6회 · Student의 t · 워크북

A. 계산 드릴

표본분산, $\chi^2$, $t$, $F$와 구간을 손으로 계산한다. 분위수가 필요한 문항은 문제에 값을 적어 두었다. 답이 수나 식으로 떨어지므로 다 풀면 뒤의 최종답이나 노트북의 check()로 맞춰 본다.

A1 표본분산을 세 가지로 ★

정리 1.1, 연습 1.1 · 6분

자료 $3,\ 7,\ 5,\ 9,\ 6$의 표본분산 $s^2$를 (i) 편차제곱합, (ii) $\sum x_i^2-n\bar x^2$, (iii) $\tfrac1{2n}\sum_{i,j}(x_i-x_j)^2$의 세 가지로 계산해 같은 값이 나오는지 확인하라.

힌트

(iii)에서 $i<j$인 쌍 10개의 차의 제곱을 더하면 $\tfrac12\sum_{i,j}$이다.

풀이

$\bar x=6$이고 편차는 $-3,1,-1,3,0$이므로 (i) 편차제곱합은 $9+1+1+9+0=20$이다. (ii) $\sum x_i^2=9+49+25+81+36=200$이고 $200-5\cdot36=20$이다. (iii) $i<j$인 쌍의 차는 $4,2,6,3,\ 2,2,1,\ 4,1,\ 3$이고 제곱의 합은 $16+4+36+9+4+4+1+16+1+9=100$이다. $\sum_{i,j}=2\cdot100=200$이므로 $\tfrac1{10}\cdot200=20$이다. 세 경우 모두 $s^2=20/4=5$이다.

최종답 $s^2=5$

A2 $n=4$n=4의 Helmert 회전 ★

보조정리 2.1, 정리 2.2 · 8분

$n=4$의 Helmert 행렬 $H$의 네 번째 행을 쓰고, $\z=(1,2,3,6)\T$에 대해 $\Y=H\z$의 성분 $Y_1,\dots,Y_4$를 구하라. (a) $Y_4$는 얼마인가? (b) $Y_2^2+Y_3^2+Y_4^2$을 구하고 $\sum_i(z_i-\bar z)^2$과 같음을 확인하라.

힌트

$k$번째 행은 $\tfrac1{\sqrt{k(k-1)}}(1,\allowbreak \dots,\allowbreak 1,\allowbreak -(k-1),\allowbreak 0,\allowbreak \dots,\allowbreak 0)$이다. $Y_1=\sqrt n\,\bar z$.

풀이

네 번째 행은 $\tfrac1{\sqrt{12}}(1,1,1,-3)$이다. $Y_1=\tfrac{12}2=6$, $Y_2=\tfrac{1-2}{\sqrt2}=-\tfrac1{\sqrt2}$, $Y_3=\tfrac{1+2-6}{\sqrt6}=-\tfrac3{\sqrt6}$, $Y_4=\tfrac{1+2+3-18}{\sqrt{12}}=-\tfrac{12}{\sqrt{12}}=-2\sqrt3\approx-3.464$이다. 제곱의 합은 $\tfrac12+\tfrac32+12=14$이고, $\bar z=3$이므로 $\sum(z_i-\bar z)^2=4+1+0+9=14$로 같다. $Y_1^2=36$을 더하면 $\|\z\|^2=50$이다.

최종답 (a) $-2\sqrt3\approx-3.464$ (b) $14$

A3 표본분산이 두 배 넘게 나올 확률 ★

정리 2.2(c) · 8분

$X_1,\dots,X_5\iid\N(\mu,4)$이다. $P(S^2>8)$을 정확히 구하라. (힌트: $\chi^2(4)$는 모양모수 2인 감마분포다.)

힌트

$\tfrac{4S^2}{4}=S^2\sim\chi^2(4)$이다. $\chi^2(4)$의 밀도 $\tfrac14xe^{-x/2}$를 부분적분한다.

풀이

정리 2.2(c)로 $\tfrac{(n-1)S^2}{\sigma^2}=\tfrac{4S^2}4=S^2\sim\chi^2(4)$이다. $\chi^2(4)$의 밀도는 $\tfrac{xe^{-x/2}}{\Gamma(2)2^2}=\tfrac14xe^{-x/2}$이고, 부분적분으로 $P(\chi^2(4)>c)=e^{-c/2}\bigl(1+\tfrac c2\bigr)$이다. $c=8$이면 $5e^{-4}\approx0.0916$이다. 참분산의 두 배가 넘는 표본분산이 열에 한 번쯤 나온다.

최종답 $5e^{-4}\approx0.0916$

A4 표본분산의 흔들림 ★

따름정리 2.3 · 6분

$X_1,\dots,X_9\iid\N(\mu,2)$이다. (a) $\Var S^2$를 구하라. (b) $S^2$의 상대 표준편차 $\sqrt{\Var S^2}/ES^2$를 구하라.

힌트

따름정리 2.3의 $\Var S^2=\tfrac{2\sigma^4}{n-1}$.

풀이

(a) $\tfrac{2\cdot2^2}{8}=1$. (b) $ES^2=2$이므로 $\tfrac{1}{2}$이다. 일반적으로 $\sqrt{2/(n-1)}$이고 $n=9$이면 $\tfrac12$이다. 아홉 관측으로 잰 분산도 참값의 $\pm50\%$가 한 표준편차다.

최종답 (a) $1$ (b) $\tfrac12$

A5 세 관측의 표본표준편차 ★

연습 2.4 · 8분

$n=3$인 정규 표본에서 $ES=c_4(3)\,\sigma$의 $c_4(3)$을 감마함수로 구하고 소수로 나타내라.

힌트

$c_4(n)=\sqrt{\tfrac2{n-1}}\,\tfrac{\Gamma(n/2)}{\Gamma((n-1)/2)}$, $\Gamma(\tfrac32)=\tfrac{\sqrt\pi}2$.

풀이

$c_4(3)=\sqrt{\tfrac22}\,\tfrac{\Gamma(3/2)}{\Gamma(1)}=\tfrac{\sqrt\pi}2\approx0.886$이다. 세 관측의 $S$는 $\sigma$를 평균 11% 작게 어림한다.

최종답 $\tfrac{\sqrt\pi}2\approx0.886$

A6 $t(3)$t(3)의 봉우리 ★

정리 3.2 · 6분

$t(3)$의 밀도의 0에서의 값 $f_3(0)$을 정확히 구하고, 표준정규의 $\phi(0)=\tfrac1{\sqrt{2\pi}}\approx0.399$와 비교하라.

힌트

$f_r(0)=\tfrac{\Gamma((r+1)/2)}{\sqrt{r\pi}\,\Gamma(r/2)}$이고 $\Gamma(2)=1$.

풀이

$f_3(0)=\tfrac{\Gamma(2)}{\sqrt{3\pi}\,\Gamma(3/2)}=\tfrac1{\sqrt{3\pi}\cdot\sqrt\pi/2}=\tfrac2{\sqrt3\,\pi}\approx0.368$이다. 정규보다 낮다. 밀도의 넓이가 같으므로 가운데가 낮은 만큼 꼬리가 두껍다.

최종답 $\tfrac2{\sqrt3\,\pi}\approx0.368$

A7 자유도 1의 $t$t ★

정리 3.3(c) · 8분

$T\sim t(1)$이다. (a) $P(T>\sqrt3)$, (b) $P(|T|<1)$을 정확히 구하라.

힌트

$t(1)$은 Cauchy이고 분포함수는 $\tfrac12+\tfrac1\pi\arctan t$이다.

풀이

정리 3.3(c)로 밀도는 $\tfrac1{\pi(1+t^2)}$이고 분포함수는 $F(t)=\tfrac12+\tfrac1\pi\arctan t$이다. (a) $1-F(\sqrt3)=\tfrac12-\tfrac1\pi\cdot\tfrac\pi3=\tfrac16$. (b) $F(1)-F(-1)=\tfrac2\pi\cdot\tfrac\pi4=\tfrac12$.

최종답 (a) $\tfrac16$ (b) $\tfrac12$

A8 $t$t와 $F$F의 적률 ★

정리 3.3(b), 4.2(b)(c) · 6분

(a) $T\sim t(6)$의 분산을 구하라. (b) $F\sim F(3,8)$의 평균을 구하라. (c) $T^2$의 분포를 쓰고 (a)와 $ET^2$이 맞는지 확인하라.

힌트

$\Var T=\tfrac r{r-2}$, $EF=\tfrac{r_2}{r_2-2}$, $T^2\sim F(1,r)$.

풀이

(a) $\tfrac6{6-2}=\tfrac32$. (b) $\tfrac8{8-2}=\tfrac43$. (c) $T^2\sim F(1,6)$이고 $EF(1,\allowbreak 6)=\tfrac64=\tfrac32=ET^2$로 (a)와 같다($ET=0$이므로 $\Var T=ET^2$).

최종답 (a) $\tfrac32$ (b) $\tfrac43$

A9 다섯 관측의 $t$t-구간 ★

정리 5.2 · 10분

정규 모집단에서 $10.2,\allowbreak \ 9.6,\allowbreak \ 10.8,\allowbreak \ 10.1,\allowbreak \ 9.8$을 얻었다. $t_{4,\,0.025}=2.776$을 써서 $\mu$의 95% 신뢰구간의 (a) 아래 끝과 (b) 위 끝을 구하라.

힌트

$\bar x=10.1$이다. 편차제곱합을 먼저 구한다.

풀이

$\bar x=10.1$, 편차는 $0.1,-0.5,0.7,0,-0.3$이고 편차제곱합은 $0.84$이므로 $s^2=0.21$, $s=0.4583$이다. 반폭은 $2.776\cdot0.4583/\sqrt5=0.569$이므로 구간은 $[9.531,\ 10.669]$이다.

최종답 (a) $9.531$ (b) $10.669$

A10 대응 $t$t 통계량 ★

정리 3.4, 예제 5.3 · 10분

환자 6명의 처리 전후 차이가 $2,\ 4,\ -1,\ 3,\ 5,\ 1$이다. (a) 대응 $t$ 통계량 $t=\bar d/(s_d/\sqrt n)$을 정확한 수로 구하라. (b) 귀무가설 $\mu_D=0$ 아래의 자유도는?

힌트

$\bar d=\tfrac73$, $\sum d_i^2=56$. 분수로 계산하면 근호 하나가 남는다.

풀이

$\bar d=\tfrac{14}6=\tfrac73$이고 편차제곱합은 $\sum d_i^2-n\bar d^2=56-6\cdot\tfrac{49}9=\tfrac{70}3$이므로 $s_d^2=\tfrac{14}3$이다. $s_d^2/n=\tfrac79$이므로 $t=\tfrac{7/3}{\sqrt7/3}=\sqrt7\approx2.646$이다. (b) 자유도는 $n-1=5$이다. $t_{5,0.025}=2.571$보다 크므로 양쪽 5% 수준에서 차이가 있다.

최종답 (a) $\sqrt7\approx2.646$ (b) $5$

A11 합동분산의 두 표본 $t$t ★

정리 5.4 · 10분

$X$: $5,7,6$과 $Y$: $3,4,2,3$이 등분산 정규 모집단의 독립 표본이다. (a) $\mu_1=\mu_2$ 아래의 통계량 $T$를 정확한 수로 구하라. (b) 자유도는?

힌트

두 편차제곱합이 모두 2다. $S_p^2=\tfrac{2+2}{5}$.

풀이

$\bar x=6$, $\bar y=3$이고 편차제곱합은 각각 $2$와 $2$이므로 $S_p^2=\tfrac45$이다. $S_p^2(\tfrac13+\tfrac14)=\tfrac45\cdot\tfrac7{12}=\tfrac7{15}$이므로 $T=\tfrac3{\sqrt{7/15}}=3\sqrt{15/7}\approx4.392$이다. (b) $m+n-2=5$.

최종답 (a) $3\sqrt{15/7}\approx4.392$ (b) $5$

A12 분산비의 구간 ★

정리 4.3 · 10분

$m=7$, $n=9$인 독립 정규 표본에서 $s_X^2=6$, $s_Y^2=2$를 얻었다. $F_{6,8,\,0.025}=4.652$, $F_{8,6,\,0.025}=5.600$을 써서 $\sigma_1^2/\sigma_2^2$의 95% 신뢰구간의 (a) 아래 끝과 (b) 위 끝을 구하라.

힌트

$F_{6,8,0.975}=1/F_{8,6,0.025}$ (노트 연습 4.2).

풀이

노트 연습 4.3의 구간 $\bigl[\tfrac{s_X^2/s_Y^2}{F_{m-1,n-1,0.025}},\allowbreak \ \tfrac{s_X^2/s_Y^2}{F_{m-1,n-1,0.975}}\bigr]$에 비 $3$을 넣는다. $F_{6,8,0.975}=1/5.600$이므로 구간은 $[3/4.652,\allowbreak \ 3\cdot5.600]=[0.645,\allowbreak \ 16.80]$이다. 1을 포함한다.

최종답 (a) $0.645$ (b) $16.80$

A13 다음 한 관측의 구간 ★

정리 8.1 · 8분

A9의 자료로 다음 관측 하나에 대한 95% 예측구간의 (a) 아래 끝과 (b) 위 끝을 구하라. A9의 신뢰구간보다 몇 배 넓은가?

힌트

반폭이 $t_{4,0.025}\,s\sqrt{1+1/5}$로 바뀐다.

풀이

반폭은 $2.776\cdot0.4583\cdot\sqrt{1.2}=1.394$이므로 구간은 $[8.706,\ 11.494]$이다. 신뢰구간의 반폭과의 비는 $\sqrt{1.2}\cdot\sqrt5=\sqrt6\approx2.45$배다.

최종답 (a) $8.706$ (b) $11.494$

A14 세 관측에 1.96을 쓰면 ★★

정리 3.4, 노트 연습 3.3 · 8분

$n=3$인 정규 표본에서 $\bar X\pm1.96\,S/\sqrt3$의 실제 포함확률을 정확한 식으로 구하라. $t(2)$의 분포함수 $F_2(t)=\tfrac12\bigl(1+\tfrac t{\sqrt{2+t^2}}\bigr)$를 써도 된다.

힌트

포함되는 사건은 $|T_2|\le1.96$이다.

풀이

포함되는 사건은 $|T|\le1.96$, $T\sim t(2)$이다. $P(|T|\le c)=F_2(c)-F_2(-c)=\tfrac c{\sqrt{2+c^2}}$이므로 $\tfrac{1.96}{\sqrt{5.8416}}\approx0.811$이다. “95%” 구간이 다섯 번에 한 번 가까이 틀린다.

최종답 $\tfrac{1.96}{\sqrt{2+1.96^2}}\approx0.811$

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