6회 강의노트 · 1876 → 1925

Student의 $t$t

작은 표본의 정확한 분포

더블린의 맥주 회사 Guinness의 화학자 Gosset은 표본이 너덧 개뿐인 실험으로 결정을 내려야 했다. 모집단의 표준편차를 모르니 표본의 표준편차로 대신했는데, 그러면 정규분포가 말하는 것보다 자주 틀렸다. 1908년 그는 “Student”라는 이름으로 그 정확한 분포를 내놓았다. 이 노트는 표본평균과 표본분산이 독립이라는 Student의 정리를 증명하고, $t$t와 $F$F 분포를 유도해 작은 표본의 신뢰구간과 검정을 세운다.

노트 읽기 워크북 풀기 노트북

46쪽노트 · 10절

25개정리 · 정의 · 예제

41문항노트의 연습

34문항워크북

40개최종답 확인

읽은 절0 / 10

푼 문항0 / 34

맞힌 최종답0 / 40

강의노트PDF · 46쪽워크북PDF · 24쪽워크북 풀이판PDF · 17쪽노트북ipynb · 1.1 MB

개관연표직접 해 보기정리 지도차례정리 목록연습워크북노트북

개관

다루는 것

표본분산과 자유도Helmert 변환Student의 정리$t$ 분포$F$ 분포축량과 $t$-구간대응·두 표본 $t$비정규에서의 포함확률

원자료

Macdonell(1902)의 범죄자 3,000명Cushny–Peebles(1905)의 수면제Student(1908)의 카드 실험

선수 지식

1–5회 (특히 4회 감마·$\chi^2$, 5회 다변량 정규분포의 정리 A·B)

연표 σ를 모를 때의 정확한 분포

직접 해 보기

정리 지도

노트와 워크북에 적힌 번호 참조를 모두 세어 그렸다. 왼쪽은 이 회차가 근거로 쓰는 앞 회차, 오른쪽은 이 회차의 상자를 근거로 쓰는 뒤 회차다.

차례

1. 0들어가며2쪽PDF 1쪽
2. 1문제 — σ를 모를 때3쪽정리 1정의 1예제 1연습 4PDF 3쪽
3. 2Student의 정리 — 평균과 분산은 독립이다4쪽정리 3연습 6PDF 6쪽
4. 3t 분포4쪽정리 3정의 1연습 5PDF 10쪽
5. 4F 분포 — 두 분산의 비3쪽정리 2정의 1예제 1연습 4PDF 14쪽
6. 5축량과 t-구간4쪽정리 2정의 1예제 1연습 5PDF 17쪽
7. 6데이터로 — Student의 카드 실험 (1908)3쪽예제 1연습 4PDF 21쪽
8. 7부숴보기 — 정규가 아니고, 독립이 아니면4쪽정리 2예제 1연습 6PDF 24쪽
9. 8Beautiful insights — 작은 표본의 분포, 오늘의 문제5쪽정리 2연습 7PDF 28쪽
10. 9정리와 역사 노트3쪽PDF 33쪽

정리 · 정의 · 예제

번호	내용	연습 · 문항	뒤 회차	PDF
정리 1.1	표본분산의 기댓값	2	5	4쪽
정의 1.2	자유도			6쪽
예제 1.3	$S$는 $\sigma$를 작게 어림한다			6쪽
보조정리 2.1	Helmert 행렬	3	1	7쪽
정리 2.2	Student의 정리 (Helmert 1876, Fisher 1915)	19	9	7쪽
따름정리 2.3	정규 표본에서 $S^2$의 적률	2	4	9쪽
정의 3.1	$t$ 분포	2	4	11쪽
정리 3.2	$t$ 분포의 밀도	6	1	11쪽
정리 3.3	$t$ 분포의 성질	7	3	12쪽
정리 3.4	Student의 $t$	4	2	13쪽
정의 4.1	$F$ 분포	2	6	15쪽
정리 4.2	$F$ 분포의 밀도와 성질	3		15쪽
정리 4.3	두 표본 분산의 비	2	1	15쪽
예제 4.4	두 기계의 정밀도	1		16쪽
정의 5.1	축량	1	3	18쪽
정리 5.2	$t$-구간	3	4	18쪽
예제 5.3	수면제의 대응 $t$	2		19쪽
정리 5.4	두 표본 $t$ (등분산)	7	3	19쪽
알고리즘 6.1	Student의 카드 실험			22쪽
예제 6.2	750개의 $t$			23쪽
명제 7.1	평균과 표본분산의 공분산	4		25쪽
예제 7.2	한쪽으로 놓친다			26쪽
명제 7.3	이상값은 $t$를 1로 끌고 간다	2		26쪽
정리 8.1	예측구간	3	3	29쪽
명제 8.2	배치 안의 값은 유계다	1		30쪽

연습 41문항 · 풀이는 연습 상자 안에 접어 두었다

1절 문제 — σ를 모를 때

1.1표본분산의 다른 꼴1.2표본분산의 분산1.3두 관측의 분산1.4$n$으로 나눈 추정량

2절 Student의 정리 — 평균과 분산은 독립이다

2.1$n=3$의 Helmert2.2잔차와 평균의 무상관2.3지수 표본에서는 의존한다2.4표본표준편차의 평균2.5신뢰구간의 씨앗 — $\sigma^2$2.6Helmert 행렬의 직교성 증명

3절 t 분포

3.1감마의 비3.2정규의 분산 혼합3.3$t(2)$의 분포함수3.4꼬리의 비3.5$t$ 분포의 성질 증명

4절 F 분포 — 두 분산의 비

4.1$F$의 평균과 분산4.2분위수의 대칭4.3$\sigma_1^2/\sigma_2^2$의 구간4.4$F$ 분포의 성질 증명

5절 축량과 t-구간

5.1구간의 평균 길이5.2몇 개를 재야 하나5.3대응의 이득5.4등분산이 아닐 때5.5한쪽 구간

6절 데이터로 — Student의 카드 실험 (1908)

6.1손가락으로6.2Student의 $z$6.3같은 계급에 넷6.4섞기의 변동

7절 부숴보기 — 정규가 아니고, 독립이 아니면

7.1지수 표본의 공분산7.2AR(1)의 분산7.3$F$ 검정의 점근 수준7.4대칭이면 보수적7.5평균과 분산의 공분산 증명7.6이상값의 극한 증명

8절 Beautiful insights — 작은 표본의 분포, 오늘의 문제

8.1예측구간의 폭8.2새 값의 분산8.3배치 안의 값의 분포8.4t-SNE의 거리8.5Lüroth의 사후분포8.6예측구간 증명8.7배치 안의 값의 상계 증명

워크북 34문항 · 푼 문항 0

칸을 누르면 문제 · 힌트 · 접어 둔 풀이가 있는 페이지로 간다. 별은 난이도(★ 계산 · ★★ 증명 · ★★★ 도전), 열쇠는 그 자리에서 확인하는 최종답의 수다. 답 확인 · PDF · 풀이판 PDF

A 계산 드릴 0 / 14

A1★표본분산을 세 가지로 1A2★$n=4$의 Helmert 회전 2A3★표본분산이 두 배 넘게 나올 확률 1A4★표본분산의 흔들림 2A5★세 관측의 표본표준편차 1A6★$t(3)$의 봉우리 1A7★자유도 1의 $t$ 2A8★$t$와 $F$의 적률 2A9★다섯 관측의 $t$-구간 2A10★대응 $t$ 통계량 2A11★합동분산의 두 표본 $t$ 2A12★분산비의 구간 2A13★다음 한 관측의 구간 2A14★★세 관측에 1.96을 쓰면 1

B 빈칸 증명 0 / 7

B1★★Student의 정리, 근거 채우기B2★★$t$의 밀도, 근거 채우기B3★★두 표본 $t$, 근거 채우기B4★★Student의 정리, 단계의 이름만B5★★$t$의 밀도, 단계의 이름만B6★★Student의 정리, 전략만B7★★두 표본 $t$, 전략만

C 증명 문제 0 / 9

C1★★Helmert가 아니어도 된다C2★★$\mu$를 알 때의 잘못된 $t$C3★★분산의 비를 알 때의 두 표본 $t$C4★★$t$-구간이 $z$-구간보다 짧을 확률 2C5★★무상관이지만 독립이 아니다 1C6★★★$k$개 집단의 합동분산C7★단위를 바꾸어도 같은 구간C8★★★$t$의 분위수는 정규의 분위수로 간다C9★★지수분포의 축량 2

D 퀄형 0 / 4

D1★★★$\sigma$의 불편추정량과 평균제곱오차 5D2★★★대응을 무시하면 3D3★★★균등분포의 로그와 $\chi^2$, $F$ 2D4★★★관측 두 개의 $t$ 2

노트북

노트와 같은 절 번호, 같은 정리 번호로 원자료를 재현하고 정리를 시뮬레이션으로 확인한다. 실행 결과까지 이 사이트에서 볼 수 있다.

실행 결과까지 보기 내려받기 · 1.1 MB