7회 강의노트 · 1777 → 1949

극한의 언어

수렴 · CLT · Monte Carlo

Buffon은 1777년 바늘을 마루에 던져 $\pi$ π를 재는 법을 보였고, Laplace는 1810년 작은 오차들의 합이 정규분포에 가까워진다는 것을 증명했다. 그 사이 Poisson은 아무리 많이 더해도 정규에 가까워지지 않는 분포를 찾아냈다. 이 노트는 “ $n$ n이 크면”이라는 말을 확률수렴과 분포수렴으로 정확하게 만들고, 중심극한정리·Slutsky 정리·델타 방법을 증명한 뒤, 오차까지 말할 수 있는 시뮬레이션인 Monte Carlo 방법으로 이어 간다.

노트 읽기 워크북 풀기 노트북

50쪽노트 · 10절

42개정리 · 정의 · 예제

47문항노트의 연습

34문항워크북

37개최종답 확인

읽은 절0 / 10

푼 문항0 / 34

맞힌 최종답0 / 37

강의노트PDF · 50쪽 워크북PDF · 23쪽 워크북 풀이판PDF · 14쪽 노트북ipynb · 0.7 MB

개관

다루는 것

확률수렴과 Khinchin의 대수의 법칙분포수렴mgf 수렴중심극한정리Slutsky델타 방법다변량 CLTMonte Carlo기각 표집중요도 표집분산이 무한할 때

원자료

Buffon(1777)의 바늘Lazzarini(1901)의 3,408번6회의 범죄자 3,000명

선수 지식

1–6회 (특히 2회 Chebyshev·대수의 법칙·mgf, 5회 Cramér–Wold, 6회 $t$ 분포)

연표 “n이 크면”을 정확하게

직접 해 보기

정리 지도

노트와 워크북에 적힌 번호 참조를 모두 세어 그렸다. 왼쪽은 이 회차가 근거로 쓰는 앞 회차, 오른쪽은 이 회차의 상자를 근거로 쓰는 뒤 회차다.

차례

0들어가며1쪽PDF 1쪽
1확률수렴 — Buffon의 바늘과 대수의 법칙5쪽정리 5정의 1예제 1연습 7PDF 2쪽
2분포수렴5쪽정리 2정의 2예제 2연습 6PDF 7쪽
3중심극한정리5쪽정리 2예제 3연습 6PDF 12쪽
4Slutsky의 정리와 델타 방법5쪽정리 4예제 3연습 7PDF 17쪽
5다변량으로 — 선형결합 하나면 된다4쪽정리 2정의 1예제 2연습 6PDF 22쪽
6계산으로 — Monte Carlo (1946 → 1949)5쪽정리 3예제 4연습 6PDF 26쪽
7부숴보기 — 분산이 무한하고, 꼬리를 물을 때4쪽예제 2연습 4PDF 31쪽
8Beautiful insights — 평균을 내는 기계들3쪽정리 2연습 5PDF 35쪽
9정리와 역사 노트3쪽PDF 38쪽

정리 · 정의 · 예제

번호	내용	연습 · 문항	뒤 회차	PDF
정리 1.1	Buffon의 바늘	2		4쪽
정의 1.2	확률수렴	1	1	4쪽
정리 1.3	연속사상 정리 (확률수렴)	9	3	4쪽
따름정리 1.4	확률수렴의 사칙연산	1	1	5쪽
예제 1.5	바늘로 잰 $\pi$			5쪽
정리 1.6	Khinchin의 약한 대수의 법칙	5	11	5쪽
따름정리 1.7	표본적률과 표본분산의 일치성	1		6쪽
정의 2.1	분포수렴		3	8쪽
예제 2.2	분포수렴의 세 예	3	1	9쪽
정리 2.3	확률수렴과 분포수렴	5		9쪽
정의 2.4	확률적으로 유계			11쪽
정리 2.5	분포수렴하면 확률적으로 유계	4	4	11쪽
예제 2.6	mgf로 본 두 극한			11쪽
정리 3.1	중심극한정리	8	11	13쪽
따름정리 3.2	정규근사의 표준 예	3		14쪽
예제 3.3	근사는 얼마나 좋은가	1		14쪽
예제 3.4	지수 합의 근사 오차			16쪽
예제 3.5	Poisson의 반례 — Cauchy 분포			16쪽
보조정리 4.1	확률적으로 무시할 수 있는 항	2		18쪽
정리 4.2	Slutsky의 정리	3	11	18쪽
따름정리 4.3	스튜던트화한 평균		1	19쪽
정리 4.4	델타 방법	8	8	19쪽
예제 4.5	로그 오즈	1	2	20쪽
예제 4.6	Buffon의 $\pi$ 는 얼마나 정확한가			20쪽
예제 4.7	분산 안정화	1		21쪽
정의 5.1	벡터의 수렴			23쪽
정리 5.2	다변량 중심극한정리	1	4	23쪽
예제 5.3	다항분포의 정규 극한	2	3	23쪽
정리 5.4	다변량 델타 방법	2	6	24쪽
예제 5.5	표본분산의 점근분포	1	3	25쪽
정리 6.1	Monte Carlo 추정	1	2	27쪽
예제 6.2	Chebyshev 대신 중심극한정리			27쪽
알고리즘 6.3	기각 표집	2		28쪽
정리 6.4	기각 표집의 정당성	2		28쪽
예제 6.5	지수 난수로 정규 난수 만들기	1		29쪽
정리 6.6	중요도 표집	4		29쪽
예제 6.7	드문 사건			30쪽
예제 6.8	반대 변량	1		30쪽
예제 7.1	Pareto 표본의 평균			32쪽
예제 7.2	지수 30개의 꼬리			35쪽
명제 8.1	미니배치 기울기의 평균과 공분산	1		36쪽
명제 8.2	Hutchinson 추정량			38쪽