3회 · 왜 평균을 내는가 · 워크북

A. 계산 드릴

결합분포에서 주변분포·조건부분포를 구하고, 공분산과 야코비안을 손으로 계산한다. 연속인 문제는 먼저 밀도가 0이 아닌 영역을 그린다. 다 풀면 뒤의 최종답이나 노트북의 check()로 맞춰 본다.

A1 결합분포표 ★

정리 1.3, 4.2 · 정의 2.1 · 8분

$(X,Y)$의 결합 확률질량함수가 다음 표와 같다.

$x\backslash y$	0	1	2
0	0.1	0.2	0.1
1	0.2	0.1	0.3

(a) $p_Y(2)$, (b) $E(XY)$, (c) $\Cov(X,Y)$, (d) $P(Y=2\mid X=1)$을 구하라.

힌트

주변분포는 행과 열의 합이다(정리 1.3). $E(XY)$에서 0이 아닌 항은 $x=1$, $y\ge1$인 칸뿐이다. $\Cov=E(XY)-EX\,EY$(정리 4.2(a)).

풀이

(a) 열의 합으로 $p_Y(2)=0.1+0.3=0.4$이다. (b) $E(XY)=1\cdot1\cdot0.1+1\cdot2\cdot0.3=0.7$이다. (c) $EX=p_X(1)=0.6$, $EY=1\cdot0.3+2\cdot0.4=1.1$이므로 $\Cov(X,Y)=0.7-0.66=0.04$이다. (d) $P(Y=2\mid X=1)=0.3/0.6=\tfrac12$이다. $p_Y(2)=0.4$보다 크므로 $X=1$은 $Y$가 2일 가능성을 높인다. 공분산이 양수인 것과 같은 방향이다.

최종답 (a) $0.4$ (b) $0.7$ (c) $0.04$ (d) $\tfrac12$

A2 정사각형 위의 기울어진 밀도 ★

정리 1.6, 4.2 · 8분

$f(x,y)=c(x+y)$ ($0<x<1$, $0<y<1$)가 결합밀도이다. (a) $c$, (b) $f_X(x)$, (c) $EX$, (d) $\Cov(X,Y)$를 구하라.

힌트

$\iint(x+y)=\tfrac12+\tfrac12$. 대칭이므로 $EY=EX$이다. $E(XY)=\iint xy(x+y)\,dx\,dy$.

풀이

(a) $\iint(x+y)\,dx\,dy=\tfrac12+\tfrac12=1$이므로 $c=1$이다. (b) $f_X(x)=\int_0^1(x+y)\,dy=x+\tfrac12$ ($0<x<1$). (c) $EX=\int_0^1x(x+\tfrac12)\,dx=\tfrac13+\tfrac14=\tfrac7{12}$. (d) $E(XY)=\iint(x^2y+xy^2)=\tfrac13\cdot\tfrac12+\tfrac12\cdot\tfrac13=\tfrac13$이고, 대칭으로 $EY=\tfrac7{12}$이므로 $\Cov(X,\allowbreak Y)=\tfrac13-\tfrac{49}{144}=-\tfrac1{144}$이다. 밀도가 $x+y$로 커지는데도 공분산은 음수다. 한쪽이 크면 밀도의 무게가 이미 커서 다른 쪽이 클 필요가 줄어든다.

최종답 (a) $c=1$ (b) $x+\tfrac12$ (c) $\tfrac7{12}$ (d) $-\tfrac1{144}$

A3 삼각형 위의 지수 밀도 ★★

정의 2.2, 정리 2.5 · 10분

$f(x,y)=e^{-y}$ ($0<x<y$)가 결합밀도이다. (a) $E(Y\mid X=x)$, (b) $EY$, (c) $\Cov(X,Y)$를 구하라.

힌트

$f_X(x)=\int_x^\infty e^{-y}dy$. $X=x$일 때 $Y-x$의 분포를 알아보라. (c)는 $E(XY)=E[X\,E(Y\mid X)]$로 계산한다(정리 2.5의 둘째 식).

풀이

(a) $f_X(x)=\int_x^\infty e^{-y}\,dy=e^{-x}$ ($x>0$)이므로 $X\sim\mathrm{Exp}(1)$이다. $f(y\mid x)=e^{-y}/e^{-x}=e^{-(y-x)}$ ($y>x$)이므로 $X=x$일 때 $Y-x\sim\mathrm{Exp}(1)$이고 $E(Y\mid X=x)=x+1$이다. (b) 반복기댓값으로 $EY=E(X+1)=2$이다. (c) $E(XY)=E[X(X+1)]=EX^2+EX=2+1=3$이므로 $\Cov(X,Y)=3-1\cdot2=1$이다. $Y=X+W$이고 $W\sim\mathrm{Exp}(1)$이 $X$와 독립이라 보아도 $\Cov(X,X+W)=\Var X=1$로 같다.

최종답 (a) $x+1$ (b) $2$ (c) $1$

A4 성공률이 무작위인 이항 ★★

정리 2.5, 2.6 · 8분

$P\sim\mathrm U(0,1)$이고, $P=p$일 때 $K\sim\mathrm b(10,p)$이다. (a) $EK$, (b) $\Var K$를 구하라. 성공률이 $\tfrac12$로 고정된 $\mathrm b(10,\tfrac12)$의 분산 $2.5$와 비교하라.

힌트

$E(K\mid P)=10P$, $\Var(K\mid P)=10P(1-P)$ (2회 정리 2.4). 전분산 공식.

풀이

(a) 반복기댓값으로 $EK=E(10P)=5$이다. (b) 전분산 공식으로

$$\Var K=E\bigl[10P(1-P)\bigr]+\Var(10P)=10\Bigl(\frac12-\frac13\Bigr)+\frac{100}{12}=\frac53+\frac{25}3=10 .$$

성공률을 모르면 분산이 $2.5$에서 $10$으로 네 배가 된다. 늘어난 $\tfrac{25}3$이 성공률의 불확실성에서 온 몫이다. 실제로 $K$는 $\{0,1,\dots,10\}$ 위의 균등분포이고, 그 분산 $\tfrac{11^2-1}{12}=10$과 맞는다(노트북에서 확인할 수 있다).

최종답 (a) $5$ (b) $10$

A5 독립인 곱의 분산 ★

정리 3.4 · 6분

$X$와 $Y$가 독립이고 $EX=1$, $\Var X=2$, $EY=3$, $\Var Y=1$이다. (a) $\Var(XY)$, (b) $\Cov(XY,X)$를 구하라.

힌트

$EX^2=\Var X+(EX)^2$. 정리 3.4(b)를 $g(x)=x^2$, $h(y)=y^2$에 쓴다.

풀이

$EX^2=3$, $EY^2=10$이다. (a) 정리 3.4(b)로 $E(XY)^2=EX^2\,EY^2=30$, $E(XY)=3$이므로 $\Var(XY)=30-9=21$이다. 곱의 분산은 분산의 곱 $2$와 전혀 다르다. (b) $\Cov(XY,\allowbreak X)=E(X^2Y)-E(XY)\,EX=EX^2\,EY-3\cdot1=9-3=6$이다.

최종답 (a) $21$ (b) $6$

A6 선형결합의 분산 ★

정리 4.2 · 8분

$\Var X=4$, $\Var Y=9$, $\Corr(X,Y)=-\tfrac13$이다. (a) $\Var(2X-Y+5)$, (b) $\Cov(X+Y,\,X-Y)$, (c) $\Corr(X+Y,\,X-Y)$를 구하라.

힌트

먼저 $\Cov(X,\allowbreak Y)=\rho\sigma_X\sigma_Y$. 쌍선형으로 전개한다(정리 4.2(b)(c)).

풀이

$\Cov(X,\allowbreak Y)=-\tfrac13\cdot2\cdot3=-2$이다. (a) $4\cdot4+9-2\cdot2\cdot(-2)=33$. 상수 5는 분산에 들어가지 않는다. (b) $\Var X-\Var Y=4-9=-5$. (c) $\Var(X+Y)=4+9-4=9$, $\Var(X-Y)=4+9+4=17$이므로 $\Corr=\tfrac{-5}{3\sqrt{17}}\approx-0.404$이다.

최종답 (a) $33$ (b) $-5$ (c) $-\tfrac{5}{3\sqrt{17}}\approx-0.404$

A7 가장 좋은 직선 ★

정리 4.6 · 6분

$\mu_X=2$, $\mu_Y=5$, $\sigma_X=1$, $\sigma_Y=3$, $\rho=0.6$이다. $X$로 $Y$를 예측하는 가장 좋은 직선 $a^*+b^*X$의 (a) $b^*$, (b) $a^*$, (c) 최소 평균제곱오차, (d) $X=3$일 때의 예측값을 구하라.

힌트

$b^*=\rho\sigma_Y/\sigma_X$, $a^*=\mu_Y-b^*\mu_X$, 최솟값 $\sigma_Y^2(1-\rho^2)$.

풀이

(a) $b^*=0.6\cdot3/1=1.8$. (b) $a^*=5-1.8\cdot2=1.4$. (c) $9(1-0.36)=5.76$. (d) $1.4+1.8\cdot3=6.8$. 표준단위로 보면 $X$가 평균보다 1 표준편차 크면 예측은 평균보다 $0.6$ 표준편차($1.8$)만 크다.

최종답 (a) $1.8$ (b) $1.4$ (c) $5.76$ (d) $6.8$

A8 합과 차의 결합밀도 ★★

정리 5.1 · [T7] · 10분

$X,Y\iid\mathrm U(0,1)$이고 $U=X+Y$, $V=X-Y$이다. (a) 역변환의 야코비안 행렬식의 절댓값을 구하라. (b) $V$의 밀도 $f_V(v)$ ($-1<v<1$)를 구하라. (c) $P(U<1,\ V>0)$을 구하라.

힌트

역변환은 $x=\tfrac{u+v}2$, $y=\tfrac{u-v}2$이다. $(u,v)$ 평면에서 영역은 꼭짓점이 $(0,0)$, $(1,1)$, $(2,0)$, $(1,-1)$인 정사각형이다. $v$를 고정하면 $u$는 $|v|$에서 $2-|v|$까지 움직인다.

풀이

(a) 역변환의 야코비안 행렬식은 $\det\smat{1/2&1/2\\1/2&-1/2}=-\tfrac12$이므로 절댓값은 $\tfrac12$이다. (b) 정리 5.1로 $f_{U,V}(u,v)=1\cdot\tfrac12$ (영역 안)이다. $0<x<1$, $0<y<1$은 $|v|<u<2-|v|$와 같으므로 $f_V(v)=\int_{|v|}^{2-|v|}\tfrac12\,du=1-|v|$이다. 차의 밀도도 삼각형이다. (c) $\{U<1,\,V>0\}=\{X+Y<1,\ X>Y\}$는 꼭짓점이 $(0,\allowbreak 0),\allowbreak (1,\allowbreak 0),\allowbreak (\tfrac12,\allowbreak \tfrac12)$인 삼각형이고 넓이가 $\tfrac14$이므로 확률은 $\tfrac14$이다.

최종답 (a) $\tfrac12$ (b) $1-|v|$ (c) $\tfrac14$

A9 두 균등 난수의 거리 ★

정리 1.6 · 8분

$X,Y\iid\mathrm U(0,1)$이고 $D=|X-Y|$이다. $0\le t\le1$에서 $P(D>t)$를 넓이로 구한 뒤 (a) $ED$, (b) $P(D>\tfrac12)$를 구하라.

힌트

$\{D>t\}$는 정사각형에서 대각선 양쪽의 직각삼각형 두 개다. 각각의 넓이는 $\tfrac12(1-t)^2$이다. $ED=\int_0^1P(D>t)\,dt$ (2회 정리 1.13).

풀이

$\{D>t\}=\{X-Y>t\}\cup\{Y-X>t\}$는 빗변이 대각선과 평행한 두 직각삼각형이고 각각 넓이가 $\tfrac12(1-t)^2$이므로 $P(D>t)=(1-t)^2$이다. (a) 꼬리 공식으로 $ED=\int_0^1(1-t)^2\,dt=\tfrac13$. (b) $(1-\tfrac12)^2=\tfrac14$. 밀도는 $2(1-t)$이다.

최종답 (a) $\tfrac13$ (b) $\tfrac14$

A10 두 지수분포의 최솟값과 최댓값 ★

예제 3.5, 따름정리 1.9 · 8분

$X\sim\mathrm{Exp}(1)$, $Y\sim\mathrm{Exp}(2)$가 독립이다. (a) $E\min(X,Y)$, (b) $E\max(X,Y)$를 구하라.

힌트

$P(\min>t)=P(X>t)P(Y>t)$. 최댓값은 $\max+\min=X+Y$를 쓰면 적분하지 않아도 된다.

풀이

(a) $P(\min(X,\allowbreak Y)>t)=e^{-t}e^{-2t}=e^{-3t}$이므로 $\min\sim\mathrm{Exp}(3)$, 평균 $\tfrac13$이다. (b) $\max+\min=X+Y$이고 선형성(따름정리 1.9)으로 $E\max=1+\tfrac12-\tfrac13=\tfrac76$이다.

최종답 (a) $\tfrac13$ (b) $\tfrac76$

A11 필요한 관측 수 ★

정리 6.3, 6.5 · 8분

한 관측의 표준편차가 $\sigma=10$이다. (a) 관측들이 상관이 없을 때, 평균의 표준오차가 $0.5$ 이하가 되는 가장 작은 $n$은? (b) 모든 쌍의 상관이 $\rho=0.001$이면? (c) (b)에서 $n\to\infty$일 때 표준오차의 극한은?

힌트

(b) $\Var\bar X=\sigma^2\bigl(\rho+\tfrac{1-\rho}n\bigr)\le0.25$를 $n$에 대해 푼다.

풀이

(a) $10/\sqrt n\le0.5\iff n\ge400$. (b) $100\bigl(0.001+\tfrac{0.999}n\bigr)\le0.25\iff\tfrac{99.9}n\le0.15\iff n\ge666$이다. 상관이 $0.001$뿐인데 필요한 관측이 $1.67$배가 된다. (c) $\sqrt{100\cdot0.001}=\sqrt{0.1}\approx0.316$이다. 이보다 작은 표준오차는 관측을 아무리 늘려도 얻지 못한다.

최종답 (a) $400$ (b) $666$ (c) $\sqrt{0.1}\approx0.316$

A12 균등한 성공률로 두 번 던지기 ★★

정리 2.5 · 1회 정리 5.5 · 8분

$X\sim\mathrm U(0,1)$이고, $X=x$일 때 $Y\sim\mathrm b(2,x)$이다. (a) $P(Y=2)$, (b) $P(X>\tfrac12\mid Y=2)$를 구하라.

힌트

$P(Y=2\mid X=x)=x^2$. (a)는 이것을 $X$의 분포로 평균한다. (b)는 $P(X>\tfrac12,\allowbreak \ Y=2)=\int_{1/2}^1x^2\,dx$를 (a)로 나눈다.

풀이

(a) 반복기댓값을 지시함수 $\mathbf 1\{Y=2\}$에 쓰면 $P(Y=2)=E\bigl[P(Y=2\mid X)\bigr]=\int_0^1x^2\,dx=\tfrac13$이다. (b) 같은 방법으로 $P(X>\tfrac12,\allowbreak \,Y=2)=\int_{1/2}^1x^2\,dx=\tfrac7{24}$이고, $P(X>\tfrac12\mid Y=2)=\tfrac{7/24}{1/3}=\tfrac78$이다. 두 번 모두 성공했다는 것을 알면 $X$의 조건부 밀도는 $3x^2$으로 1 쪽에 몰린다.

최종답 (a) $\tfrac13$ (b) $\tfrac78$

A13 정규 두 개를 극좌표로 ★

정리 5.3, 예제 5.2 · [T7] · 8분

$X,Y\iid\N(0,1)$이다. (a) $P(X^2+Y^2\le1)$, (b) $P(Y>|X|)$를 구하라.

힌트

극좌표에서 결합밀도는 $\tfrac1{2\pi}e^{-r^2/2}r$이고, 반지름과 각이 독립이다. (b)는 각의 범위만 본다.

풀이

극좌표로 $f_{R,\Theta}(r,\allowbreak \theta)=\tfrac1{2\pi}\,re^{-r^2/2}$이고, 인수분해로 $\Theta\sim\mathrm U(0,2\pi)$와 $R$은 독립이다. (a) $P(R\le1)=\int_0^1re^{-r^2/2}\,dr=1-e^{-1/2}\approx0.393$. (b) $\{Y>|X|\}$는 각 $\theta\in(\tfrac\pi4,\allowbreak \tfrac{3\pi}4)$이므로 확률은 $\tfrac{\pi/2}{2\pi}=\tfrac14$이다.

최종답 (a) $1-e^{-1/2}\approx0.393$ (b) $\tfrac14$

A14 길이가 다른 균등분포의 합 ★★

정리 5.5 · 8분

$X\sim\mathrm U(0,1)$, $Y\sim\mathrm U(0,2)$가 독립이고 $Z=X+Y$이다. (a) $f_Z(\tfrac12)$, (b) $f_Z(\tfrac32)$, (c) $P(Z\le1)$을 구하라.

힌트

$f_Z(z)=\int_0^1\tfrac12\mathbf 1\{0<z-x<2\}\,dx$. 적분 구간의 길이를 $z$의 구간별로 구한다.

풀이

합성곱(정리 5.5)으로 $f_Z(z)=\tfrac12\cdot\bigl|\{x\in(0,\allowbreak 1):z-2<x<z\}\bigr|$이다. 길이는 $0<z\le1$에서 $z$, $1<z\le2$에서 1, $2<z<3$에서 $3-z$이므로

$$f_Z(z)=\tfrac z2\ (0<z\le1),\qquad \tfrac12\ (1<z\le2),\qquad \tfrac{3-z}2\ (2<z<3)$$

인 사다리꼴이다. (a) $\tfrac14$, (b) $\tfrac12$, (c) $\int_0^1\tfrac z2\,dz=\tfrac14$이다.

최종답 (a) $\tfrac14$ (b) $\tfrac12$ (c) $\tfrac14$

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