1회 · 확률이란 무엇인가 · 워크북

B. 빈칸 증명

노트의 단계형 증명을 책을 덮고 다시 쓴다. 같은 정리를 세 번 만나며 도움이 줄어든다. 1 단계는 주어지고 근거만 빈칸이다. 2 단계의 이름만 주어진다. 3 전략만 주어진다. 근거에는 공리 번호, 정의나 정리의 번호, 도구 번호를 쓴다.

B1 연속성, 근거 채우기 ★

1 · 정리 4.7(a) · 15분

$A_n\uparrow A$이면 $P(A_n)\uparrow P(A)$이다. 각 단계의 근거를 써라.

1. $B_1=A_1$, $B_n=A_n\setminus A_{n-1}$ ($n\ge2$)로 둔다.정의

2. $B_n$들은 쌍마다 서로소다.왜?$m<n$이면 $B_m\subset A_m\subset A_{n-1}$, $B_n\cap A_{n-1}=\emptyset$

3. $A_n=B_1\cup\cdots\cup B_n$이고 $A=\bigcup_kB_k$이다.왜?원소 추적: $\omega\in A_n$인 가장 작은 $n$

4. 1–3을 공리에 넣는다.

   $$\begin{align*} P(A)&=\textstyle\sum_{k=1}^\infty P(B_k) \tag*{\htmlClass{why}{\htmlClass{why-q}{\text{왜?}}\htmlClass{why-a}{\text{\htmlClass{sref}{\text{2}}\,\htmlClass{sref}{\text{3}}, (P3)}}}}\\ &=\textstyle\lim_n\sum_{k=1}^nP(B_k) \tag*{\htmlClass{why}{\htmlClass{why-q}{\text{왜?}}\htmlClass{why-a}{\text{급수의 합의 정의 \htmlClass{tool}{\href{/read/00/5}{\text{[T5]}}}}}}}\\ &=\textstyle\lim_nP(A_n) \tag*{\htmlClass{why}{\htmlClass{why-q}{\text{왜?}}\htmlClass{why-a}{\text{\htmlClass{sref}{\text{3}}, 유한가법성}}}} \end{align*}$$

5. $P(A_n)$은 $n$에 대해 증가한다.왜?$A_n\subset A_{n+1}$, 단조성 정리 4.3(d)

힌트

근거는 짧게 쓴다. 예: “(P3)”, “정리 4.3(d)”, “[T1] 원소 추적”. 둘째 단계는 $m<n$일 때 $B_m$과 $A_{n-1}$의 관계를 쓴다.

풀이

빈칸의 빨간 글씨가 근거다. 노트 정리 4.7의 증명과 같다. 세 번째 단계에서 $\omega\in A$이면 $\omega\in A_n$인 가장 작은 $n$이 있고(자연수의 정렬 원리), 그 $n$에서 $\omega\in A_n\setminus A_{n-1}=B_n$이다. $n=1$이면 $\omega\in B_1=A_1$이다.

B2 포함배제, 근거와 부호 채우기 ★★

1 · 정리 4.5 · 20분

$P(\bigcup_{i=1}^nA_i)=\sum_{k=1}^n(-1)^{k+1}S_k$의 귀납법 증명이다. 근거와 부호를 채워라.

1. $n=1$이면 자명하고 $n=2$이면 두 사건의 공식이다.왜?정리 4.3(f)

2. $n$에서 성립한다고 하고 $B=A_1\cup\cdots\cup A_n$으로 두면 $P(B\cup A_{n+1})=P(B)+P(A_{n+1})-P(B\cap A_{n+1})$이다.왜?정리 4.3(f)

3. $B\cap A_{n+1}=\bigcup_{i=1}^n(A_iA_{n+1})$이다.왜?분배법칙 [T1]

4. $P(B\cap A_{n+1})=\sum_{k=1}^n(-1)^{k+1}\sum_{i_1<\cdots<i_k\le n}P(A_{i_1}\cdots A_{i_k}A_{n+1})$이다.왜?귀납 가정을 $n$개의 사건 $A_iA_{n+1}$에

5. $j$개짜리 교집합이 나오는 부호를 센다.

   • $A_{n+1}$을 포함하지 않는 교집합: $P(B)$의 전개에서 부호 $(-1)^{j+1}$

   • $A_{n+1}$ 하나뿐: $+P(A_{n+1})$, 부호 $(-1)^{1+1}=+1$

   • $A_{n+1}$과 다른 $k=j-1$개: $-P(B\cap A_{n+1})$에서 부호 $-(-1)^{k+1}=(-1)^{j+1}$

6. 모든 $j$개짜리 교집합이 부호 $(-1)^{j+1}$로 한 번씩 나오므로 $n+1$에서 성립한다.왜?귀납법 [T3]

힌트

귀납 가정은 두 번 쓰인다. 한 번은 $P(B)$에, 한 번은 $n$개의 사건 $A_1A_{n+1},\dots,A_nA_{n+1}$에.

풀이

빈칸의 빨간 글씨가 답이다. 넷째 단계에서 귀납 가정을 쓸 수 있는 것은 셋째 단계가 $B\cap A_{n+1}$을 $n$개 사건의 합집합으로 바꿨기 때문이다. 그 $n$개 사건의 $k$개짜리 교집합은 $A_{i_1}\cdots A_{i_k}A_{n+1}$로, 원래 사건들의 $k+1$개짜리 교집합이다.

B3 분포함수의 성질, 근거 채우기 ★★

1 · 정리 6.3(b)(c)(d) · 15분

분포함수 $F(x)=P(X\le x)$에 대한 증명이다. 근거를 채워라.

1. $\{X\le-n\}$은 감소하고 $\bigcap_n\{X\le-n\}=\emptyset$이다.왜?$X(\omega)$는 실수, 아르키메데스 성질

2. $F(-n)\to0$이다.왜?연속성, 정리 4.7(b)

3. $\{X\le x+\tfrac1n\}\downarrow\{X\le x\}$이다.왜?모든 $n$에서 $X(\omega)\le x+\tfrac1n$이면 $X(\omega)\le x$

4. $F(x+\tfrac1n)\to F(x)$이고, $F$가 비감소이므로 $\lim_{y\downarrow x}F(y)=F(x)$이다.왜?정리 4.7(b), 단조 함수의 한쪽 극한 [T5]

5. $\{X\le x-\tfrac1n\}\uparrow\{X<x\}$이므로 $F(x-)=P(X<x)$이다.왜?[T1], 정리 4.7(a)

6. $P(X=x)=F(x)-F(x-)$이다.왜?$\{X=x\}=\{X\le x\}\setminus\{X<x\}$, 정리 4.3(d)

힌트

극한을 사건열의 극한으로 바꾸는 곳마다 연속성(정리 4.7)의 (a)인지 (b)인지를 구별한다. 증가하면 (a), 감소하면 (b).

풀이

빈칸의 빨간 글씨가 근거다. 넷째 단계에서 수열 하나($x+\tfrac1n$)를 따라 구한 극한이 $y\downarrow x$의 극한과 같은 것은 $F$가 비감소이기 때문이다. $x<y<x+\tfrac1n$이면 $F(x)\le F(y)\le F(x+\tfrac1n)$이므로 조임 정리를 쓴다.

B4 연속성, 단계의 이름만 ★★

2 · 정리 4.7 · 25분

정리 4.7의 (a)와 (b)를 증명하라. 단계의 이름만 주어진다. 각 단계 아래에 식과 근거를 써라.

1. 서로소인 조각 $B_n$을 정의한다

2. 조각들이 쌍마다 서로소임을 보인다

3. $A_n$과 $A$를 조각으로 쓴다

4. 공리와 급수의 정의로 $P(A)=\lim_nP(A_n)$을 얻는다

5. (b) 감소하는 열을 여사건으로 증가하는 열로 바꾼다

6. (a)를 쓰고 여사건 공식으로 되돌린다

힌트

B1에서 채운 근거를 다시 보지 말고 쓴다. (b)의 첫 단계에는 De Morgan이 필요하다.

풀이

1. $B_1=A_1$, $B_n=A_n\setminus A_{n-1}$.정의

2. $m<n$이면 $B_m\subset A_m\subset A_{n-1}$이고 $B_n\cap A_{n-1}=\emptyset$이므로 $B_m\cap B_n=\emptyset$.열이 증가 [T1]

3. $A_n=\bigcup_{k\le n}B_k$, $A=\bigcup_kB_k$.원소 추적 [T1]

4. $P(A)=\sum_kP(B_k)=\lim_n\sum_{k\le n}P(B_k)=\lim_nP(A_n)$.(P3), [T5], 유한가법성

5. $A_n\downarrow A$이면 $A_n^c\uparrow A^c$.De Morgan, 보조정리 0.1

6. $1-P(A_n)=P(A_n^c)\to P(A^c)=1-P(A)$.(a), 정리 4.3(c)

B5 포함배제, 단계의 이름만 ★★

2 · 정리 4.5 · 30분

정리 4.5를 $n$에 대한 귀납법으로 증명하라.

1. 기저

2. 두 사건의 공식으로 사건 하나를 더한다

3. 새로 생긴 교집합을 분배법칙으로 쓴다

4. 귀납 가정을 두 번 쓴다

5. $j$개짜리 교집합의 부호를 세 경우로 센다

6. 결론

힌트

세 경우는 “$A_{n+1}$을 포함하지 않는다”, “$A_{n+1}$ 하나뿐이다”, “$A_{n+1}$과 다른 사건들의 교집합이다”이다.

풀이

노트 정리 4.5의 증명 1과 같다. 단계별 근거는 B2의 풀이를 본다. 셋째 경우에서 원래 사건들의 $j$개짜리 교집합 $A_{i_1}\cdots A_{i_{j-1}}A_{n+1}$은 $n$개 사건 $A_iA_{n+1}$의 $(j-1)$개짜리 교집합이고, 귀납 가정에서 부호 $(-1)^{(j-1)+1}=(-1)^j$을 받는다. 앞의 마이너스와 곱하면 $(-1)^{j+1}$이다.

B6 연속성, 전략만 ★★

3 · 정리 4.7 · 30분

정리 4.7을 증명하라.

전략 증가하는 열은 서로소인 조각으로 쪼개 급수의 부분합으로 만든다. 감소하는 열은 여사건으로 바꾼다.

힌트

단계는 여섯이다. 증명을 다 쓴 뒤, 각 등호의 근거가 공리 (P1)–(P3), 유한가법성, 단조성, 여사건 공식, De Morgan 가운데 무엇인지 확인한다.

풀이

B4의 풀이와 같다. 이 증명이 쓰는 것은 (P3)과 그 결과(유한가법성, 단조성, 여사건 공식)뿐이다. 유한가법성만 있는 “확률”에서는 이 정리가 성립하지 않는다(노트 7.1절의 자연 밀도). 거꾸로 유한가법성에 연속성을 더하면 (P3)이 나온다(노트 연습 4.11).

B7 분포함수의 성질, 전략만 ★★

3 · 정리 6.3 · 35분

정리 6.3의 (a)–(d)를 모두 증명하라.

전략 $F$의 극한을 사건열의 극한으로 바꾸고 연속성(정리 4.7)을 쓴다. $F$가 비감소이므로 한쪽 극한은 단조로운 수열 하나를 따라 구하면 된다.

힌트

(c)에서 왜 “오른쪽”인지 설명할 수 있어야 한다. $\{X\le x-\tfrac1n\}$의 합집합은 $\{X\le x\}$가 아니라 $\{X<x\}$이다.

풀이

노트 정리 6.3의 단계형 증명과 같다. 핵심 단계와 근거는 B3의 풀이에 있고, (a)는 $\{X\le x\}\subset\{X\le y\}$와 단조성이다. 오른쪽 연속인 것은 $\bigcap_n\{X\le x+\tfrac1n\}=\{X\le x\}$이기 때문이고, 왼쪽에서는 $\bigcup_n\{X\le x-\tfrac1n\}=\{X<x\}$가 $\{X\le x\}$와 $\{X=x\}$만큼 다르기 때문에 연속이 아닐 수 있다. 분포함수를 $P(X<x)$로 정의했다면 왼쪽 연속이 되었을 것이다.

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