4회 · 셈하는 분포와 섞인 분포 · 워크북

A. 계산 드릴

pmf, 밀도, 적률, 사후분포를 손으로 계산한다. 답이 수나 식으로 떨어지므로 다 풀면 뒤의 최종답이나 노트북의 check()로 맞춰 본다. 계산기는 마지막 수치에만 쓴다.

A1 세 번째 6까지 ★

정리 1.3 · 8분

공정한 주사위를 6이 세 번 나올 때까지 던진다. (a) 6이 아닌 눈이 정확히 5번 나올 확률을 구하라. (b) 던지는 횟수의 평균을 구하라.

힌트

6이 아닌 눈의 수는 $\mathrm{NB}(3,\tfrac16)$이다. 던지는 횟수는 그것에 3을 더한 것이다.

풀이

(a) 6이 아닌 눈의 수 $Y\sim\mathrm{NB}(3,\tfrac16)$이므로 정리 1.3으로

$$P(Y=5)=\binom{5+3-1}5\Bigl(\frac16\Bigr)^3\Bigl(\frac56\Bigr)^5=21\cdot\frac{5^5}{6^8}=\frac{21875}{559872}\approx0.0391 .$$

(b) 던지는 횟수는 $Y+3$이고 $EY=\tfrac{rq}p=\tfrac{3\cdot5/6}{1/6}=15$이므로 평균은 18이다. 6 하나를 보는 데 평균 6번이 걸리고, 그것이 세 번이다.

최종답 (a) $\tbinom75\tfrac{5^5}{6^8}\approx0.0391$ (b) $18$

A2 브리지 패의 하트 ★

정의 1.4, 정리 1.5 · 10분

잘 섞은 52장에서 13장을 받는다. 하트의 수를 $X$라 하자. (a) $EX$, (b) $\Var X$, (c) $P(X=0)$을 구하라.

힌트

$N=52$, $K=13$, $n=13$인 초기하분포다. 유한 모집단 수정 $\tfrac{N-n}{N-1}$을 잊지 않는다.

풀이

$p=\tfrac{13}{52}=\tfrac14$이다. (a) $EX=13\cdot\tfrac14=\tfrac{13}4$. (b) 정리 1.5로

$$\Var X=13\cdot\frac14\cdot\frac34\cdot\frac{52-13}{52-1}=\frac{39}{16}\cdot\frac{39}{51}=\frac{507}{272}\approx1.864 .$$

되돌려 넣는 뽑기라면 $\tfrac{39}{16}\approx2.44$이다. (c) 하트가 아닌 39장에서 13장을 모두 받아야 하므로 $P(X=0)=\tbinom{39}{13}/\tbinom{52}{13}\approx0.0128$이다.

최종답 (a) $\tfrac{13}4$ (b) $\tfrac{507}{272}\approx1.864$ (c) $\tbinom{39}{13}\big/\tbinom{52}{13}\approx0.0128$

A3 열 명의 혈액형 ★★

정의 1.7, 정리 1.8 · 10분

혈액형 A, B, O, AB의 비율이 $0.34$, $0.27$, $0.28$, $0.11$인 집단에서 열 명을 독립적으로 뽑는다. (a) A, B, O가 3명씩이고 AB가 1명일 확률을 구하라. (b) A형의 수와 B형의 수의 공분산을 구하라. (c) 두 수의 상관계수를 구하라.

힌트

(a) 다항계수 $\tfrac{10!}{3!\,3!\,3!\,1!}$. (c) 상관계수는 공분산을 두 표준편차로 나눈 것이고, 각 수의 주변분포는 이항이다.

풀이

(a) $\tfrac{10!}{3!\,3!\,3!\,1!}=16800$이므로 확률은 $16800\cdot0.34^3\cdot0.27^3\cdot0.28^3\cdot0.11\approx0.0314$이다. (b) 정리 1.8로 $\Cov(X_A,\allowbreak X_B)=-10\cdot0.34\cdot0.27=-0.918$이다. (c) $\Var X_A=10\cdot0.34\cdot0.66$, $\Var X_B=10\cdot0.27\cdot0.73$이므로

$$\rho=\frac{-0.918}{\sqrt{2.244\cdot1.971}}=-\sqrt{\frac{0.34\cdot0.27}{0.66\cdot0.73}}\approx-0.437 .$$

$n$이 상관계수에서 사라진다. 상관은 몇 명을 뽑든 범주의 비율로만 정해진다.

최종답 (a) $\approx0.0314$ (b) $-0.918$ (c) $\approx-0.437$

A4 불량품 셋 이상 ★

정리 2.3 · 10분

불량률이 $0.002$인 공정에서 1000개를 만든다(각각 독립). 불량품이 3개 이상일 확률을 (a) Poisson 근사로, (b) 이항분포로 정확히 구하라. (c) 2.1절의 Le Cam 한계 $np^2$은 얼마인가? (a)와 (b)의 차이와 비교하라.

힌트

$\lambda=np=2$. (b)는 $1-\sum_{k=0}^2\tbinom{1000}k(0.002)^k(0.998)^{1000-k}$이다.

풀이

(a) $\lambda=2$이므로 $1-e^{-2}(1+2+2)=1-5e^{-2}\approx0.323324$이다. (b) $0.998^{1000}\approx0.135065$, $1000\cdot0.002\cdot0.998^{999}\approx0.270671$, $\tbinom{1000}2(0.002)^2(0.998)^{998}\approx0.270942$이므로 $1-0.676677=0.323323$이다. (c) $np^2=0.004$이다. 실제 차이는 $10^{-6}$ 정도로 한계보다 훨씬 작다. Le Cam의 한계는 모든 사건에 대한 최대 차이의 상한이다.

최종답 (a) $1-5e^{-2}\approx0.3233$ (b) $\approx0.323323$ (c) $0.004$

A5 콜센터 ★

정의 3.1, 정리 3.2 · 10분

전화가 시간당 평균 6통씩 Poisson 과정으로 걸려 온다. 시간은 분 단위로 쓴다. (a) 10분 동안 전화가 한 통도 없을 확률을 구하라. (b) 세 번째 전화가 올 때까지의 시간의 평균과 (c) 분산을 구하라. (d) 첫 전화가 10분과 20분 사이에 올 확률을 구하라.

힌트

비율은 분당 $\lambda=0.1$이다. 세 번째 전화의 시각은 $\Gamma(3,1/\lambda)$이고, 첫 전화의 시각은 $\mathrm{Exp}(\lambda)$이다.

풀이

분당 비율 $\lambda=0.1$이다. (a) $N(10)\sim\mathrm{Poi}(1)$이므로 $e^{-1}\approx0.368$이다. (b)(c) 정리 3.2로 $T_3\sim\Gamma(3,10)$이므로 평균 $3\cdot10=30$분, 분산 $3\cdot10^2=300$분$^2$이다. (d) $T_1\sim\mathrm{Exp}(0.1)$이므로 $P(10<T_1\le20)=e^{-1}-e^{-2}\approx0.233$이다.

최종답 (a) $e^{-1}\approx0.368$ (b) $30\text{분}$ (c) $300\text{분}^2$ (d) $e^{-1}-e^{-2}\approx0.233$

A6 방문자와 구매자 ★★

정리 2.5 · 10분

하루 방문자 수가 $\mathrm{Poi}(10)$이고, 방문자는 각자 독립적으로 확률 $0.3$으로 물건을 산다. (a) 구매자가 한 명도 없을 확률을 구하라. (b) 사지 않은 사람이 7명이었다는 것을 알 때 구매자 수의 조건부분산을 구하라. (c) 방문자가 10명이었다는 것을 알 때 구매자 수의 조건부분산을 구하라.

힌트

정리 2.5로 구매자 수와 비구매자 수는 독립이다. (c)에서는 전체가 고정되어 있으므로 이항이다.

풀이

(a) 정리 2.5로 구매자 수 $N_1\sim\mathrm{Poi}(3)$이므로 $e^{-3}\approx0.0498$이다. (b) $N_1$과 비구매자 수 $N_2$는 독립이므로 $N_2=7$을 알아도 $N_1$의 분포는 그대로 $\mathrm{Poi}(3)$이고 분산은 3이다. (c) $N=10$이 주어지면 $N_1\sim\mathrm b(10,0.3)$이므로 분산은 $10\cdot0.3\cdot0.7=2.1$이다. 전체를 알면 구매자 수에 대한 정보가 생기고, 비구매자 수만 알면 정보가 없다.

최종답 (a) $e^{-3}\approx0.0498$ (b) $3$ (c) $2.1$

A7 감마함수로 적분하기 ★

정의 3.4, 정리 3.5 · 8분

다음을 감마함수로 계산하라. (a) $\Gamma(\tfrac72)$  (b) $\int_0^\infty x^4e^{-2x}\,dx$  (c) $\int_0^\infty\sqrt x\,e^{-x}\,dx$

힌트

(a) $\Gamma(\alpha+1)=\alpha\Gamma(\alpha)$를 세 번. (b) $y=2x$로 치환한다.

풀이

(a) $\Gamma(\tfrac72)=\tfrac52\cdot\tfrac32\cdot\tfrac12\Gamma(\tfrac12)=\tfrac{15\sqrt\pi}8$. (b) $y=2x$이면 $\int_0^\infty\tfrac{y^4}{16}e^{-y}\tfrac{dy}2=\tfrac{\Gamma(5)}{32}=\tfrac{24}{32}=\tfrac34$. (c) $\Gamma(\tfrac32)=\tfrac12\Gamma(\tfrac12)=\tfrac{\sqrt\pi}2$.

최종답 (a) $\tfrac{15\sqrt\pi}8$ (b) $\tfrac34$ (c) $\tfrac{\sqrt\pi}2$

A8 감마분포의 적률과 확률 ★★

정리 3.2, 3.7 · 10분

$X\sim\Gamma(3,2)$이다. (a) $EX^2$, (b) $E(1/X)$, (c) $P(X\le2)$를 구하라.

힌트

(a)(b)는 $EX^k=\beta^k\Gamma(\alpha+k)/\Gamma(\alpha)$ (노트 연습 3.4). (c) $X$를 비율 $\tfrac12$인 Poisson 과정의 세 번째 사건의 시각으로 읽는다.

풀이

(a) $EX^2=2^2\tfrac{\Gamma(5)}{\Gamma(3)}=4\cdot12=48$이다. 분산 $\alpha\beta^2=12$와 평균의 제곱 36을 더한 값과 같다. (b) $E(1/X)=2^{-1}\tfrac{\Gamma(2)}{\Gamma(3)}=\tfrac12\cdot\tfrac12=\tfrac14$이다. $1/EX=\tfrac16$보다 크다. (c) $\Gamma(3,2)$는 비율 $\lambda=\tfrac12$인 Poisson 과정의 $T_3$이므로 정리 3.2로 $P(X\le2)=P(N(2)\ge3)$, $N(2)\sim\mathrm{Poi}(1)$이다. $1-e^{-1}(1+1+\tfrac12)=1-\tfrac52e^{-1}\approx0.0803$이다.

최종답 (a) $48$ (b) $\tfrac14$ (c) $1-\tfrac52e^{-1}\approx0.0803$

A9 표준정규의 제곱합 ★

정의 3.8, 정리 3.9 · 8분

$Z_1,Z_2,Z_3\iid\N(0,1)$이다. (a) $P(Z_1^2+Z_2^2>4)$, (b) $\Var(Z_1^2+Z_2^2+Z_3^2)$, (c) $Ee^{(Z_1^2+Z_2^2+Z_3^2)/4}$를 구하라.

힌트

$\chi^2(2)=\Gamma(1,2)$는 평균 2인 지수분포다. (c)는 $\chi^2(3)$의 mgf를 $t=\tfrac14$에서.

풀이

(a) 정리 3.9로 $Z_1^2+Z_2^2\sim\chi^2(2)=\Gamma(1,\allowbreak 2)$, 평균 2인 지수분포이므로 $P(>4)=e^{-2}\approx0.135$. (b) $\chi^2(3)$의 분산 $2\cdot3=6$. (c) mgf $(1-2t)^{-3/2}$에 $t=\tfrac14$를 넣어 $(\tfrac12)^{-3/2}=2\sqrt2$.

최종답 (a) $e^{-2}\approx0.135$ (b) $6$ (c) $2\sqrt2$

A10 베타분포 ★

정의 4.1, 따름정리 4.3 · 8분

$U\sim\mathrm{Beta}(3,2)$이다. (a) $EU$, (b) $\Var U$, (c) $P(U>\tfrac12)$를 구하라.

힌트

밀도는 $12u^2(1-u)$이다. $B(3,\allowbreak 2)=\tfrac{\Gamma(3)\Gamma(2)}{\Gamma(5)}=\tfrac1{12}$.

풀이

(a) $\tfrac3{3+2}=\tfrac35$. (b) $\tfrac{3\cdot2}{5^2\cdot6}=\tfrac1{25}$. (c) $\int_{1/2}^112u^2(1-u)\,du=12\bigl[\tfrac{u^3}3-\tfrac{u^4}4\bigr]_{1/2}^1=12\bigl(\tfrac1{12}-\tfrac5{192}\bigr)=\tfrac{11}{16}$.

최종답 (a) $\tfrac35$ (b) $\tfrac1{25}$ (c) $\tfrac{11}{16}$

A11 사후분포와 다음 시행 ★★

정리 4.5, 따름정리 4.3 · 10분

성공 확률 $p$의 사전분포가 $\mathrm{Beta}(2,2)$이고 10번 가운데 7번 성공했다. (a) 다음 시행이 성공할 확률, (b) 사후분산, (c) 다음 두 시행이 모두 성공할 확률을 구하라.

힌트

사후분포는 $\mathrm{Beta}(9,5)$다. (c)는 $E(p^2\mid\text{자료})$이다. 두 시행은 $p$가 주어지면 독립이지만, $p$를 모르면 독립이 아니다.

풀이

정리 4.5로 사후분포는 $\mathrm{Beta}(2+7,\allowbreak 2+3)=\mathrm{Beta}(9,\allowbreak 5)$이다. (a) 반복기댓값으로 $E(p\mid\text{자료})=\tfrac9{14}$. (b) $\tfrac{9\cdot5}{14^2\cdot15}=\tfrac3{196}$. (c) $p$가 주어지면 두 시행이 모두 성공할 확률은 $p^2$이므로 $E(p^2\mid\text{자료})=\tfrac{9\cdot10}{14\cdot15}=\tfrac37\approx0.429$이다. $(\tfrac9{14})^2\approx0.413$보다 크다. 차이가 사후분산 $\tfrac3{196}$이다.

최종답 (a) $\tfrac9{14}$ (b) $\tfrac3{196}$ (c) $\tfrac37$

A12 두 Poisson의 혼합 ★★

정의 5.1, 정리 5.2 · 10분

확률 $0.3$으로 $\mathrm{Poi}(1)$, 확률 $0.7$로 $\mathrm{Poi}(4)$에서 뽑은 $X$가 있다. (a) $EX$, (b) $\Var X$를 구하라. (c) $X=0$이었을 때 $\mathrm{Poi}(1)$에서 뽑았을 확률을 구하라.

힌트

(b) 집단 안의 분산의 평균과 집단 평균의 분산을 더한다. (c) 베이즈 정리.

풀이

(a) $EX=0.3\cdot1+0.7\cdot4=3.1$. (b) 집단 안: $0.3\cdot1+0.7\cdot4=3.1$. 집단 사이: $0.3\cdot1^2+0.7\cdot4^2-3.1^2=11.5-9.61=1.89$. 합은 $4.99$로 평균보다 크다. (c) 베이즈 정리로

$$\frac{0.3e^{-1}}{0.3e^{-1}+0.7e^{-4}}\approx\frac{0.1104}{0.1232}\approx0.896 .$$

0이 나온 것은 위험이 낮은 집단이었을 증거가 된다. 사전확률 $0.3$이 사후확률 $0.896$이 된다.

최종답 (a) $3.1$ (b) $4.99$ (c) $\approx0.896$

A13 다섯 점의 중앙값 ★★

예제 4.4, 따름정리 4.3 · 10분

$U_1,\allowbreak \dots,\allowbreak U_5\iid\mathrm U(0,\allowbreak 1)$의 중앙값을 $M$이라 하자. (a) $P(M\le\tfrac14)$를 구하라. (b) $\Var M$을 구하라.

힌트

(a) $M\le\tfrac14$은 다섯 점 가운데 3개 이상이 $\tfrac14$ 이하라는 것과 같다. (b) $M\sim\mathrm{Beta}(3,3)$.

풀이

(a) $\tfrac14$ 이하인 점의 수는 $\mathrm b(5,\tfrac14)$이므로

$$P(M\le\tfrac14)=\sum_{j=3}^5\binom5j\Bigl(\frac14\Bigr)^j\Bigl(\frac34\Bigr)^{5-j}=\frac{10\cdot9+5\cdot3+1}{1024}=\frac{106}{1024}=\frac{53}{512}\approx0.104 .$$

(b) 예제 4.4로 $M=U_{(3)}\sim\mathrm{Beta}(3,\allowbreak 3)$이고 $\Var M=\tfrac{9}{36\cdot7}=\tfrac1{28}$이다. 표준편차 $0.19$는 한 점의 표준편차 $0.29$보다 작다.

최종답 (a) $\tfrac{53}{512}\approx0.104$ (b) $\tfrac1{28}$

A14 닳는 전구와 닳지 않는 전구 ★

정리 3.3 · 8분

이미 500시간 켜진 전구가 앞으로 1000시간 이상 버틸 확률을 구하라. 수명이 (a) 평균 1000시간인 지수분포일 때, (b) $\Gamma(2,500)$일 때. 두 분포의 평균은 같다.

힌트

(b)에서 $P(X>x)=e^{-x/500}(1+\tfrac x{500})$이다. 이것은 비율 $\tfrac1{500}$인 Poisson 과정에서 $x$까지 사건이 1개 이하일 확률이다.

풀이

(a) 무기억성(정리 3.3)으로 $P(X>1000)=e^{-1}\approx0.368$이다. (b) 정리 3.2로 $P(X>x)=P(N(x)\le1)=e^{-x/500}(1+\tfrac x{500})$이므로

$$\frac{P(X>1500)}{P(X>500)}=\frac{4e^{-3}}{2e^{-1}}=2e^{-2}\approx0.271 .$$

같은 평균이라도 $\alpha=2>1$인 감마는 이미 쓴 시간만큼 닳아서 남은 수명이 짧아진다.

최종답 (a) $e^{-1}\approx0.368$ (b) $2e^{-2}\approx0.271$

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