증명 도구 상자 · 노트

7 T7 변수변환과 Jacobian

확률변수의 함수 $Y=g(X)$의 밀도, 두 확률변수의 합과 비의 분포, 정규분포의 정규화 상수는 모두 적분의 변수를 바꿔서 구한다. 1차원 치환은 미적분의 연쇄법칙에서 나오고, 다차원 치환은 Jacobian 행렬식이 넓이(부피)의 배율이 된다. 2회 4절의 단조변환과 3회의 다변량 변수변환이 이 도구를 쓴다.

7.1 1차원 치환

정리 7.1 (치환적분) $\varphi$가 $[a,b]$에서 연속미분가능하고 $g$가 $\varphi([a,b])$에서 연속이면

$$\int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)}g(y)\,dy=\int_a^bg\bigl(\varphi(x)\bigr)\varphi'(x)\,dx .$$

증명 전략 양변을 위끝의 함수로 보고, 미분이 같고 시작값이 같음을 보인다.

1. $G(u)=\int_{\varphi(a)}^ug(y)\,dy$로 두면 $G'=g$이다.미적분의 기본정리

2. $H(s)=G\bigl(\varphi(s)\bigr)$는 $H'(s)=g\bigl(\varphi(s)\bigr)\varphi'(s)$이다.연쇄법칙

3. $H(a)=0$이므로 $H(b)=\int_a^bH'(s)\,ds$이다. 왼쪽은 증명할 식의 왼쪽, 오른쪽은 증명할 식의 오른쪽이다.미적분의 기본정리

구간의 끝 대신 집합으로 쓰면 $\varphi$가 감소할 때 끝이 뒤바뀌므로 절댓값이 붙는다. $\varphi$가 열린 구간 $I$에서 일대일이고 $\varphi'\ne0$이면 $\int_{\varphi(I)}g(y)\,dy=\int_Ig(\varphi(x))\,|\varphi'(x)|\,dx$이다.

명제 7.2 (단조 변환의 밀도) $X$의 밀도 $f_X$가 열린 구간 $I$ 밖에서 0이고, $\varphi$가 $I$에서 일대일이며 미분가능하고 $\varphi'\ne0$이면, $Y=\varphi(X)$의 밀도는 $\varphi(I)$ 위에서

$$f_Y(y)=f_X\bigl(\varphi^{-1}(y)\bigr)\,\Bigl|\frac{d}{dy}\varphi^{-1}(y)\Bigr|$$

이고 그 밖에서 0이다.

증명 전략 분포함수를 $X$의 사건으로 바꾸고 미분한다. 증가와 감소를 나눈다.

1. $\varphi$가 증가하면 $\{Y\le y\}=\{X\le\varphi^{-1}(y)\}$이므로 $F_Y(y)=F_X(\varphi^{-1}(y))$이다.역상 [T1]

2. 미분하면 $f_Y(y)=f_X(\varphi^{-1}(y))\,(\varphi^{-1})'(y)$이고, $(\varphi^{-1})'>0$이다.연쇄법칙

3. $\varphi$가 감소하면 $F_Y(y)=1-F_X(\varphi^{-1}(y))$이고 미분하면 $-(\varphi^{-1})'(y)=|(\varphi^{-1})'(y)|$가 곱해진다.$P(X=x)=0$

예제 7.3 (균등분포에서 지수분포로) $X\sim\mathrm U(0,1)$, $Y=-\log X$이다. $\varphi(x)=-\log x$는 $(0,1)$에서 $(0,\infty)$로 가는 감소 함수이고 $\varphi^{-1}(y)=e^{-y}$, $|(\varphi^{-1})'(y)|=e^{-y}$이다. 따라서 $f_Y(y)=1\cdot e^{-y}$ ($y>0$)이고 $Y$는 평균 1인 지수분포다. 컴퓨터가 균등난수로 지수난수를 만드는 방법이 이것이다.

7.2 다차원 치환

증명 없이 쓰는 사실 (다중적분의 치환) $T$가 열린 집합 $S\subset\R^n$에서 열린 집합 $T(S)$로 가는 일대일 연속미분가능 변환이고 야코비안 행렬식 $J_T(\x)=\det\bigl[\partial T_i/\partial x_j\bigr]$이 0이 아니면, $T(S)$ 위의 적분 가능한 $g$에 대해

$$\int_{T(S)}g(\mathbf y)\,d\mathbf y=\int_Sg\bigl(T(\x)\bigr)\,|J_T(\x)|\,d\x .$$

다변수 미적분학의 표준 정리이고, 3회 5절의 상자와 같은 문장이다.

쓸 때 확인할 것은 셋이다. (1) 변환이 일대일인가. 아니면 정의역을 나눈다. (2) 새 변수의 범위, 곧 $T(S)$가 무엇인가. (3) Jacobian을 어느 방향으로 계산했는가. $\mathbf y=T(\x)$의 밀도를 구할 때는 $\x=T^{-1}(\mathbf y)$의 Jacobian $J_{T^{-1}}(\mathbf y)=1/J_T(\x)$를 쓴다. 자주 쓰는 Jacobian은 다음과 같다.

변환	식	$|J|$
선형	$\mathbf y=A\x$	$|\det A|$
극좌표	$(x,\allowbreak y)=(r\cos\theta,\allowbreak \ r\sin\theta)$	$r$
합과 비	$(x,y)=(uv,\ u(1-v))$	$u$
구면좌표	$(r\sin\phi\cos\theta,\allowbreak \ r\sin\phi\sin\theta,\allowbreak \ r\cos\phi)$	$r^2\sin\phi$

예제 7.4 (가우스 적분) $I=\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2/2}dx=\sqrt{2\pi}$이다.

전략 $I^2$을 평면 위의 적분으로 쓰고 극좌표로 바꾼다.

1. $I^2=\int\!\!\int_{\R^2}e^{-(x^2+y^2)/2}\,dx\,dy$이다.Tonelli [T6], 피적분함수 $\ge0$

2. 극좌표 $(r,\allowbreak \theta)\in(0,\allowbreak \infty)\times(0,\allowbreak 2\pi)$는 평면에서 반직선 $\{(x,0):x\ge0\}$를 뺀 곳으로 가는 일대일 변환이고 $|J|=r$이다. 빠진 반직선은 넓이가 0이어서 적분에 영향이 없다.다중적분의 치환

3. 따라서

   $$I^2=\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^\infty e^{-r^2/2}\,r\,dr\,d\theta=2\pi\Bigl[-e^{-r^2/2}\Bigr]_0^\infty=2\pi .$$

   Tonelli, 1차원 치환 $s=r^2/2$

   $I>0$이므로 $I=\sqrt{2\pi}$이다.

예제 7.5 (합과 비) $X,Y$가 독립이고 각각 밀도 $f_X$, $f_Y$가 $(0,\infty)$ 위에 있다. $U=X+Y$, $V=X/(X+Y)$로 두면 역변환은 $x=uv$, $y=u(1-v)$이고 범위는 $u>0$, $0<v<1$, $|J|=u$이다. 따라서

$$f_{U,V}(u,v)=f_X(uv)\,f_Y\bigl(u(1-v)\bigr)\,u .$$

$X,Y$가 독립인 평균 1의 지수분포이면 $f_{U,V}(u,\allowbreak v)=e^{-uv}e^{-u(1-v)}u=ue^{-u}$이다. $(u,v)$의 함수가 $u$만의 함수와 $v$만의 함수(상수 1)의 곱이므로 $U$와 $V$는 독립이고, $V\sim\mathrm U(0,1)$이다(연습 7.4).

흔한 실수 (1) 절댓값을 빠뜨린다. 감소 변환에서 밀도가 음수로 나온다. (2) 일대일이 아닌 변환에 공식을 그대로 쓴다. $Y=X^2$에서 $X$의 값 $\pm\sqrt y$가 모두 $y$로 가므로 두 가지의 기여를 더해야 한다. (3) 새 변수의 범위를 빠뜨린다. 예제 7.5에서 $0<v<1$을 적지 않으면 $V$의 밀도가 1인 범위를 말할 수 없다.

연습문제

연습 7.1 (치환 연습 ★) $u=1-x^2$으로 치환해 $\int_0^1x(1-x^2)^3dx$를 계산하라.

풀이

$u=1-x^2$이면 $du=-2x\,dx$이고 $x:0\to1$일 때 $u:1\to0$이므로

$$\int_0^1x(1-x^2)^3dx=\int_1^0u^3\Bigl(-\frac{du}2\Bigr)=\frac12\int_0^1u^3du=\frac18 .$$

연습 7.2 (균등분포의 변환 ★) $X\sim\mathrm U(0,1)$이다. (a) $Y=-2\log X$의 밀도, (b) $Z=\tan\bigl(\pi(X-\tfrac12)\bigr)$의 밀도를 구하라.

풀이

(a) $\varphi(x)=-2\log x$는 $(0,1)$에서 $(0,\infty)$로 가는 감소 함수이고 $\varphi^{-1}(y)=e^{-y/2}$, $|(\varphi^{-1})'(y)|=\tfrac12e^{-y/2}$이므로 $f_Y(y)=\tfrac12e^{-y/2}$ ($y>0$)이다. (b) $\varphi(x)=\tan(\pi(x-\tfrac12))$는 $(0,1)$에서 $\R$로 가는 증가 함수이고 $\varphi^{-1}(z)=\tfrac12+\tfrac1\pi\arctan z$, $(\varphi^{-1})'(z)=\tfrac1{\pi(1+z^2)}$이므로 $f_Z(z)=\tfrac1{\pi(1+z^2)}$이다(Cauchy 분포).

연습 7.3 (Jacobian 계산 ★) 다음 두 변환의 Jacobian 행렬식을 계산하라.

$$\text{(a) }(x,y)=\bigl(uv,\ u(1-v)\bigr),\qquad \text{(b) }(x,y,z)=(r\sin\phi\cos\theta,\ r\sin\phi\sin\theta,\ r\cos\phi)$$

풀이

(a) $\tfrac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}=\smat{v&u\\1-v&-u}$이므로 행렬식은 $-uv-u(1-v)=-u$이고 $|J|=u$이다. (b) 변수 순서 $(r,\theta,\phi)$로 계산하면 행렬식은 $-r^2\sin\phi$이고, 순서를 $(r,\phi,\theta)$로 바꾸면 부호가 바뀐다. 절댓값은 $r^2\sin\phi$ ($0<\phi<\pi$)이다.

연습 7.4 (지수분포의 합과 비 ★★) 예제 7.5의 결과에서 $U$의 밀도가 $ue^{-u}$ ($u>0$)이고 $V\sim\mathrm U(0,1)$이며 둘이 독립임을 보여라.

풀이

예제 7.5에서 $f_{U,V}(u,v)=ue^{-u}$ ($u>0$, $0<v<1$)이다. 주변밀도는 $f_U(u)=\int_0^1ue^{-u}dv=ue^{-u}$, $f_V(v)=\int_0^\infty ue^{-u}du=1$이고, 곱이 결합밀도와 같으므로 독립이다.

연습 7.5 (정규분포의 극좌표 ★★) $X$와 $Y$는 독립인 표준정규분포를 따르고, $X=R\cos\Theta$, $Y=R\sin\Theta$이다. $(R,\Theta)$의 결합밀도를 구하라. 또 $R$과 $\Theta$가 독립이고 $\Theta\sim\mathrm U(0,2\pi)$이며, $R^2$의 밀도가 $\tfrac12e^{-s/2}$ ($s>0$)임을 보여라.

풀이

$f_{X,Y}(x,\allowbreak y)=\tfrac1{2\pi}e^{-(x^2+y^2)/2}$이고 극좌표의 $|J|=r$이므로

$$f_{R,\Theta}(r,\theta)=\frac1{2\pi}\,re^{-r^2/2},\qquad r>0,\ 0<\theta<2\pi .$$

$r$만의 함수 $re^{-r^2/2}$와 상수 $\tfrac1{2\pi}$의 곱이므로 독립이고, $\Theta\sim\mathrm U(0,2\pi)$, $f_R(r)=re^{-r^2/2}$이다. $S=R^2$은 $r>0$에서 증가하고 $r=\sqrt s$, $dr/ds=\tfrac1{2\sqrt s}$이므로 $f_S(s)=\sqrt se^{-s/2}\cdot\tfrac1{2\sqrt s}=\tfrac12e^{-s/2}$이다.

연습 7.6 (타원의 넓이 ★★) 선형변환 $(x,y)=(au,bv)$로 타원 $\{x^2/a^2+y^2/b^2\le1\}$의 넓이가 $\pi ab$임을 보여라.

풀이

$(u,v)\mapsto(au,bv)$는 단위원판을 타원으로 보내는 일대일 선형변환이고 $|J|=ab$이다. 넓이는 $\int\!\!\int_{\text{원판}}ab\,du\,dv=ab\cdot\pi$이다. 단위원판의 넓이 $\pi$는 극좌표로 $\int_0^{2\pi}\!\int_0^1r\,dr\,d\theta=\pi$이다.

연습 7.7 ($\Gamma(\tfrac12)$ ★★) 예제 7.4에서 $\int_0^\infty e^{-x^2}dx=\tfrac{\sqrt\pi}2$를 이끌고, $x=t^2$ 치환으로 $\Gamma(\tfrac12)=\int_0^\infty t^{-1/2}e^{-t}dt=\sqrt\pi$를 보여라.

풀이

예제 7.4에서 $x=y/\sqrt2$로 치환하면 $\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}dx=\tfrac1{\sqrt2}\sqrt{2\pi}=\sqrt\pi$이고, 피적분함수가 짝함수이므로 $\int_0^\infty e^{-x^2}dx=\tfrac{\sqrt\pi}2$이다. $t=x^2$, $dt=2x\,dx$이면 $\Gamma(\tfrac12)=\int_0^\infty x^{-1}e^{-x^2}2x\,dx=2\int_0^\infty e^{-x^2}dx=\sqrt\pi$이다.

연습 7.8 (베타 적분 ★) $\int_0^1x^3(1-x)^4dx$를 전개해서 계산하고, 공식 $\int_0^1x^{a-1}(1-x)^{b-1}dx=\tfrac{(a-1)!(b-1)!}{(a+b-1)!}$($a,b$는 자연수)과 같은지 확인하라.

풀이

$x^3(1-x)^4=x^3-4x^4+6x^5-4x^6+x^7$이므로 적분은 $\tfrac14-\tfrac45+1-\tfrac47+\tfrac18=\tfrac{70-224+280-160+35}{280}=\tfrac1{280}$이다. 공식에서 $a=4$, $b=5$이면 $\tfrac{3!\,4!}{8!}=\tfrac{144}{40320}=\tfrac1{280}$으로 같다.

연습 7.9 (단체의 부피 ★★★) $\Delta_n=\{\x\in\R^n:\ x_i\ge0,\allowbreak \ x_1+\cdots+x_n\le1\}$의 부피가 $1/n!$임을 $n$에 대한 귀납법으로 보여라. (힌트: $x_n=t$를 고정한 단면은 $(1-t)\Delta_{n-1}$이고, 그 부피는 $(1-t)^{n-1}$배다.)

풀이

$V_n$을 $\Delta_n$의 부피라 하자. $V_1=1$이다. $x_n=t\in[0,1]$에서의 단면은 $\{(x_1,\allowbreak \dots,\allowbreak x_{n-1}):x_i\ge0,\allowbreak \ \sum x_i\le1-t\}=(1-t)\Delta_{n-1}$이고, $(1-t)$배 확대는 Jacobian이 $(1-t)^{n-1}$인 선형변환이므로 부피는 $(1-t)^{n-1}V_{n-1}$이다. 지시함수에 Tonelli를 쓰면 부피는 단면의 부피의 적분이므로

$$V_n=V_{n-1}\int_0^1(1-t)^{n-1}dt=\frac{V_{n-1}}n .$$

귀납법으로 $V_n=1/n!$이다.

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