6회 · Student의 t · 노트

4 $F$F 분포 — 두 분산의 비

두 정규 표본의 분산이 같은지 비교하거나(두 기계의 정밀도), 여러 집단의 평균이 같은지 검정할 때(14회 분산분석) 쓰는 것은 두 $\chi^2$의 비다.

정의 4.1 ($F$ 분포) $U\sim\chi^2(r_1)$과 $V\sim\chi^2(r_2)$가 독립일 때

$$F=\frac{U/r_1}{V/r_2}$$

의 분포를 자유도 $(r_1,r_2)$인 $F$ 분포 $F(r_1,r_2)$라 한다. 이름은 Snedecor(1934)가 Fisher를 기려 붙였다.

정리 4.2 ($F$ 분포의 밀도와 성질) 

1. (a)

   밀도는 $x>0$에서

   $$f(x)=\frac{1}{B\bigl(\frac{r_1}2,\frac{r_2}2\bigr)}\Bigl(\frac{r_1}{r_2}\Bigr)^{r_1/2}\frac{x^{r_1/2-1}}{\bigl(1+\frac{r_1}{r_2}x\bigr)^{(r_1+r_2)/2}} .$$
2. (b)

   $r_2>2$이면 $EF=\dfrac{r_2}{r_2-2}$.

3. (c)

   $F\sim F(r_1,r_2)$이면 $1/F\sim F(r_2,r_1)$이고, $T\sim t(r)$이면 $T^2\sim F(1,r)$.

4. (d)

   $\dfrac{(r_1/r_2)F}{1+(r_1/r_2)F}\sim\mathrm{Beta}\bigl(\tfrac{r_1}2,\allowbreak \tfrac{r_2}2\bigr)$.

증명 전략 두 카이제곱을 감마로 쓰면 $F$는 감마의 비의 상수배다. 비의 밀도(4회 연습 4.4)와 척도 변환에서 (a)가, 감마의 비의 베타 표현(4회 정리 4.2)에서 (d)가, 독립인 두 인수의 기댓값에서 (b)가, 정의에서 (c)가 나온다. 단계별 증명은 연습 4.4(유도형)에서 직접 쓴다. 완성된 증명은 그 연습의 풀이에 있다.

정리 4.3 (두 표본 분산의 비) $X_1,\allowbreak \dots,\allowbreak X_m\iid\N(\mu_1,\allowbreak \sigma_1^2)$과 $Y_1,\allowbreak \dots,\allowbreak Y_n\iid\N(\mu_2,\allowbreak \sigma_2^2)$가 독립이면

$$\frac{S_X^2/\sigma_1^2}{S_Y^2/\sigma_2^2}\sim F(m-1,\,n-1) .$$

증명 정리 2.2(c)로 $(m-1)S_X^2/\sigma_1^2\sim\chi^2(m-1)$, $(n-1)S_Y^2/\sigma_2^2\sim\chi^2(n-1)$이고 두 표본이 독립이므로 둘도 독립이다. 정의 4.1.

그림 4.1 $F(r_1,r_2)$의 밀도. 자유도가 커지면 1 근처로 몰린다. 두 분산이 같다면 표본분산의 비는 1 근처여야 하고, 얼마나 멀어야 “다르다”고 할지는 이 분포가 정한다.

예제 4.4 (두 기계의 정밀도) 두 기계로 만든 부품의 지름을 각각 $m=n=11$개 쟀더니 $s_X^2=4.2$, $s_Y^2=1.5$였다. 정밀도가 같다면($\sigma_1=\sigma_2$) $s_X^2/s_Y^2=2.8$은 $F(10,10)$을 따른다. $P(F\ge2.8)\approx0.06$이다. 2.8배라는 차이도 표본 11개로는 우연과 쉽게 구별되지 않는다. 분산의 비교는 평균의 비교보다 훨씬 많은 관측이 필요하고, 정규성이 깨지면 크게 틀린다(7절). 8회와 14회에서 이 분포로 검정을 세운다.

연습문제

연습 4.1 ($F$의 평균과 분산 ★★) $r_2>4$이면 $\Var F=\dfrac{2r_2^2(r_1+r_2-2)}{r_1(r_2-2)^2(r_2-4)}$임을 보여라. (힌트: $E\tfrac1{V^2}$를 4회 연습 3.4로.)

풀이

$EF^2=\bigl(\tfrac{r_2}{r_1}\bigr)^2EU^2\,E\tfrac1{V^2}$. $EU^2=\Var U+(EU)^2=r_1(r_1+2)$이고, 4회 연습 3.4($k=-2$)로 $E\tfrac1{V^2}=\tfrac{\Gamma(r_2/2-2)}{4\Gamma(r_2/2)}=\tfrac1{(r_2-2)(r_2-4)}$. 따라서

$$\Var F=\frac{r_2^2(r_1+2)}{r_1(r_2-2)(r_2-4)}-\frac{r_2^2}{(r_2-2)^2}=\frac{r_2^2\bigl[(r_1+2)(r_2-2)-r_1(r_2-4)\bigr]}{r_1(r_2-2)^2(r_2-4)}=\frac{2r_2^2(r_1+r_2-2)}{r_1(r_2-2)^2(r_2-4)} .$$

연습 4.2 (분위수의 대칭 ★) $F_{r_1,r_2,\,p}$를 $F(r_1,r_2)$의 위쪽 $p$ 분위수라 하면 $F_{r_1,r_2,\,1-p}=1/F_{r_2,r_1,\,p}$임을 보여라.

풀이

$F\sim F(r_1,r_2)$이면 $1/F\sim F(r_2,r_1)$이다. $x=1/F_{r_2,r_1,p}$로 두면 $P(F\le x)=P(1/F\ge F_{r_2,r_1,p})=p$, 곧 $P(F>x)=1-p$이므로 $x=F_{r_1,r_2,1-p}$.

연습 4.3 ($\sigma_1^2/\sigma_2^2$의 구간 ★★) 정리 4.3로 $\sigma_1^2/\sigma_2^2$의 95% 신뢰구간을 만들고, 예제 4.4의 자료로 계산하라. 구간에 1이 들어 있나?

풀이

$R=\tfrac{S_X^2/S_Y^2}{\sigma_1^2/\sigma_2^2}\sim F(m-1,\allowbreak n-1)$이므로 $P(F_{m-1,n-1,0.975}\le R\le F_{m-1,n-1,0.025})=0.95$. $\sigma_1^2/\sigma_2^2$에 대해 풀면

$$\Bigl[\frac{S_X^2/S_Y^2}{F_{m-1,n-1,0.025}},\ \frac{S_X^2/S_Y^2}{F_{m-1,n-1,0.975}}\Bigr].$$

예제의 자료에서 $F_{10,10,0.025}=3.717$이고 연습 4.2로 $1/F_{10,10,0.975}=3.717$이므로 구간은 $[2.8/3.717,\allowbreak \ 2.8\times3.717]=[0.753,\allowbreak \ 10.41]$. 1을 포함한다. 두 기계의 정밀도가 같다는 것과 한쪽이 10배 나쁘다는 것이 모두 자료와 맞는다.

연습 4.4 ($F$ 분포의 성질 증명 ★★ 유도형) 정리 4.2를 다음 순서로 증명하라.

1. (a)

   $U\sim\chi^2(r_1)$이면 $X=U/2\sim\Gamma(\tfrac{r_1}2,\allowbreak 1)$임을 4회 정의 3.8로 확인하라. 같은 방법으로 $Y=V/2$를 두고 $R=U/V=X/Y$의 밀도를 4회 연습 4.4로 적어라.

2. (b)

   $F=\tfrac{r_2}{r_1}R$에 척도 변환(2회 예제 4.5)을 써서 정리의 (a)를 얻어라.

3. (c)

   정리의 (b): $EF=E\tfrac U{r_1}\cdot E\tfrac{r_2}V$를 독립으로 보이고, 연습 3.5(c)의 $E(1/V)=\tfrac1{r_2-2}$로 끝내라. $r_2\le2$이면 왜 평균이 없는가?

4. (d)

   정리의 (c): $1/F$와 $T^2$를 정의 4.1의 꼴로 써라. $T^2$에서는 $Z^2\sim\chi^2(1)$(4회 정리 3.9)과 $Z^2\perp V$를 쓴다.

5. (e)

   정리의 (d): $\tfrac{(r_1/r_2)F}{1+(r_1/r_2)F}=\tfrac X{X+Y}$를 보이고 4회 정리 4.2를 써라.

풀이

$a=\tfrac{r_1}2$, $b=\tfrac{r_2}2$로 쓴다. (a) 4회 정의 3.8로 $\chi^2(r_1)=\Gamma(a,2)$이므로 척도를 바꾸면 $X=U/2\sim\Gamma(a,1)$이고, 같은 방법으로 $Y=V/2\sim\Gamma(b,1)$이다. $R=U/V=X/Y$의 밀도는 4회 연습 4.4로 $f_R(x)=\tfrac{x^{a-1}}{B(a,b)(1+x)^{a+b}}$ ($x>0$)이다. (b) $F=\tfrac{r_2}{r_1}R$이므로 척도 변환으로

$$f_F(x)=\frac{r_1}{r_2}\,f_R\Bigl(\frac{r_1}{r_2}x\Bigr)=\frac1{B(a,b)}\Bigl(\frac{r_1}{r_2}\Bigr)^{a}\frac{x^{a-1}}{\bigl(1+\frac{r_1}{r_2}x\bigr)^{a+b}} .$$

(c) $U\perp V$이므로 $EF=E\tfrac U{r_1}\cdot E\tfrac{r_2}V=1\cdot\tfrac{r_2}{r_2-2}$이다(연습 3.5(c)). $r_2\le2$이면 $E\tfrac1V=\int_0^\infty v^{r_2/2-2}e^{-v/2}\,dv/(\cdots)$의 피적분함수가 0 근처에서 $v^{-1}$보다 느리지 않게 커지므로 적분이 발산하고, $EF=\infty$이다. (d) $1/F=\tfrac{V/r_2}{U/r_1}$는 정의 4.1에서 두 자리를 바꾼 꼴이므로 $F(r_2,r_1)$이다. $T=Z/\sqrt{V/r}$이면 $T^2=\tfrac{Z^2/1}{V/r}$이고, $Z^2\sim\chi^2(1)$(4회 정리 3.9)과 $V$는 독립이므로 $F(1,r)$이다. (e) $\tfrac{r_1}{r_2}F=R=\tfrac XY$이므로 $\tfrac{R}{1+R}=\tfrac X{X+Y}$이고, 4회 정리 4.2로 $\mathrm{Beta}(a,b)$이다.

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