증명 도구 상자 · 노트

1 T1 집합 등식: 원소 추적과 지시함수

확률은 사건에 붙는 수이고 사건은 집합이다. 그래서 확률에 대한 등식의 상당수는 먼저 집합에 대한 등식으로 증명한다. 1회의 기본 성질, 포함배제, 연속성의 증명이 모두 이 절의 두 방법, 곧 원소 추적과 지시함수를 쓴다.

1.1 원소 추적

두 집합이 같다는 것은 서로를 포함한다는 것이다.

$$A=B\iff A\subset B\ \text{이고}\ B\subset A .$$

$A\subset B$를 보이려면 $A$의 원소 $\omega$를 아무것이나 잡고 $\omega\in B$임을 보인다. 이것을 원소 추적(element chasing) 또는 이중 포함이라 한다. 등호의 양쪽을 각각 “$\omega$가 어떤 조건을 만족한다”는 문장으로 바꾸고, 두 문장이 같은 뜻임을 확인하는 것이다.

보조정리 1.1 (분배법칙) 임의의 집합족 $\{B_i\}_{i\in I}$에 대해

$$A\cap\Bigl(\bigcup_{i\in I}B_i\Bigr)=\bigcup_{i\in I}(A\cap B_i),\qquad A\cup\Bigl(\bigcap_{i\in I}B_i\Bigr)=\bigcap_{i\in I}(A\cup B_i).$$

증명 전략 첫 식의 양쪽을 $\omega$에 대한 문장으로 바꾼다. 둘째 식은 첫 식에 De Morgan을 쓴다.

1. $\omega\in A\cap(\bigcup_iB_i)$ $\iff$ $\omega\in A$이고, 어떤 $i$에 대해 $\omega\in B_i$이다.교집합과 합집합의 정의

2. $\iff$ 어떤 $i$에 대해 $\omega\in A$이고 $\omega\in B_i$이다.$\omega\in A$는 $i$와 무관하다

3. $\iff$ $\omega\in\bigcup_i(A\cap B_i)$. 따라서 첫 식이 성립한다.합집합의 정의

4. 첫 식을 $A^c$와 $\{B_i^c\}$에 쓰고 양변의 여집합을 취하면 둘째 식이 나온다.De Morgan

예제 1.2 (서로소 조각 만들기) 사건 $A_1,A_2,\dots$에 대해 $B_1=A_1$, $B_n=A_n\setminus(A_1\cup\cdots\cup A_{n-1})$로 두면

$$\text{(i) } B_n\subset A_n,\qquad \text{(ii) } B_m\cap B_n=\emptyset\ (m\ne n),\qquad \text{(iii) } \bigcup_{n}B_n=\bigcup_nA_n .$$

(i)은 정의에서 바로 나온다. (ii) $m<n$이면 $B_m\subset A_m\subset A_1\cup\cdots\cup A_{n-1}$이고 $B_n$은 이 합집합과 만나지 않는다. (iii) $\subset$는 (i)에서 나온다. $\supset$: $\omega\in\bigcup_nA_n$이면 $\omega\in A_n$인 $n$ 가운데 가장 작은 것 $m$이 있다(자연수의 정렬원리, [T3]). 그러면 $\omega\in A_m$이고 $\omega\notin A_1\cup\cdots\cup A_{m-1}$이므로 $\omega\in B_m$이다.

이 조각들로 Boole 부등식 $P(\bigcup_nA_n)\le\sum_nP(A_n)$이 나온다. (iii)과 (ii)로 왼쪽은 $\sum_nP(B_n)$이고, (i)과 단조성으로 $P(B_n)\le P(A_n)$이다.

1.2 지시함수

정의 1.3 (지시함수) 집합 $A\subset\Omega$의 지시함수(indicator function)는 $\omega\in A$이면 $\1_A(\omega)=1$, 아니면 $\1_A(\omega)=0$인 함수 $\1_A:\Omega\to\{0,1\}$이다.

지시함수를 쓰면 집합 연산이 수의 연산으로 바뀐다. 두 함수가 같다는 것은 모든 점에서 값이 같다는 것이므로, 증명은 $\omega$의 위치에 따른 경우 나누기가 된다.

명제 1.4 (지시함수의 대수) 집합 $A,B$와 쌍마다 서로소인 집합 $A_1,A_2,\dots$에 대해

1. (a)

   $\1_{A\cap B}=\1_A\1_B$, $\1_{A^c}=1-\1_A$.

2. (b)

   $\1_{A\cup B}=\1_A+\1_B-\1_A\1_B=1-(1-\1_A)(1-\1_B)$.

3. (c)

   $A\subset B\iff\1_A\le\1_B$, $A=B\iff\1_A=\1_B$.

4. (d)

   $\1_{\bigcup_iA_i}=\sum_i\1_{A_i}$ (쌍마다 서로소일 때).

증명 전략 함수의 등식은 점마다의 등식이다. $\omega$가 $A$, $B$에 속하는지에 따라 네 경우를 표로 확인한다.

1. (a), (b)의 양변을 $(\1_A(\omega),\1_B(\omega))$의 네 값에서 계산한다.

   $\1_A$	$\1_B$	$\1_{A\cap B}$	$\1_A\1_B$	$\1_{A\cup B}$	$\1_A+\1_B-\1_A\1_B$
   1	1	1	1	1	1
   1	0	0	0	1	1
   0	1	0	0	1	1
   0	0	0	0	0	0

   같은 줄의 값이 같다. $\1_{A^c}=1-\1_A$도 두 경우로 확인한다. (b)의 둘째 꼴은 첫째 꼴을 전개한 것이다.경우 나누기

2. (c) $A\subset B$이면 $\1_A(\omega)=1$일 때 $\omega\in B$이므로 $\1_B(\omega)=1$이다. 거꾸로 $\1_A\le\1_B$이면 $\omega\in A$에서 $1\le\1_B(\omega)$이므로 $\omega\in B$다. 등호는 두 방향의 포함을 합친 것이다.원소 추적

3. (d) $\omega$가 합집합에 없으면 양변이 0이다. 있으면 쌍마다 서로소이므로 정확히 하나의 $A_i$에 속하고, 오른쪽 합에서 그 항 하나만 1이다.서로소

예제 1.5 (포함배제의 점별 형태) 사건 $A_1,\dots,A_n$에 대해 (a)와 (b)를 되풀이하면

$$\1_{A_1\cup\cdots\cup A_n}=1-\prod_{i=1}^n\bigl(1-\1_{A_i}\bigr) =\sum_{k=1}^n(-1)^{k+1}\sum_{i_1<\cdots<i_k}\1_{A_{i_1}}\cdots\1_{A_{i_k}} .$$

첫 등호는 $(A_1\cup\cdots\cup A_n)^c=A_1^c\cap\cdots\cap A_n^c$(De Morgan)의 지시함수를 (a)로 쓴 것이다. 둘째 등호는 곱을 전개한 것이고, $\1_{A_{i_1}}\cdots\1_{A_{i_k}}=\1_{A_{i_1}\cap\cdots\cap A_{i_k}}$이다. 양변의 기댓값을 취하면 포함배제 공식이 나온다. 1회의 포함배제 증명 2(점마다 몇 번 세어지는가)를 함수의 등식 하나로 쓴 것이다.

1.3 역상

확률변수는 함수 $X:\Omega\to\R$이고, $\{X\in B\}$는 $B$의 역상(inverse image)

$$X^{-1}(B)=\{\omega\in\Omega:\ X(\omega)\in B\}$$

이다. 역상은 집합 연산과 순서를 바꿀 수 있다.

명제 1.6 (역상과 집합 연산) 함수 $X:\Omega\to\R$와 $\R$의 부분집합 $B$, $\{B_i\}_{i\in I}$에 대해

$$X^{-1}\Bigl(\bigcup_iB_i\Bigr)=\bigcup_iX^{-1}(B_i),\qquad X^{-1}\Bigl(\bigcap_iB_i\Bigr)=\bigcap_iX^{-1}(B_i),\qquad X^{-1}(B^c)=\bigl(X^{-1}(B)\bigr)^c .$$

증명 전략 $\omega\in X^{-1}(\cdot)$를 $X(\omega)\in\cdot$로 바꾸면 세 식 모두 원소 추적 한 줄이다.

1. $\omega\in X^{-1}(\bigcup_iB_i)\iff X(\omega)\in\bigcup_iB_i\iff$ 어떤 $i$에서 $X(\omega)\in B_i\iff\omega\in\bigcup_iX^{-1}(B_i)$.역상과 합집합의 정의

2. 교집합은 “어떤 $i$”를 “모든 $i$”로 바꾸면 같다.1

3. $\omega\in X^{-1}(B^c)\iff X(\omega)\notin B\iff\omega\notin X^{-1}(B)$.여집합의 정의

이 명제 때문에 $\{X\le b\}\setminus\{X\le a\}=\{a<X\le b\}$, $\bigcup_n\{X\le x-\tfrac1n\}=\{X<x\}$ 같은 사건의 계산을 실수 집합의 계산으로 바꿀 수 있다. 1회의 분포함수 성질의 증명이 이 계산을 쓴다.

흔한 실수 (1) $(A\cup B)\setminus B=A$는 거짓이다. 맞는 식은 $(A\cup B)\setminus B=A\setminus B$이고, $A\cap B\ne\emptyset$이면 둘은 다르다. (2) $\1_{A\cup B}=\1_A+\1_B$는 $A\cap B=\emptyset$일 때만 맞다. $A=B$이면 오른쪽은 $2\1_A$이다. (3) 역상과 달리 상(image)은 교집합과 순서를 바꿀 수 없다. $f(\omega)=\omega^2$, $A=\{-1\}$, $B=\{1\}$이면 $f(A\cap B)=\emptyset$이지만 $f(A)\cap f(B)=\{1\}$이다.

연습문제

연습 1.1 (차집합의 분배 ★) 원소 추적으로 $(A\cup B)\setminus C=(A\setminus C)\cup(B\setminus C)$와 $A\setminus(B\cup C)=(A\setminus B)\cap(A\setminus C)$를 보여라.

풀이

$\omega\in(A\cup B)\setminus C$ $\iff$ ($\omega\in A$ 또는 $\omega\in B$) 그리고 $\omega\notin C$ $\iff$ ($\omega\in A$, $\omega\notin C$) 또는 ($\omega\in B$, $\omega\notin C$) $\iff$ $\omega\in(A\setminus C)\cup(B\setminus C)$. 둘째 식: $\omega\in A\setminus(B\cup C)$ $\iff$ $\omega\in A$, $\omega\notin B$, $\omega\notin C$ $\iff$ $\omega\in A\setminus B$이고 $\omega\in A\setminus C$.

연습 1.2 (대칭차 ★) $A\triangle B=(A\setminus B)\cup(B\setminus A)$로 정의한다. (a) $A\triangle B=(A\cup B)\setminus(A\cap B)$를 보여라. (b) $\1_{A\triangle B}=(\1_A-\1_B)^2=\1_A+\1_B-2\1_A\1_B$를 보여라. (c) (b)를 써서 $(A\triangle B)\triangle C=A\triangle(B\triangle C)$를 보여라.

풀이

(a) 양쪽 모두 “$\omega$가 $A$와 $B$ 가운데 정확히 하나에 속한다”와 같다.

(b) $(\1_A,\1_B)$의 네 값 $(1,1)$, $(1,0)$, $(0,1)$, $(0,0)$에서 $\1_{A\triangle B}$는 차례로 $0,1,1,0$이다. $(\1_A-\1_B)^2$도 같은 값을 갖는다. $\1_A^2=\1_A$이므로 전개하면 $\1_A+\1_B-2\1_A\1_B$이다.

(c) (b)에서 $\1_{A\triangle B}$는 $\1_A+\1_B$를 2로 나눈 나머지다. 이것을 되풀이하면 두 집합 $(A\triangle B)\triangle C$와 $A\triangle(B\triangle C)$의 지시함수는 모두 $\1_A+\1_B+\1_C$를 2로 나눈 나머지다. 지시함수가 같으므로 두 집합이 같다(명제 1.4(c)). 두 집합 모두 “$A,B,C$ 가운데 홀수 개에 속하는 점”의 집합이다.

연습 1.3 (세 사건의 점별 포함배제 ★) $1-(1-\1_A)(1-\1_B)(1-\1_C)$를 전개해 $\1_{A\cup B\cup C}$를 일곱 개 지시함수의 부호 있는 합으로 써라. $\omega$가 $A$와 $B$에만 속할 때 오른쪽이 1이 됨을 직접 확인하라.

풀이

$a=\1_A$, $b=\1_B$, $c=\1_C$로 쓰면

$$1-(1-a)(1-b)(1-c)=a+b+c-ab-ac-bc+abc ,$$

곧 $\1_{A\cup B\cup C}=\1_A+\1_B+\1_C-\1_{AB}-\1_{AC}-\1_{BC}+\1_{ABC}$이다. $\omega$가 $A$와 $B$에만 속하면 $a=b=1$, $c=0$이므로 오른쪽은 $1+1-1=1$이다.

연습 1.4 (포함과 서로소의 여러 표현 ★★) 다음이 모두 같은 뜻임을 보여라. (i) $A\subset B$, (ii) $A\cap B^c=\emptyset$, (iii) $A\cup B=B$, (iv) $A\cap B=A$. 또 $A\cap B=\emptyset\iff\1_A+\1_B\le1$을 보여라.

풀이

(i)$\Rightarrow$(ii): $\omega\in A\cap B^c$이면 $\omega\in A\subset B$이면서 $\omega\notin B$이므로 그런 $\omega$는 없다. (ii)$\Rightarrow$(iii): $B\subset A\cup B$는 늘 성립한다. $\omega\in A$이면 (ii)로 $\omega\notin B^c$, 곧 $\omega\in B$이므로 $A\cup B\subset B$이다. (iii)$\Rightarrow$(iv): $A\subset A\cup B=B$이므로 $A\cap B=A$. (iv)$\Rightarrow$(i): $A=A\cap B\subset B$. $\1_A+\1_B$는 $\omega$가 두 집합에 모두 속할 때만 2이고 그 밖에는 1 이하다. 따라서 $\1_A+\1_B\le1$ $\iff$ 두 집합에 모두 속하는 점이 없다 $\iff$ $A\cap B=\emptyset$.

연습 1.5 (역상 계산 ★) $\Omega=\{1,2,\dots,12\}$에서 $X(\omega)$를 $\omega$를 3으로 나눈 나머지라 하자. $X^{-1}(\{0\})$, $X^{-1}(\{1,2\})$, $X^{-1}([0.5,\infty))$를 원소로 적고, $X^{-1}(\{1,\allowbreak 2\})=(X^{-1}(\{0\}))^c$임을 확인하라.

풀이

$X^{-1}(\{0\})=\{3,6,9,12\}$, $X^{-1}(\{1,\allowbreak 2\})=\{1,\allowbreak 2,\allowbreak 4,\allowbreak 5,\allowbreak 7,\allowbreak 8,\allowbreak 10,\allowbreak 11\}$이다. $X$의 값은 $0,1,2$뿐이므로 $X^{-1}([0.5,\allowbreak \infty))=X^{-1}(\{1,\allowbreak 2\})$이다. $\{1,2\}$는 값의 집합 $\{0,1,2\}$에서 $\{0\}$의 여집합이므로, 명제 1.6로 $X^{-1}(\{1,\allowbreak 2\})=X^{-1}(\R\setminus\{0\})=(X^{-1}(\{0\}))^c$이고 실제로 원소가 일치한다.

연습 1.6 (상은 교집합을 보존하지 않는다 ★★) 함수 $f:\Omega\to S$와 $A,B\subset\Omega$에 대해 (a) $f(A\cup B)=f(A)\cup f(B)$, (b) $f(A\cap B)\subset f(A)\cap f(B)$를 보여라. (c) 모든 $A,B$에서 (b)가 등호인 것은 $f$가 일대일일 때와 그때뿐임을 보여라.

풀이

(a) $s\in f(A\cup B)$ $\iff$ $s=f(\omega)$인 $\omega\in A\cup B$가 있다 $\iff$ $s\in f(A)$ 또는 $s\in f(B)$. (b) $s=f(\omega)$, $\omega\in A\cap B$이면 $s\in f(A)$이고 $s\in f(B)$이다. (c) $f$가 일대일이고 $s\in f(A)\cap f(B)$이면 $s=f(a)=f(b)$인 $a\in A$, $b\in B$가 있고 $a=b\in A\cap B$이므로 $s\in f(A\cap B)$이다. 일대일이 아니면 $f(\omega_1)=f(\omega_2)$, $\omega_1\ne\omega_2$인 점이 있고, $A=\{\omega_1\}$, $B=\{\omega_2\}$에서 $f(A\cap B)=\emptyset\ne f(A)\cap f(B)$이다(대우, [T2]).

연습 1.7 (합집합과 교집합의 지시함수 ★★) 임의의 집합족 $\{A_i\}_{i\in I}$에 대해 $\1_{\bigcup_iA_i}=\sup_i\1_{A_i}$, $\1_{\bigcap_iA_i}=\inf_i\1_{A_i}$임을 보여라.

풀이

$\sup_i\1_{A_i}(\omega)$는 값이 $\{0,1\}$인 수들의 상한이므로, 어떤 $i$에서 $\1_{A_i}(\omega)=1$이면 1이고 아니면 0이다. 앞의 경우가 $\omega\in\bigcup_iA_i$이다. 하한은 모든 $i$에서 1일 때만 1이고, 이것이 $\omega\in\bigcap_iA_i$이다.

연습 1.8 (역상으로 만든 σ-대수 ★★) 함수 $X:\Omega\to\R$에 대해 $\mathcal G=\{X^{-1}(B):\ B\subset\R\}$이 $\Omega$ 위의 σ-대수임을 보여라.

풀이

$\Omega=X^{-1}(\R)\in\mathcal G$이다. $G=X^{-1}(B)\in\mathcal G$이면 $G^c=X^{-1}(B^c)\in\mathcal G$이다. $G_i=X^{-1}(B_i)$이면 $\bigcup_iG_i=X^{-1}(\bigcup_iB_i)\in\mathcal G$이다. 세 단계 모두 명제 1.6이다.

연습 1.9 (세 사건이 만드는 집합의 수 ★★★) 사건 $A,B,C$에서 합집합, 교집합, 여집합을 유한 번 써서 만들 수 있는 집합은 모두 여덟 개의 “원자” $A^{\pm}\cap B^{\pm}\cap C^{\pm}$($A^+=A$, $A^-=A^c$)의 합집합임을 보여라. 따라서 이런 집합은 많아야 $2^8=256$개다. (힌트: 만든 집합 $S$의 지시함수는 $(\1_A,\1_B,\1_C)$의 함수다.)

풀이

$\mathcal S$를 “어떤 함수 $h:\{0,1\}^3\to\{0,1\}$에 대해 $\1_S(\omega)=h(\1_A(\omega),\allowbreak \1_B(\omega),\allowbreak \1_C(\omega))$인 집합 $S$”의 모임이라 하자. $A,B,C\in\mathcal S$이다($h$는 좌표 하나). $S,T\in\mathcal S$이면 $\1_{S^c}=1-h_S$, $\1_{S\cup T}=\max(h_S,h_T)$, $\1_{S\cap T}=\min(h_S,h_T)$도 $(\1_A,\1_B,\1_C)$의 함수이므로 $\mathcal S$는 세 연산에 닫혀 있다. 연산 횟수에 대한 귀납법([T3])으로 만든 집합은 모두 $\mathcal S$에 속한다. $S\in\mathcal S$이면 $\omega\in S$ $\iff$ $h(e)=1$, $e=(\1_A(\omega),\allowbreak \1_B(\omega),\allowbreak \1_C(\omega))$이다. $e$가 정해지면 $\omega$는 원자 $A^{\pm}B^{\pm}C^{\pm}$ 가운데 정확히 하나에 속하므로, $S$는 $h(e)=1$인 $e$에 대응하는 원자들의 합집합이다. $h$는 $2^8=256$가지이므로 그런 집합도 많아야 256개다.

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