부록 소책자 · T1 – T8

증명 도구 상자

수리통계학의 증명은 몇 가지 도구를 되풀이해 쓴다. 집합 등식을 원소로 확인하고, 대우와 귀류로 방향을 바꾸고, 귀납법으로 $n$n을 하나씩 늘리고, 부등식을 잇고, 극한을 $\varepsilon$ε으로 다루고, 극한과 적분의 순서를 바꾸고, 변수를 바꾸고, Taylor 전개로 근사한다. 이 소책자는 그 여덟 가지를 T1–T8로 모아, 원리와 표준 예와 흔한 실수와 손으로 풀 연습으로 정리한다.

노트 읽기

50쪽노트 · 8절

61개정리 · 정의 · 예제

73문항노트의 연습

읽은 절0 / 8

강의노트PDF · 50쪽

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여덟 가지 도구

강의노트와 워크북의 증명에서 근거가 [T1]–[T8]로 적힌 단계가 이 소책자의 해당 절을 쓴다. 칸의 색이 진할수록 그 회차에서 그 도구를 근거로 많이 쓴다.

도구	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	합
T1 집합 등식: 원소 추적과 지시함수1회부터	14	2	1	5			4	8	2	1	1	3	4	1	3		49
T2 대우와 귀류, 반례1회부터	4	4	2	3	1	2	3		4	2	6	8	3	1		2	45
T3 귀납법과 재귀적 정의1회부터	7	2		5	1										3		18
T4 부등식: 더하고 빼기, Cauchy–Schwarz, 볼록성2회부터		5	9	2	1	5	5		1	2	2	1	9	3	4	1	50
T5 $\varepsilon$–$N$, 급수, 상극한과 하극한1회부터	12	14		4	3	3	8	3	2	1	1				4	1	56
T6 극한과 적분의 교환2회부터		5	6	1	5	3	1		4	11	4	3		1	4	4	52
T7 변수변환과 Jacobian2회부터		2	9	5	5	3					1				2	6	33
T8 Taylor 전개와 $o$, $O$, $o_p$, $O_p$7회부터		1		2	4	4	2	2	8	3	1				4	1	32

적게많이· 칸의 수 = 그 회차의 노트 · 워크북에서 [T] 근거가 나온 곳

직접 해 보기

정리 지도

노트와 워크북에 적힌 번호 참조를 모두 세어 그렸다. 왼쪽은 이 회차가 근거로 쓰는 앞 회차, 오른쪽은 이 회차의 상자를 근거로 쓰는 뒤 회차다.

차례

1. 1T1 집합 등식: 원소 추적과 지시함수3쪽정리 3정의 1예제 2연습 9PDF 1쪽
2. 2T2 대우와 귀류, 반례4쪽정리 3정의 1예제 4연습 8PDF 4쪽
3. 3T3 귀납법과 재귀적 정의4쪽정리 1정의 1예제 4연습 9PDF 8쪽
4. 4T4 부등식과 볼록성5쪽정리 6정의 1예제 3연습 10PDF 12쪽
5. 5T5 ε–N, 급수, 상극한과 하극한5쪽정리 5정의 3예제 3연습 10PDF 17쪽
6. 6T6 극한과 적분의 교환5쪽정리 1예제 5연습 9PDF 22쪽
7. 7T7 변수변환과 Jacobian4쪽정리 2예제 3연습 9PDF 27쪽
8. 8T8 Taylor 전개와 o, O, o_p, O_p5쪽정리 3정의 2예제 4연습 9PDF 31쪽

정리 · 정의 · 예제

번호	내용	연습 · 문항	뒤 회차	PDF
보조정리 1.1	분배법칙			1쪽
예제 1.2	서로소 조각 만들기			2쪽
정의 1.3	지시함수			2쪽
명제 1.4	지시함수의 대수	1		2쪽
예제 1.5	포함배제의 점별 형태			3쪽
명제 1.6	역상과 집합 연산	2		3쪽
정의 2.1	역 · 이 · 대우			5쪽
명제 2.2	대우는 같은 명제다			5쪽
예제 2.3	제곱이 짝수이면			5쪽
예제 2.4	수렴하지 않는다	1		6쪽
정리 2.5	$\sqrt2$는 무리수다			6쪽
정리 2.6	소수는 무한히 많다 (Euclid)			7쪽
예제 2.7	자연수 위의 균등 확률			7쪽
예제 2.8	쌍별 독립과 상호 독립			7쪽
정의 3.1	정렬원리			9쪽
정리 3.2	수학적 귀납법			9쪽
예제 3.3	Bernoulli 부등식			10쪽
예제 3.4	하키 스틱 항등식			10쪽
예제 3.5	소인수의 존재 (강한 귀납)			10쪽
예제 3.6	연속한 1이 없는 이진 문자열			11쪽
보조정리 4.1	삼각부등식			13쪽
예제 4.2	곱의 차			14쪽
정리 4.3	Cauchy–Schwarz (합)			14쪽
정의 4.4	볼록함수			15쪽
보조정리 4.5	이계도함수 판정			15쪽
정리 4.6	유한 Jensen 부등식	1		15쪽
따름정리 4.7	산술–기하 평균	1		16쪽
보조정리 4.8	$1+x\le e^x$	2		16쪽
예제 4.9	곱을 지수로 누르기	1		16쪽
예제 4.10	망원 합			16쪽
정의 5.1	수열의 극한			18쪽
예제 5.2	$N$을 찾기			18쪽
정리 5.3	극한의 대수	1		19쪽
정리 5.4	단조수렴	1		19쪽
정의 5.5	상극한 · 하극한			20쪽
정리 5.6	기하급수			20쪽
정리 5.7	비교 판정과 비율 판정	2		20쪽
예제 5.8	조화급수와 $\sum1/k^2$	1		21쪽
정의 5.9	사건의 상극한 · 하극한			21쪽
명제 5.10	원소로 읽기	1		21쪽
예제 5.11	$e$의 정의			22쪽
예제 6.1	사라지는 질량			23쪽
예제 6.2	순서를 바꾸면 달라지는 이중급수	1		23쪽
정리 6.3	적분 기호 아래의 미분	2		25쪽
예제 6.4	지배수렴으로 극한 구하기			25쪽
예제 6.5	적률생성함수의 미분			26쪽
예제 6.6	Tonelli로 합과 적분 바꾸기			26쪽
정리 7.1	치환적분			28쪽
명제 7.2	단조 변환의 밀도			28쪽
예제 7.3	균등분포에서 지수분포로			29쪽
예제 7.4	가우스 적분	1		30쪽
예제 7.5	합과 비	1		30쪽
정리 8.1	적분 나머지항			32쪽
따름정리 8.2	Lagrange 나머지항	2		33쪽
예제 8.3	$\log(1+x)$의 2차 근사	1		33쪽
정의 8.4	$o$와 $O$			33쪽
예제 8.5	$(1+x/n)^n$의 정확도	1		34쪽
예제 8.6	근호의 전개			34쪽
정의 8.7	$o_p$와 $O_p$			34쪽
명제 8.8	$o_p$와 $O_p$의 대수	1		34쪽
예제 8.9	Chebyshev로 $O_p$ 보이기			35쪽

연습 73문항 · 풀이는 연습 상자 안에 접어 두었다

1절 T1 집합 등식: 원소 추적과 지시함수

1.1차집합의 분배1.2대칭차1.3세 사건의 점별 포함배제1.4포함과 서로소의 여러 표현1.5역상 계산1.6상은 교집합을 보존하지 않는다1.7합집합과 교집합의 지시함수1.8역상으로 만든 σ-대수1.9세 사건이 만드는 집합의 수

2절 T2 대우와 귀류, 반례

2.1대우로 증명하기2.2부정 쓰기2.3$\sqrt3$은 무리수다2.4$\log_23$은 무리수다2.5확률의 합이 1보다 작으면2.6반례 만들기2.7$4k+3$ 꼴의 소수2.8한 점의 확률

3절 T3 귀납법과 재귀적 정의

3.1제곱의 합3.2계승의 합3.3기저가 1이 아닌 귀납3.4유한 Boole 부등식3.5Weierstrass의 곱 부등식3.6우표 문제 (강한 귀납)3.7Fibonacci 수3.8잘못된 귀납 찾기3.9교란순열의 재귀

4절 T4 부등식과 볼록성

4.1인수분해로 누르기4.2산술–기하 평균4.3합의 제곱4.4망원 합 계산4.5Gibbs 부등식4.6세 평균4.7$(1+1/n)^n$은 증가한다4.8로그의 아래 한계4.9Minkowski 부등식4.10Cauchy의 앞뒤 귀납

5절 T5 ε–N, 급수, 상극한과 하극한

5.1$N(\varepsilon)$ 구하기5.2수렴하지 않음 보이기5.3근호의 차5.4$\sum k/2^k$5.5비교 판정5.6상극한 계산5.7사건열의 상극한5.8상극한의 성질5.9비율 판정5.10Cesàro 평균

6절 T6 극한과 적분의 교환

6.1$x^n$의 적분6.2빠져나가는 질량6.3$(1-x/n)^n$의 적분6.4$n\sin(x/n)$6.5꼬리합의 가중합6.6이중급수6.7지수분포의 적률생성함수6.8합과 적분6.9가우스 적분과 코사인

7절 T7 변수변환과 Jacobian

7.1치환 연습7.2균등분포의 변환7.3Jacobian 계산7.4지수분포의 합과 비7.5정규분포의 극좌표7.6타원의 넓이7.7$\Gamma(\tfrac12)$7.8베타 적분7.9단체의 부피

8절 T8 Taylor 전개와 o, O, o_p, O_p

8.1Taylor 다항식8.2나머지항으로 오차 누르기8.3$o$, $O$ 판정8.4복리의 극한8.5로그를 끼우기8.6조화수와 Euler 상수8.7$o_p$, $O_p$의 계산8.8확률수렴과 적률8.9델타 방법의 뼈대