4회 · 셈하는 분포와 섞인 분포 · 워크북

B. 빈칸 증명

노트의 단계형 증명을 책을 덮고 다시 쓴다. 같은 정리를 여러 번 만나며 도움이 줄어든다. 1 단계는 주어지고 근거와 몇 개의 식만 빈칸이다. 2 단계의 이름만 주어진다. 3 전략만 주어진다. 근거에는 정의나 정리의 번호, 앞 회차의 번호, 도구 번호를 쓴다.

B1 초기하분포의 분산, 근거 채우기 ★

1 · 정리 1.5 · 15분

$N$개 가운데 $K$개가 성공인 모집단에서 $n$개를 되돌려 넣지 않고 뽑는다. $p=K/N$이다. 근거와 빈칸을 채워라.

1. $\mathbf 1_i$를 $i$번째로 뽑은 것이 성공이라는 지시변수라 하면 $X=\sum_{i=1}^n\mathbf 1_i$이다.왜?지시함수 [T1]

2. $P(\mathbf 1_i=1)=p$이므로 $EX=np$이다.왜?뽑는 순서의 대칭, 기댓값의 선형성

3. $i\ne j$이면 $P(\mathbf 1_i\mathbf 1_j=1)={}$$\tfrac KN\cdot\tfrac{K-1}{N-1}$이다.왜?곱셈법칙, 1회 정리 5.3

4. $\Cov(\mathbf 1_i,\allowbreak \mathbf 1_j)={}$$-\tfrac{p(1-p)}{N-1}$이다.왜?2 3, $\Cov=E[\mathbf 1_i\mathbf 1_j]-p^2$

5. 분산을 공분산의 합으로 쓴다.

   $$\begin{align*} \Var X&=\sum_i\Var\mathbf 1_i+\sum_{i\ne j}\Cov(\mathbf 1_i,\mathbf 1_j) \tag*{\htmlClass{why}{\htmlClass{why-q}{\text{왜?}}\htmlClass{why-a}{\text{3회 정리 4.2(c)}}}}\\ &=np(1-p)-\htmlClass{blank}{n(n-1)}\cdot\frac{p(1-p)}{N-1}=np(1-p)\frac{N-n}{N-1} \tag*{\htmlClass{why}{\htmlClass{why-q}{\text{왜?}}\htmlClass{why-a}{\text{\htmlClass{sref}{\text{4}}, 순서쌍 $i\ne j$의 수}}}} \end{align*}$$

힌트

근거는 짧게 쓴다. 예: “정리 4.2(c)”, “[T1] 지시함수”. 공분산 항의 수는 순서 있는 쌍 $(i,j)$, $i\ne j$의 수다.

풀이

빈칸의 빨간 글씨가 답이다. 노트 정리 1.5의 증명과 같다. 둘째 단계의 대칭은 “$n$개를 뽑는 모든 순서가 같은 확률이므로, $i$번째 자리에 오는 것은 $N$개 가운데 고르게 하나”라는 뜻이다. 공분산이 음수인 것은 성공 하나가 뽑히면 남은 모집단에서 성공의 비율이 줄기 때문이다.

B2 무기억성의 역, 근거 채우기 ★★

1 · 정리 3.3 · 15분

양수인 연속 확률변수 $X$가 모든 $s,t>0$에서 $P(X>s+t\mid X>s)=P(X>t)$를 만족하면 지수분포임을 보인다. $G(x)=P(X>x)$이다. 근거를 채워라.

1. 모든 $s>0$에서 $G(s)>0$이고 $G(s+t)=G(s)G(t)$이다.왜?조건부확률의 정의, $\{X>s+t\}\subset\{X>s\}$

2. $c=G(1)$로 두면 자연수 $n$에서 $G(n)=c^n$이다.왜?1, $n$에 대한 귀납 [T3]

3. $0<c<1$이다.왜?$c=1$이면 $G(n)=1$인데 $G(n)\to0$, 귀류 [T2]

4. 양의 유리수 $q=\tfrac nm$에서 $G(q)=c^q$이다.왜?$c=G(\tfrac1m)^m$, 그리고 2와 같은 귀납

5. 실수 $x>0$에서 $G(x)=c^x$이다.왜?유리수열 $q_k\downarrow x$, $G$의 오른쪽 연속

6. $\lambda=-\log c$로 두면 $X\sim\mathrm{Exp}(\lambda)$이다.왜?3으로 $\lambda>0$

힌트

다섯째 단계에서 왜 “오른쪽”인지 생각한다. $G=1-F$이고 분포함수는 오른쪽 연속이다(1회 정리 6.3(c)).

풀이

빈칸의 빨간 글씨가 근거다. 노트 정리 3.3의 증명과 같다. 셋째 단계에서 $G(n)\to0$은 1회 정리 6.3(b)의 $F(n)\to1$이다. 다섯째 단계는 $G$가 유리수에서만 정해져 있으면 실수에서의 값을 정하는 데 연속성 같은 성질이 하나 더 필요하다는 것을 보여 준다. 그런 성질이 없으면 $G(s+t)=G(s)G(t)$의 기이한 해들이 존재한다.

B3 베타와 감마, 근거와 식 채우기 ★★

1 · 정리 4.2 · 15분

$X\sim\Gamma(a,1)$과 $Y\sim\Gamma(b,1)$이 독립이고 $U=\tfrac X{X+Y}$, $V=X+Y$이다. 빈칸을 채워라.

1. 역변환은 $x={}$$uv$, $y={}$$(1-u)v$이고 $(0,1)\times(0,\infty)$ 위의 일대일 대응이다.왜?대입해 확인

2. 역변환의 야코비안은 $v$이다.왜?$2\times2$ 행렬식 [T7]

3. $f_{X,Y}(x,\allowbreak y)=\tfrac{x^{a-1}e^{-x}}{\Gamma(a)}\cdot\tfrac{y^{b-1}e^{-y}}{\Gamma(b)}$이다.왜?독립, 3회 정리 3.2

4. $f_{U,V}(u,\allowbreak v)=\dfrac{u^{a-1}(1-u)^{b-1}}{\Gamma(a)\Gamma(b)/\Gamma(a+b)}\cdot\dfrac{v^{a+b-1}e^{-v}}{\Gamma(a+b)}$이다.왜?3회 정리 5.1

5. $U$와 $V$는 독립이고 $V\sim\Gamma(a+b,1)$이다.왜?인수분해, 3회 정리 3.2

6. $B(a,b)={}$$\tfrac{\Gamma(a)\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)}$이고 $U\sim\mathrm{Beta}(a,b)$이다.왜?$U$의 밀도의 적분은 1

힌트

넷째 단계에서 $e^{-uv}e^{-(1-u)v}=e^{-v}$이고 $(uv)^{a-1}((1-u)v)^{b-1}\cdot v=u^{a-1}(1-u)^{b-1}v^{a+b-1}$이다.

풀이

빈칸의 빨간 글씨가 답이다. 노트 정리 4.2의 증명과 같다. 야코비안은 $\det\smat{v&u\\-v&1-u}=v(1-u)+uv=v$이다. 마지막 단계는 “밀도의 적분은 1”이라는 사실 하나로 베타함수와 감마함수의 관계를 얻는다. 적분을 직접 계산하지 않는다.

B4 초기하분포의 분산, 단계의 이름만 ★★

2 · 정리 1.5 · 25분

정리 1.5를 증명하라. 단계의 이름만 주어진다. 각 단계 아래에 식과 근거를 써라.

1. $X$를 지시변수의 합으로 쓴다

2. 한 지시변수의 기댓값과 $EX$를 구한다

3. 두 지시변수가 함께 1일 확률을 구한다

4. 공분산을 계산한다

5. 분산을 분산과 공분산의 합으로 쓰고 정리한다

힌트

B1을 보지 않고 쓴다. 넷째 단계의 계산은 $\tfrac KN\bigl(\tfrac{K-1}{N-1}-\tfrac KN\bigr)$로 묶으면 짧다.

풀이

1. $X=\sum_{i=1}^n\mathbf 1_i$.[T1]

2. 대칭으로 $E\mathbf 1_i=\tfrac KN=p$, $EX=np$.선형성

3. $P(\mathbf 1_i\mathbf 1_j=1)=\tfrac KN\cdot\tfrac{K-1}{N-1}$ ($i\ne j$).1회 정리 5.3

4. $\Cov(\mathbf 1_i,\allowbreak \mathbf 1_j)=\tfrac KN\bigl(\tfrac{K-1}{N-1}-\tfrac KN\bigr)=\tfrac KN\cdot\tfrac{K-N}{N(N-1)}=-\tfrac{p(1-p)}{N-1}$.계산

5. $\Var X=np(1-p)-n(n-1)\tfrac{p(1-p)}{N-1}=np(1-p)\tfrac{N-n}{N-1}$.3회 정리 4.2(c)

B5 무기억성의 역, 단계의 이름만 ★★

2 · 정리 3.3 · 25분

정리 3.3의 역, 곧 무기억성을 갖는 양수인 연속 확률변수는 지수분포라는 것을 증명하라.

1. 성질을 생존함수의 함수방정식으로 바꾼다

2. 자연수에서 푼다

3. $c=G(1)$이 0과 1 사이에 있음을 보인다

4. 양의 유리수로 넓힌다

5. 실수로 넓힌다

6. 지수분포임을 결론짓는다

힌트

유리수로 넓힐 때는 먼저 $\tfrac1m$에서의 값을 구한다. $G(1)=G(\tfrac1m+\cdots+\tfrac1m)$.

풀이

노트 정리 3.3의 역방향 증명과 같다. 단계별 근거는 B2의 풀이를 본다. 셋째 단계에서 $c>0$은 첫 단계의 $G>0$에서, $c<1$은 귀류로 나온다. $c=1$이면 $G(n)=1$이 모든 $n$에서 성립해 $P(X>n)=1$인데, $X$가 실숫값이면 $P(X>n)\to0$이어야 한다.

B6 베타와 감마, 전략만 ★★

3 · 정리 4.2 · 30분

정리 4.2를 증명하라. 결론에는 $U\perp V$, $U\sim\mathrm{Beta}(a,b)$, $V\sim\Gamma(a+b,1)$, $B(a,\allowbreak b)=\Gamma(a)\Gamma(b)/\Gamma(a+b)$가 모두 들어가야 한다.

전략 $(X,Y)\mapsto(U,V)$의 변수변환으로 결합밀도를 구하고, 그것이 $u$만의 함수와 $v$만의 함수의 곱으로 인수분해됨을 보인다.

힌트

단계는 여섯이다. 역변환, 야코비안, 독립인 결합밀도, 변수변환 공식, 인수분해, 정규화 상수의 비교.

풀이

B3의 풀이와 노트 정리 4.2의 증명과 같다. 이 증명은 같은 틀로 세 개 이상의 감마로 넓어진다(노트 연습 4.5의 Dirichlet). 또 $R=X/Y=U/(1-U)$의 밀도를 구하면 노트 연습 4.4의 $F$ 분포의 씨앗이 된다.

B7 초기하분포의 분산, 전략만 ★★

3 · 정리 1.5 · 30분

정리 1.5를 증명하라. 그리고 $n=N$이면 분산이 0이 되는 이유를 식과 말로 설명하라.

전략 $X$를 지시변수의 합으로 쪼갠다. 지시변수들은 독립이 아니므로 분산에는 공분산 항이 남는다.

힌트

지시변수의 분산은 $p(1-p)$이고, $i\ne j$인 순서쌍은 $n(n-1)$개다.

풀이

B4의 풀이와 같다. $n=N$이면 $\tfrac{N-n}{N-1}=0$이므로 분산이 0이다. 모집단 전체를 뽑으면 $X=K$로 확정되기 때문이다. 식으로는 $\Var\sum_i\mathbf 1_i=Np(1-p)-N(N-1)\tfrac{p(1-p)}{N-1}=0$이다. 분산 항의 합과 공분산 항의 합이 정확히 상쇄된다.

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