3회 강의노트 · 1755 → 1958

왜 평균을 내는가

여러 확률변수와 $\sqrt n$ √n

1755년 Thomas Simpson이 여러 관측을 평균하는 이득을 처음 계산했고, 런던 조폐국은 수백 년 동안 그 이득의 크기를 잘못 알았다. 평균의 오차는 $n$ n이 아니라 $\sqrt n$ √n으로 준다. 이 노트는 결합분포·조건부분포·독립·공분산·야코비안을 세우고, 그것으로 $\sqrt n$ √n의 법칙과 그 한계를 증명한다.

노트 읽기 워크북 풀기 노트북

56쪽노트 · 10절

47개정리 · 정의 · 예제

48문항노트의 연습

34문항워크북

51개최종답 확인

읽은 절0 / 10

푼 문항0 / 34

맞힌 최종답0 / 51

강의노트PDF · 56쪽 워크북PDF · 24쪽 워크북 풀이판PDF · 18쪽 노트북ipynb · 1.3 MB

개관

다루는 것

결합·조건부 분포전분산 공식독립공분산야코비안합성곱 $\sqrt n$ 법칙유효 표본 크기

원자료

Pyx 재판(1848)의 금화 10,000개Michelson(1879)Cavendish(1798)

선수 지식

1–2회 전체, 다변수 미적분 (이중적분, 편미분, 행렬식)

연표 평균은 왜 나은가, 그리고 얼마나 나은가

직접 해 보기

정리 지도

노트와 워크북에 적힌 번호 참조를 모두 세어 그렸다. 왼쪽은 이 회차가 근거로 쓰는 앞 회차, 오른쪽은 이 회차의 상자를 근거로 쓰는 뒤 회차다.

차례

0들어가며2쪽PDF 1쪽
1결합분포 — 두 확률변수를 함께6쪽정리 4정의 3예제 2연습 7PDF 3쪽
2조건부분포와 조건부기댓값6쪽정리 3정의 3예제 2연습 6PDF 9쪽
3독립4쪽정리 2정의 1예제 2연습 6PDF 15쪽
4공분산과 상관5쪽정리 4정의 1예제 3연습 8PDF 19쪽
5여러 변수의 변수변환 — 야코비안7쪽정리 6예제 3연습 7PDF 24쪽
6평균의 정확도 — √n의 법칙6쪽정리 3정의 1예제 2연습 7PDF 31쪽
7부숴보기 — 평균이 통하지 않을 때4쪽예제 2연습 4PDF 37쪽
8Beautiful insights — 같은 계산, 오늘의 문제3쪽연습 3PDF 41쪽
9정리와 역사 노트3쪽PDF 44쪽

정리 · 정의 · 예제

번호	내용	연습 · 문항	뒤 회차	PDF
정의 1.1	확률벡터와 결합분포함수	1		4쪽
정의 1.2	결합 확률질량함수			4쪽
정리 1.3	주변 확률질량함수	1		5쪽
예제 1.4	두 주사위의 합과 최댓값	2		5쪽
정의 1.5	결합 확률밀도함수	1		5쪽
정리 1.6	주변 밀도	6	1	6쪽
예제 1.7	원판 위의 균등분포	2		6쪽
정리 1.8	두 변수 함수의 기댓값	2		7쪽
따름정리 1.9	선형성 — 일반적인 경우	4		8쪽
정의 2.1	조건부 확률질량함수	1		10쪽
정의 2.2	조건부 밀도	1	1	10쪽
예제 2.3	원판의 단면			11쪽
정의 2.4	조건부기댓값	2		11쪽
정리 2.5	반복기댓값	10	22	12쪽
정리 2.6	전분산 공식	6	13	12쪽
예제 2.7	주사위를 던지고 그 수만큼 동전을	1		13쪽
정리 2.8	조건부기댓값은 가장 좋은 예측	4	1	14쪽
정의 3.1	독립인 확률변수	2	1	16쪽
정리 3.2	인수분해 판정법	7	8	16쪽
예제 3.3	지수분포 두 개와 정사각형			17쪽
정리 3.4	독립의 결과들	6	15	17쪽
예제 3.5	iid의 최댓값과 최솟값	2	7	18쪽
정의 4.1	공분산과 상관계수			20쪽
정리 4.2	공분산의 계산 규칙	8	12	20쪽
예제 4.3	두 주사위의 합과 최댓값의 공분산	1		21쪽
정리 4.4	Cauchy–Schwarz 부등식	4	8	21쪽
따름정리 4.5	상관계수의 범위			21쪽
정리 4.6	가장 좋은 선형 예측	2		22쪽
예제 4.7	상관이 없어도 독립이 아니다	2		22쪽
예제 4.8	상관은 인과가 아니다 — 공통 원인			23쪽
정리 5.1	야코비안 변수변환	8	10	26쪽
예제 5.2	극좌표의 야코비안	2		26쪽
정리 5.3	가우스 적분	2	5	27쪽
정리 5.4	Box–Muller (1958)	1	1	27쪽
정리 5.5	합성곱 공식	3	2	28쪽
예제 5.6	균등분포의 합 — Simpson의 삼각형			29쪽
예제 5.7	지수분포의 합	2	2	30쪽
정리 5.8	정규의 비는 Cauchy	1	2	30쪽
따름정리 5.9	선형변환의 밀도	2		30쪽
정의 6.1	평균벡터와 공분산행렬			32쪽
정리 6.2	선형변환의 평균과 공분산	3	1	33쪽
정리 6.3	표본평균의 분산	1	1	33쪽
예제 6.4	삼각형 오차, 여섯 번의 평균	1		34쪽
정리 6.5	같은 상관을 갖는 관측의 평균	2		36쪽
예제 6.6	이웃끼리 닮은 관측 — AR(1)	1	1	36쪽
예제 7.1	구 위의 점과 대원 (Borel 1909, Kolmogorov 1933)	1		39쪽
예제 7.2	빛의 속도와 지구의 밀도			40쪽