수리통계학

테마

3회 · 왜 평균을 내는가 · 워크북

D. 퀄형 ​

여러 절의 도구를 잇는 종합 문제다. 머리의 제한 시간을 재고, 노트를 덮고 푼다. 영역을 그리는 것과 변환을 정하는 것부터 답안의 일부다.

D1 막대를 세 조각으로 ★★★ ​

정리 4.2, 5.1 · 1회 정리 4.5 · 제한 40분

길이 1인 막대의 두 점 U1,U2∼iidU(0,1)U_1,U_2\iid\mathrm U(0,1)에서 자른다. 세 조각의 길이를 왼쪽부터 L1=min⁡(U1,U2)L_1=\min(U_1,U_2), L2=max⁡(U1,U2)−min⁡(U1,U2)L_2=\max(U_1,\allowbreak U_2)-\min(U_1,\allowbreak U_2), L3=1−max⁡(U1,U2)L_3=1-\max(U_1,U_2)라 하자.

  1. (a)

    (L1,L2)(L_1,L_2)의 결합밀도가 삼각형 {l1>0, l2>0, l1+l2<1}\{l_1>0,\ l_2>0,\ l_1+l_2<1\} 위에서 상수 2임을 보여라.

  2. (b)

    세 조각으로 삼각형을 만들 수 있을 확률을 구하라.

  3. (c)

    Corr⁡(L1,L3)\Corr(L_1,L_3)을 구하라.

  4. (d)

    가장 긴 조각의 길이의 기댓값을 구하라.

힌트

(a) (min⁡,max⁡)(\min,\max)의 밀도는 u<vu<v에서 2이고, (l1,l2)=(u,v−u)(l_1,l_2)=(u,v-u)의 야코비안은 1이다. (b) 삼각형을 만들 조건은 세 조각이 모두 12\tfrac12보다 짧은 것이다. (c) 세 조각은 대칭이고 합이 1이다. (d) P(L1>a,L2>b,L3>c)=(1−a−b−c)2P(L_1>a,\allowbreak L_2>b,\allowbreak L_3>c)=(1-a-b-c)^2 (a+b+c<1a+b+c<1)을 넓이로 보이고, {max⁡>t}\{\max>t\}에 포함배제를 쓴다.

풀이

(a) (U1,U2)(U_1,U_2)는 정사각형 위에서 균등하다. u<vu<v인 점 (u,v)(u,v)로 가는 (U1,U2)(U_1,U_2)는 (u,v)(u,v)와 (v,u)(v,u) 두 개이므로 (min⁡,max⁡)(\min,\max)의 밀도는 {u<v}\{u<v\}에서 2다. (l1,l2)=(u, v−u)(l_1,l_2)=(u,\,v-u)의 역변환 (u,v)=(l1, l1+l2)(u,v)=(l_1,\,l_1+l_2)의 야코비안 행렬식은 1이므로(정리 5.1) (L1,L2)(L_1,L_2)의 밀도는 삼각형 위에서 2다.

(b) 세 조각으로 삼각형을 만들 필요충분조건은 가장 긴 조각이 나머지 둘의 합보다 짧은 것, 곧 모든 조각이 12\tfrac12보다 짧은 것이다. (l1,l2)(l_1,l_2) 평면에서 l1<12l_1<\tfrac12, l2<12l_2<\tfrac12, l1+l2>12l_1+l_2>\tfrac12는 넓이 18\tfrac18의 삼각형이므로 확률은 2⋅18=142\cdot\tfrac18=\tfrac14이다.

(c) (l1,l2)↦(l1, 1−l1−l2)(l_1,\allowbreak l_2)\mapsto(l_1,\allowbreak \,1-l_1-l_2)는 삼각형을 자기 자신으로 보내고 야코비안의 절댓값이 1이므로 (L1,L3)(L_1,L_3)도 같은 밀도 2를 갖는다. 같은 논리로 세 조각은 같은 분포를 갖고 모든 쌍의 공분산이 같다. V=Var⁡LiV=\Var L_i, C=Cov⁡(Li,Lj)C=\Cov(L_i,L_j)로 두면 0=Var⁡(L1+L2+L3)=3V+6C0=\Var(L_1+L_2+L_3)=3V+6C(정리 4.2(c))이므로 C=−V2C=-\tfrac V2, Corr⁡(L1,L3)=−12\Corr(L_1,L_3)=-\tfrac12이다.

(d) a,b,c≥0a,b,c\ge0, a+b+c<1a+b+c<1이면 {L1>a, L2>b, L3>c}\{L_1>a,\,L_2>b,\,L_3>c\}는 (l1,l2)(l_1,l_2) 평면에서 처음 삼각형과 닮은 변의 길이 1−a−b−c1-a-b-c인 삼각형이므로 확률은 2⋅12(1−a−b−c)2=(1−a−b−c)22\cdot\tfrac12(1-a-b-c)^2=(1-a-b-c)^2이다. 포함배제로

P(max⁡iLi>t)=3(1−t)2−3(1−2t)+2+(1−3t)+2,P(\max_iL_i>t)=3(1-t)^2-3(1-2t)_+^2+(1-3t)_+^2 ,

x+=max⁡(x,0)x_+=\max(x,0)이다. 꼬리 공식으로 Emax⁡iLi=∫01P(max⁡>t) dt=1−12+19=1118≈0.611E\max_iL_i=\int_0^1P(\max>t)\,dt=1-\tfrac12+\tfrac19=\tfrac{11}{18}\approx0.611이다. t=12t=\tfrac12을 넣으면 P(max⁡>12)=34P(\max>\tfrac12)=\tfrac34로 (b)와 맞는다.

최종답 (b) 14\tfrac14 (c) −12-\tfrac12 (d) 1118≈0.611\tfrac{11}{18}\approx0.611

D2 두 정규변수가 함께 양수일 확률 ★★★ ​

정리 2.5, 2.6, 5.3, 따름정리 5.9 · 제한 40분

Z1,Z2∼iidN(0,1)Z_1,Z_2\iid\N(0,1), ∣ρ∣<1|\rho|<1이고 X=Z1X=Z_1, Y=ρZ1+1−ρ2 Z2Y=\rho Z_1+\sqrt{1-\rho^2}\,Z_2이다.

  1. (a)

    (X,Y)(X,Y)의 결합밀도가 다음과 같음을 보여라.

    f(x,y)=12π1−ρ2exp⁡(−x2−2ρxy+y22(1−ρ2))f(x,y)=\frac1{2\pi\sqrt{1-\rho^2}}\exp\Bigl(-\frac{x^2-2\rho xy+y^2}{2(1-\rho^2)}\Bigr)
  2. (b)

    X=xX=x일 때 YY의 조건부분포가 ρx+1−ρ2 Z\rho x+\sqrt{1-\rho^2}\,Z (Z∼N(0,1)Z\sim\N(0,1))의 분포임을 보이고, E(Y∣X)E(Y\mid X), Var⁡Y\Var Y, Corr⁡(X,Y)\Corr(X,Y)를 구하라.

  3. (c)

    (Z1,Z2)(Z_1,Z_2)의 극좌표를 써서 P(X>0, Y>0)P(X>0,\ Y>0)을 ρ\rho의 식으로 구하라.

  4. (d)

    ρ=12\rho=\tfrac12이면 (c)의 값은 얼마인가?

힌트

(a) 따름정리 5.9를 A=(10ρ1−ρ2)A=\smat{1&0\\\rho&\sqrt{1-\rho^2}}에 쓴다. (c) Θ\Theta가 균등하다. ρcos⁡θ+1−ρ2sin⁡θ=sin⁡(θ+α)\rho\cos\theta+\sqrt{1-\rho^2}\sin\theta=\sin(\theta+\alpha), α=arcsin⁡ρ\alpha=\arcsin\rho로 쓰면 두 조건이 θ\theta의 구간이 된다.

풀이

(a) (X,Y)′=A(Z1,Z2)′(X,Y)\T=A(Z_1,Z_2)\T, det⁡A=1−ρ2\det A=\sqrt{1-\rho^2}, A−1(x,y)′=(x, y−ρx1−ρ2)′A^{-1}(x,\allowbreak y)\T=\bigl(x,\allowbreak \ \tfrac{y-\rho x}{\sqrt{1-\rho^2}}\bigr)\T이다. 따름정리 5.9로

f(x,y)=11−ρ2⋅12πexp⁡(−12[x2+(y−ρx)21−ρ2])f(x,y)=\frac1{\sqrt{1-\rho^2}}\cdot\frac1{2\pi}\exp\Bigl(-\frac12\Bigl[x^2+\frac{(y-\rho x)^2}{1-\rho^2}\Bigr]\Bigr)

이고, 대괄호 안을 통분하면 x2−2ρxy+y21−ρ2\tfrac{x^2-2\rho xy+y^2}{1-\rho^2}이다.

(b) f(y∣x)=f(x,y)/ϕ(x)=12π(1−ρ2)exp⁡(−(y−ρx)22(1−ρ2))f(y\mid x)=f(x,\allowbreak y)/\phi(x)=\tfrac1{\sqrt{2\pi(1-\rho^2)}}\exp\bigl(-\tfrac{(y-\rho x)^2}{2(1-\rho^2)}\bigr)이다. 이것은 ρx+1−ρ2Z\rho x+\sqrt{1-\rho^2}Z의 밀도(2회 정리 4.3)다. 따라서 E(Y∣X)=ρXE(Y\mid X)=\rho X, Var⁡(Y∣X)=1−ρ2\Var(Y\mid X)=1-\rho^2이고, 전분산 공식으로 Var⁡Y=(1−ρ2)+ρ2=1\Var Y=(1-\rho^2)+\rho^2=1이다. E(XY)=E[X⋅ρX]=ρE(XY)=E[X\cdot\rho X]=\rho(정리 2.5)이므로 Corr⁡(X,Y)=ρ\Corr(X,Y)=\rho이다.

(c) Z1=Rcos⁡ΘZ_1=R\cos\Theta, Z2=Rsin⁡ΘZ_2=R\sin\Theta이면 Θ∼U(0,2π)\Theta\sim\mathrm U(0,2\pi)이고 R>0R>0이다(정리 5.4의 증명). X>0  ⟺  cos⁡Θ>0  ⟺  Θ∈(−π2,π2)X>0\iff\cos\Theta>0\iff\Theta\in(-\tfrac\pi2,\allowbreak \tfrac\pi2) (각을 (−π,π](-\pi,\pi]로 잡는다). Y=Rsin⁡(Θ+α)Y=R\sin(\Theta+\alpha), α=arcsin⁡ρ∈(−π2,π2)\alpha=\arcsin\rho\in(-\tfrac\pi2,\allowbreak \tfrac\pi2)이므로 Y>0  ⟺  Θ∈(−α,π−α)Y>0\iff\Theta\in(-\alpha,\allowbreak \pi-\alpha)이다. 두 구간의 교집합은 (−α,π2)(-\alpha,\tfrac\pi2)이고 길이는 π2+α\tfrac\pi2+\alpha이므로

P(X>0, Y>0)=π/2+arcsin⁡ρ2π=14+arcsin⁡ρ2π.P(X>0,\ Y>0)=\frac{\pi/2+\arcsin\rho}{2\pi}=\frac14+\frac{\arcsin\rho}{2\pi} .

(d) arcsin⁡12=π6\arcsin\tfrac12=\tfrac\pi6이므로 14+112=13\tfrac14+\tfrac1{12}=\tfrac13이다. ρ=0\rho=0이면 14\tfrac14(독립), ρ→1\rho\to1이면 12\tfrac12이다. 이 식을 Sheppard(1899)의 공식이라 한다.

최종답 (c) 14+arcsin⁡ρ2π\tfrac14+\tfrac{\arcsin\rho}{2\pi} (d) 13\tfrac13

D3 최솟값과 최댓값의 상관 ★★★ ​

정의 1.1, 정리 3.2의 방법, 예제 3.5 · 제한 40분

X1,…,Xn∼iidU(0,1)X_1,\allowbreak \dots,\allowbreak X_n\iid\mathrm U(0,\allowbreak 1) (n≥2n\ge2), L=min⁡iXiL=\min_iX_i, M=max⁡iXiM=\max_iX_i이다.

  1. (a)

    0<l<m<10<l<m<1에서 P(L>l, M≤m)=(m−l)nP(L>l,\ M\le m)=(m-l)^n임을 보이고, (L,M)(L,M)의 결합밀도가 n(n−1)(m−l)n−2n(n-1)(m-l)^{n-2} (0<l<m<10<l<m<1)임을 보여라.

  2. (b)

    E(M−L)E(M-L)을 구하라.

  3. (c)

    Cov⁡(L,M)\Cov(L,M)과 Corr⁡(L,M)\Corr(L,M)을 구하라.

  4. (d)

    n=3n=3이면 Corr⁡(L,M)\Corr(L,M)은 얼마인가?

힌트

(a) FL,M(l,m)=P(M≤m)−P(L>l,M≤m)F_{L,M}(l,\allowbreak m)=P(M\le m)-P(L>l,\allowbreak M\le m)을 ll과 mm으로 미분한다. (c) E(LM)E(LM)의 안쪽 적분은 l=msl=ms로 치환하면 mn∫01s(1−s)n−2dsm^n\int_0^1s(1-s)^{n-2}ds이다. Var⁡M\Var M은 예제 3.5의 FM(x)=xnF_M(x)=x^n에서 나온다.

풀이

(a) {L>l, M≤m}\{L>l,\,M\le m\}은 모든 XiX_i가 (l,m](l,m]에 있는 사건이므로 독립으로 (m−l)n(m-l)^n이다. FL,M(l,m)=P(M≤m)−P(L>l, M≤m)=mn−(m−l)nF_{L,M}(l,\allowbreak m)=P(M\le m)-P(L>l,\allowbreak \,M\le m)=m^n-(m-l)^n이고, mm으로 미분하면 nmn−1−n(m−l)n−1nm^{n-1}-n(m-l)^{n-1}, 다시 ll로 미분하면 n(n−1)(m−l)n−2n(n-1)(m-l)^{n-2}이다. 이 함수를 적분하면 FL,MF_{L,M}이 다시 나오므로 결합밀도다.

(b) EM=nn+1EM=\tfrac n{n+1}(예제 3.5)이고, 1−Xi1-X_i도 iid 균등이므로 LL은 1−M1-M과 분포가 같아 EL=1n+1EL=\tfrac1{n+1}이다. E(M−L)=n−1n+1E(M-L)=\tfrac{n-1}{n+1}이다.

(c) ∫0ml(m−l)n−2dl=mn∫01s(1−s)n−2ds=mnn(n−1)\int_0^ml(m-l)^{n-2}dl=m^n\int_0^1s(1-s)^{n-2}ds=\tfrac{m^n}{n(n-1)}이므로

E(LM)=∫01m⋅n(n−1)⋅mnn(n−1) dm=1n+2.E(LM)=\int_0^1m\cdot n(n-1)\cdot\frac{m^n}{n(n-1)}\,dm=\frac1{n+2} .

Cov⁡(L,M)=1n+2−n(n+1)2=1(n+1)2(n+2)\Cov(L,\allowbreak M)=\tfrac1{n+2}-\tfrac n{(n+1)^2}=\tfrac1{(n+1)^2(n+2)}이다. Var⁡M=EM2−(EM)2=nn+2−n2(n+1)2=n(n+1)2(n+2)\Var M=EM^2-(EM)^2=\tfrac n{n+2}-\tfrac{n^2}{(n+1)^2}=\tfrac n{(n+1)^2(n+2)}이고 Var⁡L=Var⁡M\Var L=\Var M이므로 Corr⁡(L,M)=1n\Corr(L,M)=\tfrac1n이다.

(d) 13\tfrac13이다. 표본이 커지면 최솟값과 최댓값은 거의 상관이 없어진다. 두 극값은 표본의 반대쪽 끝에서 정해지기 때문이다.

최종답 (b) n−1n+1\tfrac{n-1}{n+1} (c) Cov⁡=1(n+1)2(n+2), Corr⁡=1n\Cov=\tfrac1{(n+1)^2(n+2)},\ \Corr=\tfrac1n (d) 13\tfrac13

D4 상관된 관측의 가장 좋은 가중평균 ★★★ ​

[T4] · 정리 4.4, 6.2, 6.5 · 제한 30분

X1,…,XnX_1,\dots,X_n의 평균이 모두 μ\mu, 분산이 모두 σ2\sigma^2이고 모든 쌍의 상관이 ρ<1\rho<1이다. ∑iai=1\sum_ia_i=1인 가중평균 a′X\ba\T\X를 생각한다.

  1. (a)

    E(a′X)=μE(\ba\T\X)=\mu이고 Var⁡(a′X)=σ2[(1−ρ)∑iai2+ρ]\Var(\ba\T\X)=\sigma^2\bigl[(1-\rho)\sum_ia_i^2+\rho\bigr]임을 보여라.

  2. (b)

    분산을 가장 작게 하는 가중치는 ai=1na_i=\tfrac1n, 곧 표본평균임을 보여라.

  3. (c)

    n=10n=10, σ=1\sigma=1, ρ=0.2\rho=0.2일 때 최소 분산을 구하라.

  4. (d)

    Var⁡Xˉ≥0\Var\bar X\ge0에서 ρ≥−1n−1\rho\ge-\tfrac1{n-1}임을 보여라. 노트 연습 6.2의 3×33\times3 경우를 일반화한 것이다.

힌트

(a) 정리 6.2로 a′Σa\ba\T\Sigma\ba, Σ=σ2[(1−ρ)I+ρ11′]\Sigma=\sigma^2[(1-\rho)I+\rho\mathbf 1\mathbf 1\T]. (b) Cauchy–Schwarz로 1=(∑ai⋅1)2≤n∑ai21=(\sum a_i\cdot1)^2\le n\sum a_i^2.

풀이

(a) 선형성으로 E(a′X)=μ∑ai=μE(\ba\T\X)=\mu\sum a_i=\mu이다. 공분산행렬은 Σ=σ2[(1−ρ)I+ρ11′]\Sigma=\sigma^2[(1-\rho)I+\rho\mathbf 1\mathbf 1\T]이므로 정리 6.2로 Var⁡(a′X)=σ2[(1−ρ)a′a+ρ(1′a)2]=σ2[(1−ρ)∑ai2+ρ]\Var(\ba\T\X)=\sigma^2[(1-\rho)\ba\T\ba+\rho(\mathbf 1\T\ba)^2]=\sigma^2[(1-\rho)\sum a_i^2+\rho]이다.

(b) 1−ρ>01-\rho>0이므로 ∑ai2\sum a_i^2을 가장 작게 하면 된다. Cauchy–Schwarz(정리 4.4를 합에 쓴 것, [T4])로 1=(∑iai⋅1)2≤n∑iai21=(\sum_ia_i\cdot1)^2\le n\sum_ia_i^2이고, 등호는 aia_i가 모두 같을 때, 곧 ai=1na_i=\tfrac1n일 때뿐이다. 그때의 분산은 σ2(ρ+1−ρn)\sigma^2\bigl(\rho+\tfrac{1-\rho}n\bigr)로 정리 6.5와 같다.

(c) 0.2+0.810=0.280.2+\tfrac{0.8}{10}=0.28이다.

(d) Var⁡Xˉ=σ2(ρ+1−ρn)≥0\Var\bar X=\sigma^2\bigl(\rho+\tfrac{1-\rho}n\bigr)\ge0을 정리하면 ρ(n−1)≥−1\rho(n-1)\ge-1, 곧 ρ≥−1n−1\rho\ge-\tfrac1{n-1}이다. n=3n=3이면 −12-\tfrac12이다. 관측이 많을수록 모두가 서로 음의 상관을 갖기는 어렵다.

최종답 (c) 0.280.28

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