6회 · Student의 t · 워크북

B. 빈칸 증명

노트의 단계형 증명을 책을 덮고 다시 쓴다. 같은 정리를 여러 번 만나며 도움이 줄어든다. 1 단계는 주어지고 근거만 빈칸이다. 2 단계의 이름만 주어진다. 3 전략만 주어진다. 근거에는 정리 번호, 앞 회차의 정리, 도구 번호를 쓴다.

B1 Student의 정리, 근거 채우기 ★★

1 · 정리 2.2 · 15분

$X_1,\allowbreak \dots,\allowbreak X_n\iid\N(\mu,\allowbreak \sigma^2)$이면 $\bar X\perp S^2$, $\bar X\sim\N(\mu,\sigma^2/n)$, $(n-1)S^2/\sigma^2\sim\chi^2(n-1)$이다. 각 단계의 근거를 써라.

1. $Z_i=(X_i-\mu)/\sigma$로 두면 $\Z\sim\N_n(\mathbf 0,I)$이고 $\Z$에 대해 보이면 된다.표준화

2. $\Y=H\Z$이면 $\Y\sim\N_n(\mathbf 0,I)$이다.왜?5회 정리 3.8(정리 A), $HH\T=I$

3. $Y_1,\dots,Y_n$은 독립인 표준정규다.왜?공분산행렬이 대각, 5회 따름정리 3.12

4. $Y_1=\sqrt n\,\bar Z$이다.왜?$H$의 첫 행이 $\mathbf 1/\sqrt n$

5. $\sum_{i\ge2}Y_i^2=\sum_i(Z_i-\bar Z)^2$이다.왜?$\|H\Z\|=\|\Z\|$와 4

6. $\bar Z\perp\sum_i(Z_i-\bar Z)^2$이다.왜?서로 다른 $Y$들의 함수, 3

7. $\bar Z\sim\N(0,\tfrac1n)$이다.왜?$\bar Z=Y_1/\sqrt n$, 3

8. $\sum_i(Z_i-\bar Z)^2\sim\chi^2(n-1)$이다.왜?표준정규 $n-1$개의 제곱합, 4회 정리 3.9

힌트

근거는 짧게 쓴다. 예: “5회 정리 3.8”, “4회 정리 3.9”. 독립을 결론짓는 단계는 “어느 변수들의 함수인가”를 쓴다.

풀이

빈칸의 빨간 글씨가 근거다. 노트 정리 2.2의 단계형 증명과 같다. 다섯째 단계는 $\sum_iY_i^2=\|H\Z\|^2=\|\Z\|^2$에서 $Y_1^2=n\bar Z^2$을 빼고 $\sum_iZ_i^2-n\bar Z^2=\sum_i(Z_i-\bar Z)^2$을 쓴다.

B2 $t$t의 밀도, 근거 채우기 ★★

1 · 정리 3.2 · [T7] · 20분

$Z\sim\N(0,1)$과 $V\sim\chi^2(r)$이 독립이면 $T=Z/\sqrt{V/r}$의 밀도는 다음과 같다. 근거를 채워라.

$$f_r(t)=\frac{\Gamma\bigl(\frac{r+1}2\bigr)}{\sqrt{r\pi}\,\Gamma\bigl(\frac r2\bigr)}\Bigl(1+\frac{t^2}r\Bigr)^{-\frac{r+1}2}$$

1. $(Z,V)$의 결합밀도는 $\phi(z)\cdot\tfrac{v^{r/2-1}e^{-v/2}}{\Gamma(r/2)2^{r/2}}$이다.왜?독립, 4회 정의 3.8

2. 보조 변수 $W=V$를 두면 역변환은 $z=t\sqrt{w/r}$, $v=w$이다.왜?일대일 변환 [T7]

3. 야코비안은 $\sqrt{w/r}$이다.왜?위삼각 행렬의 행렬식

4. $f_{T,W}(t,\allowbreak w)=\phi\bigl(t\sqrt{w/r}\bigr)\cdot\tfrac{w^{r/2-1}e^{-w/2}}{\Gamma(r/2)2^{r/2}}\cdot\sqrt{w/r}$이다.왜?3회 정리 5.1

5. $f_T(t)=\int_0^\infty f_{T,W}(t,\allowbreak w)\,dw$이다.왜?주변밀도, 피적분함수 $\ge0$ (Tonelli) [T6]

6. $\int_0^\infty w^{\frac{r+1}2-1}e^{-w\frac{1+t^2/r}2}dw=\Gamma\bigl(\tfrac{r+1}2\bigr)\bigl(\tfrac2{1+t^2/r}\bigr)^{\frac{r+1}2}$이다.왜?감마 적분, 4회 정의 3.4

힌트

변수변환의 근거는 3회 정리 5.1, 감마 적분의 근거는 감마함수의 정의다. 상수를 모으는 계산도 아래 줄에 해 본다.

풀이

빈칸의 빨간 글씨가 근거다. 마지막으로 상수를 모으면 $\tfrac1{\sqrt{2\pi}}\cdot\tfrac1{\Gamma(r/2)2^{r/2}}\cdot\tfrac1{\sqrt r}\cdot2^{(r+1)/2}\Gamma(\tfrac{r+1}2)=\tfrac{\Gamma((r+1)/2)}{\sqrt{r\pi}\,\Gamma(r/2)}$이다.

B3 두 표본 $t$t, 근거 채우기 ★★

1 · 정리 5.4 · 15분

등분산 정규 표본 $X_1,\dots,X_m$과 $Y_1,\dots,Y_n$이 독립이면 $T=\tfrac{(\bar X-\bar Y)-(\mu_1-\mu_2)}{S_p\sqrt{1/m+1/n}}\sim t(m+n-2)$이다. 근거를 채워라.

1. $Z=\tfrac{(\bar X-\bar Y)-(\mu_1-\mu_2)}{\sigma\sqrt{1/m+1/n}}\sim\N(0,\allowbreak 1)$이다.왜?정리 2.2(a), 5회 정리 1.8(iv)

2. $\tfrac{(m-1)S_X^2}{\sigma^2}$와 $\tfrac{(n-1)S_Y^2}{\sigma^2}$는 독립인 $\chi^2(m-1)$, $\chi^2(n-1)$이다.왜?정리 2.2(c), 두 표본의 독립

3. $V=\tfrac{(m+n-2)S_p^2}{\sigma^2}\sim\chi^2(m+n-2)$이다.왜?독립인 $\chi^2$의 합, 4회 정리 3.7

4. $Z\perp V$이다.왜?정리 2.2(b)를 두 표본에, 함수의 독립

5. $T=Z/\sqrt{V/(m+n-2)}\sim t(m+n-2)$이다.왜?$\sigma$ 소거, 정의 3.1

힌트

등분산 가정이 쓰이는 단계를 찾아 표시해 둔다. 셋째 단계다.

풀이

빈칸의 빨간 글씨가 근거다. 셋째 단계에서 두 $\chi^2$를 같은 $\sigma^2$로 나눴기 때문에 합이 $\tfrac{(m+n-2)S_p^2}{\sigma^2}$이 된다. 등분산이 아니면 합동분산은 하나의 $\sigma^2$를 추정하지 않는다.

B4 Student의 정리, 단계의 이름만 ★★

2 · 정리 2.2 · 30분

정리 2.2의 (a)(b)(c)를 증명하라. 단계의 이름만 주어진다. 각 단계 아래에 식과 근거를 써라.

1. 표준화해 $\Z\sim\N_n(\mathbf 0,I)$로 줄인다

2. Helmert 행렬로 돌린다

3. 돌린 좌표가 독립인 표준정규임을 보인다

4. 첫 성분이 평균임을 보인다

5. 나머지 성분의 제곱합이 편차제곱합임을 보인다

6. (b): 독립을 결론짓는다

7. (a)와 (c)를 결론짓는다

힌트

B1을 다시 보지 않고 쓴다. 다섯째 단계에는 직교행렬이 길이를 보존한다는 사실과 정리 1.1의 항등식이 필요하다.

풀이

1. $Z_i=(X_i-\mu)/\sigma$, $\bar X=\mu+\sigma\bar Z$, $(n-1)S^2=\sigma^2\sum(Z_i-\bar Z)^2$.표준화

2. $\Y=H\Z\sim\N_n(\mathbf 0,\allowbreak HH\T)=\N_n(\mathbf 0,\allowbreak I)$.5회 정리 3.8

3. 공분산행렬이 대각이므로 $Y_i$들은 독립인 $\N(0,1)$.5회 따름정리 3.12

4. $Y_1=\tfrac1{\sqrt n}\sum Z_i=\sqrt n\bar Z$.$H$의 첫 행

5. $\sum_{i\ge2}Y_i^2=\|\Z\|^2-n\bar Z^2=\sum(Z_i-\bar Z)^2$.$\|H\Z\|=\|\Z\|$, 정리 1.1

6. $\bar Z$는 $Y_1$의, 편차제곱합은 $Y_2,\dots,Y_n$의 함수이므로 독립.3회 3.2절의 상자

7. $\bar Z\sim\N(0,\tfrac1n)$이고 $\sum_{i\ge2}Y_i^2\sim\chi^2(n-1)$.4회 정리 3.9

B5 $t$t의 밀도, 단계의 이름만 ★★

2 · 정리 3.2 · [T7] · 25분

정리 3.2를 증명하라. 단계의 이름만 주어진다.

1. 결합밀도를 쓴다

2. 보조 변수를 두고 역변환을 구한다

3. 야코비안을 구한다

4. $(T,W)$의 결합밀도를 쓴다

5. 보조 변수를 적분한다(감마 적분)

6. 상수를 모은다

힌트

B2와 같은 순서다. 마지막 단계에서 $2^{(r+1)/2}/2^{r/2}=\sqrt2$이고 $\sqrt{2\pi}$와 만나 $\sqrt\pi$만 남는다.

풀이

B2의 단계에 다음 식을 채우면 된다. 결합밀도는

$$f_{T,W}(t,w)=\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{t^2w}{2r}}\cdot\frac{w^{r/2-1}e^{-w/2}}{\Gamma(r/2)2^{r/2}}\cdot\sqrt{\frac wr}$$

이다. $w$의 거듭제곱은 $w^{(r+1)/2-1}$이고 지수는 $e^{-w(1+t^2/r)/2}$이다. 감마 적분의 공식

$$\int_0^\infty w^{a-1}e^{-bw}\,dw=\Gamma(a)\,b^{-a},\qquad a=\frac{r+1}2,\quad b=\frac{1+t^2/r}2$$

을 쓰면

$$\int_0^\infty w^{\frac{r+1}2-1}e^{-w\frac{1+t^2/r}2}\,dw=\Gamma\Bigl(\frac{r+1}2\Bigr)2^{\frac{r+1}2}\Bigl(1+\frac{t^2}r\Bigr)^{-\frac{r+1}2}$$

이다. 상수는 $\tfrac{2^{(r+1)/2}}{\sqrt{2\pi}\,2^{r/2}\sqrt r\,\Gamma(r/2)}=\tfrac1{\sqrt{r\pi}\,\Gamma(r/2)}$이다.

B6 Student의 정리, 전략만 ★★

3 · 정리 2.2 · 35분

$X_1,\allowbreak \dots,\allowbreak X_n\iid\N(\mu,\allowbreak \sigma^2)$이면 $\bar X\sim\N(\mu,\sigma^2/n)$, $\bar X\perp S^2$, $(n-1)S^2/\sigma^2\sim\chi^2(n-1)$임을 증명하라.

전략 표본을 표준화하고 직교행렬로 돌린다. 돌린 좌표에서 첫 성분은 평균이고, 나머지 성분의 제곱합은 편차제곱합이며, 좌표들은 서로 독립인 표준정규다.

힌트

단계는 여덟이다. 다 쓴 뒤, 정규성을 쓴 곳이 “직교변환해도 $\N_n(\mathbf 0,I)$”와 “무상관이면 독립” 두 곳뿐인지 확인한다.

풀이

B4의 풀이와 같다. 정규성은 두 곳에서 쓰인다. 직교변환한 벡터가 다시 결합정규라는 것(5회 정리 A)과, 결합정규에서는 공분산행렬이 대각이면 성분이 독립이라는 것(5회 정리 B)이다. 지수 표본에서는 둘째가 깨져서 $\bar X$와 $S^2$가 의존한다(노트 연습 2.3).

B7 두 표본 $t$t, 전략만 ★★

3 · 정리 5.4 · 30분

정리 5.4를 증명하라.

전략 표준정규를, 그와 독립인 $\chi^2$를 자유도로 나눈 것의 제곱근으로 나눈 꼴을 만든다. 두 표본에 Student의 정리를 따로 쓰고 독립을 합친다.

힌트

다섯 단계다. 분자의 분산 $\sigma^2(1/m+1/n)$, 분모의 $\chi^2$ 자유도 $m+n-2$, 그리고 둘의 독립을 차례로 보인다.

풀이

B3의 단계와 같다. 네 변수 $\bar X,S_X^2,\bar Y,S_Y^2$가 상호 독립이라는 것이 넷째 단계의 내용이다. 표본 안에서는 정리 2.2(b)가, 표본 사이에서는 두 표본의 독립이 독립을 준다. 그러면 $(\bar X,\bar Y)$의 함수인 $Z$와 $(S_X^2,S_Y^2)$의 함수인 $V$가 독립이다.

워크북 PDF풀이판 PDF답 확인