9 정리와 역사 노트

9.1 한 장 요약

	pmf / pdf, 평균, 분산, mgf	어디서 나오나
이항 $\mathrm b(n,p)$	$\tbinom nkp^kq^{n-k}$ , $np$ , $npq$ , $(q+pe^t)^n$	$n$ 번 중 성공 수
음이항 $\mathrm{NB}(r,p)$	$\tbinom{k+r-1}kp^rq^k$ , $\tfrac{rq}p$ , $\tfrac{rq}{p^2}$ , $\bigl(\tfrac p{1-qe^t}\bigr)^r$	$r$ 번째 성공까지의 실패 · Poisson–감마
초기하	$\tbinom Kx\tbinom{N-K}{n-x}/\tbinom Nn$ , $np$ , $npq\tfrac{N-n}{N-1}$	되돌려 넣지 않는 뽑기
다항	$\tfrac{n!}{\prod x_j!}\prod p_j^{x_j}$ , $\Cov(X_i,X_j)=-np_ip_j$	범주가 여럿
Poisson $\mathrm{Poi}(\lambda)$	$e^{-\lambda}\tfrac{\lambda^k}{k!}$ , $\lambda$ , $\lambda$ , $e^{\lambda(e^t-1)}$	이항의 극한 · 과정의 셈
감마 $\Gamma(\alpha,\beta)$	$\tfrac{x^{\alpha-1}e^{-x/\beta}}{\Gamma(\alpha)\beta^\alpha}$ , $\alpha\beta$ , $\alpha\beta^2$ , $(1-\beta t)^{-\alpha}$	과정의 기다림 · 지수의 합
$\chi^2(r)$	$\Gamma(\tfrac r2,2)$ , $r$ , $2r$ , $(1-2t)^{-r/2}$	표준정규 $r$ 개의 제곱합
베타 $\mathrm{Beta}(a,b)$	$\tfrac{x^{a-1}(1-x)^{b-1}}{B(a,b)}$ , $\tfrac a{a+b}$ , $\tfrac{ab}{(a+b)^2(a+b+1)}$	감마의 비 · 사후분포 · 순서통계량
혼합	$\sum\pi_kf_k$ , $E\mu(\Theta)$ , $E\sigma^2(\Theta)+\Var\mu(\Theta)$	섞인 집단

증명의 핵심은 세 가지 도구의 되풀이였다. mgf의 곱(독립합: 이항, Poisson, 감마, $\chi^2$ ), 야코비안(감마의 비 → 베타), 전분산 공식(혼합의 분산, 과산포).

9.2 Stigler의 명명 법칙

Stigler's law of eponymy “어떤 과학 법칙도 처음 발견한 사람의 이름을 달고 있지 않다.”

Poisson 분포: de Moivre(1711)가 126년 먼저 같은 어림을 썼다. 그리고 Poisson은 이것을 하나의 분포로 다루지 않았다. 분포로서의 자리를 준 것은 Bortkiewicz(1898)였다.
베타분포와 감마분포: Euler가 적분 $B(a,b)$ 와 $\Gamma(\alpha)$ 를 연구했고(1730년대), 이것들을 확률분포로 이름 붙인 것은 Pearson(1895)의 분포 체계(Type I, Type III)였다. Bayes(1763)는 이미 베타 사후분포를 계산하고 있었다.
$\chi^2$ 분포: Pearson(1900)의 이름이 붙지만, Abbe(1863)와 Helmert(1875)가 정규 제곱합의 분포로 먼저 유도했다(6회).

9.3 7 Pillars 지도

이번 회차는 기둥을 새로 세우기보다 기둥들이 쓸 재료를 만들었다. 셋째 기둥 Likelihood(9회)는 모수의 가족이 있어야 시작할 수 있고, 6절의 적률법은 그 직전 단계다. 넷째 기둥 Intercomparison(6회 이후)은 $\chi^2$ 와 $t$ 같은 분포로 자료 안의 변동을 서로 비교한다. 그리고 6절의 분산 지수는 일곱째 기둥 Residual의 씨앗이다. 모형이 설명하지 못하고 남는 것(과산포)을 보고 모형을 고친다.

9.4 다음 회 — 정규분포의 탄생과 Galton의 타원 (1733 → 1901)

이 회차에서 이항(정리 2.3의 다른 극한), 감마(큰 $\alpha$ ), 베타(큰 $a,b$ )가 모두 종 모양으로 가는 것을 그림에서 보았다. 5회는 그 종, 곧 정규분포가 어떻게 태어났는지(de Moivre 1733, Gauss 1809, Laplace 1810)를 따라간다. 이 노트의 $\chi^2$ 분포(정리 3.9)와 감마함수가 5회의 다변량 정규분포와 이차형식에서 쓰인다.

참고문헌

Stigler, S. M. The History of Statistics: The Measurement of Uncertainty before 1900. Harvard, 1986. (Bayes, Laplace, Pearson의 장)
von Bortkiewicz, L. Das Gesetz der kleinen Zahlen. Teubner, 1898.
Student. On the error of counting with a haemacytometer. Biometrika 5 (1907).
Bayes, T. An essay towards solving a problem in the doctrine of chances. Philosophical Transactions 53 (1763).
Laplace, P.-S. Mémoire sur la probabilité des causes par les événements (1774). · Essai philosophique sur les probabilités (1814).
Pearson, K. Contributions to the mathematical theory of evolution. Philosophical Transactions A 185 (1894).
Greenwood, M., Yule, G. U. An inquiry into the nature of frequency distributions representative of multiple happenings. JRSS 83 (1920).
Mosteller, F., Wallace, D. L. Inference in an authorship problem. JASA 58 (1963).
Le Cam, L. An approximation theorem for the Poisson binomial distribution. Pacific J. Math. 10 (1960).
Thompson, W. R. On the likelihood that one unknown probability exceeds another. Biometrika 25 (1933).
자료: R 패키지 vcd의 HorseKicks, VonBort, Federalist; HistData의 Yeast.

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