2회 · 기댓값·부등식·대수의 법칙 · 노트

2 분산과 적률 — 흩어짐을 재는 수

기댓값은 분포의 위치를 하나의 수로 말한다. Bernoulli의 질문에 답하려면 한 가지가 더 필요하다. 관측한 비율이 참값 둘레에 얼마나 흩어지는가다. 이 절은 흩어짐의 표준 척도인 분산을 정의하고, 이항분포의 분산 $npq$와 독립합의 분산 공식을 증명한다. 6절의 대수의 법칙은 이 두 결과와 5절의 Chebyshev 부등식을 합친 것이다.

이름의 역사 흩어짐을 재는 일은 천문학의 관측오차에서 시작했다. Gauss(1809, 1821)는 오차 제곱의 평균을 기준으로 삼았고, Karl Pearson(1894)이 그 제곱근에 standard deviation이라는 이름을 붙였다. variance라는 말은 Fisher(1918)가 처음 썼다. 개념은 이름보다 150년 앞섰다. de Moivre(1733)는 이항분포의 흩어짐이 $\sqrt n$에 비례한다는 것을 이미 알고 있었다(5회).

2.1 분산

정의 2.1 (분산과 표준편차) $EX^2<\infty$인 확률변수 $X$의 평균을 $\mu$라 할 때

$$\Var X=E(X-\mu)^2$$

을 분산이라 하고, $\sigma=\sqrt{\Var X}$를 표준편차라 한다. $\sigma^2$, $\sigma_X^2$로도 쓴다.

$EX^2<\infty$이면 $|x|\le1+x^2$이므로 $E|X|<\infty$이고, $(x-\mu)^2\le2x^2+2\mu^2$이므로 분산도 유한하다. 분산은 무게중심 둘레의 “관성 모멘트”다. 평균에서 멀리 떨어진 질량이 제곱으로 무겁게 센다.

정리 2.2 (분산의 계산) $EX^2<\infty$이고 $\mu=EX$일 때

1. (a)

   $\Var X=EX^2-\mu^2$.

2. (b)

   $\Var(aX+b)=a^2\Var X$. 따라서 $\sigma_{aX+b}=|a|\,\sigma_X$.

3. (c)

   모든 실수 $c$에 대해 $E(X-c)^2=\Var X+(\mu-c)^2$. 따라서 $E(X-c)^2$은 $c=\mu$에서 가장 작다.

증명 전략 (c)를 먼저 보인다. $X-c=(X-\mu)+(\mu-c)$를 제곱하고 선형성을 쓰면 가운데 항이 사라진다. (a)와 (b)는 (c)와 정의에서 바로 나온다. 단계별 증명은 연습 2.10(유도형)에서 직접 쓴다. 완성된 증명은 그 연습의 풀이에 있다.

(c)는 한 줄이지만 깊다. $X$를 상수 하나로 예측해야 하고 손실이 제곱오차이면, 가장 좋은 예측은 평균이고 그때의 손실이 분산이다. 13회의 최소제곱법은 이 사실을 여러 변수로 넓힌 것이다. 손실이 절대오차 $E|X-c|$이면 가장 좋은 예측은 중앙값이 된다(연습 2.2).

예제 2.3 (기본적인 분산들) 

Bernoulli. $X=\mathbf 1_A$, $P(A)=p$이면 $X^2=X$이므로 $\Var X=p-p^2=pq$. 이 값은 $p=\tfrac12$에서 가장 크고, 언제나 $pq\le\tfrac14$이다.

주사위. $EX^2=\tfrac16(1+4+\cdots+36)=\tfrac{91}6$이므로 $\Var X=\tfrac{91}6-\tfrac{49}4=\tfrac{35}{12}\approx2.92$.

균등분포. $X\sim\mathrm U(a,b)$이면 $X=a+(b-a)U$, $U\sim\mathrm U(0,1)$이고 $\Var U=\tfrac13-\tfrac14=\tfrac1{12}$이므로 정리 2.2(b)로 $\Var X=\tfrac{(b-a)^2}{12}$.

지수분포. 부분적분을 두 번 하면 $EX^2=\tfrac2{\lambda^2}$이므로 $\Var X=\tfrac1{\lambda^2}$. 표준편차가 평균과 같다.

2.2 이항분포의 평균과 분산

정리 2.4 (이항분포) $K$가 성공 확률 $p$인 독립 시행 $n$번의 성공 수이면, 곧

$$P(K=k)=\binom nk p^kq^{n-k},\qquad k=0,1,\dots,n$$

이면 ($K\sim\mathrm b(n,p)$로 쓴다)

$$EK=np,\qquad \Var K=npq .$$

증명 전략 pmf의 합이 1이라는 것은 이항정리(1회 정리 1.6)다. 같은 정리를 한 번 더 쓴다. $k\binom nk=n\binom{n-1}{k-1}$로 $k$를 계수 안으로 흡수하고, 분산은 $E\,K(K-1)$을 같은 방법으로 구해 얻는다. 단계별 증명은 연습 2.11(유도형)에서 직접 쓴다. 완성된 증명은 그 연습의 풀이에 있다.

따름정리 2.5 (관측 비율의 평균과 분산) $\hat p=K/n$이면

$$E\hat p=p,\qquad \Var\hat p=\frac{pq}{n}\le\frac1{4n},\qquad \sigma_{\hat p}=\sqrt{\frac{pq}n} .$$

증명 정리 2.4과 정리 2.2(b)에 $a=\tfrac1n$을 쓴다.

관측 비율은 평균적으로 참값이고, 흩어짐의 표준편차는 $1/\sqrt n$에 비례해 준다. 시행을 4배로 늘려야 흩어짐이 절반이 된다(그림 2.1). 이것이 1회 8.1절에서 시뮬레이션으로 본 $1/\sqrt n$이고, Bernoulli의 정리의 씨앗이다.

그림 2.1 $p=0.6$일 때 관측 비율 $\hat p=K/n$의 분포. $n$이 4배가 될 때마다 폭이 절반이 된다. 세로축은 $n\,P(K=k)$로 맞춰 모양을 비교할 수 있게 했다.

2.3 독립인 이산 확률변수

이항분포의 분산은 “$n$번 시행의 분산이 한 번의 분산의 $n$배”라는 것을 말해 준다. 이것은 독립이면 언제나 참이다.

정의 2.6 (독립인 이산 확률변수) 이산 확률변수 $X_1,\dots,X_n$이 모든 값 $x_1,\dots,x_n$에 대해

$$P(X_1=x_1,\dots,X_n=x_n)=P(X_1=x_1)\cdots P(X_n=x_n)$$

을 만족하면 독립이라 한다.

이 정의는 1회 정의 5.9의 사건의 상호 독립과 같은 말이다. 모든 값의 조합에서 사건 $\{X_1=x_1\},\dots,\{X_n=x_n\}$이 상호 독립이라는 것이다. 정의에는 $n$개를 모두 곱하는 식만 있지만, 일부만 고른 식은 나머지 변수의 값에 대해 더하면 나온다(연습 2.6). 같은 이유로 독립인 $X_i$들의 함수 $g_i(X_i)$도 독립이다.

정리 2.7 (독립이면 곱의 기댓값은 기댓값의 곱) $X,Y$가 독립인 이산 확률변수이고 $E|X|,E|Y|<\infty$이면 $E|XY|<\infty$이고

$$E(XY)=EX\cdot EY .$$

증명 전략 $(X,Y)$를 하나의 이산 확률변수로 보고 정리 1.9(a)를 쓴다. 독립이면 이중합이 두 합의 곱으로 갈라진다. 먼저 절댓값으로 합이 유한함을 보이고, 그다음 절댓값 없이 계산한다 [T5]. 단계별 증명은 연습 2.12(유도형)에서 직접 쓴다. 완성된 증명은 그 연습의 풀이에 있다.

정리 2.8 (독립합의 분산) $X_1,\dots,X_n$이 독립인 이산 확률변수이고 분산이 유한하면

$$\Var\Bigl(\sum_{i=1}^nX_i\Bigr)=\sum_{i=1}^n\Var X_i .$$

특히 모두 분산이 $\sigma^2$이면 표본평균 $\bar X=\tfrac1n\sum X_i$에 대해 $\Var\bar X=\sigma^2/n$.

증명 전략 중심을 뺀 $D_i=X_i-\mu_i$로 분산을 “합의 제곱의 기댓값”으로 쓴다. 제곱을 전개하면 교차항이 생기고, 독립이 교차항을 0으로 만든다.

1. $\mu_i=EX_i$, $D_i=X_i-\mu_i$로 두면 $E\sum_iX_i=\sum_i\mu_i$이고 $\sum_iX_i-\sum_i\mu_i=\sum_iD_i$이다.정리 1.11

2. 분산의 정의에 넣고 제곱을 전개한다.

   $$\begin{align*} \Var\Bigl(\sum_iX_i\Bigr)&=E\Bigl(\sum_iD_i\Bigr)^2 \tag*{\htmlClass{reason}{\text{정의~\href{/read/02/2#def-var}{2.1}, \htmlClass{sref}{\text{1}}}}}\\ &=\sum_iE\,D_i^2+\sum_{i\ne j}E(D_iD_j) \tag*{\htmlClass{reason}{\text{전개, 정리~\href{/read/02/1#thm-linear2}{1.11}}}} \end{align*}$$

3. $E|D_iD_j|<\infty$이다. $2|D_iD_j|\le D_i^2+D_j^2$이고 오른쪽의 기댓값이 유한하기 때문이다.$2|ab|\le a^2+b^2$ [T4]

4. $i\ne j$이면 $D_i$와 $D_j$는 독립이다.독립인 변수의 함수 (2.3절)

5. $E(D_iD_j)=ED_i\cdot ED_j=0\cdot0=0$이다.3 4, 정리 2.7

6. 남는 것은 $\sum_iE\,D_i^2=\sum_i\Var X_i$이다.정의 2.1

7. 모두 분산이 $\sigma^2$이면 $\Var\bar X=\tfrac1{n^2}\cdot n\sigma^2=\tfrac{\sigma^2}n$이다.정리 2.2(b), $a=\tfrac1n$

조건 확인 전개한 합의 기댓값을 항마다 나눠 쓰려면(선형성) 각 항의 기댓값이 존재해야 한다. 제곱항은 분산이 유한하다는 가정으로, 교차항은 3으로 확인했다.

증명에서 쓴 것은 $i\ne j$인 쌍마다 $E(D_iD_j)=0$이라는 것뿐이다. 그러니 쌍별 독립이면 충분하다(연습 2.5). 연속 확률변수에 대한 같은 정리는 3회에서 증명하고, 그때 $E(D_iD_j)$에 공분산이라는 이름을 붙인다.

예제 2.9 (지시변수로 다시 — 이항과 Montmort) 

이항. $K=\sum_i\mathbf 1_i$에서 $\mathbf 1_i$들이 독립이고 각각 분산이 $pq$이므로 $\Var K=npq$. 정리 2.4의 계산 없이 얻었다.

Montmort. 예제 1.12의 일치 수 $N=\sum\mathbf 1_{A_i}$은 독립이 아니어서 정리 2.8을 쓸 수 없다. 대신 증명의 첫 줄로 돌아가 교차항을 직접 계산한다. $i\ne j$이면 $P(A_iA_j)=\tfrac{(n-2)!}{n!}=\tfrac1{n(n-1)}$이므로 $E\,N(N-1)=\sum_{i\ne j}P(A_iA_j)=1$이고, $n\ge2$이면

$$\Var N=E\,N(N-1)+EN-(EN)^2=1+1-1=1 .$$

평균도 1, 분산도 1이다. 1회 연습 4.7에서 $N$의 분포가 평균 1인 Poisson 분포에 다가간다는 것을 보았다. 4회에서 Poisson 분포의 평균과 분산이 같다는 것을 증명한다.

2.4 적률

정의 2.10 (적률 · 왜도 · 첨도) $E|X|^k<\infty$일 때 $EX^k$를 $X$의 $k$차 적률, $E(X-\mu)^k$를 $k$차 중심적률이라 한다. 분산이 $\sigma^2>0$이면

$$\gamma_1=\frac{E(X-\mu)^3}{\sigma^3}\ \ (\text{왜도}),\qquad \gamma_2=\frac{E(X-\mu)^4}{\sigma^4}-3\ \ (\text{초과첨도})$$

로 정의한다.

$k$차 적률이 있으면 그보다 낮은 차수의 적률도 모두 있다. $j<k$이면 $|x|^j\le1+|x|^k$이기 때문이다. 왜도와 첨도는 $aX+b$ ($a>0$)로 바꿔도 변하지 않는 모양의 수다. 왜도는 오른쪽 꼬리가 길면 양수다. 초과첨도의 $-3$은 5회의 정규분포에서 0이 되도록 맞춘 것이다. 지수분포는 $\gamma_1=2$, $\gamma_2=6$이고, 균등분포는 $\gamma_1=0$, $\gamma_2=-\tfrac65$이다(연습 2.7).

역사 동물학자 W. F. R. Weldon은 1894년 주사위 12개를 한꺼번에 굴려 5나 6이 나온 주사위의 수를 세는 일을 26,306번 되풀이하고, 그 기록을 Galton과 Karl Pearson에게 보냈다. Pearson은 1900년 이 자료로 $\chi^2$ 적합도 검정을 처음 보였다(8회).

예제 2.11 (Weldon의 주사위 (1894)) 공평한 주사위라면 한 번 굴릴 때 5·6이 나온 수 $K$는 $\mathrm b(12,\tfrac13)$이므로 $EK=4$, $\Var K=12\cdot\tfrac13\cdot\tfrac23=\tfrac83\approx2.667$이다. Weldon의 기록에서 계산한 평균과 분산은 다음과 같다(자료는 vcd::WeldonDice, 10개 이상은 10으로 묶여 있다).

$$\bar k=\frac1{26306}\sum_jk_jn_j=4.0522,\qquad \frac1{26306}\sum_j(k_j-\bar k)^2n_j=2.696 .$$

평균이 4보다 $0.052$ 크다. 이 차이가 우연인지는 평균의 흩어짐에 달려 있다. 굴림들이 독립이면 정리 2.8으로 $\bar K$의 표준편차는 $\sqrt{(8/3)/26306}\approx0.0101$이므로, 차이는 표준편차의 5배다. 5절의 Chebyshev 부등식이 이것을 확률의 말로 바꾼다(예제 5.5).

연습문제

연습 2.1 (두 주사위의 합 ★) 두 주사위 눈의 합 $S$의 평균과 분산을 (a) pmf로 직접, (b) 정리 2.8으로 구하라.

풀이

(a) $P(S=s)=\tfrac{6-|s-7|}{36}$ ($s=2,\dots,12$)에서 $ES=7$, $ES^2=\tfrac{1974}{36}$, $\Var S=\tfrac{1974}{36}-49=\tfrac{35}6\approx5.83$. (b) 두 눈이 독립이므로 $\Var S=2\cdot\tfrac{35}{12}=\tfrac{35}6$.

연습 2.2 (중앙값은 절대오차를 최소로 한다 ★★) $X$가 연속이고 $E|X|<\infty$이며 중앙값 $m$($F(m)=\tfrac12$)이 있다. $c>m$일 때 $E|X-c|-E|X-m|=\int_m^c\bigl(2F(x)-1\bigr)dx\ge0$임을 보이고, $E|X-c|$가 $c=m$에서 가장 작음을 결론지어라. (힌트: $|x-c|-|x-m|$을 $x\le m$, $m<x<c$, $x\ge c$로 나눈다.)

풀이

$m<c$이면 $t\in(m,c)$에 대해 $\tfrac{d}{dt}|x-t|=\operatorname{sgn}(t-x)$ ($t\ne x$)이므로 $|x-c|-|x-m|=\int_m^c\operatorname{sgn}(t-x)\,dt$이다. 기댓값을 취하고 (유계인 함수의 유한 구간 적분이므로) 순서를 바꾸면, $X$가 연속이어서 $E\operatorname{sgn}(t-X)=P(X<t)-P(X>t)=2F(t)-1$이므로

$$E|X-c|-E|X-m|=\int_m^c\bigl(2F(t)-1\bigr)dt\ \ge\ 0,$$

$t\ge m$이면 $F(t)\ge F(m)=\tfrac12$이기 때문이다. $c<m$도 같다. 따라서 $E|X-c|$는 $c=m$에서 가장 작다.

연습 2.3 (기하분포의 분산 ★★) 기하분포에서 $\Var X=\tfrac q{p^2}$임을 보여라(연습 1.6을 써도 좋다). 6이 나올 때까지 던지는 횟수의 표준편차는?

풀이

연습 1.6로 $EX^2=\tfrac{2-p}{p^2}$이므로 $\Var X=\tfrac{2-p}{p^2}-\tfrac1{p^2}=\tfrac{1-p}{p^2}=\tfrac q{p^2}$. $p=\tfrac16$이면 $\Var X=30$, 표준편차 $\sqrt{30}\approx5.48$번. 평균 6번에 표준편차 5.5번이니 기다리는 시간은 크게 흔들린다.

연습 2.4 (포커의 에이스 ★★) 52장에서 5장을 뽑을 때 에이스의 수 $K$의 평균과 분산을 지시변수로 구하라. 이항분포 $\mathrm b(5,\tfrac1{13})$의 분산과 비교하고, 왜 더 작은지 설명하라.

풀이

$K=\sum_{i=1}^5\mathbf 1_i$, $\mathbf 1_i=\{i$번째 카드가 에이스$\}$, $P=\tfrac4{52}=\tfrac1{13}$이므로 $EK=\tfrac5{13}\approx0.385$. $i\ne j$이면 $P(\text{둘 다 에이스})=\tfrac{4\cdot3}{52\cdot51}$이고 순서쌍 $(i,j)$가 20개이므로 $E\,K(K-1)=20\cdot\tfrac{12}{2652}\approx0.0905$. 따라서

$$\Var K=0.0905+0.3846-0.3846^2\approx0.327 .$$

$\mathrm b(5,\tfrac1{13})$의 분산은 $5\cdot\tfrac1{13}\cdot\tfrac{12}{13}\approx0.355$로 더 크다. 되돌려 넣지 않으므로 에이스 하나가 나오면 다음 에이스가 나올 확률이 줄어든다($\tfrac{12}{2652}<\tfrac1{169}$). 교차항이 음수가 되어 분산이 줄어든다.

연습 2.5 (쌍별 독립이면 충분하다 ★★) 1회 예제 5.10의 Bernstein 정사면체에서 $R,G,B$를 각 색이 바닥에 있는 사건의 지시변수라 하자. 셋은 쌍별 독립이지만 상호 독립이 아니다. $\Var(R+G+B)$를 직접 계산해 $\Var R+\Var G+\Var B$와 같음을 확인하라.

풀이

각 지시변수는 $P=\tfrac12$이므로 분산 $\tfrac14$이고 합은 $\tfrac34$. 직접 계산: 면 R, G, B에서 $R+G+B=1$, 면 RGB에서 3이므로 $R+G+B$는 확률 $\tfrac34$로 1, $\tfrac14$로 3이다. 평균 $\tfrac32$, $E(\cdot)^2=\tfrac34+\tfrac94=3$, 분산 $3-\tfrac94=\tfrac34$. 같다.

연습 2.6 (독립의 정의에서 일부만 ★) 정의 2.6가 성립하면 $P(X_1=x_1,\allowbreak X_2=x_2)=P(X_1=x_1)P(X_2=x_2)$임을 보여라. (힌트: $x_3,\dots,x_n$의 모든 값에 대해 더한다.)

풀이

$(x_3,\dots,x_n)$의 모든 값에 걸친 사건 $\{X_1=x_1,\allowbreak X_2=x_2,\allowbreak X_3=x_3,\allowbreak \dots,\allowbreak X_n=x_n\}$들은 서로소이고 합집합이 $\{X_1=x_1,X_2=x_2\}$이므로 (P3)으로 좌변의 합은 $P(X_1=x_1,X_2=x_2)$이다. 우변의 합은 $P(X_1=x_1)P(X_2=x_2)\prod_{i\ge3}\sum_{x_i}P(X_i=x_i)=P(X_1=x_1)P(X_2=x_2)$.

연습 2.7 (모양의 수 ★) $\mathrm U(0,1)$의 왜도와 초과첨도가 $0$, $-\tfrac65$임을 보이고, $\mathrm{Exp}(1)$에서 $EX^k=k!$를 써서 $\gamma_1=2$, $\gamma_2=6$을 확인하라. Bernoulli($p$)의 왜도는 $\tfrac{1-2p}{\sqrt{pq}}$임을 보여라.

풀이

$\mathrm U(0,1)$: 대칭이므로 3차 중심적률은 0. $E(U-\tfrac12)^4=\int_{-1/2}^{1/2}x^4dx=\tfrac1{80}$, $\sigma^4=\tfrac1{144}$이므로 $\gamma_2=\tfrac{144}{80}-3=-\tfrac65$. $\mathrm{Exp}(1)$: $\mu=\sigma=1$. $E(X-1)^3=EX^3-3EX^2+3EX-1=6-6+3-1=2$, $E(X-1)^4=24-24+12-4+1=9$이므로 $\gamma_1=2$, $\gamma_2=6$. Bernoulli: $E(X-p)^3=pq^3-qp^3=pq(q-p)$이므로 $\gamma_1=\tfrac{pq(q-p)}{(pq)^{3/2}}=\tfrac{1-2p}{\sqrt{pq}}$.

연습 2.8 (두 독립 복사본 ★★) $X$와 $X'$이 독립이고 분포가 같은 이산 확률변수이면 $\Var X=\tfrac12E(X-X')^2$임을 보여라. 분산은 “무작위로 뽑은 두 값의 차이”로도 정의할 수 있다.

풀이

$E(X-X')^2=EX^2-2E(XX')+EX'^2=2EX^2-2(EX)^2=2\Var X$. 둘째 등호에서 독립이므로 $E(XX')=EX\cdot EX'$(정리 2.7)이고 분포가 같다.

연습 2.9 (Weldon의 분산 ★) Weldon의 자료에서 주사위 하나가 5·6을 낼 확률을 $\hat p=\bar k/12$로 추정하면 이항분포의 분산 $12\hat p(1-\hat p)$은 얼마인가? 관측한 분산 2.696과 비교하라.

풀이

$\hat p=4.0522/12=0.3377$이므로 $12\hat p(1-\hat p)=2.684$. 관측한 분산 2.696과 매우 가깝다. 공평하지 않을 뿐, 주사위마다 5·6이 나올 확률이 약 $0.338$인 이항 모형은 자료의 흩어짐을 잘 설명한다.

연습 2.10 (분산의 계산: 증명 ★ 유도형) $EX^2<\infty$, $\mu=EX$이다. 정리 2.2를 다음 순서로 증명하라.

1. (a)

   $(X-c)^2=(X-\mu)^2+2(\mu-c)(X-\mu)+(\mu-c)^2$을 확인하고, 세 항의 기댓값이 모두 존재함을 보여라.

2. (b)

   선형성(정리 1.10)으로 가운데 항의 기댓값이 0임을 보이고 (c)를 얻어라.

3. (c)

   (c)에 $c=0$을 넣어 (a)를 얻어라.

4. (d)

   $aX+b$의 평균이 $a\mu+b$임을 쓰고 (b)를 얻어라.

풀이

(a) 전개는 $a=X-\mu$, $b=\mu-c$에 대한 $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$이다. $E(X-\mu)^2=\Var X<\infty$, $E|X-\mu|\le E|X|+|\mu|<\infty$, 상수의 기댓값은 그 상수이므로 세 항의 기댓값이 모두 존재한다. (b) 선형성(정리 1.10(a))으로 $E(X-c)^2=E(X-\mu)^2+2(\mu-c)E(X-\mu)+(\mu-c)^2$이고, $E(X-\mu)=EX-\mu=0$이므로 $E(X-c)^2=\Var X+(\mu-c)^2$이다. 오른쪽 둘째 항이 $c=\mu$에서만 0이므로 $c=\mu$에서 가장 작다. (c) $c=0$이면 $EX^2=\Var X+\mu^2$이다. (d) 선형성으로 $E(aX+b)=a\mu+b$이므로 $\Var(aX+b)=E\bigl(aX+b-(a\mu+b)\bigr)^2=E\,a^2(X-\mu)^2=a^2\Var X$이다. 제곱근을 취하면 $\sigma_{aX+b}=|a|\sigma_X$이다.

연습 2.11 (이항분포의 평균과 분산: 증명 ★★ 유도형) 정리 2.4을 다음 순서로 증명하라.

1. (a)

   이항정리로 $\sum_kP(K=k)=1$을 확인하라.

2. (b)

   $k\ge1$이면 $k\binom nk=n\binom{n-1}{k-1}$임을 계승으로 보여라.

3. (c)

   (b)를 $EK$의 합에 넣고 첨자를 $j=k-1$로 바꿔 $EK=np(p+q)^{n-1}=np$를 얻어라.

4. (d)

   같은 방법으로 $k(k-1)\binom nk=n(n-1)\binom{n-2}{k-2}$와 $E\,K(K-1)=n(n-1)p^2$을 보여라.

5. (e)

   $\Var K=E\,K(K-1)+EK-(EK)^2$을 쓰고 $npq$를 얻어라. 왜 $EK^2$ 대신 $E\,K(K-1)$을 먼저 구하는가?

풀이

(a) 이항정리(1회 정리 1.6)로 $\sum_k\tbinom nkp^kq^{n-k}=(p+q)^n=1$이다. (b) $k\binom nk=k\cdot\frac{n!}{k!\,(n-k)!}=\frac{n!}{(k-1)!\,(n-k)!}=n\cdot\frac{(n-1)!}{(k-1)!\,\bigl((n-1)-(k-1)\bigr)!}=n\binom{n-1}{k-1}$. (c) $k=0$인 항은 0이므로

$$EK=\sum_{k=1}^nn\binom{n-1}{k-1}p^kq^{n-k}=np\sum_{j=0}^{n-1}\binom{n-1}{j}p^jq^{n-1-j}=np\,(p+q)^{n-1}=np .$$

(d) (b)를 두 번 쓰면 $k(k-1)\tbinom nk=n(k-1)\tbinom{n-1}{k-1}=n(n-1)\tbinom{n-2}{k-2}$이고, 같은 계산으로 $E\,K(K-1)=n(n-1)p^2(p+q)^{n-2}=n(n-1)p^2$이다. (e) $K^2=K(K-1)+K$이므로 $\Var K=E\,K(K-1)+EK-(EK)^2=n(n-1)p^2+np-n^2p^2=np(1-p)$이다. $k^2\tbinom nk$는 $\tbinom{n-2}{k-2}$ 하나로 줄지 않지만 $k(k-1)\tbinom nk$는 줄기 때문에 $E\,K(K-1)$을 먼저 구한다.

연습 2.12 (곱의 기댓값: 증명 ★★ 유도형) 정리 2.7를 다음 순서로 증명하라.

1. (a)

   $(X,Y)$를 값 $(x,y)$를 갖는 이산 확률변수로 보고 정리 1.9(a)를 $g(x,y)=xy$에 써라. 어떤 합이 유한해야 하는가?

2. (b)

   독립(정의 2.6)과 음이 아닌 이중급수의 순서 바꾸기로 $\sum_{x,y}|xy|P(X=x,\allowbreak Y=y)=E|X|\,E|Y|$를 보여라.

3. (c)

   같은 계산을 절댓값 없이 해서 $E(XY)=EX\cdot EY$를 얻어라. 절댓값 없는 이중급수의 순서를 바꿀 수 있는 근거는 무엇인가?

풀이

(a) $(X,Y)$는 셀 수 있는 값 $(x,y)$들을 갖는 이산 확률변수이고, 정리 1.9(a)를 $g(x,y)=xy$에 쓰면 $\sum_{x,y}|xy|P(X=x,\allowbreak Y=y)<\infty$일 때 $E(XY)=\sum_{x,y}xy\,P(X=x,\allowbreak Y=y)$이다. (b) 독립이므로 $P(X=x,Y=y)=P(X=x)P(Y=y)$이고, 음이 아닌 이중급수는 $x$에 대해 먼저 더해도 되므로

$$\sum_{x,y}|x||y|P(X=x)P(Y=y)=\sum_x|x|P(X=x)\sum_y|y|P(Y=y)=E|X|\,E|Y|<\infty .$$

(c) (b)로 이중급수가 절대수렴하므로 보조정리 0.1로 어떤 순서로 더해도 같다. $x$에 대해 먼저 더하면 $\sum_{x,y}xy\,P(X=x)P(Y=y)=EX\cdot EY$이다.

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