테마
2회 강의노트 · 1657 → 1867
기댓값과 대수의 법칙
몇 번 던져야 아는가
Huygens는 확률보다 먼저 “기대”를 정의했고, Jacob Bernoulli는 20년을 들여 관측한 비율이 참값에 다가간다는 것을 증명했다. 그러나 그가 얻은 시행 횟수 25,550은 실제로 필요한 수의 네 배였다. 그 차이를 메운 것은 150년 뒤 Bienaymé와 Chebyshev의 부등식, 그리고 다시 100년 뒤의 지수적 한계였다. 이 노트는 기댓값, 분산과 적률, 적률생성함수, 변수변환을 처음부터 세우고, Markov·Chebyshev·Jensen 부등식으로 대수의 법칙을 증명한다.
69쪽노트 · 10절
62개정리 · 정의 · 예제
62문항노트의 연습
34문항워크북
46개최종답 확인
읽은 절0 / 10
푼 문항0 / 34
맞힌 최종답0 / 46
개관
다루는 것
기댓값꼬리 공식분산과 적률적률생성함수변수변환확률적분변환MarkovChebyshevJensen대수의 법칙Hoeffding
원자료
Weldon(1894)의 주사위 26,306번Arbuthnot(1710)의 런던 세례 기록 82년Halley(1693)의 생명표
선수 지식
1회 전체 (확률의 공리, 독립, 확률변수와 분포함수), 1학년 미적분 (급수, 이상적분, 테일러 급수)
연표 기댓값이 정의되고, 평균이 참값에 다가간다는 것이 증명되기까지
직접 해 보기
정리 지도
노트와 워크북에 적힌 번호 참조를 모두 세어 그렸다. 왼쪽은 이 회차가 근거로 쓰는 앞 회차, 오른쪽은 이 회차의 상자를 근거로 쓰는 뒤 회차다.
차례
정리 · 정의 · 예제
연습 62문항 · 풀이는 연습 상자 안에 접어 두었다
1절 Huygens의 기대 — 기댓값
1.1룰렛1.2Huygens의 명제 III1.3기댓값이 무한대1.4조건수렴은 기댓값이 아니다1.5쿠폰 모으기1.6제곱의 꼬리 공식1.7Halley의 기대여명1.8대칭이어도1.9함수의 기댓값: 증명2절 분산과 적률 — 흩어짐을 재는 수
2.1두 주사위의 합2.2중앙값은 절대오차를 최소로 한다2.3기하분포의 분산2.4포커의 에이스2.5쌍별 독립이면 충분하다2.6독립의 정의에서 일부만2.7모양의 수2.8두 독립 복사본2.9Weldon의 분산2.10분산의 계산: 증명2.11이항분포의 평균과 분산: 증명2.12곱의 기댓값: 증명4절 변수변환 — 확률변수의 함수의 분포
4.1지수분포를 두 가지로4.2일대일이 아닌 제곱4.3Benford의 법칙4.4Cauchy의 역수4.5혼합형 표집4.6Pareto 분포4.7확률적분변환은 연속이어야4.8함수의 기댓값, 단조인 경우: 증명5절 부등식 — 기댓값으로 꼬리를 누르기
5.1Markov도 정확하다5.2한계와 실제5.3한쪽 꼬리 — Cantelli5.4평균과 중앙값은 이내5.5기울기의 단조성5.6두 번 미분가능한 볼록함수5.7평균 속력5.8분산이 0이면 상수: 증명5.9Jensen의 따름정리들: 증명6절 대수의 법칙 — Bernoulli의 황금정리
6.1여론조사의 표본 크기6.2Bernoulli의 공식6.3주사위 평균6.4쌍별 독립이면 충분하다6.5Poisson의 대수의 법칙6.6Lexis의 분산비6.7Bernoulli식 증명워크북 34문항 · 푼 문항 0
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A 계산 드릴 0 / 14
B 빈칸 증명 0 / 7
C 증명 문제 0 / 9
노트북
노트와 같은 절 번호, 같은 정리 번호로 원자료를 재현하고 정리를 시뮬레이션으로 확인한다. 실행 결과까지 이 사이트에서 볼 수 있다.
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