1회 · 확률이란 무엇인가 · 노트

7 부숴보기 — 공리의 가정을 빼면

공리의 조건 하나하나는 장식이 아니다. 가산가법성이나 σ-대수를 빼거나, 조건부확률의 조건 $P(B)>0$을 무시하면 무엇이 무너지는지 본다.

7.1 자연수 위에는 “균등한” 확률이 없다

“자연수 하나를 무작위로 고른다”는 말은 흔히 쓰인다. 짝수일 확률은 $\tfrac12$이라고 말하고 싶다. 그러나 모든 자연수가 같은 확률을 갖는 확률은 존재하지 않는다.

정리 7.1 (자연수 위의 균등 확률은 없다) $\Omega=\NN=\{1,2,3,\dots\}$ 위에 모든 $n$에서 $P(\{n\})=c$인 확률 $P$는 없다.

증명 전략 그런 $P$가 있다고 가정하고 가산가법성에서 모순을 끌어낸다 [T2].

1. 모든 $n$에서 $P(\{n\})=c$인 확률 $P$가 있다고 하자.귀류 가정

2. $\NN=\bigcup_{n=1}^\infty\{n\}$이고 한 점 집합 $\{n\}$들은 쌍마다 서로소다.[T1]

3. $1=P(\NN)=\sum_{n=1}^\infty P(\{n\})=\sum_{n=1}^\infty c$이다.(P2), (P3)

4. $c=0$이면 오른쪽은 0이다. $c>0$이면 부분합 $Nc$가 $N\to\infty$에서 무한대로 가므로 급수는 발산한다.급수의 정의 [T5]

5. 어느 경우에도 3이 성립하지 않으므로 1의 가정은 틀렸다.모순

가정 주의 가산가법성을 유한가법성으로 약하게 하면 “균등한” 값을 줄 수는 있다. 예를 들어 자연 밀도 $d(A)=\lim_{n\to\infty}|A\cap\{1,\allowbreak \dots,\allowbreak n\}|/n$은 짝수에 $\tfrac12$, 3의 배수에 $\tfrac13$을 준다. 그러나 $d$는 극한이 없는 집합에는 정의되지 않고, 한 점의 밀도는 0인데 그 가산 합집합인 $\NN$의 밀도는 1이므로 가산가법성을 어긴다(연습 7.2). 그러면 연속성(정리 4.7)도 무너지고, 분포함수의 성질(정리 6.3)도 증명할 수 없다.

7.2 모든 부분집합에 확률을 줄 수는 없다 (Vitali, 1905)

원 위의 “고른” 점에는 원둘레의 모든 부분집합에 확률을 주고 싶다. 원을 $[0,1)$로 펴고 끝을 이어 붙여(덧셈은 1을 법으로 한다) 생각하자. “고르다”의 최소한의 요구는 회전해도 확률이 같다는 것이다.

정리 7.2 (Vitali의 집합) $[0,1)$의 모든 부분집합에 정의되고 회전에 불변인($P(A+t\bmod1)=P(A)$) 확률 $P$는 없다.

증명 

1단계: 묶기. $x-y$가 유리수이면 $x\sim y$로 두면 이것은 동치관계이고, $[0,1)$은 서로소인 동치류로 나뉜다. 선택공리로 각 동치류에서 대표를 하나씩 골라 그 집합을 $V$라 한다.

2단계: 회전한 복사본. 유리수 $q\in\Q\cap[0,1)$마다 $V_q=V+q\bmod1$로 둔다. 이 $V_q$들은 쌍마다 서로소다. $x\in V_q\cap V_{q'}$이면 $x=v+q=v'+q'\pmod1$인 대표 $v,v'$가 있어 $v-v'$가 유리수이고, 같은 동치류의 대표는 하나뿐이므로 $v=v'$, 따라서 $q=q'$이다. 또 모든 $x\in[0,1)$은 어떤 대표 $v$와 유리수만큼 차이 나므로 어떤 $V_q$에 속한다. 즉 $\{V_q\}$는 $[0,1)$의 셀 수 있는 분할이다.

3단계: 모순. 회전 불변성으로 모든 $q$에서 $P(V_q)=P(V)$이다. 가산가법성으로 $1=\sum_qP(V_q)=\sum_qP(V)$이고, 이 합은 $P(V)=0$이면 0, $P(V)>0$이면 무한대다.

그래서 원이나 구간 위에서는 사건을 모든 부분집합이 아니라 구간에서 출발해 만든 σ-대수(Borel 집합)로 제한한다. 정의 4.1에서 사건의 모임 $\cF$를 따로 둔 이유가 이것이다. Vitali의 $V$처럼 확률을 줄 수 없는 집합은 선택공리 없이는 만들 수 없을 만큼 기이해서, 통계에서 실제로 다루는 사건은 모두 Borel 집합이다.

7.3 확률 0인 사건에 조건을 걸면

정의 5.1는 $P(B)>0$을 요구한다. 그런데 연속 확률변수에서는 $P(X=x)=0$이므로(정리 6.7), “$X=x$일 때 $Y$의 확률”을 정의대로는 말할 수 없다. 3회에서 이것을 밀도의 비로 정의하는데, 그 정의는 “$X=x$”에 어떻게 가까이 가느냐에 따라 달라질 수 있다(Borel–Kolmogorov 역설). Bertrand의 역설이 “무작위로”의 모호함이었다면, 이것은 “확률 0인 조건”의 모호함이다.

연습문제

연습 7.1 (정수와 반직선 ★) (a) 정수 $\mathbb Z$ 위에 모든 점의 확률이 같은 확률은 없음을 보여라. (b) $[0,\infty)$ 위에, 길이가 1인 모든 구간 $[n,n+1)$에 같은 확률을 주는 확률은 없음을 보여라.

풀이

(a) $\mathbb Z$는 셀 수 있으므로 정리 7.1의 증명이 그대로 된다. (b) $[n,n+1)$($n=0,1,2,\dots$)은 $[0,\infty)$의 셀 수 있는 분할이다. 모두 같은 확률 $c$라면 $1=\sum_nc$인데, 이는 $c=0$이면 0, $c>0$이면 무한대다.

연습 7.2 (자연 밀도 ★★) 자연 밀도 $d(A)=\lim_n|A\cap\{1,\allowbreak \dots,\allowbreak n\}|/n$에 대해 (a) $d(\text{짝수})=\tfrac12$, $d(\text{3의 배수})=\tfrac13$을 보이고, (b) $d$가 서로소인 두 집합에서는 더해지지만(극한이 있을 때) 가산가법성은 어김을 보여라.

풀이

(a) $\{1,\dots,n\}$의 짝수는 $\lfloor n/2\rfloor$개이므로 비율이 $\tfrac12$로, 3의 배수는 $\lfloor n/3\rfloor$개이므로 $\tfrac13$로 간다. (b) $A,B$가 서로소이면 $|(A\cup B)\cap\{1..n\}|=|A\cap\{1..n\}|+|B\cap\{1..n\}|$이므로 극한이 있으면 더해진다. 그러나 한 점 $\{k\}$의 밀도는 $1/n\to0$이고 $\NN=\bigcup_k\{k\}$의 밀도는 1이므로 $1\ne\sum_k0$이다.

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