1회 · 확률이란 무엇인가 · 노트

2 데이터에서 온 확률

도박장의 확률은 같은 정도로 일어나는 경우를 세서 얻었다. 그러나 사람이 몇 살까지 사는지에는 셀 수 있는 “같은 경우”가 없다. 17세기 후반 사람들은 다른 길을 찾았다. 실제로 일어난 일의 상대도수를 확률로 읽는 것이다. 이 절에서 조건부확률이 처음으로 자연스럽게 나타난다.

2.1 Graunt의 런던 사망표 (1662)

역사 런던의 상인 John Graunt는 1662년 Natural and Political Observations made upon the Bills of Mortality를 냈다. 교구마다 매주 발표하던 세례·장례 기록을 수십 년 치 모아 표로 만들고, 그 안에서 규칙을 찾았다. 그는 해마다 남아가 여아보다 조금 더 많이 태어나 그 비가 대략 $14:13$으로 일정하다는 것을 알아챘다. 같은 기록을 1710년 Arbuthnot이 최초의 유의성 검정에 쓴다(8회).

Graunt의 방법은 오늘날의 말로 상대도수 해석이다. 사건 $A$를 같은 조건에서 여러 번 관찰할 수 있다면, $A$가 일어난 횟수의 비율이 시행을 거듭할수록 일정한 값에 가까워지고, 그 값을 $A$의 확률로 본다. 이 해석이 수학적으로 정당하다는 것, 곧 상대도수가 실제로 확률에 가까워진다는 것은 2회의 대수의 법칙이 증명한다.

2.2 Halley의 Breslau 생명표 (1693)

역사 혜성으로 유명한 천문학자 Edmond Halley는 1693년 왕립학회지에 An Estimate of the Degrees of the Mortality of Mankind를 냈다. 런던은 인구가 드나들어 기록이 불완전했으므로, 그는 Caspar Neumann이 보내 온 독일(오늘날 폴란드) Breslau 시의 1687–1691년 출생·사망 기록을 썼다. 1세 아이 1,000명이 해마다 몇 명씩 남는지를 표로 만들고, 그 표로 종신연금의 값을 계산했다. 최초의 과학적 생명표다.

Halley의 표는 나이 $x$마다 생존자 수 $\ell(x)$를 준다($\ell(1)=1000$). 1세 아이를 무작위로 하나 골랐을 때 그 아이가 $x$세까지 살 확률을 상대도수로 읽으면 $\ell(x)/1000$이다.

그림 2.1 Halley(1693)의 생명표. 왼쪽: 1세 1,000명 가운데 각 나이까지의 생존자 수. 오른쪽: 지금 $x$세인 사람이 40세, 60세까지 살 비율.

예제 2.1 (20세인 사람이 40세까지 살 비율) 표에서 $\ell(20)=598$, $\ell(40)=445$, $\ell(60)=242$이다. 20세까지 산 598명 가운데 40세까지 산 사람은 445명이므로, 이미 20세인 사람이 40세까지 살 비율은

$$\frac{\ell(40)}{\ell(20)}=\frac{445}{598}\approx0.744 .$$

이것을 확률의 언어로 고쳐 보자. $A=\{40\text{세까지 산다}\}$, $B=\{20\text{세까지 산다}\}$라 하면 $A\subset B$이고

$$\frac{\ell(40)}{\ell(20)}=\frac{\ell(40)/1000}{\ell(20)/1000}=\frac{P(A\cap B)}{P(B)} .$$

“$B$가 일어났다는 것을 알 때 $A$의 확률”은 “$B$ 안에서 $A$가 차지하는 비율”이다. 이것이 5절의 조건부확률의 정의다.

같은 표에서 $\ell(60)/\ell(20)=242/598\approx0.405$이고 $\ell(60)/\ell(40)=242/445\approx0.544$이다. 그런데

$$\frac{\ell(60)}{\ell(20)}=\frac{\ell(40)}{\ell(20)}\cdot\frac{\ell(60)}{\ell(40)},\qquad 0.405\approx0.744\times0.544 .$$

“60세까지 산다”는 “40세까지 살고, 거기서 다시 60세까지 산다”이므로 조건부 비율이 곱해진다. 5절의 곱셈법칙이 생명표에서는 이렇게 보인다.

연습문제

연습 2.1 (30대에 죽을 비율 ★) Halley의 표에서 $\ell(30)=531$이다. 30세인 사람이 40세가 되기 전에 죽을 비율을 구하라.

풀이

30세 생존자 531명 가운데 40세까지 산 사람은 445명이므로 그 사이에 죽은 비율은 $(531-445)/531\approx0.162$다.

연습 2.2 (생존의 중앙값 ★) 1세 아이 1,000명 가운데 절반 이하만 남는 첫 나이는 34세다($\ell(34)=499$). 이 수가 무엇을 뜻하는지 확률의 말로 설명하라. 이것이 “평균 수명”과 다른 이유는?

풀이

1세 아이가 34세 이후까지 살 비율이 처음으로 절반 아래로 내려간다는 뜻이다. 죽는 나이를 확률변수 $X$로 보면 34세는 그 분포의 (대략의) 중앙값이다. 평균 수명은 죽는 나이를 확률로 가중평균한 값(2회의 기댓값)이라 중앙값과 다르다. 분포가 대칭이 아니면, 예를 들어 노년까지 사는 소수가 있으면 평균은 중앙값과 떨어진다.

연습 2.3 (생명표의 곱셈법칙 ★★) $x<y<z$에 대해 $\tfrac{\ell(z)}{\ell(x)}=\tfrac{\ell(y)}{\ell(x)}\cdot\tfrac{\ell(z)}{\ell(y)}$임을 보이고, 이를 사건 $A_x=\{x\text{세까지 산다}\}$와 $P(A_z\mid A_x)=P(A_y\mid A_x)\,P(A_z\mid A_y)$의 말로 바꿔 써라. $A_z\subset A_y\subset A_x$가 어디에 쓰였는가?

풀이

$\tfrac{\ell(z)}{\ell(x)}=\tfrac{\ell(y)}{\ell(x)}\cdot\tfrac{\ell(z)}{\ell(y)}$는 대수적으로 자명하다. 확률로 읽으면 $P(A_x)=\ell(x)/1000$이고, $A_z\subset A_y\subset A_x$이므로 $A_z\cap A_x=A_z$, $A_y\cap A_x=A_y$, $A_z\cap A_y=A_z$이다. 따라서

$$P(A_z\mid A_x)=\frac{P(A_z)}{P(A_x)},\quad P(A_y\mid A_x)=\frac{P(A_y)}{P(A_x)},\quad P(A_z\mid A_y)=\frac{P(A_z)}{P(A_y)}$$

이고 앞의 식이 곧 $P(A_z\mid A_x)=P(A_y\mid A_x)P(A_z\mid A_y)$이다. 사건이 포함관계로 겹쳐 있다는 것이 교집합을 작은 사건 하나로 바꾸는 데 쓰였다. 일반적인 경우는 곱셈법칙(정리 5.3)이다.

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