1회 · 확률이란 무엇인가 · 노트

3 “무작위로”의 위기

경우가 유한하고 모두 같은 정도로 일어나면 확률은 세면 된다. 경우가 무한히 많으면 어떻게 되는가? “원 위의 무작위 점”이나 “무작위로 그은 현”은 직관적으로는 분명해 보인다. 19세기 말 이 직관이 모순을 낳으면서 확률이 무엇인지를 다시 묻게 되었다.

3.1 Bertrand의 현 역설 (1889)

역사 프랑스의 Joseph Bertrand는 1889년 Calcul des probabilités에서 다음 질문을 냈다. 원에 현을 무작위로 하나 그을 때, 그 현이 내접 정삼각형의 한 변보다 길 확률은 얼마인가? 그는 그럴듯한 세 가지 풀이가 서로 다른 답을 낸다는 것을 보이고, 무한히 많은 경우에 대한 “무작위”라는 말이 정의되지 않았다고 결론지었다.

반지름을 $r$로 둔다. 내접 정삼각형의 한 변은 $\sqrt3\,r$이고, 원의 중심에서 그 변까지의 거리는 $r/2$이다. 현의 길이를 $L$이라 하자.

예제 3.1 (세 가지 “무작위 현”) 

(1) 두 끝점을 원 위에서 고른다. 회전대칭이므로 한 끝점을 고정해도 된다. 고정한 끝점을 한 꼭짓점으로 하는 내접 정삼각형을 그리면, 다른 끝점이 맞은편 호(나머지 두 꼭짓점 사이, 원둘레의 $\tfrac13$)에 떨어질 때 그리고 그때만 $L>\sqrt3\,r$이다. 다른 끝점이 원둘레 위에 고르게 퍼져 있다면 확률은 $\tfrac13$이다.

(2) 반지름 위의 한 점을 지나는 수직선. 회전대칭이므로 반지름 하나를 고정한다. 그 위에서 중심과의 거리가 $d$인 점을 고르고, 반지름에 수직인 현을 긋는다. 길이는 $L=2\sqrt{r^2-d^2}$이므로 $L>\sqrt3\,r\iff d<r/2$다. $d$가 $[0,r]$에 고르게 퍼져 있다면 확률은 $\tfrac12$이다.

(3) 원 안의 한 점을 중점으로. 원 안의 점을 하나 고르고 그 점을 중점으로 하는 현을 긋는다(중심이 아니면 유일하다). 중점과 중심의 거리를 $d$라 하면 역시 $L=2\sqrt{r^2-d^2}$이므로, 중점이 반지름 $r/2$인 동심원 안에 있어야 한다. 점이 원판의 넓이에 고르게 퍼져 있다면 확률은 넓이의 비 $(r/2)^2/r^2=\tfrac14$이다.

그림 3.1 Bertrand(1889)의 세 가지 “무작위 현”. 같은 질문에 $\tfrac13$, $\tfrac12$, $\tfrac14$의 세 답이 나온다.

세 풀이 모두 계산에는 틀림이 없다. 다른 것은 “고르게 퍼져 있다”의 대상이다. (1)은 원둘레의 길이, (2)는 반지름의 길이, (3)은 원판의 넓이에 대해 고르다. 같은 “무작위 현”이 서로 다른 세 확률을 뜻한다. 질문이 무엇에 대해 균등한가를 정하지 않았으므로 답이 하나로 정해지지 않는다. 6.3절에서 세 방법이 만드는 현의 길이 분포를 구하고, 노트북에서 시뮬레이션으로 확인한다.

그러면 어느 것이 옳은가 질문 자체에는 답이 없다. 다만 문제에 대칭을 더 요구하면 답이 정해질 수 있다. Jaynes(1973)는 원의 위치를 조금 옮기거나 크기를 바꿔도 답이 같아야 한다고 요구하면 (2)가 남는다고 논증했다. 이것도 “무엇이 같은 정도로 일어나는가”에 대한 추가 가정이다.

3.2 Bertrand의 상자 역설

같은 책에 Bertrand는 짧은 문제를 하나 더 실었다.

예제 3.2 (세 상자) 상자가 셋 있다. 하나에는 금화 두 개, 하나에는 은화 두 개, 하나에는 금화와 은화가 하나씩 들어 있다. 상자를 하나 골라 동전을 하나 꺼냈더니 금화였다. 같은 상자의 다른 동전도 금화일 확률은?

흔한 추론은 이렇다. 금화가 나왔으니 상자는 금금이거나 금은이고, 둘 중 하나이므로 $\tfrac12$이다. 그러나 답은 $\tfrac23$이다. 금화가 나올 수 있는 경우는 동전 단위로 셋(금금 상자의 두 금화, 금은 상자의 금화 하나)이고, 그 가운데 둘이 금금 상자다. 5.3절에서 베이즈 정리로 다시 푼다. 같은 함정이 1975년 Selvin이 낸 Monty Hall 문제(연습 5.2)에 그대로 있다.

3.3 Hilbert의 6번 문제 (1900)

역사 1900년 파리 국제수학자대회에서 David Hilbert는 20세기의 과제 23개를 제시했다. 6번 문제는 “수학이 중요한 역할을 하는 물리학, 특히 확률론과 역학을 공리로 세우라”는 것이었다. 같은 시기 Borel과 Lebesgue는 길이·넓이·부피를 일반화한 측도의 이론을 세우고 있었다. 이 두 흐름이 1933년 Kolmogorov의 확률론의 기초 개념(Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung)에서 만났다.

Bertrand의 역설이 알려 준 것은 두 가지다. 첫째, 확률을 말하려면 가능한 결과의 집합과 확률을 줄 사건들의 모임을 먼저 정해야 한다. 둘째, 확률이 따라야 할 규칙을 정하고, “균등”처럼 구체적인 확률은 그 규칙을 만족하는 여러 선택 가운데 하나로 따로 가정해야 한다. 4절이 정확히 이 일을 한다.

연습문제

연습 3.1 (반지름보다 긴 현 ★) Bertrand의 세 방법 각각에서 현이 반지름 $r$보다 길 확률을 구하라.

풀이

반지름 $r=1$로 둔다. (1) 중심각을 $\Phi$라 하면 $L=2\sin(\Phi/2)>1\iff\Phi/2\in(\pi/6,\allowbreak 5\pi/6)$이고 $\Phi/2\sim\mathrm U(0,\pi)$이므로 확률은 $\tfrac23$. (2) $2\sqrt{1-d^2}>1\iff d<\sqrt3/2$이므로 $\sqrt3/2\approx0.866$. (3) 중점이 반지름 $\sqrt3/2$인 원 안에 있어야 하므로 $3/4$.

연습 3.2 (정사각형 안의 점과 $\pi$ ★) 점이 정사각형 $[0,1]^2$의 넓이에 고르게 퍼져 있다. 점이 원점에서 거리 1 이내에 있을 확률을 구하고, 이것으로 시뮬레이션에서 $\pi$를 추정하는 방법을 써라(7회의 Monte Carlo 예고).

풀이

사분원의 넓이는 $\pi/4$이고 정사각형의 넓이는 1이므로 확률은 $\pi/4$다. 점 $n$개를 뽑아 원 안에 든 비율 $\hat p$를 세면 $4\hat p$가 $\pi$의 추정이다.

연습 3.3 (구 위의 “무작위 점” ★★) 지구 표면의 “무작위 점”을 두 가지로 정한다. (a) 위도를 $[-90^\circ,90^\circ]$, 경도를 $[0^\circ,360^\circ)$에서 각각 고르게 고른다. (b) 점이 구면의 넓이에 고르게 퍼져 있다. 각각에서 점이 위도 $60^\circ$ 이북에 떨어질 확률을 구하라. (힌트: 반지름 1인 구에서 위도 $\phi$ 이북의 넓이는 $2\pi(1-\sin\phi)$이다.)

풀이

(a) 위도가 $[-90^\circ,90^\circ]$에서 고르면 $60^\circ$ 이북의 확률은 $30/180=\tfrac16\approx0.167$. (b) 반지름 1인 구의 넓이는 $4\pi$이고 위도 $60^\circ$ 이북의 넓이는 $2\pi(1-\sin60^\circ)$이므로 확률은 $(1-\sqrt3/2)/2\approx0.067$. 위도·경도를 고르게 고르면 극 근처에 점이 몰린다. 극 근처에서는 같은 위도 폭에 해당하는 넓이가 작기 때문이다. “무작위 점”은 무엇에 대해 고른지를 정해야 뜻이 생긴다.

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