6회 · Student의 t · 워크북

D. 퀄형

여러 절과 앞 회차의 도구를 잇는 종합 문제다. 머리의 제한 시간을 재고, 노트를 덮고 푼다. 분포를 유도할 때는 어느 정리를 쓰는지 밝히는 것까지 답안이다.

D1 $\sigma$σ의 불편추정량과 평균제곱오차 ★★★

정리 2.2(c), 연습 2.4 · 제한 35분

$X_1,\allowbreak \dots,\allowbreak X_n\iid\N(\mu,\allowbreak \sigma^2)$이고 $c_4(n)=\sqrt{\tfrac2{n-1}}\tfrac{\Gamma(n/2)}{\Gamma((n-1)/2)}$로 $ES=c_4(n)\sigma$이다(노트 연습 2.4).

1. (a)

   $k_nS$가 $\sigma$의 불편추정량이 되는 $k_n$을 쓰고, $n=5$에서 정확한 값을 구하라.

2. (b)

   $n=5$에서 $E(k_5S-\sigma)^2/\sigma^2$을 구하라.

3. (c)

   $n=5$에서 $E(S-\sigma)^2/\sigma^2$을 구하고 (b)와 비교하라.

4. (d)

   $E(aS-\sigma)^2$을 가장 작게 하는 $a$를 $c_4(n)$으로 쓰고, $n=5$의 값을 구하라.

5. (e)

   (d)의 최솟값 $E(a^*S-\sigma)^2/\sigma^2$을 $n=5$에서 구하라.

힌트

$ES^2=\sigma^2$이므로 $E(aS-\sigma)^2=\sigma^2(a^2-2ac_4+1)$이다. $c_4(5)=\sqrt{\tfrac12}\,\tfrac{\Gamma(5/2)}{\Gamma(2)}$, $\Gamma(\tfrac52)=\tfrac{3\sqrt\pi}4$.

풀이

$c=c_4(n)$으로 쓴다. $ES^2=\sigma^2$이므로 모든 $a$에서 $E(aS-\sigma)^2=a^2\sigma^2-2a\sigma\cdot c\sigma+\sigma^2=\sigma^2(a^2-2ac+1)$이다.

(a) $k_n=1/c_4(n)$이다. $c_4(5)=\tfrac1{\sqrt2}\cdot\tfrac{3\sqrt\pi}4=\tfrac{3\sqrt\pi}{4\sqrt2}\approx0.940$이므로 $k_5=\tfrac{4\sqrt2}{3\sqrt\pi}\approx1.064$이다.

(b) $a=1/c$를 넣으면 $\tfrac1{c^2}-2+1=\tfrac1{c^2}-1=\tfrac{32}{9\pi}-1\approx0.1318$이다.

(c) $a=1$이면 $2-2c=2-\tfrac{3\sqrt\pi}{2\sqrt2}\approx0.1200$이다. 불편인 $k_5S$의 평균제곱오차가 치우친 $S$보다 크다.

(d) $a^2-2ac+1$은 $a=c$에서 최소이므로 $a^*=c_4(n)$이고, $n=5$이면 $\tfrac{3\sqrt\pi}{4\sqrt2}\approx0.940$이다.

(e) 최솟값은 $1-c^2=1-\tfrac{9\pi}{32}\approx0.1164$이다. $S$를 키우는 불편화와 반대로, 평균제곱오차를 줄이려면 $S$를 오히려 줄인다. 노트 연습 1.4의 $\sigma^2$에 대한 결론($\tfrac1{n+1}$이 최적)과 같은 방향이다.

최종답 (a) $k_5=\tfrac{4\sqrt2}{3\sqrt\pi}\approx1.064$ (b) $\tfrac{32}{9\pi}-1\approx0.1318$ (c) $2-\tfrac{3\sqrt\pi}{2\sqrt2}\approx0.1200$ (d) $a^*=c_4(5)\approx0.940$ (e) $1-\tfrac{9\pi}{32}\approx0.1164$

D2 대응을 무시하면 ★★★

정리 5.4, 예제 5.3, 3회 정리 4.2 · 제한 40분

$(X_i,Y_i)$, $i=1,\dots,n$은 독립인 이변량 정규 쌍이고, $\Var X_i=\Var Y_i=\sigma^2$, $\Corr(X_i,Y_i)=\rho>0$, $\Delta=EX_i-EY_i$이다.

1. (a)

   $D_i=X_i-Y_i\iid\N\bigl(\Delta,\allowbreak \ 2\sigma^2(1-\rho)\bigr)$임을 보이고, 대응 $t$ 통계량이 $\Delta=0$에서 $t(n-1)$을 따름을 보여라.

2. (b)

   $\Var(\bar X-\bar Y)=\tfrac{2\sigma^2(1-\rho)}n$임을 보여라. 대응을 무시하고 두 표본을 독립으로 보면 이 분산을 $\tfrac{2\sigma^2}n$으로 잘못 어림한다.

3. (c)

   $\sigma$와 $\rho$를 안다고 하자. $n=10$, $\rho=0.8$, $\Delta=0.5\sigma$일 때 올바른 $z$-검정 $|\bar D|/\sqrt{2\sigma^2(1-\rho)/n}>1.96$의 검정력을 구하라.

4. (d)

   같은 조건에서 대응을 무시한 검정 $|\bar X-\bar Y|/\sqrt{2\sigma^2/n}>1.96$의 검정력을 구하라.

5. (e)

   (d)의 검정의 실제 유의수준($\Delta=0$에서 기각할 확률)을 구하라.

힌트

(c) 통계량은 $\N(\delta,1)$, $\delta=\Delta/\sqrt{2\sigma^2(1-\rho)/n}=2.5$이다. (d) 통계량은 $\N\bigl(\tfrac{0.5}{\sqrt{0.2}},\allowbreak \ 1-\rho\bigr)$이다. 표준정규표를 쓴다.

풀이

(a) $(X_i,Y_i)$가 결합정규이므로 선형결합 $D_i$는 정규이고(5회 정리 A), $\Var D_i=\sigma^2+\sigma^2-2\rho\sigma^2$이다(3회 정리 4.2). 쌍들이 독립이므로 $D_i$들은 iid이고, 정리 3.4를 $D_i$에 쓰면 대응 $t$는 $t(n-1)$이다.

(b) $\bar X-\bar Y=\bar D$이므로 $\Var=\tfrac{2\sigma^2(1-\rho)}n$이다. 독립으로 보면 공분산 항 $-2\rho\sigma^2/n$을 빠뜨린다.

(c) $\bar D/\sqrt{2\sigma^2(1-\rho)/n}\sim\N(\delta,\allowbreak 1)$, $\delta=\tfrac{0.5}{\sqrt{2\cdot0.2/10}}=\tfrac{0.5}{0.2}=2.5$이다. 검정력은 $P(|\N(2.5,\allowbreak 1)|>1.96)=\Phi(0.54)+\Phi(-4.46)\approx0.705$이다.

(d) 통계량 $\tfrac{\bar D}{\sqrt{2\sigma^2/n}}=\sqrt{1-\rho}\cdot\tfrac{\bar D}{\sqrt{2\sigma^2(1-\rho)/n}}$은 $\N\bigl(\sqrt{0.2}\cdot2.5,\allowbreak \ 0.2\bigr)=\N(1.118,\allowbreak \ 0.2)$이다. 표준편차 $\sqrt{0.2}=0.447$로 표준화하면 검정력은 $1-\Phi\bigl(\tfrac{1.96-1.118}{0.447}\bigr)+\Phi\bigl(\tfrac{-1.96-1.118}{0.447}\bigr)=1-\Phi(1.883)+\Phi(-6.88)\approx0.030$이다.

(e) $\Delta=0$이면 통계량은 $\N(0,0.2)$이므로 $P(|Z|>1.96/\sqrt{0.2})=2\bigl(1-\Phi(4.383)\bigr)\approx1.2\times10^{-5}$이다. 대응을 무시한 검정은 거의 기각하지 않고, 효과가 있어도 찾지 못한다. 노트 예제 5.3에서 $t$가 4.06에서 1.86으로 떨어진 것과 같은 현상이다.

최종답 (c) $\approx0.705$ (d) $\approx0.030$ (e) $\approx1.2\times10^{-5}$

D3 균등분포의 로그와 $\chi^2$χ², $F$F ★★★

2회 정리 4.3, 4회 정리 3.7, 정의 4.1 · 제한 35분

$U_1,U_2,\dots$와 $V_1,V_2,\dots$가 모두 독립이고 $\mathrm U(0,1)$을 따른다.

1. (a)

   $-2\log U_1\sim\chi^2(2)$임을 보여라.

2. (b)

   $-2\sum_{i=1}^k\log U_i\sim\chi^2(2k)$임을 보여라.

3. (c)

   $\dfrac{\frac1m\sum_{i=1}^m\log U_i}{\frac1n\sum_{j=1}^n\log V_j}\sim F(2m,\allowbreak 2n)$임을 보여라.

4. (d)

   $F(2,2)$의 분포함수가 $\tfrac x{1+x}$ ($x>0$)임을 보이고, $P\bigl(\log U_1/\log V_1>3\bigr)$을 구하라.

5. (e)

   독립인 두 검정의 유의확률이 $p_1=0.04$, $p_2=0.10$이다. 귀무가설 아래에서 유의확률은 $\mathrm U(0,1)$을 따른다. 결합 통계량 $X=-2(\log p_1+\log p_2)$의 유의확률 $P(\chi^2(4)\ge X)$를 $q=p_1p_2$로 나타내고 값을 구하라.

힌트

(a) 단조변환. $P(-2\log U\le x)=P(U\ge e^{-x/2})$. (d) 정리 4.2(a)의 밀도에 $r_1=r_2=2$를 넣는다. (e) $\chi^2(4)$의 꼬리 $e^{-x/2}(1+\tfrac x2)$에서 $e^{-X/2}=q$이다.

풀이

(a) $x>0$이면 $P(-2\log U_1\le x)=P(U_1\ge e^{-x/2})=1-e^{-x/2}$이고, 이것은 평균 2인 지수분포 $\Gamma(1,2)=\chi^2(2)$의 분포함수다(2회 정리 4.3, 4회 정의 3.8).

(b) 독립인 $\chi^2(2)$ $k$개의 합이므로 4회 정리 3.7로 $\chi^2(2k)$이다.

(c) 분자와 분모에 $-2$를 곱해도 비는 그대로이므로, 비는 $\tfrac{A/(2m)}{B/(2n)}$이다. 여기서 $A=-2\sum\log U_i\sim\chi^2(2m)$, $B=-2\sum\log V_j\sim\chi^2(2n)$이고 둘은 독립이다. 정의 4.1로 $F(2m,2n)$이다.

(d) 정리 4.2(a)에 $r_1=r_2=2$를 넣으면 $B(1,1)=1$이므로 밀도는 $(1+x)^{-2}$이고 분포함수는 $1-\tfrac1{1+x}=\tfrac x{1+x}$이다. $m=n=1$이면 (c)의 비가 $\log U_1/\log V_1\sim F(2,2)$이므로 $P(F>3)=1-\tfrac34=\tfrac14$이다.

(e) A3의 계산처럼 $P(\chi^2(4)\ge x)=e^{-x/2}(1+\tfrac x2)$이고 $e^{-X/2}=p_1p_2=q$, $\tfrac X2=-\log q$이므로 유의확률은 $q(1-\log q)$이다. $q=0.004$이면 $0.004\,(1+5.521)\approx0.0261$이다. 따로는 5%를 넘는 증거(0.10)도 합치면 2.6%의 증거가 된다(Fisher 1932의 결합 검정).

최종답 (d) $\tfrac14$ (e) $q(1-\log q)\approx0.0261$

D4 관측 두 개의 $t$t ★★★

정리 2.2, 3.3(c), 3회 정리 5.8 · 제한 30분

$X_1,X_2\iid\N(\mu,\sigma^2)$이고 $T=\tfrac{\bar X-\mu}{S/\sqrt2}$이다.

1. (a)

   $T=\tfrac{X_1+X_2-2\mu}{|X_1-X_2|}$임을 보여라.

2. (b)

   $Y_1=\tfrac{Z_1+Z_2}{\sqrt2}$, $Y_2=\tfrac{Z_1-Z_2}{\sqrt2}$ ($Z_i=(X_i-\mu)/\sigma$)로 $T=Y_1/|Y_2|$임을 보여라. 정리 3.3(c)를 쓰지 말고 3회 정리 5.8로 $T$가 Cauchy를 따름을 보여라.

3. (c)

   $t_{1,\,0.025}$를 정확한 식으로 쓰고 값을 구하라.

4. (d)

   $\bar X\pm1.96\,S/\sqrt2$의 실제 포함확률을 정확한 식으로 쓰고 값을 구하라.

힌트

(b) $Y_1,Y_2$는 독립인 표준정규이고 $Y_1/|Y_2|$와 $Y_1/Y_2$는 분포가 같다($Y_1$의 대칭과 독립). (c) Cauchy의 분포함수 $\tfrac12+\tfrac1\pi\arctan t$.

풀이

(a) $n=2$이면 $S^2=\tfrac{(X_1-X_2)^2}2$이므로 $S/\sqrt2=\tfrac{|X_1-X_2|}2$이고, $\bar X-\mu=\tfrac{X_1+X_2-2\mu}2$이다. 나누면 결론이다.

(b) $\sigma$로 나누면 $T=\tfrac{Z_1+Z_2}{|Z_1-Z_2|}=\tfrac{\sqrt2Y_1}{\sqrt2|Y_2|}=\tfrac{Y_1}{|Y_2|}$이다. $(Y_1,Y_2)$는 $n=2$의 Helmert 회전이므로 독립인 표준정규다(정리 2.2의 증명). $Y_1$이 $Y_2$와 독립이고 대칭이므로 $\mathrm{sign}(Y_2)Y_1$은 $Y_1$과 같은 분포를 갖고 $Y_2$와 독립이다. 따라서 $Y_1/|Y_2|=\mathrm{sign}(Y_2)Y_1/Y_2$는 $Y_1/Y_2$와 같은 분포이고, 3회 정리 5.8로 Cauchy다.

(c) $\tfrac12+\tfrac1\pi\arctan t=0.975$에서 $t_{1,0.025}=\tan(0.475\pi)\approx12.71$이다.

(d) $P(|T|\le1.96)=\tfrac2\pi\arctan1.96\approx0.700$이다. 노트 1.1절의 $n=2$의 값과 같다. 관측 두 개로 95%를 말하려면 1.96 대신 12.71을 곱해야 한다.

최종답 (c) $\tan(0.475\pi)\approx12.71$ (d) $\tfrac2\pi\arctan1.96\approx0.700$

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