테마
공부하는 법
이 과정은 대학원 1년차 수리통계 자격시험(퀄) 수준의 수리통계학을 16회로 다룬다. 회차마다 강의노트, 워크북, 노트북이 있다. 노트와 워크북은 이 사이트에서 바로 읽고 풀고, 같은 내용의 PDF는 회차 안내 페이지에서 받는다.
대상과 선수 지식
- 대상: 수리통계학 자격시험을 준비하는 대학원 1년차와, 같은 수준으로 수리통계학을 다시 세우려는 독자.
- 엄밀성: Casella–Berger 수준이다. 측도론은 쓰지 않는다. 극한과 적분의 교환, Fubini, 적분 기호 아래의 미분처럼 측도론에서 증명되는 결과는 "증명 없이 쓰는 사실" 상자에 조건까지 정확히 진술하고, 쓰는 자리에서 그 조건을 확인한다.
- 선수 지식: 미적분(다변수 적분 포함)과 선형대수(고유분해, 직교사영). 수열의 극한, ε–N 논증, 상극한 · 하극한은 증명 도구 상자의 T5가 보충한다.
자료 다섯 가지
| 자료 | 언제 쓰나 | 무엇을 하나 |
|---|---|---|
| 강의노트 | 회차의 처음 | 정의를 만나고 정리를 증명한다. 연습문제는 본문과 엮인 개념 문제이고, 풀이는 연습 상자 안의 "풀이"를 펼치면 있다(PDF에서는 노트 끝 부록) |
| 노트북 | 노트를 읽으며, 또는 읽은 뒤 | 정리가 말하는 것을 숫자와 시뮬레이션으로 확인한다. 원자료를 재현하고 추정량을 직접 구현한다 |
| 워크북 | 노트를 덮고 | 계산과 증명을 손으로 한다. 회차당 34–35문항, 약 10시간. 문항마다 힌트와 풀이가 접혀 있고, 수나 식인 최종답은 문항 아래에서 바로 확인한다 |
| 증명 도구 상자 | 근거에 [T#]가 보일 때 | 증명 기법 자체를 익힌다 |
| 종합 모의고사 | 16회를 마친 뒤 | 180분에 6문항을 푸는 시험 연습을 한다 |
손으로 풀 것: 워크북은 화면의 문항을 보며 종이에 풀거나, 학생판 PDF를 인쇄해 문항 아래의 풀이 줄에 푼다. 빈칸 증명의 빈칸은 다 채운 뒤 "빈칸 답 보기"로 맞춰 본다. 모의고사 시험지는 인쇄해서 시간을 재고 푼다.
사이트에서 쓰는 도구
| 자리 | 도구 | 쓰는 법 |
|---|---|---|
| 회차 안내 | 연표 | 노트 표지의 연표를 사건마다 누를 수 있게 다시 그렸다. 사건을 누르면 그 사건을 다루는 절이 나온다. "실제 시간 간격"을 켜면 해의 비율대로 옮긴다 |
| 회차 안내 | 직접 해 보기 | 그 회차의 핵심 정리를 막대와 단추로 움직여 본다. 읽는 값은 이론값과 모의값을 나란히 보인다. 정리의 증명을 읽은 뒤 그 결론이 숫자로 맞는지 확인한다 |
| 회차 안내 | 정리 지도 | 노트와 워크북의 번호 참조를 모두 세어, 이 회차의 정리가 앞 회차의 무엇을 쓰고 뒤 회차가 무엇을 가져가는지 그렸다. 복습할 때 앞 회차의 어느 정리로 돌아갈지 고른다 |
| 읽기 페이지 | 참조 미리 보기 | 본문의 "정리 1.6", "7회 정리 3.1", [T5]에 마우스를 올리면 그 상자의 문장이 뜬다. 누르면 그 자리로 간다 |
| 읽기 페이지 · 워크북 | 공부 기록 | 절 끝의 "이 절을 다 읽었다", 문항 끝의 "다 풀었다"를 누르면 회차 안내와 첫 화면에 진도가 나온다. 최종답을 모두 맞힌 문항은 누르지 않아도 푼 것으로 센다. 기록은 이 브라우저에만 남는다 |
| 첫 화면 | 연표 · 회차 사이의 흐름 | 16회차의 사건을 한 축에 놓고, 회차 쌍마다 번호 참조의 수를 활로 그렸다. 어느 회차가 어느 회차 위에 서 있는지 본다 |
회차 하나를 공부하는 순서
- 노트 앞부분: 여는 질문, 학습 목표, 정리 지도를 본다. 정리 지도의 화살표는 "증명에 쓰인다"는 뜻이다.
- 노트 본문: 절마다 역사 → 정의 · 정리 → 증명 → 그림 순서로 읽는다. 증명을 읽는 법은 아래에 있다.
- 유도형 연습: "유도형" 표시가 붙은 연습은 본문에서 증명을 뺀 정리다. 소문항 (a)(b)(c)를 따라 손으로 증명을 완성한다. 건너뛰지 않는다.
- 노트북: 위에서부터 실행하거나 실행 결과를 읽는다. 각 절은 직접 구현 → 라이브러리 대조 → 정리 확인 → 가정 부숴보기 순서다.
- 워크북: 노트를 덮고 A → B → C → D 순서로 푼다.
- 확인: 수나 식인 최종답은 문항 아래 칸이나 답 확인에 넣고, 증명은 접어 둔 풀이와 대조한다. 틀린 문항은 관련 정리의 단계형 증명으로 돌아간다. 문항의 "정리 3.1" 같은 근거는 누르면 그 정리로 간다.
- 노트 연습문제: 시간이 남으면 노트 각 절의 연습을 푼다.
시간 예상: 노트 6–8시간, 노트북 2–3시간, 워크북 약 10시간이다. 한 주에 한 회차면 주당 약 20시간이다. 시간이 부족하면 워크북 A부와 B부를 먼저 하고, C부와 D부는 복습 때 푼다.
노트 읽는 법
상자의 색
| 왼쪽 선 | 상자 |
|---|---|
| 빨강 | 정리, 보조정리, 따름정리, 명제 |
| 보라 | 정의 |
| 파랑 | 예제 |
| 주황 | 가정 주의: 빼면 정리가 성립하지 않는 가정 |
| 청록 | 연습문제 |
| 회색 | 역사, 증명 없이 쓰는 사실 |
수식과 그림의 색도 같은 뜻이다. 보라는 모수, 청록은 데이터 · 확률변수, 파랑은 통계량, 빨강은 핵심 결론이다. 이 사이트의 꼬리표도 같은 색을 쓴다.
단계형 증명. 핵심 정리의 증명은 다음 모양이다.
- 전략: 증명이 무엇을 어떤 순서로 하는지 한 줄로 적는다.
- 번호 단계 ①②③: 한 줄에 한 단계다. 오른쪽 끝에 근거(공리, 정의나 정리의 번호, 도구 번호
[T#])가 있다. 별행 식은 줄마다 근거가 붙는다. - 조건 확인: 극한과 적분을 바꾸거나 적분가능성이 필요한 자리에서, 그 조건이 성립하는지 따로 확인한다.
읽을 때는 오른쪽 근거를 가리고, 각 단계가 왜 성립하는지 먼저 말해 본다. 근거를 말할 수 없는 단계는 그 근거의 정리로 돌아간다. 근거의 번호는 찾아보기에서 찾는다. 같은 정리의 빈칸 증명이 워크북 B부에 있다.
유도형 증명: 본문에 "증명. 전략 …"만 있고 연습으로 돌린 정리다. 끝의 링크가 해당 연습과 부록의 완성된 증명을 가리킨다.
증명 없이 쓰는 사실: 과정의 범위를 넘는 결과(예: 지배수렴 정리, 다중적분의 치환)다. 무엇이 참인지와 어디서 증명되는지를 밝힌다.
워크북 쓰는 법
| 부 | 문항 | 하는 일 |
|---|---|---|
| A 계산 드릴 | 12–15 | 정의와 공식을 손으로 돌린다. 최종답이 수나 식이다 |
| B 빈칸 증명 | 5–7 | 노트의 단계형 증명을 책을 덮고 다시 쓴다 |
| C 증명 문제 | 8–10 | 정리를 변형하고 일반화하고, 반례로 경계를 확인한다 |
| D 퀄형 | 3–5 | 여러 회차를 잇는 종합 문제다. 머리의 제한 시간을 잰다 |
- 문항 머리: 오른쪽에 관련 정리 번호와 예상 시간이 있다. 예상 시간의 두 배가 지나도 진척이 없으면 그때 노트를 편다.
- B부의 사다리: 같은 정리를 세 번 만난다. ①은 단계가 주어지고 근거만 빈칸이다. ②는 단계의 이름만 주어진다. ③은 전략만 주어진다. 순서대로 풀고, 앞 문항의 답을 보면서 다음 문항을 쓰지 않는다.
- 막힐 때의 3단: 학생판 뒤의 힌트를 먼저 본다. 다 푼 뒤에는 최종답과 맞춘다. 그래도 어긋나거나 증명이 막히면 풀이판을 본다.
- 증명의 형식: 등호와 부등호마다 근거를 오른쪽에 적는다. 노트의 단계형 증명과 같은 모양이다.
답 확인
회차마다 답 확인 페이지가 있다. 워크북 번호(A3, D2b …) 옆 칸에 손으로 구한 최종답을 넣는다.
- 분수는
3/8, 소수는0.375로 넣는다. 소수로 넣은 답은 상대오차 0.1%까지 맞다고 본다. - 식은 문항의 기호로 쓴다:
(1-p)/(2-p),n*p*(1-p),exp(-lam)*lam^k. λ는lam처럼 문항에 적힌 이름을 쓴다. - 식으로 된 답은 여러 점에서 값을 비교해 채점한다. 답 열쇠는 노트북의
check()와 같다. - 답 보기는 최종답을 보여 준다. 다 푼 뒤에 쓴다.
- 넣은 답과 결과는 이 브라우저에만 남는다.
노트북을 내려받아 실행하면 마지막 절의 check("A3", "1/2")로도 확인할 수 있다.
증명 도구 상자
노트와 워크북의 근거에 [T#]가 처음 나올 때 도구 상자의 그 절을 읽고 연습을 몇 개 푼다.
| 도구 | 내용 | 처음 쓰는 회차 |
|---|---|---|
| T1 | 집합 등식: 원소 추적, 지시함수 | 1회 |
| T2 | 대우와 귀류, 반례 | 1회 |
| T3 | 귀납법과 재귀적 정의 | 1회 |
| T4 | 부등식과 볼록성: Cauchy–Schwarz, Jensen, AM–GM | 2회 |
| T5 | ε–N, 급수, 상극한과 하극한, 사건의 극한 | 1회 |
| T6 | 극한과 적분의 교환: 단조 · 지배수렴, Fubini–Tonelli, 적분 기호 아래의 미분 | 2회 |
| T7 | 변수변환과 Jacobian | 2회(단조변환), 3회(다변량) |
| T8 | Taylor 전개, · , · | 7회 |
일정 예시
한 학기(16주): 한 주에 한 회차를 공부한다. 앞 덩어리의 정리를 뒤 덩어리가 번호로 인용한다.
| 주 | 회차 | 덩어리 |
|---|---|---|
| 1–4 | 1–4회 | 확률의 공리, 기댓값과 부등식, 다변량과 조건부기댓값, 이산 · 감마 분포 |
| 5–6 | 5–6회 | 정규분포와 Galton, Student의 t |
| 7–8 | 7–8회 | 극한 정리(CLT, 델타 방법), 추론의 기초(신뢰구간, 검정) |
| 9–10 | 9–10회 | 최대가능도와 그 점근이론, 다모수와 EM |
| 11–12 | 11–12회 | 충분성과 UMVUE, 최적 검정과 결정이론 |
| 13–14 | 13–14회 | 최소제곱과 선형모형, 분산분석과 실험설계 |
| 15–16 | 15–16회 | 순위 · 로버스트 · 부트스트랩, 베이즈 · MCMC · Stein |
퀄 직전(4주):
| 주 | 할 일 |
|---|---|
| 1 | 모의고사 A를 180분에 풀고 다음 날 채점한다. 틀린 문항의 관련 회차에서 워크북 B부를 다시 푼다 |
| 2 | 모의고사 B, 같은 방식 |
| 3 | 모의고사 C, 같은 방식 |
| 4 | 16회 전체의 워크북 D부를 시간을 재고 다시 푼다. 단계형 증명을 전략 한 줄만 보고 다시 증명한다 |
모의고사 쓰는 법
- 세트 하나를 한 번에, 노트를 덮고 180분 동안 푼다. 선택 문항은 없다.
- 막힌 소문항은 앞 소문항의 결과를 가정하고 넘어가도 된다. 무엇을 가정했는지 적는다.
- 채점은 다음 날 풀이판으로 한다. 채점 기준에는 소문항별 배점과, 조건 확인을 빠뜨렸을 때 같은 흔한 감점이 적혀 있다.
- 수치 답은 모의고사 답 확인에 넣는다.
- 풀이판 맨 뒤의 출제 범위 표에서 틀린 문항이 쓰는 회차를 찾아 복습한다.