2회 · 기댓값·부등식·대수의 법칙 · 워크북

A. 계산 드릴

정의와 공식을 손으로 돌린다. 답이 수나 식으로 떨어지므로 다 풀면 뒤의 최종답이나 노트북의 check()로 맞춰 본다. 계산기는 마지막 수치에만 쓴다.

A1 이산 확률변수의 평균과 분산 ★

정의 1.1, 정리 2.2 · 8분

$P(X=-1)=0.2$, $P(X=0)=0.3$, $P(X=2)=0.5$이다. (a) $EX$, (b) $\Var X$를 정의 $E(X-\mu)^2$으로 직접 구하고 $EX^2-\mu^2$으로도 구하라. (c) $E(3X-1)$, (d) $\Var(3X-1)$을 구하라.

힌트

(c)(d)는 다시 계산하지 말고 정리 2.2(b)와 선형성을 쓴다.

풀이

(a) $EX=-0.2+0+1=0.8$. (b) 정의로 $(-1.8)^2\cdot0.2+(-0.8)^2\cdot0.3+1.2^2\cdot0.5=0.648+0.192+0.72=1.56$이다. $EX^2=0.2+0+2=2.2$이므로 $EX^2-\mu^2=2.2-0.64=1.56$으로 같다. (c) 선형성으로 $3\cdot0.8-1=1.4$. (d) 정리 2.2(b)로 $9\cdot1.56=14.04$. 상수 $-1$은 분산을 바꾸지 않는다.

최종답 (a) $0.8$ (b) $1.56$ (c) $1.4$ (d) $14.04$

A2 밀도에서 적률 ★

정의 1.5, 정리 1.9 · 8분

$X$의 밀도가 $f(x)=3x^2$ ($0<x<1$)이다. (a) $EX$, (b) $\Var X$, (c) $E\tfrac1X$를 구하라. (c)를 $\tfrac1{EX}$와 비교하라.

힌트

(c)는 정리 1.9(b)로 $\int_0^1\tfrac1x\cdot3x^2\,dx$이다. 비교는 Jensen의 따름정리 5.10(b)와 맞아야 한다.

풀이

(a) $EX=\int_0^13x^3dx=\tfrac34$. (b) $EX^2=\int_0^13x^4dx=\tfrac35$이므로 $\Var X=\tfrac35-\tfrac9{16}=\tfrac3{80}$. (c) $E\tfrac1X=\int_0^13x\,dx=\tfrac32$. $\tfrac1{EX}=\tfrac43<\tfrac32$이므로 따름정리 5.10(b)의 $E\tfrac1X\ge\tfrac1{EX}$와 맞는다.

최종답 (a) $\tfrac34$ (b) $\tfrac3{80}$ (c) $\tfrac32$

A3 두 주사위의 최댓값 ★

정리 1.13(a) · 8분

공정한 주사위 두 개를 독립으로 던진 눈의 최댓값을 $M$이라 하자. 꼬리 공식으로 $EM$을 구하라.

힌트

$P(M\ge k)=1-P(M\le k-1)$이고, $\{M\le j\}$는 두 눈이 모두 $j$ 이하인 사건이다.

풀이

$P(M\le j)=(j/6)^2$이므로 $P(M\ge k)=1-\bigl(\tfrac{k-1}6\bigr)^2$ ($k=1,\dots,6$)이다. 꼬리 공식으로

$$EM=\sum_{k=1}^6\Bigl[1-\Bigl(\frac{k-1}6\Bigr)^2\Bigr]=6-\frac{0+1+4+9+16+25}{36}=6-\frac{55}{36}=\frac{161}{36}\approx4.47 .$$

한 개를 던질 때의 평균 3.5보다 크다.

최종답 $\tfrac{161}{36}\approx4.47$

A4 이웃한 두 에이스 ★

정리 1.11 · 8분

52장을 잘 섞어 한 줄로 늘어놓는다. 이웃한 두 자리 $(i,i+1)$ ($i=1,\dots,51$) 가운데 두 장이 모두 에이스인 자리의 수의 기댓값을 구하라.

힌트

자리마다 지시변수를 두고 선형성을 쓴다. 지시변수들이 독립이 아니어도 된다.

풀이

$I_i$를 자리 $i$와 $i+1$이 모두 에이스인 사건의 지시변수라 하면 구하는 수는 $\sum_{i=1}^{51}I_i$이다. 두 특정한 자리에 놓이는 카드의 순서쌍은 $52\cdot51$가지가 같은 확률이고, 그 가운데 둘 다 에이스인 것은 $4\cdot3$가지이므로 $EI_i=\tfrac{12}{52\cdot51}$이다. 선형성(정리 1.11)으로 $51\cdot\tfrac{12}{52\cdot51}=\tfrac{12}{52}=\tfrac3{13}\approx0.23$이다.

최종답 $\tfrac3{13}$

A5 나오지 않은 눈의 수 ★★

정리 1.11, 예제 2.9 · 12분

공정한 주사위를 10번 던져 한 번도 나오지 않은 눈의 수를 $N$이라 하자. (a) $EN$, (b) $\Var N$을 구하라.

힌트

$N=\sum_{j=1}^6\mathbf 1_{B_j}$, $B_j=\{$눈 $j$가 한 번도 안 나온다$\}$. 예제 2.9의 Montmort처럼 $E\,N(N-1)=\sum_{j\ne k}P(B_jB_k)$를 쓴다.

풀이

(a) $P(B_j)=(5/6)^{10}$이므로 $EN=6(5/6)^{10}\approx0.969$이다. (b) $j\ne k$이면 $B_jB_k$는 열 번 모두 나머지 네 눈만 나오는 사건이므로 $P(B_jB_k)=(4/6)^{10}$이고, 순서쌍 $(j,k)$는 30개이다. $E\,N(N-1)=30(2/3)^{10}$이므로

$$\Var N=E\,N(N-1)+EN-(EN)^2=30\Bigl(\frac23\Bigr)^{10}+6\Bigl(\frac56\Bigr)^{10}-36\Bigl(\frac56\Bigr)^{20}\approx0.550 .$$

$B_j$들은 독립이 아니므로 정리 2.8을 쓸 수 없다. 교차항 $P(B_jB_k)-P(B_j)P(B_k)=(2/3)^{10}-(5/6)^{20}<0$이 분산을 독립인 경우보다 줄인다.

최종답 (a) $6(5/6)^{10}\approx0.969$ (b) $\approx0.550$

A6 이항분포의 적률 ★

정리 2.4 · 6분

$K\sim\mathrm b(20,0.3)$이다. (a) $EK$, (b) $\Var K$, (c) $E\,K(K-1)$, (d) $EK^2$을 구하라.

힌트

(c)는 $n(n-1)p^2$이고, (d)는 $K^2=K(K-1)+K$이다.

풀이

(a) $np=6$. (b) $npq=4.2$. (c) $n(n-1)p^2=20\cdot19\cdot0.09=34.2$. (d) $EK^2=E\,K(K-1)+EK=40.2$이고, $\Var K+(EK)^2=4.2+36$과 같다.

최종답 (a) $6$ (b) $4.2$ (c) $34.2$ (d) $40.2$

A7 mgf로 분포 알아보기 ★

정리 3.3, 3.6 · 8분

$X$의 mgf가 $M(t)=\bigl(\tfrac13+\tfrac23e^t\bigr)^5$이다. (a) $X$의 분포와 그 근거를 말하라. (b) $EX$, (c) $\Var X$, (d) $P(X=5)$를 구하라.

힌트

예제 3.2의 이항분포 mgf와 맞춰 본다. (d)는 $M(t)$를 $e^t$의 다항식으로 전개했을 때 $e^{5t}$의 계수다.

풀이

(a) 예제 3.2로 $\mathrm b(5,\tfrac23)$의 mgf와 같고, 모든 $t$에서 존재하므로 3.3절 상자의 유일성으로 $X\sim\mathrm b(5,\tfrac23)$이다. (b) $np=\tfrac{10}3$. (c) $npq=\tfrac{10}9$. (d) $M(t)=\sum_kP(X=k)e^{tk}$에서 $e^{5t}$의 계수는 $(\tfrac23)^5=\tfrac{32}{243}\approx0.132$이다.

최종답 (b) $\tfrac{10}3$ (c) $\tfrac{10}9$ (d) $\tfrac{32}{243}$

A8 mgf의 미분 ★

정리 3.3, 따름정리 3.4 · 8분

$X$의 mgf가 $M(t)=(1-2t)^{-3}$ ($t<\tfrac12$)이다. (a) $EX$, (b) $\Var X$, (c) $EX^3$을 구하라. (b)는 로그 mgf로 구하라.

힌트

$\psi(t)=-3\log(1-2t)$이면 $\psi'(t)=\tfrac6{1-2t}$이다.

풀이

(a) $M'(t)=6(1-2t)^{-4}$이므로 $EX=M'(0)=6$. (b) $\psi'(t)=\tfrac6{1-2t}$, $\psi''(t)=\tfrac{12}{(1-2t)^2}$이므로 $\Var X=\psi''(0)=12$. (c) $M''(t)=48(1-2t)^{-5}$, $M'''(t)=480(1-2t)^{-6}$이므로 $EX^3=480$이다. 확인: $EX^2=M''(0)=48=12+36$.

최종답 (a) $6$ (b) $12$ (c) $480$

A9 지수분포의 변환 ★★

정리 4.3, 정리 1.9 · 10분

$X\sim\mathrm{Exp}(2)$, $Y=e^{-X}$이다. (a) 정리 4.3으로 $Y$의 밀도를 구하라. (b) $EY$를 (a)의 밀도로 구하고, 정리 1.9(b)로도 구하라.

힌트

$g(x)=e^{-x}$는 $(0,\infty)$에서 감소하고 $T=(0,1)$, $h(y)=-\log y$이다.

풀이

(a) $h(y)=-\log y$, $|h'(y)|=\tfrac1y$이므로 $f_Y(y)=2e^{-2(-\log y)}\cdot\tfrac1y=2y^2\cdot\tfrac1y=2y$ ($0<y<1$). 분포함수 방법으로 확인하면 $F_Y(y)=P(X\ge-\log y)=e^{2\log y}=y^2$이다. (b) $EY=\int_0^12y^2dy=\tfrac23$. 정리 1.9(b)로는 $E\,e^{-X}=\int_0^\infty e^{-x}\cdot2e^{-2x}dx=\tfrac23$이다.

최종답 (a) $f_Y(y)=2y\ (0<y<1)$ (b) $\tfrac23$

A10 분위수 함수 ★★

보조정리 4.6, 정리 4.7, 1.13(b) · 10분

$F(x)=1-(1+x)^{-2}$ ($x\ge0$), $x<0$에서 0인 분포함수가 있다. (a) $0<u<1$에서 $F^-(u)$를 구하라. (b) 중앙값을 구하라. (c) 꼬리 공식으로 $EX$를 구하라.

힌트

$F$가 $[0,\infty)$에서 연속이고 순증가이므로 $F^-=F^{-1}$이다.

풀이

(a) $1-(1+x)^{-2}=u$를 풀면 $x=(1-u)^{-1/2}-1$이다. (b) $u=\tfrac12$이면 $\sqrt2-1\approx0.414$. (c) $P(X>x)=(1+x)^{-2}$이므로 $EX=\int_0^\infty(1+x)^{-2}dx=1$이다. 역변환 표집(정리 4.7(a))으로는 $X=(1-U)^{-1/2}-1$이다.

최종답 (a) $(1-u)^{-1/2}-1$ (b) $\sqrt2-1$ (c) $1$

A11 두 한계 ★

정리 5.1, 5.3 · 6분

$X\ge0$, $EX=2$, $\Var X=1$이다. $P(X\ge10)$의 상한을 (a) Markov 부등식으로, (b) Chebyshev 부등식으로 구하라.

힌트

(b)는 $\{X\ge10\}\subset\{|X-2|\ge8\}$이다.

풀이

(a) $P(X\ge10)\le\tfrac{2}{10}=\tfrac15$. (b) $\{X\ge10\}\subset\{|X-2|\ge8\}$이므로 $P(X\ge10)\le\tfrac1{8^2}=\tfrac1{64}$. 분산의 정보가 한계를 13배 가까이 줄였다.

최종답 (a) $\tfrac15$ (b) $\tfrac1{64}$

A12 로그의 평균 ★

정리 5.9 · 8분

$X\sim\mathrm U(1,3)$이다. $E\log X$를 구하고 $\log EX$와 비교하라.

힌트

$\int\log x\,dx=x\log x-x$이다.

풀이

$E\log X=\tfrac12\int_1^3\log x\,dx=\tfrac12\bigl[x\log x-x\bigr]_1^3=\tfrac12(3\log3-2)\approx0.648$이다. $\log EX=\log2\approx0.693$이므로 $E\log X<\log EX$이고, $\log$가 오목이라는 Jensen 부등식과 맞는다.

최종답 $\tfrac12(3\log3-2)\approx0.648$

A13 불량률 조사의 표본 크기 ★★

정리 6.2, 8.2 · 10분

불량률 $p$를 $\hat p_n$으로 추정해 $P(|\hat p_n-p|\ge0.01)\le0.05$를 보장하고 싶다. 필요한 $n$을 (a) $pq\le\tfrac14$을 쓴 Chebyshev 한계(정리 6.2)로, (b) $p\le0.1$임을 미리 알 때의 Chebyshev 한계로, (c) Hoeffding 부등식(정리 8.2)으로 구하라.

힌트

(b) $p\le0.1<\tfrac12$이면 $pq=p(1-p)\le0.1\cdot0.9$이다. (c) $2e^{-2n\varepsilon^2}\le0.05$를 $n$에 대해 푼다.

풀이

(a) $\tfrac1{4n(0.01)^2}\le0.05$에서 $n\ge\tfrac1{4\cdot0.0001\cdot0.05}=50{,}000$. (b) $p(1-p)$는 $p\le\tfrac12$에서 증가하므로 $pq\le0.09$이고 $\tfrac{0.09}{n\cdot0.0001}\le0.05$에서 $n\ge18{,}000$. (c) $n\ge\tfrac{\log40}{2\cdot0.0001}=18{,}444.4$이므로 $n\ge18{,}445$. Hoeffding은 분산의 정보를 쓰지 않으므로, $p$가 작다는 것을 아는 경우에는 Chebyshev가 Hoeffding보다 작은 $n$을 줄 수 있다.

최종답 (a) $50{,}000$ (b) $18{,}000$ (c) $18{,}445$

A14 연속형 꼬리 공식 ★

정리 1.13(b) · 8분

$X\ge0$이고 $P(X>x)=(1+x)^{-3}$ ($x\ge0$)이다. (a) $EX$, (b) 중앙값을 구하라.

힌트

(a)는 밀도를 구하지 않고 꼬리를 바로 적분한다.

풀이

(a) $EX=\int_0^\infty(1+x)^{-3}dx=\bigl[-\tfrac12(1+x)^{-2}\bigr]_0^\infty=\tfrac12$. (b) $(1+m)^{-3}=\tfrac12$에서 $m=2^{1/3}-1\approx0.260$이다. 오른쪽 꼬리가 길어서 평균이 중앙값보다 크다.

최종답 (a) $\tfrac12$ (b) $2^{1/3}-1\approx0.260$

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