}p(\omega)$이다. $S_k$는 노트 4.4절의 기호다.

1. (a)

   모든 $m\ge1$, $j\ge0$에서 $\sum_{k=0}^j(-1)^k\binom mk=(-1)^j\binom{m-1}j$임을 $j$에 대한 귀납법으로 보여라.

2. (b)

   $A_1,\dots,A_n$ 가운데 정확히 $m\ge1$개에 속하는 점 $\omega$는 $S_1-S_2+S_3$에 $\bigl[\binom m1-\binom m2+\binom m3\bigr]p(\omega)$만큼 기여함을 보여라. 어느 $A_i$에도 속하지 않는 점은?

3. (c)

   (a)와 (b)로 $P\bigl(\bigcup_{i=1}^nA_i\bigr)\le S_1-S_2+S_3$을 보여라.

힌트

(a) $j\to j+1$에서 $(-1)^{j+1}\binom m{j+1}$을 더하고 Pascal의 항등식 $\binom m{j+1}=\binom{m-1}{j}+\binom{m-1}{j+1}$을 쓴다. (c) 계수가 $1-(-1)^3\binom{m-1}3$이 된다.

풀이

(a) $j=0$이면 양변이 1이다. $j$에서 성립하면

$$\sum_{k=0}^{j+1}(-1)^k\binom mk=(-1)^j\binom{m-1}j+(-1)^{j+1}\Bigl[\binom{m-1}j+\binom{m-1}{j+1}\Bigr]=(-1)^{j+1}\binom{m-1}{j+1} .$$

(b) $S_k=\sum_{i_1<\cdots<i_k}\sum_{\omega\in A_{i_1}\cdots A_{i_k}}p(\omega)$에서 합의 순서를 바꾸면(음이 아닌 항의 재배열) $S_k=\sum_\omega N_k(\omega)p(\omega)$이다. $N_k(\omega)$는 $\omega$를 포함하는 $k$개짜리 교집합의 수이고, $\omega$가 정확히 $m$개의 사건에 속하면 $N_k(\omega)=\binom mk$이다. 어느 사건에도 속하지 않으면 $N_k=0$이다.

(c) $\omega$가 정확히 $m\ge1$개에 속하면 (a)를 $j=3$에 써서

$$\binom m1-\binom m2+\binom m3=1-\sum_{k=0}^3(-1)^k\binom mk=1+\binom{m-1}3\ge1$$

이다. 따라서 $S_1-S_2+S_3=\sum_\omega\bigl[\cdots\bigr]p(\omega)\ge\sum_{\omega\in\cup A_i}p(\omega)=P(\bigcup A_i)$이다. 같은 논리로 홀수 개의 항에서 자르면 위로, 짝수 개에서 자르면 아래로 어긋난다(노트 연습 4.5가 $j=2$의 경우다). 일반 확률공간에서의 증명은 같은 계산을 지시함수의 기댓값으로 한다.

C7 σ-대수의 교집합과 합집합 ★★

[T1], [T2] · 정의 4.1 · 20분

1. (a)

   σ-대수 $\cF_1$, $\cF_2$의 교집합 $\cF_1\cap\cF_2$가 σ-대수임을 보여라. 임의 개의 σ-대수의 교집합도 그러한가?

2. (b)

   $\Omega=\{1,2,3\}$, $\cF_1=\{\emptyset,\allowbreak \{1\},\allowbreak \{2,\allowbreak 3\},\allowbreak \Omega\}$, $\cF_2=\{\emptyset,\allowbreak \{2\},\allowbreak \{1,\allowbreak 3\},\allowbreak \Omega\}$에서 $\cF_1\cup\cF_2$가 σ-대수가 아님을 보여라.

3. (c)

   $\Omega$의 부분집합의 모임 $\mathcal A$를 포함하는 σ-대수 가운데 가장 작은 것 $\sigma(\mathcal A)$가 있음을 (a)로 보여라. $\Omega=\{1,2,3\}$, $\mathcal A=\{\{1\}\}$이면 $\sigma(\mathcal A)$는 무엇인가?

힌트

(b) 반례 하나면 된다. 두 원소의 합집합을 본다. (c) $\mathcal A$를 포함하는 σ-대수는 적어도 하나 있다. 모든 부분집합의 모임이다.

풀이

(a) 정의 4.1의 세 조건을 확인한다. $\Omega$는 두 모임에 모두 있다. $A\in\cF_1\cap\cF_2$이면 $A^c$가 각 모임에 있으므로 교집합에 있다. 가산 합집합도 같다. 이 논리는 모임이 몇 개이든(셀 수 없이 많아도) 그대로다.

(b) $\{1\},\{2\}\in\cF_1\cup\cF_2$이지만 $\{1\}\cup\{2\}=\{1,2\}$는 어느 쪽에도 없다. 합집합에 닫혀 있지 않다.

(c) $\mathcal A$를 포함하는 σ-대수들의 모임은 공집합이 아니다($\Omega$의 모든 부분집합의 모임이 들어 있다). 그 모두의 교집합을 $\sigma(\mathcal A)$로 두면 (a)로 σ-대수이고, $\mathcal A$를 포함하며, $\mathcal A$를 포함하는 모든 σ-대수에 포함된다. $\mathcal A=\{\{1\}\}$이면 $\{1\}$을 포함하는 σ-대수는 $\{1\}^c=\{2,3\}$, $\emptyset$, $\Omega$를 포함해야 하고, $\{\emptyset,\allowbreak \{1\},\allowbreak \{2,\allowbreak 3\},\allowbreak \Omega\}$는 이미 σ-대수이므로 그것이 $\sigma(\mathcal A)$다.

C8 유리수에서 같은 두 분포함수 ★★

[T5] · 정리 6.3(c) · 15분

두 분포함수 $F$와 $G$가 모든 유리수 $q$에서 $F(q)=G(q)$이면 모든 실수 $x$에서 $F(x)=G(x)$임을 보여라. 유리수 대신 어떤 성질을 갖는 집합이면 같은 결론이 나오는가?

힌트

$x$보다 크면서 $x$로 다가가는 유리수열 $q_n\downarrow x$를 잡고 오른쪽 연속성(정리 6.3(c))을 쓴다.

풀이

$x$가 실수이면 유리수의 조밀성으로 $x<q_n<x+\tfrac1n$인 유리수 $q_n$이 있고 $q_n\downarrow x$이다. 오른쪽 연속성으로 $F(x)=\lim_nF(q_n)=\lim_nG(q_n)=G(x)$이다. 쓴 것은 “모든 $x$에 대해 $x$보다 크면서 $x$로 다가가는 점열이 그 집합 안에 있다”는 성질뿐이다. 예를 들어 $\{k/2^m\}$ 꼴의 수의 집합이나, 셀 수 있는 점들을 뺀 실수 전체도 된다. 연습 6.2와 함께 쓰면, $F$의 연속점에서만 같아도 $F=G$이다.

C9 조건부확률 안의 전확률 공식 ★

정리 5.2, 5.4 · 10분

$P(BC)>0$, $P(BC^c)>0$이면 다음이 성립함을 두 가지로 보여라.

$$P(A\mid B)=P(A\mid BC)\,P(C\mid B)+P(A\mid BC^c)\,P(C^c\mid B)$$

(a) 조건부확률의 정의를 직접 써서. (b) $Q=P(\cdot\mid B)$가 확률이라는 정리 5.2와 전확률 공식을 $Q$에 써서. 이때 $Q(A\mid C)=P(A\mid BC)$임을 확인하라.

힌트

(a) 오른쪽 각 항에 정의를 넣으면 $P(ABC)/P(B)$와 $P(ABC^c)/P(B)$가 된다.

풀이

(a) $P(A\mid BC)P(C\mid B)=\tfrac{P(ABC)}{P(BC)}\cdot\tfrac{P(BC)}{P(B)}=\tfrac{P(ABC)}{P(B)}$이고, 둘째 항은 $\tfrac{P(ABC^c)}{P(B)}$이다. $AB=ABC\cup ABC^c$는 서로소인 합집합이므로 합은 $P(AB)/P(B)=P(A\mid B)$이다.

(b) $Q(C)=P(C\mid B)>0$이므로 $Q$에 대한 조건부확률을 쓸 수 있고 $Q(A\mid C)=\tfrac{Q(AC)}{Q(C)}=\tfrac{P(ABC)/P(B)}{P(BC)/P(B)}=P(A\mid BC)$이다. $\{C,C^c\}$는 분할이므로 $Q$에 대한 전확률 공식이 곧 주어진 식이다. 정리 5.2는 “$B$가 주어진 세계”에서도 확률의 모든 규칙을 그대로 쓸 수 있다는 뜻이다.

워크북 PDF풀이판 PDF답 확인