1회 · 확률이란 무엇인가 · 워크북

A. 계산 드릴

정의와 공식을 손으로 돌린다. 답이 수나 식으로 떨어지므로 다 풀면 뒤의 최종답이나 노트북의 check()로 맞춰 본다. 계산기는 마지막 나눗셈에만 쓴다.

A1 MISSISSIPPI의 배열 ★

정리 1.1, 1.4 · 6분

MISSISSIPPI의 11글자를 한 줄로 늘어놓는 서로 다른 배열의 수를 구하라. 같은 글자끼리는 구별하지 않는다.

힌트

글자를 늘어놓는 대신 11개의 자리 가운데 각 글자가 들어갈 자리를 차례로 고른다고 생각한다. 곱의 법칙(정리 1.1)과 조합의 수(정리 1.4).

풀이

배열 하나는 M이 들어갈 자리 1개, I가 들어갈 자리 4개, S가 들어갈 자리 4개, P가 들어갈 자리 2개를 정하는 것과 같다. 자리를 차례로 고르면 곱의 법칙으로

$$\binom{11}1\binom{10}4\binom64\binom22=11\cdot210\cdot15\cdot1=34{,}650 .$$

같은 글자를 구별해 $11!$가지로 센 뒤 I끼리, S끼리, P끼리 바꾸는 $4!\,4!\,2!$가지로 나눠도 $39{,}916{,}800/1{,}152=34{,}650$이다.

최종답 $34{,}650$

A2 음이 아닌 정수해의 수 ★

정리 1.4 · 8분

음이 아닌 정수 $x_1,x_2,x_3,x_4$로 $x_1+x_2+x_3+x_4=10$을 만족하는 해 $(x_1,x_2,x_3,x_4)$의 수를 구하라.

힌트

해 하나를 별 10개와 막대 3개를 한 줄로 늘어놓은 것으로 바꿔 본다. 막대가 별을 네 묶음으로 나눈다.

풀이

해 $(x_1,\dots,x_4)$에 별 $x_1$개, 막대, 별 $x_2$개, 막대, 별 $x_3$개, 막대, 별 $x_4$개를 차례로 놓은 길이 13의 줄을 대응시킨다. 거꾸로 별 10개와 막대 3개의 줄이 주어지면 막대 사이의 별의 수가 해를 하나 정한다. 이 대응은 일대일이고 전사이므로 해의 수는 13자리 가운데 막대 3개의 자리를 고르는 방법의 수다.

$$\binom{13}3=286 .$$

최종답 $\tbinom{13}{3}=286$

A3 세 주사위의 합 ★

따름정리 4.10 · 8분

공정한 주사위 세 개를 던진다. 눈의 합이 10 이하일 확률을 구하라. $216$가지를 모두 세지 말고 대칭을 써라.

힌트

$(a,\allowbreak b,\allowbreak c)\mapsto(7-a,\allowbreak \,7-b,\allowbreak \,7-c)$는 216가지 결과를 자기 자신으로 일대일 대응시키고, 합 $s$를 $21-s$로 보낸다.

풀이

$\phi(a,b,c)=(7-a,7-b,7-c)$는 $\{1,\dots,6\}^3$에서 자기 자신으로 가는 일대일 대응이다($\phi\circ\phi$가 항등함수). 합이 $s$인 결과를 합이 $21-s$인 결과로 보내므로, $\{\text{합}\le10\}$을 $\{\text{합}\ge11\}$ 위로 일대일로 보낸다. 두 사건은 서로소이고 합집합이 전체이므로 원소 수가 같고 각각 108개다. 고전적 정의(따름정리 4.10)로 확률은 $108/216=\tfrac12$이다.

최종답 $\tfrac12$

A4 2, 3, 5로 나누어떨어지지 않는 수 ★

정리 4.5 · 10분

1부터 1000까지의 정수 가운데 2, 3, 5 어느 것으로도 나누어떨어지지 않는 수는 몇 개인가?

힌트

$A_d$를 $d$의 배수의 집합으로 두고 $|A_2\cup A_3\cup A_5|$를 포함배제로 센다. $A_2\cap A_3=A_6$이고 $|A_d|=\lfloor1000/d\rfloor$이다.

풀이

$\{1,\dots,1000\}$ 위의 균등 확률에 포함배제(정리 4.5)를 쓰고 1000을 곱하면, 원소 수에 대해서도 같은 식이 성립한다. $|A_d|=\lfloor1000/d\rfloor$이고, $d$와 $e$가 서로소이면 $A_d\cap A_e=A_{de}$이다.

$$|A_2\cup A_3\cup A_5|=(500+333+200)-(166+100+66)+33=734 .$$

따라서 구하는 수는 $1000-734=266$이다. 30개마다 8개($1,7,11,13,17,19,23,29$)가 남으므로 $1000\cdot\tfrac8{30}\approx266.7$에 가까운 것이 맞다.

최종답 $266$

A5 모든 눈이 나올 확률 ★★

정리 4.5 · 12분

공정한 주사위를 $n$번 던져 1부터 6까지의 눈이 모두 적어도 한 번 나올 확률을 $p_n$이라 하자.

1. (a)

   $p_6$을 직접 세어 구하라.

2. (b)

   포함배제로 다음을 보이고 $p_{10}$을 구하라.

   $$p_n=\sum_{k=0}^6(-1)^k\binom6k\Bigl(1-\frac k6\Bigr)^n$$

힌트

(b) $B_i$를 눈 $i$가 한 번도 나오지 않는 사건이라 하면 $p_n=1-P(B_1\cup\cdots\cup B_6)$이다. $k$개의 눈을 모두 피하는 결과의 수는 $(6-k)^n$이다.

풀이

(a) 여섯 번에 여섯 눈이 모두 나오려면 각 눈이 정확히 한 번씩 나와야 하므로, 결과는 1부터 6의 순열이다. $p_6=6!/6^6=720/46{,}656=\tfrac5{324}\approx0.0154$.

(b) $B_i=\{\text{눈 }i\text{가 한 번도 나오지 않는다}\}$이면 $\{\text{모든 눈이 나온다}\}=(B_1\cup\cdots\cup B_6)^c$이다. 첨자 $i_1<\cdots<i_k$를 고르면 $B_{i_1}\cdots B_{i_k}$는 매번 나머지 $6-k$개의 눈만 나오는 결과들이므로 $P(B_{i_1}\cdots B_{i_k})=(6-k)^n/6^n$이고, $S_k=\tbinom6k(1-\tfrac k6)^n$이다. 포함배제로

$$p_n=1-\sum_{k=1}^6(-1)^{k+1}S_k=\sum_{k=0}^6(-1)^k\binom6k\Bigl(1-\frac k6\Bigr)^n .$$

$n=10$이면 $p_{10}=\tfrac{16{,}435{,}440}{60{,}466{,}176}=\tfrac{38045}{139968}\approx0.2718$이다. $n=6$을 넣으면 (a)의 $\tfrac5{324}$가 다시 나온다.

최종답 (a) $\tfrac{5}{324}\approx0.0154$ (b) $\tfrac{38045}{139968}\approx0.2718$

A6 합이 8일 때 ★

정의 5.1 · 6분

공정한 주사위 두 개를 던져 눈의 합이 8이었다. 적어도 한 주사위가 6일 조건부확률을 구하라.

힌트

조건 사건 안에 들어 있는, 같은 확률의 순서쌍을 모두 적는다.

풀이

합이 8인 순서쌍은 $(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)$의 5개이고 각각 확률 $\tfrac1{36}$이다. 이 가운데 6이 있는 것은 2개이므로 $P(\text{6이 있다}\mid\text{합}=8)=\tfrac{2/36}{5/36}=\tfrac25$이다.

최종답 $\tfrac25$

A7 세 공장의 불량품 ★

정리 5.4, 5.5 · 8분

한 부품을 공장 I, II, III이 각각 $50\%$, $30\%$, $20\%$ 만든다. 불량률은 각각 $1\%$, $2\%$, $5\%$다. (a) 무작위로 고른 부품이 불량일 확률을 구하라. (b) 불량품 하나가 공장 III에서 왔을 확률을 구하라.

힌트

공장들이 분할을 이룬다. (a)는 전확률 공식, (b)는 베이즈 정리.

풀이

$D$를 불량, $B_1,B_2,B_3$을 각 공장이라 하자. (a) 전확률 공식(정리 5.4)으로

$$P(D)=0.5\cdot0.01+0.3\cdot0.02+0.2\cdot0.05=0.005+0.006+0.010=0.021 .$$

(b) 베이즈 정리(정리 5.5)로 $P(B_3\mid D)=0.010/0.021=\tfrac{10}{21}\approx0.476$이다. 공장 III은 생산의 $20\%$이지만 불량품의 절반 가까이를 낸다.

최종답 (a) $0.021$ (b) $\tfrac{10}{21}\approx0.476$

A8 세 번 모두 빨강 ★★

정리 5.5, 5.11 · 8분

항아리 I에는 빨간 공 3개와 파란 공 2개, 항아리 II에는 빨간 공 1개와 파란 공 4개가 있다. 공정한 동전으로 항아리 하나를 고르고, 그 항아리에서 복원추출로 세 번 뽑았더니 모두 빨강이었다. 항아리 I을 골랐을 사후확률을 구하라. 사후 오즈 = 가능도비 × 사전 오즈의 식으로도 구하라.

힌트

항아리가 정해지면 세 번의 추출은 상호 독립이다. 사전 오즈는 1이다.

풀이

$H$를 항아리 I을 고른 사건, $R$을 세 번 모두 빨강인 사건이라 하자. 항아리가 정해지면 추출은 독립이므로 $P(R\mid H)=(3/5)^3=\tfrac{27}{125}$, $P(R\mid H^c)=(1/5)^3=\tfrac1{125}$이다. 베이즈 정리로

$$P(H\mid R)=\frac{\frac{27}{125}\cdot\frac12}{\frac{27}{125}\cdot\frac12+\frac1{125}\cdot\frac12}=\frac{27}{28} .$$

오즈로는 사전 오즈 $1$에 가능도비 $27$을 곱한 사후 오즈 $27$이고, 확률로 바꾸면 $\tfrac{27}{28}$이다.

최종답 $\tfrac{27}{28}$

A9 독립인 두 사건 ★

정의 5.7, 정리 5.8 · 6분

$A$와 $B$가 독립이고 $P(A)=0.3$, $P(B)=0.4$이다. (a) $P(A\cup B)$, (b) $P(A\mid A\cup B)$, (c) $P(A^c\cap B^c)$를 구하라. (c)는 두 가지 방법으로 구하라.

힌트

(b)에서 $A\cap(A\cup B)=A$이다. (c)는 여사건과의 독립(정리 5.8)이나 De Morgan으로.

풀이

(a) $P(A\cup B)=0.3+0.4-0.3\cdot0.4=0.58$. (b) $A\subset A\cup B$이므로 $P(A\mid A\cup B)=0.3/0.58=\tfrac{15}{29}$. (c) 정리 5.8로 $A^c$와 $B^c$도 독립이므로 $0.7\cdot0.6=0.42$이다. De Morgan으로는 $P(A^cB^c)=1-P(A\cup B)=0.42$로 같다.

최종답 (a) $0.58$ (b) $\tfrac{15}{29}$ (c) $0.42$

A10 직렬과 병렬 ★

정리 5.11 · 8분

부품 1과 2를 병렬로(둘 가운데 하나만 작동해도 된다) 묶고, 그 묶음을 부품 3과 직렬로(둘 다 작동해야 한다) 연결했다. 세 부품은 상호 독립으로 각각 확률 $0.9$로 작동한다. 시스템이 작동할 확률을 구하라.

힌트

작동하는 사건을 $(W_1\cup W_2)\cap W_3$으로 쓴다. 병렬 묶음이 고장 나는 사건은 $W_1^cW_2^c$이다.

풀이

$W_i$를 부품 $i$가 작동하는 사건이라 하면 시스템이 작동하는 사건은 $(W_1\cup W_2)\cap W_3$이다. 정리 5.11로 $P(W_1\cup W_2)=1-0.1\cdot0.1=0.99$이다. $W_1\cup W_2$와 $W_3$의 독립은 연습 5.6과 같은 논리로 나온다($W_1,W_2,W_3$이 상호 독립이면 $W_1\cup W_2$와 $W_3$은 독립). 따라서 $0.99\cdot0.9=0.891$이다.

최종답 $0.891$

A11 분포함수에서 확률 읽기 ★★

정리 6.3 · 10분

확률변수 $X$의 분포함수가 다음과 같다.

$$F(x)=\begin{cases}0 & x<0\\ \tfrac{x+1}4 & 0\le x<1\\ \tfrac34 & 1\le x<2\\ 1 & x\ge2\end{cases}$$

(a) $P(X=0)$, (b) $P(X=1)$, (c) $P(\tfrac12<X\le2)$, (d) $P(X<2)$를 구하라. $X$는 이산인가, 연속인가?

힌트

점의 확률은 그 점에서 $F$가 뛰는 높이 $F(x)-F(x-)$이다(정리 6.3(d)). $F$를 그려 보면 뛰는 점이 세 곳이다.

풀이

정리 6.3(d)를 쓴다. (a) $F(0)-F(0-)=\tfrac14-0=\tfrac14$. (b) $F(1)-F(1-)=\tfrac34-\tfrac24=\tfrac14$. (c) $F(2)-F(\tfrac12)=1-\tfrac38=\tfrac58$. (d) $P(X<2)=F(2-)=\tfrac34$. 점 $0,1,2$에 각각 확률 $\tfrac14$이 있고 나머지 $\tfrac14$은 $(0,1)$ 위에 밀도 $\tfrac14$로 퍼져 있다. 점에 확률이 있으므로 연속이 아니고, 점들의 확률의 합이 $\tfrac34<1$이므로 이산도 아니다. 1회 6.3절의 혼합형이다.

최종답 (a) $\tfrac14$ (b) $\tfrac14$ (c) $\tfrac58$ (d) $\tfrac34$

A12 밀도의 상수 ★

정의 6.6, 정리 6.7 · 10분

$f(x)=cx(1-x)$ ($0<x<1$), 그 밖에서 $f(x)=0$이 밀도가 되게 하자. (a) $c$를 정하라. (b) $0\le x\le1$에서 분포함수 $F(x)$를 구하라. (c) $P(\tfrac14<X<\tfrac34)$를 구하라.

힌트

(a)는 정리 6.7(a). (c)는 (b)의 $F$로 $F(\tfrac34)-F(\tfrac14)$. 대칭이므로 $F(\tfrac14)+F(\tfrac34)=1$인지 확인해 본다.

풀이

(a) $\int_0^1x(1-x)\,dx=\tfrac12-\tfrac13=\tfrac16$이므로 $c=6$이다. (b) $F(x)=\int_0^x6t(1-t)\,dt=3x^2-2x^3$. (c) $F(\tfrac34)-F(\tfrac14)=\bigl(\tfrac{27}{16}-\tfrac{27}{32}\bigr)-\bigl(\tfrac3{16}-\tfrac1{32}\bigr)=\tfrac{27}{32}-\tfrac5{32}=\tfrac{22}{32}=\tfrac{11}{16}$. 밀도가 $\tfrac12$에 대해 대칭이므로 $F(\tfrac14)=1-F(\tfrac34)=\tfrac5{32}$이다.

최종답 (a) $c=6$ (b) $3x^2-2x^3$ (c) $\tfrac{11}{16}$

A13 처음 앞면이 짝수 번째 ★★

정리 4.9, 5.11 · [T5] · 10분

앞면이 나올 확률이 $p$ ($0<p<1$)인 동전을 앞면이 나올 때까지 독립적으로 던진다. (a) 처음 앞면이 짝수 번째에 나올 확률을 $p$의 식으로 구하라. (b) $p=\tfrac12$이면 얼마인가?

힌트

$E_k=\{$처음 앞면이 $k$번째$\}$이면 $P(E_k)=q^{k-1}p$이고 $E_k$들은 쌍마다 서로소다. 짝수 번째인 사건은 $\bigcup_jE_{2j}$이다. 기하급수 [T5].

풀이

$q=1-p$라 하자. $E_k$는 처음 $k-1$번이 뒷면이고 $k$번째가 앞면인 사건이므로 독립(정리 5.11)으로 $P(E_k)=q^{k-1}p$이다. $E_k$들은 쌍마다 서로소이므로 가산가법성으로

$$P\Bigl(\bigcup_{j\ge1}E_{2j}\Bigr)=\sum_{j=1}^\infty q^{2j-1}p=\frac{qp}{1-q^2}=\frac{qp}{(1-q)(1+q)}=\frac q{1+q}=\frac{1-p}{2-p} .$$

기하급수 $\sum_{j\ge1}r^j=\tfrac r{1-r}$ ($|r|<1$)를 $r=q^2$에 썼다. (b) $p=\tfrac12$이면 $\tfrac13$이다. 짝수 번째와 홀수 번째의 확률의 비는 언제나 $q:1$이다.

최종답 (a) $\tfrac{1-p}{2-p}$ (b) $\tfrac13$

A14 같은 달에 태어난 두 사람 ★

정리 1.2, 4.3(c) · 6분

네 사람의 생일 달이 12달 가운데 서로 독립이고 균등하다. 같은 달에 태어난 두 사람이 있을 확률을 구하라.

힌트

여사건은 네 사람의 달이 모두 다른 것이다. 순열의 수(정리 1.2).

풀이

네 사람의 달이 모두 다른 결과는 $12\cdot11\cdot10\cdot9=11{,}880$가지이고 전체는 $12^4=20{,}736$가지다. 여사건으로 $1-\tfrac{11880}{20736}=\tfrac{8856}{20736}=\tfrac{41}{96}\approx0.427$이다. 네 명만 모여도 절반에 가깝다.

최종답 $\tfrac{41}{96}\approx0.427$

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