4회 강의노트 · 1711 → 1898

셈하는 분포와 섞인 분포

말에 차여 죽은 병사들

드문 사건을 세면 Poisson 분포가, 그 사건을 기다리면 감마분포가, 확률 자체를 모르면 베타분포가 나온다. 여러 집단이 섞이면 분산이 평균보다 커진다. 이 노트는 이 분포들을 한 가족으로 묶어 서로의 극한과 변환으로 증명하고, Bortkiewicz의 기병대, Student의 효모, Madison의 may로 확인한다.

노트 읽기 워크북 풀기 노트북

46쪽노트 · 10절

37개정리 · 정의 · 예제

43문항노트의 연습

35문항워크북

55개최종답 확인

읽은 절0 / 10

푼 문항0 / 35

맞힌 최종답0 / 55

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개관연표직접 해 보기정리 지도차례정리 목록연습워크북노트북

개관

다루는 것

이항·음이항·초기하·다항Poisson과 그 극한Poisson 과정감마와 $\chi^2$베타와 계승규칙혼합과 과산포

원자료

Bortkiewicz(1898)의 기병대Student(1907)의 효모The Federalist의 may

선수 지식

1–3회 전체 (특히 mgf, 야코비안, 전분산 공식)

연표 드문 사건, 기다림, 모르는 확률, 섞인 집단

직접 해 보기

정리 지도

노트와 워크북에 적힌 번호 참조를 모두 세어 그렸다. 왼쪽은 이 회차가 근거로 쓰는 앞 회차, 오른쪽은 이 회차의 상자를 근거로 쓰는 뒤 회차다.

차례

1. 0들어가며2쪽PDF 1쪽
2. 1Bernoulli 시행의 가족5쪽정리 4정의 3예제 1연습 8PDF 3쪽
3. 2Poisson 분포 — 드문 사건의 법칙5쪽정리 4정의 1예제 2연습 7PDF 8쪽
4. 3Poisson 과정과 감마분포6쪽정리 5정의 4연습 9PDF 13쪽
5. 4베타분포 — Bayes의 당구대5쪽정리 4정의 1예제 1연습 6PDF 19쪽
6. 5혼합분포 — 섞인 집단4쪽정리 2정의 1예제 1연습 5PDF 24쪽
7. 6데이터로 — 말발굽, 효모, 그리고 may3쪽정의 1예제 2연습 3PDF 28쪽
8. 7부숴보기 — 가족의 경계2쪽연습 3PDF 31쪽
9. 8Beautiful insights — 같은 가족, 오늘의 문제2쪽연습 2PDF 33쪽
10. 9정리와 역사 노트3쪽PDF 35쪽

정리 · 정의 · 예제

번호	내용	연습 · 문항	뒤 회차	PDF
정리 1.1	이항분포의 합	1		4쪽
정의 1.2	음이항분포			4쪽
정리 1.3	음이항분포의 pmf와 적률	4		5쪽
정의 1.4	초기하분포	1	1	6쪽
정리 1.5	초기하분포의 평균과 분산	5	8	6쪽
예제 1.6	물고기 세기 — 포획–재포획	1		7쪽
정의 1.7	다항분포	2		7쪽
정리 1.8	다항분포의 주변과 공분산	4	2	7쪽
정의 2.1	Poisson 분포	1		9쪽
정리 2.2	Poisson 분포의 적률	2	1	9쪽
정리 2.3	이항분포의 Poisson 극한	4	2	9쪽
정리 2.4	독립인 Poisson의 합	4	5	10쪽
정리 2.5	Poisson 나누기 (thinning)	4		11쪽
예제 2.6	말에 차여 죽은 병사	2		11쪽
예제 2.7	Student의 효모 (1907)			12쪽
정의 3.1	Poisson 과정	4	1	14쪽
정리 3.2	기다리는 시간	8	2	15쪽
정리 3.3	지수분포의 무기억성	5		15쪽
정의 3.4	감마함수	1	2	16쪽
정리 3.5	감마함수의 성질	4	3	16쪽
정의 3.6	감마분포		2	17쪽
정리 3.7	감마분포의 mgf와 적률	4	16	17쪽
정의 3.8	$\chi^2$ 분포	2	8	17쪽
정리 3.9	표준정규의 제곱합	2	16	18쪽
정의 4.1	베타분포	1	2	20쪽
정리 4.2	베타와 감마	6	11	20쪽
따름정리 4.3	베타분포의 적률	4		21쪽
예제 4.4	균등분포의 순서통계량	2	2	21쪽
정리 4.5	Bayes의 사후분포	4	2	22쪽
따름정리 4.6	Laplace의 계승규칙 (1774)		1	22쪽
정의 5.1	혼합분포	1		25쪽
정리 5.2	혼합의 평균과 분산	4	3	26쪽
정리 5.3	Poisson–감마 혼합	5	1	26쪽
예제 5.4	Laplace의 오차곡선은 정규의 혼합		2	28쪽
정의 6.1	분산/평균 비			30쪽
예제 6.2	14개 군단 — 혼합의 흔적		1	30쪽
예제 6.3	Madison의 may — 과산포	1	1	30쪽

연습 43문항 · 풀이는 연습 상자 안에 접어 두었다

1절 Bernoulli 시행의 가족

1.1확률이 다르면1.2Banach의 성냥갑1.3음이항의 적률1.4로또와 초기하1.5포획–재포획의 가능도1.6다항의 조건부1.7이항분포의 합: 증명1.8다항분포의 주변과 공분산: 증명

2절 Poisson 분포 — 드문 사건의 법칙

2.1Poisson의 최빈값2.2mgf로 극한을2.3오탈자2.4조건부는 이항2.5네 명 이상2.6Poisson 분포의 적률: 증명2.7독립인 Poisson의 합: 증명

3절 Poisson 과정과 감마분포

3.1망원급수3.2사건 사이의 시간3.3기하분포의 무기억성3.4감마의 적률3.5기다림과 셈3.6$\Gamma(\tfrac32)$와 반정수3.7감마함수의 성질: 증명3.8감마분포의 mgf와 적률: 증명3.9표준정규의 제곱합: 증명

4절 베타분포 — Bayes의 당구대

4.1순서통계량의 밀도4.2균등 사전분포의 예측4.3사후분포의 평균과 분산4.4$F$ 분포의 씨앗4.5Dirichlet로 가는 길4.6Bayes의 사후분포: 증명

5절 혼합분포 — 섞인 집단

5.1두 집단5.2음이항의 과산포5.3Laplace는 정규의 혼합5.4베타–이항5.5혼합의 mgf

6절 데이터로 — 말발굽, 효모, 그리고 may

6.1효모의 농도6.2적률법6.30의 개수

7절 부숴보기 — 가족의 경계

7.1꼬리의 차이7.2위험함수7.3두 봉우리의 조건

8절 Beautiful insights — 같은 가족, 오늘의 문제

8.1스무딩의 효과8.2Thompson의 첫걸음

워크북 35문항 · 푼 문항 0

칸을 누르면 문제 · 힌트 · 접어 둔 풀이가 있는 페이지로 간다. 별은 난이도(★ 계산 · ★★ 증명 · ★★★ 도전), 열쇠는 그 자리에서 확인하는 최종답의 수다. 답 확인 · PDF · 풀이판 PDF

A 계산 드릴 0 / 14

A1★세 번째 6까지 2A2★브리지 패의 하트 3A3★★열 명의 혈액형 3A4★불량품 셋 이상 3A5★콜센터 4A6★★방문자와 구매자 3A7★감마함수로 적분하기 3A8★★감마분포의 적률과 확률 3A9★표준정규의 제곱합 3A10★베타분포 3A11★★사후분포와 다음 시행 3A12★★두 Poisson의 혼합 3A13★★다섯 점의 중앙값 2A14★닳는 전구와 닳지 않는 전구 2

B 빈칸 증명 0 / 7

B1★초기하분포의 분산, 근거 채우기B2★★무기억성의 역, 근거 채우기B3★★베타와 감마, 근거와 식 채우기B4★★초기하분포의 분산, 단계의 이름만B5★★무기억성의 역, 단계의 이름만B6★★베타와 감마, 전략만B7★★초기하분포의 분산, 전략만

C 증명 문제 0 / 10

C1★★빈 상자의 수 2C2★★음이항의 Poisson 극한C3★★여러 범주로 나누기C4★★이항을 나누면 독립이 아니다 1C5★★경쟁하는 지수분포 여럿 2C6★★★Poisson을 가리는 항등식 1C7★★섞으면 0이 늘어난다C8★음이항의 꼬리와 이항 1C9★★사건 수를 알 때의 위치 1C10★★$\Gamma(\tfrac12)$를 베타로 1

D 퀄형 0 / 4

D1★★★두 Poisson 과정의 경주 1D2★★★사고를 잘 당하는 사람 2D3★★★지수분포 표본의 평균 1D4★★★기병대의 사후분포 2

노트북

노트와 같은 절 번호, 같은 정리 번호로 원자료를 재현하고 정리를 시뮬레이션으로 확인한다. 실행 결과까지 이 사이트에서 볼 수 있다.

실행 결과까지 보기 내려받기 · 1.1 MB