증명 도구 상자 · 노트

5 T5 $\varepsilon$ε–$N$N, 급수, 상극한과 하극한

확률의 연속성, 가산가법성, 대수의 법칙과 중심극한정리는 모두 극한에 대한 주장이다. 이 절은 수열의 극한을 $\varepsilon$과 $N$으로 다루는 법, 급수가 수렴함을 보이는 법, 사건열의 상극한과 하극한을 정리한다. 1회의 연속성 정리가 처음 쓰는 곳이다.

5.1 수열의 극한

정의 5.1 (수열의 극한) 실수열 $a_n$이 $a$로 수렴한다($a_n\to a$)는 것은, 모든 $\varepsilon>0$에 대해 어떤 $N$이 있어 $n\ge N$이면 $|a_n-a|<\varepsilon$이라는 것이다.

$N$은 $\varepsilon$에 따라 달라져도 되지만 $n$에 따라 달라지면 안 된다. 수렴을 보이는 증명은 “$\varepsilon$이 주어졌다고 하자”로 시작해 $N$을 $\varepsilon$의 식으로 찾아 주는 것이다. 찾는 방법은 대개 $|a_n-a|$를 $n$만의 간단한 식으로 위에서 누르는 것이다.

예제 5.2 ($N$을 찾기) $a_n=\tfrac{n+1}{2n+3}\to\tfrac12$을 보인다. 차를 계산하면

$$\Bigl|a_n-\frac12\Bigr|=\frac{1}{2(2n+3)}<\frac1{4n} .$$

$\varepsilon>0$이 주어지면 $N>1/(4\varepsilon)$인 자연수 $N$을 잡는다(Archimedes 성질: 어떤 실수보다 큰 자연수가 있다). $n\ge N$이면 $|a_n-\tfrac12|<\tfrac1{4n}\le\tfrac1{4N}<\varepsilon$이다.

정리 5.3 (극한의 대수) $a_n\to a$, $b_n\to b$이면 $a_n+b_n\to a+b$이고 $a_nb_n\to ab$이다.

증명 전략 합은 삼각부등식, 곱은 더하고 빼기([T4])로 차를 둘로 쪼개고, 각 조각을 $\varepsilon$의 몫으로 누른다.

1. $\varepsilon>0$이 주어지면 $n\ge N_1$에서 $|a_n-a|<\varepsilon/2$, $n\ge N_2$에서 $|b_n-b|<\varepsilon/2$인 $N_1,N_2$가 있다. $n\ge\max(N_1,N_2)$이면 $|(a_n+b_n)-(a+b)|\le|a_n-a|+|b_n-b|<\varepsilon$이다.정의, 삼각부등식

2. 수렴하는 수열은 유계다. $\varepsilon=1$에 대한 $N$ 이후로 $|a_n|<|a|+1$이고, 그 앞은 유한개이므로 $M=\max(|a_1|,\allowbreak \dots,\allowbreak |a_{N}|,\allowbreak |a|+1)$이 모든 $|a_n|$의 상계다.정의에 $\varepsilon=1$

3. 곱은 더하고 빼서

   $$|a_nb_n-ab|\le|a_n|\,|b_n-b|+|b|\,|a_n-a|\le M|b_n-b|+|b|\,|a_n-a| .$$

   예제 4.2, 2

   $|b_n-b|<\varepsilon/(2M)$, $|a_n-a|<\varepsilon/(2|b|+2)$이 되는 $n$부터 오른쪽은 $\varepsilon$보다 작다.1과 같은 방법

실수의 성질 가운데 극한의 존재를 보장하는 것은 다음 공리다. 완비성: 위로 유계이고 공집합이 아닌 실수 집합은 최소 상계(상한, $\sup$)를 갖는다.

정리 5.4 (단조수렴) 증가하고 위로 유계인 수열은 수렴하고, 극한은 $\sup_na_n$이다. 감소하고 아래로 유계인 수열은 $\inf_na_n$으로 수렴한다.

증명 전략 상한 $s$보다 조금 작은 수는 상계가 아니므로 그보다 큰 항이 있고, 수열이 증가하므로 그 뒤의 항은 모두 $s$ 근처에 있다.

1. 완비성으로 $s=\sup_na_n$이 있다.완비성

2. $\varepsilon>0$이면 $s-\varepsilon$은 상계가 아니므로 $a_N>s-\varepsilon$인 $N$이 있다.상한의 정의

3. $n\ge N$이면 $s-\varepsilon<a_N\le a_n\le s$이므로 $|a_n-s|<\varepsilon$이다.증가, $s$는 상계

4. 감소하는 경우는 $-a_n$에 앞의 결과를 쓴다.

5.2 상극한과 하극한

수렴하지 않는 수열도 “끝에서의 최대·최소”는 갖는다. $s_n=\sup_{k\ge n}a_k$는 $n$이 커지면 상한을 취하는 범위가 줄어들므로 감소한다. 따라서 극한이 (값 $\pm\infty$를 허용하면) 언제나 존재한다.

정의 5.5 (상극한 · 하극한) 

$$\limsup_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}\sup_{k\ge n}a_k,\qquad \liminf_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}\inf_{k\ge n}a_k .$$

$\liminf a_n\le\limsup a_n$이고, 두 값이 같은 유한한 수 $a$일 때와 그때뿐 $a_n\to a$이다. 수렴하면 $\inf_{k\ge n}a_k$와 $\sup_{k\ge n}a_k$가 모두 $a$의 $\varepsilon$ 근처로 들어오고, 거꾸로 두 값이 같으면 $a_n$이 그 사이에 끼기 때문이다. 예를 들어 $a_n=(-1)^n(1+\tfrac1n)$이면 $\sup_{k\ge n}a_k$는 $n$ 이후의 첫 짝수 $k$에서의 값 $1+\tfrac1k$이므로 $\limsup a_n=1$이고, 같은 이유로 $\liminf a_n=-1$이다.

증명 없이 쓰는 사실 (Cauchy 판정법) 실수열 $a_n$이 수렴할 필요충분조건은, 모든 $\varepsilon>0$에 대해 $m,n\ge N$이면 $|a_m-a_n|<\varepsilon$인 $N$이 있다는 것이다. 극한값을 모를 때 수렴을 보이는 데 쓴다. 완비성 공리에서 나오는 해석학의 표준 정리다.

5.3 급수

급수 $\sum_{k=1}^\infty a_k$의 값은 부분합 $S_n=\sum_{k=1}^na_k$의 극한이다. 항이 음이 아니면 $S_n$이 증가하므로, 정리 5.4로 “부분합이 유계인가”만 확인하면 된다.

정리 5.6 (기하급수) $|r|<1$이면 $\sum_{k=0}^\infty r^k=\tfrac1{1-r}$이고, $|r|\ge1$이면 발산한다.

증명 전략 부분합의 닫힌 꼴을 구하고 $r^{n}\to0$을 쓴다.

1. $S_n=\sum_{k=0}^{n-1}r^k$이면 $S_n-rS_n=1-r^n$이므로 $S_n=\tfrac{1-r^n}{1-r}$ ($r\ne1$)이다.망원 합 [T4]

2. $0<|r|<1$이면 $1/|r|=1+h$, $h>0$이고, Bernoulli 부등식으로 $(1+h)^n\ge1+nh$이므로 $|r|^n\le\tfrac1{1+nh}\to0$이다.Bernoulli [T3]

3. 따라서 $S_n\to\tfrac1{1-r}$이다. $|r|\ge1$이면 항 $r^k$이 0으로 가지 않으므로 발산한다.1 2, 연습 5.2

정리 5.7 (비교 판정과 비율 판정) (a) $0\le a_k\le b_k$이고 $\sum b_k<\infty$이면 $\sum a_k<\infty$이다. (b) $a_k>0$이고 어떤 $r<1$과 $K$가 있어 $k\ge K$에서 $a_{k+1}/a_k\le r$이면 $\sum a_k<\infty$이다.

증명 (a) $\sum_{k\le n}a_k\le\sum_{k\le n}b_k\le\sum_kb_k$이므로 증가하는 부분합이 유계다(정리 5.4). (b) $k\ge K$에서 $a_k\le a_Kr^{k-K}$이고(귀납법), 오른쪽의 합은 기하급수이므로 (a)로 수렴한다. 앞의 $K-1$개 항은 유한한 합을 더할 뿐이다.

예제 5.8 (조화급수와 $\sum1/k^2$) $\sum_k1/k^2$은 예제 4.10로 부분합이 2보다 작으므로 수렴한다. 조화급수 $\sum_k1/k$는 발산한다. 항을 $\tfrac12$, $(\tfrac13+\tfrac14)$, $(\tfrac15+\cdots+\tfrac18)$처럼 $2^{j-1}+1$번째부터 $2^j$번째까지 묶으면 묶음마다 $2^{j-1}$개의 항이 모두 $2^{-j}$ 이상이므로 묶음의 합은 $\tfrac12$ 이상이다. 따라서 $S_{2^m}\ge1+\tfrac m2\to\infty$이다. 항이 0으로 가는 것만으로는 수렴하지 않는다.

흔한 실수 부호가 섞인 급수의 항을 재배열한다. 음이 아닌 급수는 항의 순서를 바꾸거나 묶어도 값이 같다(1회의 “음이 아닌 급수의 재배열” 상자). 부호가 섞이면 그렇지 않다. $1-\tfrac12+\tfrac13-\tfrac14+\cdots=\log2$이지만, 같은 항을 양수 하나, 음수 둘의 순서 $1-\tfrac12-\tfrac14+\tfrac13-\tfrac16-\tfrac18+\cdots$로 더하면 $\tfrac12\log2\approx0.3466$이다. 묶음 $\tfrac1{2j-1}-\tfrac1{2(2j-1)}=\tfrac1{2(2j-1)}$을 먼저 계산하면 이 급수는 원래 급수의 절반이 된다. 절댓값의 합 $\sum|a_k|$가 유한하면 순서를 바꿔도 값이 같다.

5.4 사건열의 상극한과 하극한

정의 5.9 (사건의 상극한 · 하극한) 사건열 $A_1,A_2,\dots$에 대해

$$\limsup_nA_n=\bigcap_{n=1}^\infty\bigcup_{k\ge n}A_k,\qquad \liminf_nA_n=\bigcup_{n=1}^\infty\bigcap_{k\ge n}A_k .$$

명제 5.10 (원소로 읽기) $\omega\in\limsup_nA_n$ $\iff$ $\omega$가 무한히 많은 $A_k$에 속한다. $\omega\in\liminf_nA_n$ $\iff$ 유한개를 빼고 모든 $A_k$에 속한다.

증명 전략 교집합은 “모든 $n$”, 합집합은 “어떤 $k\ge n$”으로 읽는다 [T1].

1. $\omega\in\bigcap_n\bigcup_{k\ge n}A_k$ $\iff$ 모든 $n$에 대해 $\omega\in A_k$인 $k\ge n$이 있다.원소 추적

2. $\omega$가 속한 $A_k$가 유한개이면 그 가운데 가장 큰 $k_0$에 대해 $n=k_0+1$에서 1이 깨진다. 무한개이면 어떤 $n$에 대해서도 $n$ 이상의 그런 $k$가 있다.대우 [T2]

3. $\omega\in\bigcup_n\bigcap_{k\ge n}A_k$ $\iff$ 어떤 $n$이 있어 $k\ge n$인 모든 $A_k$에 $\omega$가 속한다. 이것은 “빠지는 $A_k$가 유한개”와 같다.원소 추적

$\limsup_nA_n$을 “$A_n$이 무한히 자주 일어난다”($A_n$ i.o.)라고 읽는다. $\bigcup_{k\ge n}A_k$는 $n$에 대해 감소하고 $\bigcap_{k\ge n}A_k$는 증가하므로, 확률의 연속성을 쓸 수 있는 꼴이다.

예제 5.11 ($e$의 정의) $e_n=(1+\tfrac1n)^n$은 증가하고(연습 4.7) 이항정리로

$$e_n=\sum_{k=0}^n\binom nk\frac1{n^k}\le\sum_{k=0}^n\frac1{k!}\le1+\sum_{k=1}^n\frac1{2^{k-1}}<3$$

$\tbinom nk\le\tfrac{n^k}{k!}$, $k!\ge2^{k-1}$

이므로 위로 유계다. 정리 5.4로 극한이 있고, 그 극한을 $e$로 정의한다. $e_1,e_2,e_{10},e_{100}$은 $2,\ 2.25,\ 2.594,\ 2.705$이다.

연습문제

연습 5.1 ($N(\varepsilon)$ 구하기 ★) $\tfrac{3n+1}{n+2}\to3$을 정의로 보이고, $\varepsilon=0.01$일 때 가장 작은 $N$을 구하라.

풀이

$\bigl|\tfrac{3n+1}{n+2}-3\bigr|=\tfrac5{n+2}$이다. $\varepsilon>0$이면 $N>5/\varepsilon-2$인 $N$을 잡는다. $\varepsilon=0.01$이면 $5/(n+2)<0.01\iff n>498$이므로 가장 작은 $N$은 499다($n=498$이면 $5/500=0.01$로 같다).

연습 5.2 (수렴하지 않음 보이기 ★) $(-1)^n$이 어떤 실수로도 수렴하지 않음을 $\varepsilon=1$로 보여라. 또 $|r|\ge1$이면 $r^n\not\to0$임을 보여라.

풀이

$(-1)^n\to a$라 하자. $\varepsilon=1$에 대한 $N$보다 큰 짝수 $n$과 홀수 $m$에서 $|1-a|<1$, $|-1-a|<1$이다. 그러면 $2=|1-(-1)|\le|1-a|+|a+1|<2$로 모순이다. $|r|\ge1$이면 모든 $n$에서 $|r^n-0|\ge1$이므로 $\varepsilon=1$에 대한 $N$이 없다(예제 2.4의 부정).

연습 5.3 (근호의 차 ★) $\sqrt{n^2+n}-n\to\tfrac12$을 보여라.

풀이

분자를 유리화하면

$$\sqrt{n^2+n}-n=\frac{n}{\sqrt{n^2+n}+n}=\frac1{\sqrt{1+1/n}+1}\to\frac12 .$$

$\sqrt{1+1/n}\to1$과 극한의 대수(정리 5.3, 몫도 같은 방법으로 된다)를 썼다.

연습 5.4 ($\sum k/2^k$ ★) $S=\sum_{k=1}^\infty k/2^k$가 수렴함을 비율 판정으로 보이고, $S-\tfrac12S$를 계산해 $S=2$를 보여라.

풀이

$a_k=k/2^k$이면 $a_{k+1}/a_k=\tfrac{k+1}{2k}\le\tfrac34$ ($k\ge2$)이므로 수렴한다. 수렴하는 두 급수는 항별로 뺄 수 있으므로

$$S-\tfrac12S=\sum_{k\ge1}\frac k{2^k}-\sum_{k\ge2}\frac{k-1}{2^k}=\frac12+\sum_{k\ge2}\frac1{2^k}=1,$$

곧 $S=2$이다.

연습 5.5 (비교 판정 ★★) $\sum_k\tfrac1{k^2+k+1}$은 수렴하고 $\sum_k\tfrac1{\sqrt{k(k+1)}}$은 발산함을 보여라.

풀이

$\tfrac1{k^2+k+1}\le\tfrac1{k^2}$이고 $\sum1/k^2<\infty$(예제 5.8)이므로 수렴한다. $\tfrac1{\sqrt{k(k+1)}}\ge\tfrac1{k+1}$이고 $\sum1/(k+1)$이 발산하므로, 정리 5.7(a)의 대우로 발산한다.

연습 5.6 (상극한 계산 ★★) $a_n=\sin(n\pi/2)+\tfrac1n$의 상극한과 하극한을 구하라.

풀이

$\sin(n\pi/2)$는 $n=1,2,3,4$에서 $1,0,-1,0$을 되풀이한다. $k\equiv1\pmod4$에서 $a_k=1+\tfrac1k$이고 다른 $k$에서 $a_k\le\tfrac1k<1$이므로, $\sup_{k\ge n}a_k$는 $n$ 이후 첫 $k\equiv1$에서의 $1+\tfrac1k$이고 1로 간다. $k\equiv3\pmod4$에서 $a_k=-1+\tfrac1k$이므로 $\inf_{k\ge n}a_k=-1$이다(달성되지는 않는다). 따라서 $\limsup a_n=1$, $\liminf a_n=-1$이다.

연습 5.7 (사건열의 상극한 ★★) $\Omega=[0,1]$에서 $n$이 홀수이면 $A_n=[0,\tfrac1n]$, 짝수이면 $A_n=[\tfrac12,1]$이다. $\limsup_nA_n$과 $\liminf_nA_n$을 구하라.

풀이

$\omega=0$은 홀수 번째 $A_n$ 모두에 속하므로 상극한에 속하고, 짝수 번째에는 속하지 않으므로 하극한에 속하지 않는다. $0<\omega<\tfrac12$이면 $\omega\le\tfrac1n$인 홀수 $n$만 유한개 있으므로 상극한에도 없다. $\tfrac12\le\omega\le1$이면 짝수 번째에 모두 속하므로 상극한에 속하지만, $n\ge3$인 홀수 번째에는 속하지 않으므로 하극한에는 없다. 따라서 $\limsup A_n=\{0\}\cup[\tfrac12,\allowbreak 1]$, $\liminf A_n=\emptyset$이다.

연습 5.8 (상극한의 성질 ★★) 다음 세 식을 보여라.

$$\begin{gather*} \text{(a) }\bigl(\limsup_nA_n\bigr)^c=\liminf_nA_n^c,\qquad \text{(b) }\liminf_nA_n\subset\limsup_nA_n,\\ \text{(c) }\1_{\limsup_nA_n}=\limsup_n\1_{A_n}. \end{gather*}$$

풀이

(a) De Morgan을 두 번 쓰면 $(\bigcap_n\bigcup_{k\ge n}A_k)^c=\bigcup_n(\bigcup_{k\ge n}A_k)^c=\bigcup_n\bigcap_{k\ge n}A_k^c$. (b) $\omega$가 $k\ge n_0$인 모든 $A_k$에 속하면 무한히 많은 $A_k$에 속한다(명제 5.10). (c) $\1_{A_n}(\omega)\in\{0,1\}$이므로 $\sup_{k\ge n}\1_{A_k}(\omega)=1$이 모든 $n$에서 성립하는 것은 $\1_{A_k}(\omega)=1$인 $k$가 무한히 많을 때이고, 그때만 $\limsup_n\1_{A_n}(\omega)=1$이다.

연습 5.9 (비율 판정 ★★) $\sum_kk^3/3^k$과 $\sum_kk!/k^k$이 수렴함을 비율 판정으로 보여라.

풀이

$a_k=k^3/3^k$: $a_{k+1}/a_k=(1+\tfrac1k)^3/3\le(5/4)^3/3=\tfrac{125}{192}<1$ ($k\ge4$). $a_k=k!/k^k$: $a_{k+1}/a_k=\bigl(\tfrac k{k+1}\bigr)^k=(1+\tfrac1k)^{-k}\le\tfrac12$이다. Bernoulli 부등식으로 $(1+\tfrac1k)^k\ge2$이기 때문이다. 둘 다 정리 5.7(b)로 수렴한다.

연습 5.10 (Cesàro 평균 ★★★) $a_n\to a$이면 $\tfrac1n(a_1+\cdots+a_n)\to a$임을 보여라. 역은 성립하지 않음을 보여라.

풀이

$\varepsilon>0$이면 $k>N$에서 $|a_k-a|<\varepsilon/2$인 $N$이 있다. $n>N$이면

$$\Bigl|\frac1n\sum_{k=1}^na_k-a\Bigr|\le\frac1n\sum_{k=1}^N|a_k-a|+\frac1n\sum_{k=N+1}^n|a_k-a|\le\frac{C_N}n+\frac\varepsilon2 ,$$

$C_N=\sum_{k\le N}|a_k-a|$는 $n$과 무관하므로 $n>2C_N/\varepsilon$이면 $\varepsilon$보다 작다. 역의 반례: $a_n=(-1)^n$의 평균은 $0$ 또는 $-1/n$이어서 0으로 가지만 $a_n$은 수렴하지 않는다(연습 5.2).

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